К О Н С Т Р У К Т И В Ч И К И

КОНСТРУКТИВЧИКИ
1. У Маши есть калькулятор, который позволяет умножать число на 3, прибавлять к числу 3 или (если
число делится на 3 нацело) делить на 3. Как на этом калькуляторе получить из числа 1 число 11?
2. Квадрат 8x8 раскрашен в два цвета. Можно любой прямоугольник 1x3 перекрашивать в
преобладающий в нем цвет. Докажите, что такими операциями можно сделать весь квадрат
одноцветным.
3. Каждую из трех котлет нужно пожарить на сковороде с двух сторон в течение пяти минут каждую
сторону. На сковороде умещается только две котлеты. Как сжарить все три котлеты быстрее, чем за
20 минут (временем на переворачивание и перекладывание котлет пренебрегаем)?
4. Крестьянину надо перевезти через речку волка, козу и капусту. Лодка вмещает одного человека, а с
ним либо волка, либо козу, либо капусту. Если без присмотра оставить козу и волка, волк съест
козу. Если без присмотра оставить капусту и козу, коза съест капусту. Как крестьянину перевезти
свой груз через речку?
5. Таня стоит на берегу речки. У неё есть два глиняных кувшина: один — на 5 литров, а про второй
Таня помнит лишь то, что он вмещает то ли 3, то ли 4 литра. Помогите Тане определить ёмкость
второго кувшина. (Заглядывая в кувшин, нельзя понять, сколько в нём воды.)
6. Собрался Иван-царевич на бой со Змеем Горынычем, трехглавым и треххвостым. "Вот тебе мечкладенец, — сказала царевичу Баба Яга. — Одним ударом ты можешь срубить Змею либо одну
голову, либо две головы, либо один хвост, либо два хвоста. Запомни: срубишь голову — новая
вырастет; срубишь хвост — два новых вырастут; срубишь два хвоста — голова вырастет; срубишь
две головы — ничего не вырастет". За сколько ударов Иван-царевич может срубить Змею
Горынычу все головы и все хвосты?
7. Первоначально на каждом поле доски 1xN стоит шашка. Первым ходом разрешается переставить
любую шашку на соседнюю клетку (одну из двух, если шашка не с краю), так что образуется
столбик из двух шашек. Далее очередным ходом каждый столбик можно передвинуть в любую
сторону на столько клеток, сколько в нём шашек (в пределах доски); если столбик попал на
непустую клетку, он ставится на стоящий там столбик и объединяется с ним. Докажите, что за N-1
ход можно собрать все шашки на одной клетке.
8. У одного человека был подвал, освещавшийся тремя электрическими лампочками. Выключатели
этих лампочек находились вне подвала, так что включив любой из выключателей, хозяин должен
был спуститься в подвал, чтобы увидеть, какая именно лампочка зажглась. Однажды он придумал
способ, как определить для каждого выключателя, какую именно лампочку он включает, сходив в
подвал ровно один раз. Какой это способ? Сколько лампочек и выключателей можно
идентифицировать друг с другом, если разрешается 2 раза спуститься в подвал?
Дополнительные задачи
9. Имеются двое песочных часов — на 7 минут и на 11 минут. Яйцо варится 15 минут. Как отмерить
это время при помощи имеющихся часов?
10. Трое туристов должны перебраться с одного берега реки на другой. В их распоряжении старая
лодка, которая может выдержать нагрузку всего в 100 кг. Вес одного из туристов 45 кг, второго —
50 кг, третьего — 80 кг. Как должны они действовать, чтобы перебраться на другой берег?
11. Путешественник, сняв в гостинице комнату на неделю, предложил хозяину в уплату цепочку из
семи серебряных колец — по кольцу за день, с тем, однако, условием, что будет рассчитываться
ежедневно. Хозяин согласился, оговорив со своей стороны, что можно распилить только одно
кольцо. Как путешественнику удалось расплатиться с хозяином гостиницы?
12. На волшебной яблоне выросли 15 бананов и 20 апельсинов. Одновременно разрешается срывать
один или два плода. Если сорвать один из плодов — вырастет такой же, если сорвать сразу два
одинаковых плода — вырастет апельсин, а если два разных — вырастет банан. В каком порядке
надо срывать плоды, чтобы на яблоне остался ровно один плод? Можете ли вы определить, какой
это будет плод? Можно ли срывать плоды так, чтобы на яблоне ничего не осталось?