Модификация уравнений общей теории

Сведение системы векторных волновых уравнений
к одному скалярному уравнению
Санкт-Петербург, Россия
Е.Г. Якубовский
СЗГЗТУ, e-mail [email protected]
PACS number: 42.25.Fx 42.25.Gy
Решается задача о сведении системы волновых дифференциальных уравнений,
полученных из уравнения Максвелла, к одному комплексному уравнению,
относительно одной пространственной и временной координаты. Оказывается,
что имеется возможность описать трехмерное пространство одной координатой.
При этом решение, зависящее от одной координаты, можно пересчитать в
зависимость от трех координат. Т.е. решение строится вдоль кривой в
трехмерном пространстве. При этом действительная часть решения
соответствует скалярному потенциалу, а мнимая часть соответствует
магнитному потенциалу. Но этой основе решена задача дифракции для многих тел
с возможным изломом.
В сечении x1  const декартовой системы координат определяется угол по
формуле
s1
l1
ds1
ds1
 1 ( s1 , x1 )  2 
/
 ,
| 1 ( s1 , x1 ) | 0 | 1 ( s1 , x1 ) |
0
где s1 длина огибающей линии в сечении x1  const , l1 - длина однократно
замкнутой огибающей в том же сечении, 1 (s1 , x1 ) радиус кривизны в том же
сечении. Причем  1  
соответствует отрицательному направлению 0x3 .
Положительное направление оси 0x3 соответствует направлению на источник
1  0 .
При обходе многих тел, угол определяется в сечении x1  const при полном обходе
встретившегося тела. Каждому телу соответствует свой период на отрезке [ ,  ] ,
т.е. следующее тело имеет продолженный угол на отрезке [ ,3 ] , но в силу
периодичности по углу  1 , можно сказать, что  1 изменяется на отрезке [ ,  ] ,
только каждое из рассматриваемых трех тел имеет свое уравнение поверхности
rl ( 1 , 2 ), l  0,1,2 , где зависимости от углов  k имеет период 2 .
В случае, если имеется излом поверхности, т.е. 1 ( s10 , x1 )  0 , используем
формулу
|   |
1
1
1
 
|

|  ( s1  s10 ) |      |
0
0
| 1 ( s1 , x1 ) |
2
s1  s1  i 0 s1  s1  i 0
.
dx1 0
dx1 0
0
  ( s1 , x1 )  arccos
( s1  i 0, x1 ),    arccos
( s1  i 0, x1 )
ds1
ds1
В этой системе координат поверхность тела с изломом интерполируется в
переменных  k , k  1,2 как имеющая непрерывную производную от координат
поверхности. В самом деле, в изломе приращение угла наклона касательной равно
приращению координаты  k , k  1,2 . Функция координат xl ( 1 , 2 ), l  1.2.3
2
поверхности в точке излома соответствует константе при изменении угла  1 и
аналогично изменению угла  2 . При этом сопряжение с гладкой поверхностью
происходит по бесконечно тонкой ширине гладким образом. Процесс аналогичный
построению основных функций для обобщенных функция в виде «шляпы» с плоской
верхней частью см. [1]. Только в данном случае «поля шляпы» наклонные, а не
плоские, как в случае основных функций. В соседнем сечении происходит такая же
аппроксимация, но с уменьшенной центральной плоской поверхностью. Функцией,
описывающей переходную область, является
x3  {1  exp[ 2 
 2 2
]} ,
(  x) 2
где x3 координата сопряженной точки, x равна разности координат x1  x10 или
x2  x20 , где x 0p , p  1,2 координаты сопряженной точки, причем | x |  . Функция в
фигурной скобке при условии x   равна 1 , причем приближается к этому
значению гладким образом. Производная по аргументу x от этой функции равна
2 2 3
 2 2
2
exp[


]
(  x) 3
(  x) 2
Так как экспонента растет быстрее дроби и производная при условии x   равна
нулю. При значении x  0 образуется наклонная касательная слева от единичной
точки, если имеем знак минус и справа, если использовать знак плюс. Варьируя
значение  , меняем тангенс наклона сопряженной точки. В точке x  0 первая
производная от этой функции по величине x равна 2 2 , и выбирается
совпадающей с тангенсом наклона касательной в точке сопряжения. Величина 
определит ширину и высоту переходной области.
Аналогично строится угол  2 . Центр системы тел и системы координат
определится из формулы
x s0   x s ( k )d 1 d 2 /  d 1 d 2 ,
s
s
где x s координата границы тела.
Зависимость от углов  l , l  1,2 позволяет свести задачу для не звездного тела,
к звездному телу. Кроме того, объединить угловое описание нескольких тел. При
этом  l является функцией декартовых координат и наблюдается взаимно
однозначное соответствие между радиусом границы тел rl ( 1 , 2 ) и декартовыми
координатами.
Обобщенный параметр z( R, 1 , 2 ) определим

z ( R, 1 , 2 )  R {1  ( R  1)  sin( n 1 ) sin( m 2 ) /[( n 2  1)( m 2  1)]}
n , m 1
 
