Тройка по определению 31 правая. Если тройка тоже

28
15. Доказать, что сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме
квадратов длин его диагоналей и учетверенного квадрата расстояния между
серединами этих диагоналей (теорема Эйлера).
§8. Векторное и смешанное произведение векторов
8.1. Векторное произведение векторов
Пусть V3 – векторное пространство правой ориентации, возьмем произвольные
векторы a , b  V3 .
Определение 31. Векторным произведением векторов a и b называется вектор
c  V , удовлетворяющий условиям:

1) | c || a |  | b |  sin a , b ;
2) c a , c b ;
3) если a || b , то упорядоченная тройка (a , b , c ) правая. Если хоть один из векторов
a , b нулевой, считаем векторное произведение a и b равным нуль-вектору.
Обозначение: c  [a , b ] .
Изучим свойства векторного произведения. Для произвольных векторов
a , b , c векторного пространства V3 справедливы следующие свойства.

Свойство 1. [a , b ]  0  a || b .
Доказательство следует из определения 31 и коллинеарности 0 любому вектору.
Свойство 2. [a , b ]  [b , a ] .
Доказательство.
Обозначим [a , b ]  c1 и [b , a ]  c2 . Тогда по определению 31 имеем
1) | c1 || c2 | ; 2) c1a , c1b и c 2 a , c 2 b . Из 1) и 2) следует, что c1  c 2 или
c1  c 2 . По условию 3) определения 31 [a , b ]  c1 и [b , a ]  c1 , но [b , a ]  c 2 . Из
последних двух равенств имеем c 2  c1 или [a , b ]  [b , a ] . 
Свойство 3.   ,   R
 a  b , c   a , c  b , c .
Доказательство этого свойства проведено в [3, с. 46, 47].
29
Геометрический смысл модуля векторного произведения векторов описывает
следующее свойство.
Свойство 4. Модуль векторного произведения ненулевых векторов численно
равен площади параллелограмма, построенного на его сомножителях, отложенных от
одной точки.
Доказательство
этого
свойства
непосредственно
следует
из
условия
1) определения 31.
Свойство 5. Если a (a1 , a 2 , a 3 ) B , b (b1 , b2 , b3 ) B , где B  (i , j , k )  V3 , то
a
[a , b ]  2
 a3
b2 b1
,
b3 b3
Доказательство.
a1 a1
,
a3 a 2
По
b1
b2

 .

B
определению
координат
векторов
в
базисе
В
имеем:
a  a1  i  a 2  j  a3  k , b  b1  i  b2  j  b3  k . Подсчитаем
[a , b ]  [a1  i  a2  j  a3  k , b1  i  b2  j  b3  k ]  [a1  i , b1  i ]  [a1  i , b2  j ] 
[a1  i , b3  k ]  [a2  j , b1  i ]  [a2  j , b2  j ]  [a2  j , b3  k ]  [a3  k , b1  i ]  [a3  k , b2  j ] 
 [a3  k , b3  k ].
Используя уже доказанные свойства векторного произведения векторов, перепишем
последнее
равенство
так:
[a , b ]  (a1 b2  a2b1 )[i , j ]  (a1 b3  a3b1 )[i , k ] 
 (a2 b3  a3b2 )[ j , k ] = (a1 b2  a 2 b1 )k  (a1 b3  a 3 b1 ) j  (a 2 b3  a 3 b2 ) i =
=
a2
a3
b2
b
i  1
b3
b3
a1
a
j 1
a3
a2
b1
b2
k . 
8.2. Смешанное произведение векторов
Определение 32. Число a  [b , c ] называется смешанным произведением
векторов a , b , c V3.
Обозначение: a  [b , c ]  a  b  c .
Рассмотрим свойства смешанного произведения. Для произвольных векторов
a , b , c , d векторного пространство V3 справедливы следующие свойства.
30
Свойство 1. a  b  c  0  a , b , c – компланарны.
Доказательство. Необходимость. a  b  c  a  [b , c ]  0 , значит a [b , c ]; но
b [b , c ] и c [b , c ] по условию 2 определения 31. Следовательно, векторы a , b и c
– компланарны, поскольку эти три вектора из V3 перпендикулярны четвертому вектору
в трехмерном пространстве.

Достаточность. Если a  0 или b || c , то доказательство справедливости утверждения
очевидно.

