Элементы логики и теории множеств

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал ТюмГУ в г. Тобольске
Кафедра физики, математики и методик преподавания
Евсюкова Е. В.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления подготовки: 0540100.62 (44.03.01).
Педагогическое образование.
профиль подготовки: “Математика”,
квалификация: бакалавр
(заочная форма обучения)
Тюменский государственный университет
2015
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины (модуля)
1. Цели и задачи освоения дисциплины
1.1. Целью дисциплины «Элементы логики и теории множеств» является развитие
навыков математического мышления, навыков использования математических методов,
математической культуры у студентов.
Цели и задачи дисциплины спроектированы на основе ФГОС ВПО и представлены, в
первую очередь, как основные цели овладения студентами:
– целостным представлением о математике как науке и ее месте в современном мире
и в системе наук;
– умениями использовать математический аппарат при изучении процессов и
явлений реального мира;
– умениями решать некоторые виды математических задач;
– умениями анализировать собственную деятельность с целью ее совершенствования
и повышения своей квалификации.
Для достижения поставленных целей изучения дисциплины «Элементы логики и
теории множеств» решает следующие основные задачи:
– формирование представлений о математике как форме описания и методе познания
действительности, об идеях и методах математики;
– развитие представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о
значимости математики в истории цивилизации и современном обществе;
– формирование интеллектуальных умений, умений и навыков самостоятельной
математической деятельности.
1.2. Место дисциплины в структуре ОП:
Дисциплина относится к вариативной части профессионального цикла. Для освоения
дисциплины студенты используют знания, умения и виды деятельности, сформированные
в процессе изучения математики, алгебры и начал анализа, геометрии в
общеобразовательной школе.
В данном курсе изучаются элементы логики, теории множеств и бинарные
отношения.
Освоение дисциплины является основой для последующего изучения других
дисциплин: алгебра, математический анализ, геометрия, математическая логика и теория
алгоритмов, элементарная математика и др.
Таблица 1
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№
Наименование обеспечиваемых
Темы дисциплины необходимые для
п/п
(последующих) дисциплин
изучения
обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
1
2
3
4
5
6
1.
2.
3.
Алгебра и теория чисел
Геометрия
Математический анализ
1.3.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
данной образовательной программы
В соответствии с ФГОС ВПО и ОП ВПО по данному направлению подготовки
процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих общекультурных
и профессиональных компетенций:
– владение культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);
– способность осуществлять логически верно устную и письменную речь (ОК-6);
общепрофессиональными компетенциями:
– способность реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в
различных образовательных учреждениях (ПК-1).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате изучения дисциплины студент должен
знать:
- основные понятия, классические факты, утверждения и методы основных разделов
курса;
- основные методы алгебры высказываний, логики предикатов, алгебры множеств и
бинарных отношений;
уметь:
- решать типовые задачи в указанной предметной области;
- применять теоретические знания к решению теоретико-множественных,
логических, алгебраических задач;
владеть:
- на необходимом уровне языком логики, теории множеств и бинарных отношений;
- различными приемами использования аппарата теории множеств, логики и
бинарных отношений для анализа различных вопросов высшей и школьной математики.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы (72 часа).
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр: 1, форма промежуточной аттестации: экзамен. Общая трудоемкость
дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 академических часа, из них 6 часов,
выделенных на контактную работу с преподавателем, 57 часов, выделенных на
самостоятельную работу.
Таблица 2.
Вид учебной работы
Всего
Семестры
часов
1
Контактная работа:
Аудиторные занятия (всего)
6
6
В том числе:
Лекции
2
4
Практические занятия (ПЗ)
4
4
Семинары (С)
Лабораторные занятия (ЛЗ)
Иные виды работ: КСР
Самостоятельная работа (всего):
57
57
Общая трудоемкость
зач. ед.
2
2
час
72
72
Вид промежуточной аттестации
экзамен
(зачет, экзамен)
3. Тематический план
Таблица 3.1
1 семестр
3
4
Высказывания и логические 1,2 1
операции над ними
1.2 Формулы. Основные законы 3,4 0,5
логики. Равносильные
формулы.
1.3 Множества и операции над 5,6 0,5
ними.
Всего
2
Модуль 2
2.1. Предикаты и кванторы.
7,8
1.1
5
6
Самостоятельная
работа*
Из них
Итого
в
количес
интерак
тво
тивной баллов
форме,
в часах
8
9
10
1
5
7
1
0-6
1
5
6,5
1
0-8
2
5
7,5
2
0-11
4
18
21
4
25
7
7
0-6
7
7
0-8
7
7
0-11
21
21
25
6
5
6
5
0-8
6
5
0-11
9,
обратная и противопо10
ложные теоремы.