(   0 )(   2 )
(   1 )(   0 )
(   1 )(   2 )
/ r0 ( k ) 
/ r1 ( k ) 
/ r1 ( k )
( 0   1 )( 0   2 )
( 1   0 )( 1   2 )
( 2   1 )( 2   0 )
где имеем соотношение
R

3
r0 ( l )r1 ( k )r2 ( k )
; s 
rs ( l )
3
r0 ( l )r1 ( k )r2 ( k )
, s  0,1,2
где r0 ( l ), r1 ( l ), r2 ( l ) уравнение радиуса поверхности каждого из тел, заданные
относительно центра каждого тела, величина R параметр, изменяющийся от нуля до
3
бесконечности. Тогда если R  rl , получаем что z  R0 , и имеем вместо системы тел
сферу с радиусом R0 . Наибольший расстояние между точками тел, равно R0 .
Значение радиуса, определяющее границу тел R( 1 , 2 ) можно вычислить из
уравнения  [ R( 1 , 2 ), 1 , 2 ]  1/ R( 1 , 2 ) . Где для l тела R( 1 , 2 )  rl ( 1 , 2 ) .
Причем, это соотношение сводится к уравнению третьей степени относительно
R( 1 , 2 ) , с тремя известными корнями, причем других корней оно не имеет. Это
позволяет отделить внутреннее и внешнее пространство границей R( 1 , 2 ) , на
которой z[ R( 1 , 2 ), 1 , 2 ]  R0 . При этом, точка вне тела лежит вне внутренней
области по построению алгоритма.
Радиус вне тела определяются по формуле
R  R  a max , z ( R, k ) ( R, R0 , amax )  R[1   ( R, R0 , a max )]
,
 ( R, l )   0
R  amax , R
( R  R0 ) 2
( R  R0 ) 2
( R  a) 2
где  ( R, R0 , a)  exp[ 
] /{exp[ 
]  exp[ 
]} . Внутри тела
( R  a) 2
( R  a) 2
( R  R0 ) 2
радиус определяется по формуле
a  R  R0 , z ( R, k ) ( R, R0 , a min )  R[1   ( R, R0 , a min )]
,
 ( R, l )   min
R

a
,
R

min
l

При этом имеем

a



2
    

2
max



k , s 0

[ R0 
 max
3

[ x kp ( q )  x sp ( l )] 2 ]2 d q d l /(16 4 ) 
p 1
3

.
[ x kp ( q )  x sp ( l )]
p 1
2
Причем индекс k, s определяет номер тела. Радиус amin определится из равенства

1/ a
2
min




2
    




k , s 0
[1 / R0  1 /
3

p 1
 max 1 /
[ x kp ( q )  x sp ( l )] 2 ] 2 d q d l /(16 4 ) 
.
3

p 1
x kp ( l ) 2
Область R  [amin , amax ] назовем переходной.
Угловая зависимость вне переходной зоны имеет вид
  sin  / 1  cos 2  tan 2
1
1
2
 1
  sin  / 1  cos 2  tan 2
2
2
1
 2
,

2
2
 3  cos 1 / 1  cos  1 tan  2 

 cos 2 / 1  cos 2  2 tan 2 1
При этом, знак третьей угловой зависимости  3 изменяется, при одновременном
переходе cos l , l  1,2 через нуль.
Угловая зависимость вне тела определяется по формуле
R0  R  amax , xl ( R, k ) ( R, R0 , a max ) / R0   l [1   ( R, R0 , amax )]
R  amax ,  l
 l ( R, l )  
4
Угловая зависимость внутри тела, определяется по формуле
a min  R  R0 , xl ( k ) ( R, R0 , a min ) / R0   l [1   ( R, R0 , a min )]
.
R

