Исходные уравнения. Динамика жидких металлов в

УДК 537.84
ДВУМЕРНАЯ ДИНАМИКА МГД-ТЕЧЕНИЯ
В КОЛЬЦЕВОМ КАНАЛЕ
И.В. Хальзов (РНЦ «Курчатовский институт»)
Рассмотрена стадия разгона несжимаемой проводящей вязкой жидкости (жидкого металла) в кольцевом канале прямоугольного сечения со стенками конечной проводимости. Разгон обусловлен силой
Лоренца J×B, возникающей при пропускании через жидкость электрического тока перпендикулярно
внешнему магнитному полю. Получены приближенные аналитические выражения для индуцированного магнитного поля и скорости жидкости. Приведены результаты численных двумерных расчетов
для параметров проектируемой установки.
2D DYNAMICS OF MHD-FLOW IN CIRCULAR CHANNEL. I.V. KHALZOV. The stage of acceleration
of incompressible conducting viscous fluid (liquid metal) in circular channel of rectangular cross-section with
walls of finite conductivity is considered. Acceleration is due to the Lorentz force J×B excited by the electric
current flowing through the fluid perpendicular to the external magnetic field. Approximate analytical solutions are obtained that describe the dynamics of induced magnetic field and fluid velocity. The results of 2D
numerical simulations for parameters of device being designed are presented.
1. ВВЕДЕНИЕ
Исследование магнитогидродинамических (МГД) течений проводящих жидкостей в кольцевых каналах прямоугольного сечения представляет в настоящее время
определенный интерес в связи с попытками экспериментального обнаружения магниторотационной неустойчивости (МРН). МРН, открытая Е.П. Велиховым [1], является наиболее вероятным механизмом, ответственным за перенос момента импульса в таких астрофизических объектах, как аккреционные диски и спиральные
радиогалактики [2]. Однако несмотря на значительное количество теоретических
работ, посвященных данной проблеме, до сих пор не было прямых наблюдений
этой неустойчивости ни в природе, ни в лабораторных экспериментах.
В последние годы наблюдается активизация усилий по постановке экспериментов, которые бы явно продемонстрировали возникновение МРН (см., например, [3—
6]). Суть этих экспериментов состоит в том, чтобы раскрутить проводящую жидкость
между двумя цилиндрами, помещенными в аксиальное магнитное поле, причем раскрутка жидкости в большинстве планируемых экспериментов обеспечивается вращением самих цилиндров (за счет вязкости жидкости). Качественно другой способ
раскрутки был предложен Е.П. Велиховым в РНЦ «Курчатовский институт». Он заключается в пропускании через жидкость (жидкий натрий) радиального электрического тока, приводящего к возникновению силы Лоренца J×B и, как следствие, течению жидкости. Расчет стационарного состояния такого течения приведен в [7].
Данная статья посвящена исследованию стадии разгона и установления стационарного течения жидкого металла в этом эксперименте. Особое внимание уделено
учету конечной проводимости и толщины стенок канала. Структура статьи следующая. Во втором разделе представлен вывод уравнений, описывающих двумерную
динамику МГД-течений в кольцевых каналах. Там же сформулированы граничные
и начальные условия для данной проблемы. В третьем получены приближенные
аналитические решения, описывающие разгон жидкости между двумя бесконечны3
ми пластинами; показана связь этих решений со случаем кольцевого канала. В четвертом приведены результаты численных расчетов двумерной динамики жидкости.
В пятом сделаны соответствующие выводы.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Исходные уравнения. Динамика жидких металлов в несжимаемой
диссипативной МГД-модели описывается уравнениями:
V
P
1
 ( V) V    V  J  B;
(1)
t

c
(2)
div V  0;
1 B
rot E  
;
(3)
c t
(4)
div B  0;
4
rot B 
J;
(5)
c
1


J   E  V  B
(6)
c


Здесь предполагается, что жидкость
однородна и обладает постоянными во

всем объеме плотностью , кинематической вязкостью  и проводимостью .
Кроме того, будем считать, что жидкость
полностью заполняет кольцевой канал,
помещенный в однородное аксиальное
магнитное поле B0 = B0ez (рис. 1). ИсслеR1
R2
дуем в этих предположениях установлеРис. 1. Кольцевой канал
ние течения жидкости при пропускании
радиального тока между боковыми стенками канала.
Уравнения (3), (4) интегрируются введением скалярного и векторного потенциалов:
(7)
B  rot A;
E   
1 A