Пусть a  0 и b || c . По условию a , b , c
– компланарны, тогда a [b , c ] ,
следовательно, a  [b , c ]  0 или a  b  c  0 . 
Свойство 2. Если в базисе B  (i , j , k ) векторы a (a1 , a 2 , a3 ) B , b (b1 , b2 , b3 ) B ,
с (с1 , с 2 , с3 ) B , то
a1
a  b  c  a2
b1
b2
c1
c2 .
a3
b3
c3
Доказательство. Зная координаты векторов a и [b , c ] в базисе В, подсчитаем
скалярное произведение этих векторов:
a  [b , c ]  a1 
b2
b3
c2
c
 a2  1
c3
c3
a1
или a  b  c  a 2
b1
b2
c1
c2 . 
a3
b3
c3
b1
a
 a3  1
b3
a2
b1
b2
Следствие: a  b  c  a  [b , c ]  [a , b ]  c .
Свойство 3. ( ,   R) ( a   b )  c  d  (a  c  d )   (b  c  d ) .
Доказательство. Зная координаты векторов a , b , c , d в базисе B  (i , j , k ) ,
подсчитаем,
используя
свойства
определителей
третьего
порядка,
31
a1  b1
( a   b )  c  d  a 2  b2
a3  b3
c1
c2
c3
a1
d1
d 2   a2
a3
d3
с1
d1
b1
d 2   b2
d3
b3
с2
с3
с1
с2
d1
d 2   (a  c  d ) 
с3
d3
  (b  c  d ) . 
Линейность смешанного произведения векторов по второму и третьему
аргументу формулируется и доказывается аналогично свойству 3.
Свойство 4. Если векторы a , b , c некомпланарны, то абсолютная величина их
смешанного произведения численно равна объему параллелепипеда, построенного на
векторах сомножителей.
Доказательство. Обозначим объем параллелепипеда, построенного на векторах
a , b , c , через V. Пусть основание параллелепипеда – параллелограмм, построенный на
векторах a и b . Тогда площадь S основания параллелепипеда равна S= | [a , b ] | .
Тройка (a , b , [a , b ])
[a , b ]
по определению 31
правая. Если тройка (a , b , c )
тоже правая, то

c
cos c , [a , b ] >0,
h
в
этом
случае
высота
h

b
a
[a , b ]
параллелепипеда равна h=| c | cos c , [a , b ] .

V  S  h  | [a , b ] | | c | cos c , [a , b ]
или
V= [a , b ]  c  (a , b , c ).
b

Если тройка (a , b , c )
левая, то cos c , [a , b ] <0,

a
c
тогда
h=| c |(– cos c , [a , b ] ),
параллелепипеда:
а

V  S  h  | [a , b ] | | c |(– cos c , [a , b ] )
или
V=  (a , b , c ).
объем
32
Итак, учитывая обе возможности, имеем:
V= | (a , b , c ) | . 
Замечание. Знак смешанного произведения некомпланарных векторов a , b , c
показывает на то, одинаково ориентированы (знак – плюс) или противоположно (знак –
минус) тройка a , b , [a , b ] с данной тройкой a , b , c векторов.
Упражнения
1. Векторы
2)
e1 , e 2 , e3
образуют:
ортонормированный
левый
1)
базис.
ортонормированный
Выразить
правый
векторные
базис;
произведения
[e1 , e2 ], [ e2 , e3 ], [ e3 , e1 ] через векторы e1 , e 2 , e3 .
2. Упростить произведения [a , b ]; [ b , c ], [ c , a ], зная, что a , b , c
взаимно
перпендикулярные векторы, образующие правую тройку.
3. Из одной точки отложены четыре вектора a , b , c , d . Вектор d имеет длину 1 и
образует с некомпланарными векторами a , b , c :
1) равные острые углы;
2) равные тупые углы.
Выразить вектор d через векторы a , b и c .
4. Векторы a , b , c и d связаны соотношениями [a , b ]  [ c , d ], [ a , c ]  [ b , d ] .
Доказать коллинеарность векторов a  d , b  c .
5. При каком значении коэффициента  векторы p   a  5b и q  3a  b окажутся
коллинеарными, если a и b неколлинеарны?
6. Даны векторы a (3;  1;  2), b (1; 2;  1), c (1; 2; 3) в ортонормированном базисе.
Найти координаты следующих векторов в этом базисе:
1) [(2a  b ), b ]; 2) [( 2a  b ), (2 a  b )]; 3) [[a , b ], c ]; 4) [a , [b , c ].
7. Доказать, что [a , b ]  [ b , c ]  [ c , a ] , если a , b , c произвольные векторы,

удовлетворяющие условию a  b  c  0 .

a b c  d  0 ,
8. Дано
Покажите,
что
x a b ,
y b c .
[ x , y ]  [ a , b ] [ c , d ] .
33
9. Вычислите
площадь
параллелограмма,
построенного