a
,

min
l

 l ( R, l )  
При этом связь с декартовыми координатами осуществляется по формуле
xl  xls   ( R, k )  l ( R, k ) .
(1)
Причем выполняется  ( R0 , k )  R0 , т.е. радиус тела в данной системе координат
равен константе.
Отметим, что зависимость (1) справедлива, если сферические координаты
R, l (используемые в формуле (1)) берутся относительно каждого из трех
рассматриваемых тел. Декартовы координаты можно по этим формулам связать с
координатами R, l каждого из тел. Выразим все формулы в виде зависимости от
одних декартовых координат. Или выразим две из криволинейных систем координат
R, l , соответствующих двум разным телам, через третью, соответствующую
третьему телу.
Справедливы следующие формулы, следующие из одинакового
преобразования векторов пространства и координат для переходной области
вида
xl   ( q k )  l ( q k )
elpq f p nq  f w
.
dxl
, l , k  1,...,3
dw
(2)
dxl
. Тензор elpq равен
dw
единице, если перестановка индексов четная, и равен нулю, если она нечетная. Если
хотя бы пара индексов равны друг другу, то тензор равен нулю. Где введены
следующие соотношения q1   1 , q2   2 , q3  R / R0 . Вторую формулу выведем
позднее. Для угловой зависимости справедливо
Где единичный вектор n q и вектор f p ортогональны
 l (q k )
3

 s2 (q k )
s 1

dxl / dw
3

s 1
.
(dx s / dw) 2
Решая это уравнение, получим
dxl ( w)
 R0  l [qk ( x p )], l , k , p  1,...,3 .
dw
(3)
3
dxl 2
)  R02   l2 . Решая дифференциальное уравнение
dw
l 1
l 1
(3), получим зависимость xl  xl (w, x 0p ) . Причем уравнение в частных производных
Причем справедливо
3

(
будет определяться относительно величины f w . Отличаться будет только переход к
декартову пространству, который реализуется по формуле (2). При этом производная

w 
w

по величине x k определяется по формуле
. Величина
x k x k w
x k
определяется из системы уравнений
3

k 1
3
w dxk
w

k (x p )  1.
xk dw k 1 xk
5
Откуда определим w( x k ) как решение уравнения в частных производных первого
порядка. Оно сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с
помощью характеристик. Уравнения характеристик будет
dxk
 k (x p ) .
dw
При
этом
начальные
условия
этого
дифференциального
уравнения
x p  g p ( w0 , s1 , s 2 ) . Или запишем их в других обозначениях. Начальные условия для
уравнения (3) будут xl0  l ( k0 ), R0 w0   ,   0 . При этом для сферы получим
R0 w  R . Для произвольного тела получим
имеем
x p  x p (w, k0 ) . Из этого уравнения
dx p w
w
1
 1 . Или имеем
.

dw x p
xk  k ( x p )
Найдем связь между неизвестными векторами решениями f l (w) уравнений в
частных производных и обобщенной координатой w . Будет реализована
зависимость от пространственной переменной w , так как уравнения в частных
производных зависят от одной пространственной переменной w .
dx
elpq f p nq  f w l , l  1,2,3 . (4)
dw
При этом при изменении w вектор f p (w) будет изменяться в соответствии с
dxl ( w) / dw значит, в направлении изменения w , величина f l (w) изменяется, как f w
и уравнение для Лапласиана надо записывать относительно этой переменной. При
этом имеем правильную формулу
3
3
3
dxl ( w)
dx ( w)
dx ( w) 2
  f k2 l
/  ( k
)   f k2 cos l ,
dw
dw
dw
k 1
k 1
k 1
где cos l направление вектора f l (w) в точке x k (w) .
При этом можно подсчитать коэффициент Ламе по формуле
3
3
dx
g w2 ( w)   ( k ) 2  R02   k2 ( w)  R02 h 2 ( w) .
dw
k 1
k 1
Для решения электродинамических задач, вектор электрического тока нужно

заменить скаляром J w (w) и вектор потенциал A заменить скаляром Aw (w) . При
этом, если записать уравнение с потенциалом  , как действительную часть, а
уравнение с потенциалом Aw (w) , как мнимую часть, то получим одно комплексное
волновое уравнение, имеющее вид
1

1 
1  2
(
)

 4qu ( w  w0 ) / R0 h ,
R02 h( w) w h( w) w c 2 t 2
elpq f p ( w)nq  f w ( w)
где     iAw (w) - комплексный потенциал,  - электрический потенциал, Aw (w) скаляр магнитного потенциала, w обобщенная координата. Комплексная скорость
соответствует u  (1  iV / c) / 1  V 2 / c 2 , причем
V  Vw (w) - скаляр скорости
зарядов, c - скорость света, q - заряд двигающейся частицы, w0 - координата
частицы.
w
Вводя новую координату    h(u )du , получим
0
6
V
 2  R02  2 
4e
 2