(8)
c t
Для дальнейшего анализа перейдем к безразмерным величинам:
V
L2
t  ; V  V0 v; B  B0b; R  Lr; P  V02 p;   0 LB0; A  LB0a

c
где L — полувысота канала; V0 — характерная азимутальная скорость установившегося течения.
Тогда система (1)—(6) с учетом (7), (8) принимает вид
Re1 v  ( v) v  p  Re1 v 
4
Ha 2
rot b  b;
Re Rem
(9)
div v  0;
(10)
Re1 a    v  b  Rem1 rot b;
b  rot a
(11)
(12)
Здесь и далее точка обозначает дифференцирование по , и введены следующие безразмерные параметры:
Re 
LV0
4LV0
LB
; Re m 
; Ha  0

c2
c


— число Рейнольдса, магнитное число Рейнольдса и число Гартмана соответственно.
Границы канала в этом случае соответствуют z = ±1 («крышка» и «дно») и r = r1 = R1/L,
r = r2 = R2/L (боковые стенки).
Исходя из геометрии задачи, будем считать, что стационарное (полностью развившееся) течение является осесимметричным, т.е. не зависит от угла  в цилиндрической системе координат (∂/∂ = 0). Рассматривая эволюцию течения на стадии разгона, мы также будем предполагать его осевую симметрию, что позволит нам существенно упростить задачу и свести ее к изучению двумерной динамики жидкости.
В случае осевой симметрии скорость и магнитное поле представляются в виде:
1
u (r z )
v  w(r z )  e 
e ;
r
r
Re  1
h(r z ) 
b  e z  m  g (r z )  e 
e  .
Ha  r
r

(13)
(14)
Здесь множитель Rem/Ha выбран из соображений удобства. Как показано в [7],
при таком выборе функции u и h имеют одинаковый порядок, и их максимальные
значения можно положить равными единице. Нетрудно проверить, что выражение
(13) автоматически удовлетворяет условию несжимаемости (10), а подстановка выражения (14) в (12) позволяет определить векторный потенциал a. Два оставшихся
уравнения (9) и (11) после несложных, но довольно громоздких вычислений дают
следующую систему:
Re
Re
[u w]  m [h g ];
r
r

u
h 
Pr h  *h  Ha uz  Rem r   g 2    w 2   ;
 r   r 
Re
Pr g  * g  Ha wz  m [ g  w];
r
*
   w  2uu  
  * g  2hh 
* w  ** w  Ha * g z  Re  r  w 2   2 z   Rem  r  g  2   2 z  ,
r 
r 
r 
r 
 
 
u  *u  Ha hz 
(15)
(16)
(17)
(18)
где использованы обозначения
[ f  g] 
f g f g
 1  2

; *  r

r z z r
r r r z 2
и введено безразмерное число Прандтля:
5
Rem 4
 2 
Re
c
Данная система уравнений является основой для описания двумерной динамики жидкости при разгоне в кольцевом канале.
Граничные и начальные условия. Систему уравнений (15)—(18) необходимо
дополнить граничными условиями. Стандартное гидродинамическое граничное
условие состоит в обращении в нуль скорости вязкой жидкости на неподвижных
стенках [8]
v z 1  0; v r ( r1 r2 )  0
(19)
Pr 
что, согласно (13), дает
u z 1  0;
u r ( r1 r2 )  0;
w z 1  0; w r ( r1 r2 )  0
 = w
Граничные условия на магнитное
поле
зависят от свойств стенок канала.
1
В дальнейшем считаем, что все стенки
канала имеют толщину d L и конечную проводимость w. При этом бокоr
вые стенки соприкасаются со слоем идеального проводника ( = ), а дно и
–1
крышка — с изолятором ( = 0) (рис. 2).
r1– r1
=0
r2 r2+
Условия для магнитного и электриРис. 2. Сечение канала. К выводу граничных условий ческого полей на границе раздела двух
сред с проводимостями 1 и 2 следуют из уравнений Максвелла (3)—(5):
z
=