AB  m  2n, AD  m  3n, где | m | 5, | n | 3, m, n 

6
на
векторах
.
10. Даны вершины треугольника А(1; -1; 2), B(5; -6; 2), C(1; 3; -1). Вычислить длину его
высоты, опущенной из вершины В на сторону АС. Система координат
прямоугольная декартова.
11. Найдите вектор x , зная, что он ортогонален векторам a (2; 3;  1), b (1;  1; 3) и
удовлетворяет уравнению x (2i  3 j  4k )  50 .
12. В базисе B  (i , j , k ) найти координаты вектора x , если x перпендикулярен
векторам a (2; 3;  1) и b (1;  1; 3) , образует с вектором i тупой угол и | x | 138 .
13. Компланарны ли векторы m  2 p  3 q , n  3q  5 r , l  2 p  5 r , если p , q , r
некомпланарны?
14. Вектор c перпендикулярен к векторам a и b , угол между которыми равен 300.
Зная, что | a | 6, | b | 3, | c | 3 , вычислить (a , b , c ) .
15. Доказать, что | a b c || a | | b | | c | ; в каком случае здесь может иметь место знак
равенства?
16. Доказать тождество (a  b )(b  c )(c  a )  2(a b c ) .
17. Доказать,
что
векторы
a, b, c ,
удовлетворяющие
условию
[a b ]  [b c ]  [c a ]  0 , компланарны.
18. Даны неколлинеарные векторы a , b и скаляр р.
1) Найти вектор x , удовлетворяющий уравнению x a b  p .
2) Объяснить геометрический смысл всех решений уравнения x a b  p , а также
его частного решения, ортогонального к векторам a , b .
19. Вычислить

объем

пирамиды
OABC,
если
|OA|=a,
|OB|=b,
|OC|=c,

AOB   , BOC   , AOC   . Рассмотреть случаи 1)      ; 2)      
3) OABC – правильный тетраэдр. Система координат прямоугольная декартова.

2
;
34
Приложение векторной алгебры к решению задач
школьного курса геометрии
1. Доказать, что высоты правильного треугольника пересекаются в одной точке.
2. Найти сумму квадратов медиан треугольника, если известны его стороны a, b, c.
3. Доказать, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную
сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
4. Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.
5. Доказать, что диагональ АС параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 проходит через точки
пересечения медиан треугольников A1BD и CB1D1 и делится этими точками на три
равных отрезка.
6. Доказать теорему синусов: для любого треугольника АВС имеет место равенство
sin Aˆ sin Bˆ sin Cˆ


.
BC
CA
AB
7. Доказать теорему косинусов: для любого треугольника АВС имеет место равенство
c 2  a 2  b 2  2ab cos Cˆ ,
где
a | AB |, b | CA |, c | AB | .
Пользуясь
теоремой
косинусов, докажите теорему Пифагора.
8. Доказать, что точка Q – центр тяжести треугольника АВС тогда и только тогда,
когда QA  QB  QC  0 . Доказать, что OQ 


1
OA  OB  OC , где О – произвольная
3
точка пространства.
9. Доказать, что прямая, соединяющая середины оснований трапеции, проходит через
точку пересечения продолжения боковых сторон и через точку пересечения
диагоналей.
10. Доказать, что медианы треугольника, пересекаясь, делятся в отношении 2:1, считая
от вершины.
11. Доказать,
что
для
всякого
треугольника
АВС
выполняется
неравенство
3
cos 2 Aˆ  cos 2 Bˆ  cos 2Cˆ   .
2
12. В треугольнике АВС вычислить длину медианы та, зная угол Â и две стороны: АВ=с
и АС=b.
13. Даны три попарно перпендикулярных луча ОА, ОВ, ОС с общим началом. Найти
угол между биссектрисами углов АОВ и ВОС.
35
14. Доказать, что если в тетраэдре две пары противолежащих ребер взаимно
перпендикулярны, то и третья пара ребер взаимно перпендикулярна.
Основная литература
1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч. I.–М.: Просвещение, 1986. 336с.
2. Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия. Ч.I.–М.: Просвещение,
1974. 351с.
3. Вернер А.М., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. Ч.I.–СПб.: Специальная
литература, 1997. 352 с.
4. Глуздов В.А. Векторные пространства: Методические указания.–Горький: ГГПИ
им. М. Горького, 1986. 46 с.
5. Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. Ч. I.–М.: Просвещение,
1973. 256 с.
6. Базылев В.Т., Дуничев К.И. и др. Сборник задач по геометрии.–М.: Просвещение,
1980. 238 с.
7. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии.–М.:Наука,
1964. 336 с.
Дополнительная литература
8. Атанасян Л.С. Геометрия. Ч. I.–М.: Просвещение, 1973. 480 с.
9. Бахвалов С.В., Бабушкин Л.И., Иваницкая В.П. Аналитическая геометрия.–М.:
Просвещение, 1970. 376 с.
10. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии.–М.: Наука, 1969. 254 с.
11. Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии.–
М.:Наука, 1976. 384 с.