(1  i ) (   0 ) / 1  V 2 / c 2
2
2
R0
c

c t
где в случае тела c положительным зарядом e , равным по модулю заряду электрона,
при этом введен безразмерный потенциал Re   Re  2 R / e , Im   Im 2R / e .
Напряженность магнитного и электрического поля в случае прозрачной среды с
потенциалами связана соотношением




  A
.
(6)
H  rotA
E


c t
Калибровочное соотношение остается неизменным, т.е. имеем
 1 
div A 
 0.
c t
При этом получим уравнения
 
  2
  2 2  4e (r  r0 )
c t
,
(7)


   2 A
V  
A  2
 4e  (r  r0 )
c
c t 2
При выводе уравнения (7) условия на переменную диэлектрическую и
магнитную проницаемость будут (круглые скобки соответствуют скалярному
произведению, квадратные скобки векторному произведению)

1
( , rotA)  0
[ ,  ]  0 .

Для одномерного случая эти равенства удовлетворяются. Эти условия получаются
при выводе уравнения (7) из уравнений Максвелла в случае переменной
диэлектрической и магнитной проницаемости. Т.е. волновое одномерное уравнение
справедливо при переменной диэлектрической и магнитной проницаемости.
При этом волновое уравнение запишется в виде
 2 R02  2
4q
(8)
 2

u (   0 ) ,
2
2
R0

c t
Так как уравнение (8) записано при произвольном изменении диэлектрической и
магнитной проницаемости, получим из него граничные условия.
Допустим, что решение имеет скачок на границе областей, т.е.   A sgn(    0 ) .
Подставляя в дифференциальное уравнение (8), получим производную дельта
функции, откуда A  0 . Проинтегрируем уравнение (8) по величине  по малой
окрестности точки  0 , возможного скачка диэлектрической и магнитной
проницаемости. Тогда получим условие  /  ( 0  0)   /  ( 0  0) . Значит,
потенциал  и его производная, являются непрерывными на скачках значений
диэлектрической и магнитной проницаемости. При пересчете в трехмерное
пространство появятся четыре компоненты потенциала, и по ним определится
напряженность электромагнитного поля.
Будем
рассматривать
постоянную
диэлектрическую
и
магнитную
проницаемость для всех тел. При этом волновое уравнение запишется в виде
 2 ~~  2
4q
  2  
u (   0 ) .
2
R0


Введено безразмерное время   tc / R0 . Отметим, что решение (8) для внешней
части сферы имеет вид
~ )] ,
( , )  exp[ i(   ~
7
так как для внешнего пространства обычно выполняется условие ~~  1 .
Использования непрерывности потенциала и его производной по координате w ,
позволяет определить коэффициенты волны, отраженной и прошедшей в тело.
Решение для отраженной волны получится в виде
 s ( , ) 


R () exp[ i(   ~s ~s )]d ,

прошедшая волна имеет вид
 i ( , ) 


exp( i ) sin(  ~i ~i )W ()d ,

Падающую волну представим в виде
 0 ( , )  A0


exp( i ) sin(  ~s ~s )d

Граничные условия имеют вид на границе тела и внешней области

 0 ( ,  )   s ( ,  )   i ( ,  )
.
 ~~
~~

  s  s [ 0 ( ,  )  s ( ,  )]   i  i i ( ,  )
(9)
1
Величина  определяется по формуле    h(u )du . Откуда для коэффициента
0
отражения получим формулу
~ ~ tan(  ~i ~i ) cos( ~s ~s ) 
R()  A0 exp( i ~s ~s ) s s
~i ~i  i ~s ~s tan( 
~i ~i sin(  ~s ~s )
~i ~i )
.
Для коэффициента прохождения справедлива формула
W
2 ~s ~s tan(  ~i ~i )[i sin(  ~s ~s )  cos( ~s ~s )]
.
~ ~  i ~ ~ tan(  ~ ~ )
i
i
s
s
i
i
Для идеально проводящей сферы имеем R()   A0 sin(  ~s ~s ) exp( i ~s ~s ) .
При этом, зная решение для постоянных диэлектрических и магнитных
свойств тела, можно построить решение внутри тела, имеющие те же коэффициенты
отражения и прохождения. Для этого внутри тела будем считать поле по формуле
 i ( , ) 




exp( i ) sin[  k ( z )dz ]W ()d
0
Подставим это значение поля в волновое уравнение с переменными  ( z ),  ( z ) ,
получим дифференциальное уравнение относительно неизвестного волнового числа
k ( z)    ( z) ( z) . Определим значение k (z ) с начальными условиями
k ( z) |   ~~ , dk ( z) / dz |  0 , получим решение внутри тела с теми же
z 1
z 1
граничными условиями. Т.е. коэффициенты отражения и прохождения будут те же.
Отметим, что для справедливости формул при постоянных свойствах тела, величины
средней диэлектрической и магнитной проницаемости надо выбирать из условия