=0
=
Et(1)  Et(2) ;
(20)
B B 
(21)
(1)
(2)
где t обозначает тангенциальную компоненту. Принимая во внимание (19) в законе
Ома (6), условие на электрическое поле (20) можно заменить условием на плотность тока:
J t(1) J t(2)


(22)
1
2
Кроме того, из требования divJ = 0 вытекает условие непрерывности нормальной компоненты плотности тока на границе:
J n(1)  J n(2) 
(23)
Для однозначного определения магнитного поля в жидкости нам, вообще говоря, необходимо знать поле в стенках канала. Однако поскольку стенки тонкие ( =
= d/L 1), то поле в них можно найти приближенно и свести условия (21)—(23) к граничным условиям на поле в жидкости. В приложении представлен подробный вывод
граничных условий на магнитное поле с точностью до членов порядка O().
Приведем здесь окончательный вид граничных условий для системы (15)—(18):
6
u z 1  0; u r ( r1 r2 )  0;
( h  
w

hz ) z 1  1; ( hr  
h   Pr h) r ( r1 r2 )  0;

 w zz
w
g ) r ( r1 r2 )  0;

w z 1  0; w r ( r1 r2 )  0;
( g  g z ) z 1  0; ( g r  g zz   Pr
wz z 1  0; wr r ( r1 r2 )  0
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
Отметим, что в пределе   0 эти условия совпадают с граничными условиями
из работы [7].
Для исследования динамики течения в канале необходимо также задание
начальных условий на функции u, h, g и w. Очевидно, что эти условия должны определяться в момент включения тока в электрической цепи канала. Для простоты будем
считать, что радиальный ток за очень короткое время после включения успевает проникнуть в канал, при этом жидкость остается неподвижной. Установившееся таким
образом распределение радиального тока разумно считать равномерным. Этот ток
приводит к возникновению тороидального магнитного поля, две другие компоненты
индуцированного поля в начальный момент отсутствуют.
В итоге начальные условия для нашей задачи запишутся в виде:
u  0  0;
h 0 
z
;
1  cz
(29)
(30)
g 0  0;
(31)
w 0  0
(32)
где введено пристеночное отношение cz = w/ и использовано граничное условие (25).
3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ
Рассмотрим стадию разгона в центральной части канала вдали от боковых стенок. В этом случае можно пренебречь радиальной зависимостью параметров течения (/r  0) и считать, что g = w = 0. Кроме того, пренебрежем членами, содержащими число Прандтля Pr, так как для жидких металлов оно обычно много меньше единицы (например, для жидкого натрия Pr = 8,8 ∙ 10–6). Тогда система (15)—
(18) сводится к двум уравнениям:
u  u   Ha h;
(33)
0  h  Ha u 
(34)
где штрих обозначает производную по z. Отметим, что такая же система получается
при описании течения жидкого металла между двумя бесконечными пластинами в
вертикальном магнитном поле (гартмановское течение). Отличие заключается
лишь в физическом смысле функций u и h: для гартмановского течения они являются компонентами скорости и индуцированного магнитного поля соответственно,
а для кольцевого канала — угловым моментом (u = rv) и «моментом» тороидаль7
ного магнитного поля (h = rb). Граничные (24)—(28) и начальные (29)—(32) условия для системы (33)—(34) преобразуются к виду
u z 1  0; u   0  0;
(cz h  h) z 1  1; h  0 
(35)
z

1  cz
(36)
Случай Ha 1. При больших числах Гартмана решение системы (33)—(34),
удовлетворяющее условиям (35), (36), удобно искать в виде
u( z )  u ( z * )  u( z*, * );
(37)
h( z )  h ( z  )  h( z   )
(38)
*
*
*
где z* = Haz, * = Ha.
Кроме того, считаем, что все функции в (37), (38) имеют вид разложения по степеням обратного числа Гартмана
1
1
f1  2 f 2  …
Ha
Ha
Тогда в старшем порядке по Ha получаем:
f  f0 
Ha 2: 0 = u0 z z  h0 z ;
0 = h0 z z  u0 z .
Эти уравнения легко интегрируются и дают
u0 ( z* )  a0 (* ) ch z* ;
h0 ( z* )  a0 (* ) sh z* 
где приняты во внимание четность u0 и нечетность h0 по z*. В следующем порядке
по Ha имеем систему:
(39)
Ha1: u0  h0 z ;
0  u0 z ;
(40)
u0   u1z z  h1z ;
(41)
0  h1z z  u1z .
(42)
Из уравнений (39), (40) сразу следует:
u ( z * )  b0 (* );
h ( z * )  b0 (* ) z.
Уравнения (41), (42) позволяют найти поправки первого порядка u1 и h1 . Вообще говоря, данную процедуру можно продолжать, получая поправки более высоких порядков, однако мы ограничимся нулевым приближением. Тогда с точностью
до O(1/Ha) решение принимает вид
u( z )  b0 (* )  a0 (* ) ch z* ;
h( z )  b0 (* ) z  a0 (* ) sh z* 
8
Условия (35) и (36) дают систему:
0  b0 (* )  a0 (* ) ch Ha;
1  cz [b0 (* )  a0 (* )Ha ch Ha]  b0 (* )  a0 (* ) sh Ha
которая сводится к простому уравнению на a0(*):
a0 (* )(1  cz ) ch Ha  a0 (* )[cz Ha ch Ha  sh Ha]  1
Его решением, удовлетворяющим начальному условию a0(0) = 0, будет
a0 (* ) 
1  exp(k * )

cz Ha ch Ha  sh Ha
где
k
cz Ha  th Ha

1  cz
Таким образом, при больших числах Гартмана приближенное решение системы
(33)—(36) есть
u( z ) 
h( z ) 
ch Ha  ch Ha z
[1  exp(k Ha)];
cz Ha ch Ha  sh Ha
z
sh Ha z
exp(k Ha ) 
[1  exp(k Ha )]
1  cz
cz Ha ch Ha  sh Ha
(43)
Случай Ha 1. При малых числах Гартмана решение системы (33), (34) с
условиями (35), (36) будем искать в виде разложения по степеням Ha:
u( z )  Ha u1 ( z )  Ha 2 u2 ( z )  …;
h( z )  h0 ( z )  Ha u1 ( z )  Ha 2 u2 ( z )  …
Тогда в низшем порядке по Ha имеем
Ha1 u1  u1  h0 ;
(44)
Ha 0: 0  h0.
(45)
Уравнение (45) с учетом условий (38) дает
h0 ( z ) 
z

1  cz
Функцию u1 для удобства представим в виде, автоматически удовлетворяющем
граничному условию
u1 ( z ) 

1  z2
  an ()cos kn z
2(1  cz ) n 0
(46)
где
1

kn   n   
2

В этом случае из уравнения (44) следует
9
an ()  An exp(kn2 )
Константы An должны определяться из начального условия:
0

1  z2
  An cos kn z
2(1  cz ) n 0
что приводит к
An  
2(1) n

(1  cz )kn3
Заметим, что функции an() при фиксированном   0 очень быстро убывают с
ростом n. Это означает, что определяющую роль в сумме (46) играет член с n = 0.
Таким образом, приближенное решение задачи (33)—(36) при Ha 1 можно
представить в виде
u ( z, ) 



(1)n exp(kn2 )
Ha 
2
1

z

4
cos kn z  


3
2(1  cz ) 
kn
n 0

Ha 
32
2
z 
2
1

z

exp(

)cos  ;

3
2(1  cz ) 