~    (r )dV / V ; ~    (r )dV / V , где V объем всех тел.
V
V
8
Отметим, что при решении трехмерной задачи дифракции на одной частоте
сведение этой задачи к одномерному пространству позволяет ограничиться одним
членом ряда. В трехмерном случае для удовлетворения граничным условиям
необходимо использовать счетное количество решений уравнения Гельмгольца, так
как надо удовлетворять этим условиям на поверхности. Переходя в одномерное
пространство, граничная поверхность вырождается в точку и одним членом можно
решить уравнение Гельмгольца и удовлетворить граничным условиям. При этом
необходимо скаляр магнитного потенциала Im  пересчитать к вектору магнитного

потенциала с декартовыми компонентами A по формулам (5)
elpq Ap nq  Im  ( w)
dxl ( w)
; l  1,2,3 .
dw
Или можно записать по другому
Al  Im  ( w)elpq n p
dx q ( w)
dw
; l  1,2,3
Электрический потенциал равен  ( w)  Re  ( w) . При этом пересчет к
напряженностям электрического и магнитного поля осуществляется по формулам
(6)




  A
H  rotA
E

,

c t
 
где H , E вектора в декартовом пространстве. Для идеально проводящей сферы
1 Aw
1 Aw
имеем E w  
. Для падающей волны имеем E w  
. Компонента Aw
R0 
c t
ортогональна направлению вдоль оси w , и совпадает с направлением падающей
волны.
Для падающей волны имеем значение на поверхности E w0  
i
sin  ~s ~s .
R0
i
sin  ~s ~s exp( i ~s ~s ) . Т.е.
R0
коэффициент отражения равен RE   exp( i ~s ~s ) .
Аналогично для рассеянной волны имеем Ews 
Чтобы подсчитать отраженный сигнал нужно просуммировать его отражение
по всей поверхности. При этом определяем множитель, перед рассеянной волной.
Этот множитель не должен удовлетворять уравнению Гельмгольца. Выберем его в
виде
g (kR0 , 1s , 2s )  1 
2 2 
 
0
2


0
2


0
0
1  kR0 sin  1
1  kR0 cos 1
1  kR0 sin  2
1  kR0 cos 2
3
exp[   i (k ls  k l0 ) R0  l ( 1 , 2 )]d 1 d 2 /( 4 2 ) 
l 1
3
exp[   i (k ls  k l0 ) R0  l ( 1 , 2s )]d 1 /( 2 ) 
.
l 1
3
exp[   i (k ls  k l0 ) R0  l ( 1s , 2 )]d 2 /( 2 )
l 1
Где направление падающей волны  l  0, l  1,2 . Множитель  в фазе, определяет
значение рассеянного поля и является линейной возрастающей с аргументом kR0 .
9
Аргумент возрастает от нуля до kR0  10 , при величине  , изменяющейся на
отрезке   [1.597,2.5] . Эта фаза не является решением волнового уравнения,
поэтому ее можно определить из численного эксперимента. Знаки у интегралов
определяются нулевым рассеянным полем при условии R0  0 . Рассчитанный по
этой формуле сигнал обратного рассеяния совпадает с известным графиком
обратного рассеяния для проводящей сферы в зависимости от электрических
размеров тела. Для сферы рассеянное в обратном направлении поле равно
exp( ikR  i ~s ~s ) R0
Ew  E
g (kR0 , 1 , 2 ) | l  .
R
2
0
w
R
e R0
  0  0 . Приведем график обратного рассеяния на идеально
R0 2R
2R
проводящей сфере в зависимости от ее размера ka , где a  R0 , который построен на
MathCAD 13 по формуле
Так как   
g (ka,  ,  )  1 
2 2
 
0
0
2

exp(   2ika cos 1 / 1  cos 2  1 tan 2  2 )d 1 d 2 /( 4 2 ) 

0
1  ka sin  1
1  ka cos 1
.
exp(   2ika cos 1 )d 1 / 
Квадрат модуля этой функции определяет приведенный на рисунке график.
Совпадение построенного с помощью функций Бесселя графика с приведенным
графиком определяет относительную ошибку 12% . Аппроксимируя коэффициент 
в экспоненте, можно добиться совпадения графиков.
Литература
10
1. Владимиров В.С. Уравнения математической физики М.:, «Наука»,1981г,
512с.