4
2
h( z ) 
z
.
1  cz
4. РЕЗУЛЬТАТЫ
Приведем результаты численных расчетов для параметров проектируемой
установки по экспериментальному исследованию магниторотационной неусто йчивости. Установка представляет собой тороидальную камеру прямоугольного
сечения с внутренним радиусом R1 = 3 см, внешним радиусом R2 = 15 см и высотой 2L = 6 см, заполненную жидким натрием. Стенки камеры сделаны из нержавеющей стали, их толщина d = 2 мм. Камера помещена во внешнее магнитное
поле B0 = 0,3 Tл, через нее пропускается ток 1 кА. Данные величины выбраны
таким образом, чтобы удовлетворять критериям генерации МРН. Значения расчетных параметров следующие:
r1  1; r2  5;   0,067; Ha  1100; Re  1,4 106 ; Rem  12,3
Характерная тороидальная скорость при этом
V0 
M0
 3,3 103 см/с
L
Физические свойства жидкого натрия:
Плотность , г/см3 …
Кинематическая вязкость ν, см2/с …
Коэффициент диффузии магнитного поля  = c2/4π, см2/с …
Число Прандтля Pr = ν/
10
0,92
7,1∙10–3
810
8,8∙10–6
Также примем во внимание, что отношение проводимости натрия к проводимости стенки /w = 8,1. Тогда пристеночное отношение есть
cz  0,00824
Единицей времени в нашем случае будет
T
L2
 1270 c

Для численного решения нелинейной системы (15)—(18) с условиями (24)—
(28) использовалась итерационная схема Гаусса—Зейделя, подробно описанная в
работе [7]. Данная схема была модифицирована для расчета динамики и дополнена
начальными условиями на искомые функции.
На рис. 3, 4 показаны картины установления стационарных профилей функций
u, h в сечении r = 3. Из них видно, что время разгона жидкого натрия для рассматриваемой установки составляет st < 10–3∙T  1,27 с. Согласно решению (43) это
время быстро уменьшается с ростом Ha:
st 
(47)
1.
0,1
1
0,08
0,5
h(z, )
u(z, )
если cz Ha
1

cz Ha 2
0,06
0,04
0
–0,5
0,02
0
1
1
0,5
0
z
–0,5
0,8
–1
0
0,2
0,4
0,5
1
0,6
103
0
z
Рис. 3. Динамика профиля u в сечении r = 3
–0,5
–1 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
103
Рис. 4. Динамика профиля h в сечении r = 3
u()
0,1
Сравнение расчетов и аналитиче0,09
ского решения (43) в случае Ha = 1100
0,08
представлено на рис. 5. Отметим, что
0,07
расхождение в динамике связано лишь
0,06
с тем, что в аналитическом решении
0,05
мы положили Pr = 0. Это подтвержда0,04
0,03
ют дополнительные расчеты, прове0,02
денные для гартмановского течения
0,01
(прямого канала): при Pr = 0 они пол0
ностью совпадают с пунктиром (ана0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
103
литическим решением), а при Pr0 —
Рис. 5. Динамика функции u в точке r = 3, z = 0
со сплошной линией (расчетом для
кольцевого канала (——) и аналитическое решекольцевого канала).
ние (43) при z = 0 (------)
11
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
1
1
0,5
h(r, z)
u(r, z)
Вид функций u(r, z) и h(r, z) в полностью развившемся режиме показан на рис. 6
и 7 соответственно. Более детальные графики на рис. 8 и 9 дают представление о
поведении этих функций в гартмановских слоях при z = 1. Кроме того, на рис. 10
показано поведение углового момента u(r, z) в сечении z = 0.
0
–0,5
–1
1
0,5
0
z –0,5
3
4
5
0,5
0
–0,5
3
4
5
0,1
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0
h(r, z)
u(r, z)
z
2
2
–1 1
r
–1 1
r
Рис. 6. Вид функции u(r, z) в стационаре. Кольце- Рис. 7. Вид функции h (r, z) в стационаре. Кольцевой канал
вой канал
0,993
0,01
0
0,995 0,997 0,999
0,991 0,993 0,995 0,997 0,999
r
z
Рис. 8. Сечение функции u(r, z) при r = 3 в стаци- Рис. 9. Сечение функции h(r, z) при r = 3 в стационаре. Кольцевой канал
онаре. Кольцевой канал
0,16
Отметим, что конечная проводи0,14
0,991
0,1
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
мость верхней и нижней стенок канала
оказывает существенное влияние на ста0,1
ционарные распределения тока в канале
и скорости натрия. Как показано в при0,08
ложении, значение функции h(r, z) дает
0,06
долю полного радиального тока, проте0,04
кающего через сечение r = const между
0,02
уровнями z и –z. На рис. 9 видно, что при
0
1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 r = 3 и z = 1 получается h = 0,098, т.е. по
r
Рис. 10. Сечение функции u(r, z) при z = 0 в стаци- натрию в центральной области канала
онаре. Кольцевой канал
протекает 9,8% от полного тока, а
остальная часть течет по стенке. Это
обстоятельство легко объяснить качественно. Система натрий + стенка эквивалентна параллельно соединенным проводникам с сопротивлениями RNaHa/(NaL) и
Rw1/(wd) соответственно (здесь учтено, что практически весь ток в натрии течет в
u(r, z)
0,12
12
гартмановских слоях толщиной L/Ha). Доля тока, текущего по натрию, определяется соотношением
1
I Na
1  1
1 
1


 0,1,

 
I 0 RNa  RNa Rw 
1  cz Ha
(48)
где cz — введенное пристеночное отношение. Именно этот ток идет на поддержание
течения натрия, поэтому значение углового момента в центральной части канала
также составляет 9,8% от максимального, определяемого выражением (55).
Таким образом, конечная проводимость стенок приводит к существенному снижению тока, текущего по натрию, и, собственно, максимально достижимой скорости
вращения (на порядок!), что необходимо учитывать при постановке эксперимента.
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе представлен аналитический и численный анализ стадии разгона жидкого металла в кольцевом
канале под действием пропускаемого электрического тока.
Рассмотренная схема канала является моделью проектируемой экспериментальной установки по изучению МРН. Особое внимание уделено получению граничных условий на
магнитное поле, учитывающих конечную толщину и проводимость стенок канала.
Полученное в работе приближенное решение (43) довольно точно отражает динамику разгона в практически Иван Викторович Хальзов, инженер, магистр
важном случае больших чисел Гартмана Ha 1, что под- прикладных математики
тверждается прямыми численными расчетами (см. рис. 5). и физики
Из этого приближения следует, что время установления стационара сильно зависит от пристеночного отношения cz и величины Ha (47). Стационарные величины тока, протекающего через натрий, и тороидальной скорости
(или углового момента) также определяются этими параметрами (48). Отметим, что
для реализации условий эксперимента необходимо стремиться уменьшить проводимость верхней и нижней стенок канала, сделав их в идеале изолирующими.
Дополнительные расчеты показывают, что в граничном условии для функции h
(25) при z = 1 поправка первого порядка по  очень существенна, так как именно
она определяет долю тока, текущего по стенкам канала. В остальных граничных
условиях этими поправками можно пренебречь, что значительно упрощает задачу и
сокращает расчетное время.
Автор выражает свою благодарность В.И. Ильгисонису за постановку данной
задачи, В.П. Лахину за помощь при выводе граничных условий и А.И. Смолякову
за плодотворные обсуждения.
Работа поддержана фондом «Научный потенциал», грант № 41, и фондом
«Global partnership» Университета Саскатчевана, Канада.
13
ПРИЛОЖЕНИЕ
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ НА МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
При выводе граничных условий будем считать, что магнитное поле в стенках
канала осесимметрично и имеет вид, аналогичный (14):
Rem
( w)
(g ( w) (r z )    h( w) (r z ))
b  ez 
Ha
тогда его динамика задается уравнениями
Pr h ( w) 
 * ( w)
h ;
w
(49)
Pr g ( w ) 
 * ( w)
g 
w
(50)
Также для определенности будем считать, что аксиальная компонента поля
снаружи канала не меняется и в каждый момент времени равна B0.
Геометрия задачи предполагает симметрию относительно плоскости z = 0. Это
означает, что искомые функции u, h, w и g либо симметричны, либо антисимметричны относительно z = 0. В дальнейшем считаем, что u и g — четные функции z, а
h и w — нечетные.
Верхняя и нижняя стенки. Для верхней стенки канала при z = 1 условия (21)
и (22) переписываются в виде
h z 1  h
( w)
z 1 ;
g z 1  g ( w) z 1 ;
hz z 1 hz( w) z 1

;

w
(51)
* g z 1 * g ( w) z 1



w
(52)
На границе стенки с изолятором при z = 1 +  (где  = d/L) нормальный ток
должен обращаться в ноль, что дает
hr( w) z 1  0
Так как аксиальное поле за стенкой постоянно, то справедливо
gr( w) z 1  0
Интегрируя последние два уравнения по r, получим
h( w) z 1  C1;
g
( w)
(53)
z 1  C2 
где C1 и C2 — некоторые константы.
Заметим, что потоковая функция g определена с точностью до аддитивной постоянной, поэтому можно положить C2 = 0. Константа C1 связана с пропускаемым
через канал полным током I0. Действительно, полный радиальный ток при фиксированном r есть
14
1
 I 0  2rL2

J r dz  
1
crLB0 Re m
2Ha
1
hz
dz 
r
1

cLB0 Rem
cLB0 Rem
(54)

(h z 1 h z 1 )  
C1
2Ha
Ha
где учтена нечетность h.
Отсюда видно, что удобным выбором является C1 = 1, тогда функция h(r, z)
будет характеризовать долю полного радиального тока, протекающего через сечение r = const между уровнями z и –z. При этом из (54) можно найти характерную
величину углового момента
M0 
I0
4 

(55)
что согласуется с оценкой Брагинского [9].
Заметим, что уравнения (52) с учетом динамики функций g (17) и g(w) (50) дают
простые следствия:
g z 1  g ( w) z 1; g z z 1  g z( w) z 1 
Таким образом, система (51), (52), дополненная условиями (53), принимает вид
hz z 1 hz( w) z 1

; h( w) z 1  1;

w
h z 1  h( w) z 1 ;
g z 1  g ( w) z 1; g z z 1  g z( w) z 1; g ( w) z 1  0
Представим функции h
(w)
иg
(w)
(57)
в виде разложения в ряд Тейлора вблизи z = 1:
1
h( w)  h0 (r )  h1 (r )( z  1)  h2 (r )( z  1)2  …;
2
1
g ( w)  g0 (r )  g1 (r )( z  1)  g2 (r )( z  1)2  …
2
Подстановка (58), (59) в (56), (57) дает:
h z 1  h0 ;
(56)
(58)
(59)
hz z 1 h1
1

; h0  h1  h2  2  o( 2 )  1;

w
2
1
g z 1  g0 ; g z z 1  g1 ; g0  g1  g2 2  o(2 )  0
2
откуда, пренебрегая членами порядка o(), получим
w
h )   1;
 z z 1
( g  g z ) z 1  0.
(h  
Отметим, что учет членов более высокого порядка по  требует решения динамических уравнений (49) и (50). Принимая во внимание нечетность h и четность g
по z, для верхней и нижней стенок окончательно имеем
15
w
h )   1;
 z z 1
( g  g z ) z 1  0.
( h  
Боковые стенки. Для боковой стенки канала при r = r1 условия (21) и (22) дают
hr r  r1 hr( w) r  r1

;

w
h r  r1  h ( w) r  r1 ;
g r  r1  g
( w)
* g r  r1 * g ( w) r  r1
r  r1 ;



w
Кроме того, мы имеем условие
hr( w) r  r1   0
означающее отсутствие тангенциальной компоненты тока на поверхности идеального проводника, и
g r( w ) r  r1   0
— условие постоянства аксиального поля снаружи канала. Используя уравнения динамики функций g (17) и g(w) (50), систему граничных условий при r = r1 запишем как
h r r1  h( w) r r1 ;
g r  r1  g ( w) r  r1 ;
hr r r1


hr( w) r r1 
w
; hr( w) r r1   0;
g r r  r1  g r( w) r  r1 ;
g r( w) r  r1   0
(60)
(61)
Разложение функций h(w) и g(w) в ряд Тейлора вблизи r = r1 представим в виде
1
h( w)  h0 ( z )  h1 ( z )(r 2  r12 )  h2 ( z )(r 2  r12 )2  …;
2
1
g ( w)  g0 ( z )  g1 ( z )(r 2  r12 )  g2 ( z )(r 2  r12 )2  …
2
что при подстановке в (60), (61) дает
h r  r1  h0 ;
g r r1  g0 ;
(62)
(63)
hr r  r1 2r1h1

; h1  2r1h2   o()  0;

w
gr r r1  2r1 g1 ;
g1  2r1 g 2  o()  0
Отсюда видно, что для определения граничных условий с точностью до o()
необходимо знать функции h2 и g2. Эти функции можно получить из уравнений динамики (49), (50). Подставляя в них разложения (62), (63), имеем при r = r1
откуда
16
Pr h0 

(h‫ ״‬ 4r12 h2 );
 w 0 zz
Pr g 0 

( g ‫ ״‬ 4r12 g 2 )
 w 0 zz
h2 
1  Pr w

h  h‫; ״‬
4r12   0 0 zz 
g2 
1  Pr w

g0  g0‫״‬zz  

2
4r1  

Таким образом, с точностью до o() граничные условия при r = r1 принимают вид



 0;
 hr   hzz  Pr h 
w

 r  r1
w 

 0,
 g r  g zz  Pr  g 

 r  r1
аналогично при r = r2



 0;
 hr    hzz  Pr h 
w

 r  r2
w 

 0.
 g r  g zz  Pr  g 

 r  r2
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Велихов Е.П. Устойчивость идеально проводящей жидкости, текущей между вращающимися в
магнитном поле цилиндрами. — ЖЭТФ, 1959, т. 36, № 5, с. 1398—1404.
2. Balbus S.A., Hawley J.F. A powerful local shear instability in weakly magnetized disks. I. Linear analysis. — Astrophys. J., 1991, vol. 376, № 1, p. 214—222.
3. Noguchi K., Pariev V.I., Colgate S.A., Beckley H.F, Nordhaus J. Magnetorotational instability in liquid metal Couette flow. — Astrophys. J., 2002, vol. 575, № 1, p. 1151—1162.
4. Ji H., Goodman J., Kageyama A. Magnetorotational instability in a rotating liquid metal annulus. —
Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 2001, vol. 325, p. L1—L5.
5. Sisan D.R., Mujica N., Tillotson W.A., Huang Y.-M., Dorland W., Hassam A.B., Antonsen T.M.,
Lathrop D.P. Experimental observation and characterization of the magnetorotational instability. —
Electronic preprint, http://arxiv.org/pdf/physics/0402125, 2004.
6. Noguchi K., Pariev V.I. Magnetorotational instability in a Couette flow of plasma. — Electronic preprint, http://arxiv.org/pdf/astro-ph/0309340, 2003.
7. Хальзов И.В., Смоляков А.И. К расчету стационарных магнитогидродинамических течений
жидких металлов в кольцевых каналах прямоугольного сечения. — ЖТФ, 2006, т. 76, № 1, с. 28—
35.
8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Учебное пособие. В 10 т. Т. VI. Гидродинамика. — М.: Наука, 1986. 736 с.
9. Брагинский С.И. К магнитной гидродинамике слабо проводящих жидкостей. — ЖЭТФ, 1959,
т. 37, № 5(11), с. 1417—1430.
Статья поступила в редакцию 10 ноября 2005 г.
Вопросы атомной науки и техники.
Сер. Термоядерный синтез, вып. 1, с. 3—17.
17