Необходимые и достаточные
условия.
2.3. Прямое произведение
11,
множеств. Бинарные
12
отношения, их свойства.
Всего
Всего
Итого
часов
по
теме
7
2.2. Строение теорем. Прямая,
-
Модуль 3
3.1. Отношение эквивалент - 13,
ности, классы эквивалент 14
ности, фактор-множество и
разбиение множества. Связь
между отношением эквива лентности и разбиением
множества на классы.
3.2. Отношение порядка.
15,
16
3.3. Функциональные отноше17
ния. Виды отображений.
Композиция отображений.
3.4. Итоговая
работа
и 18
собеседование
занятия*
2
Модуль 1
Семинарские
(практические)
занятия*
Лабораторные
1
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
Лекции *
Тема
недели семестра
№
2
2
6
6
0-6
0-20
-
18
15
2
50
Итого (часов, баллов):
Из них в интеракт. форме
18
18
-
36
72
0-100
12
*- если предусмотрены учебным планом ОП.
Примечание: количество часов в столбцах 4-9 указывается в соответствии с учебным
планом образовательной программы. Значение столбца 10 (Итого количество баллов)
определяется как сумма баллов рейтинговой оценки успеваемости студента.
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 4.
Итого количество баллов
0-2
0-2
0-3
0-7
0-8
0-8
0-9
0-25
0-3
0-3
0-2
0-3
0-6
0-5
0-9
0-30
0-9
0-50
0-10
0-3
0-6
0-10
электронные
практикумы
0-2
0-2
0-2
0-3
0-3
0-3
0-9
комплексные
ситуационные
задания
0-1
0-1
0-1
0-8
0-8
0-9
0-25
программы
компьютерного
тестирования
0-2
0-2
0-2
0-6
0-3
0-2
0-3
0-8
0-2
0-2
Информа
ции
онные
системы и
технологи
и
0-3
0-3
0-6
Самостоятельная
работа
Итоговая работа
0-1
0-1
0-1
0-3
тест
0-2
0-2
0-2
0-6
контрольная
работа
Решение задач у
доски
0-1
0-1
0-1
0-3
Технические
формы
контроля
Домашняя работа
Всего
010
010
Письменные работы
ответ на семинаре
Модуль 1
1.1.
1.2.
1.3.
Всего
Модуль 2
2.1
2.2
2.3.
Всего
Модуль 3
3.1
3.2
3.3.
3.4.
собеседование
Устный опрос
коллоквиумы
№
Темы
10
0-3
Итого
10
0100
Формы текущего контроля и распределение баллов по ним определяется преподавателем
курса (автором рабочей программы дисциплины).
5. Содержание дисциплины.
1 семестр
1.
Высказывания и логические операции над ними. Формулы. Основные законы
логики. Равносильные формулы. Множества и операции над ними.
2. Предикаты и кванторы. Строение теорем. Прямая, обратная и противоположные
теоремы. Необходимые и достаточные условия. Прямое произведение множеств.
Бинарные отношения, их свойства.
3. Отношение эквивалентности, классы эквивалентности, фактор-множество и
разбиение множества. Связь между отношением эквивалентности и разбиением
множества на классы. Отношение порядка. Функциональные отношения. Виды
отображений. Композиция отображений.
(Раздел раскрывает содержание дисциплины (модуля) по темам в соответствии с
ФГОС ВО по направлению подготовки, определяет перечень дидактических единиц,
общий объем знаний, получаемых обучающимися.)
6. Планы семинарских занятий.
1 семестр
1.1. Высказывания и логические операции над ними. - 1 ч.
1.2. Формулы. Основные законы логики. Равносильные формулы.- 1 ч.
1.3. Множества и операции над ними.- 1 ч.
2.1. Предикаты и кванторы. - 1 ч.
2.2. Строение теорем. Прямая, обратная и противоположные теоремы. Необходимые и
достаточные условия.
2.3. Прямое произведение множеств. Бинарные отношения, их свойства.
3.1 Отношение эквивалентности, классы эквивалентности, фактор-множество и разбиение
множества. Связь между отношением эквивалентности и разбиением множества на
классы.
3.2. Отношение порядка.
3.3. Функциональные отношения. Виды отображений. Композиция отображений.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум). – не предусмотрен
8. Примерная тематика курсовых работ (если они предусмотрены учебным планом ОП).
Не предусмотрена.
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов.
Таблица5 .
1 семестр
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательные
Модуль 1
1.1. Входной
Работа с тестом
контроль
Выполнение
домашних
заданий
1.2. Формулы.
Выполнение
Основные
самостоятельной
законы логики. работы № 1
Равносильные
Выполнение
формулы.
домашних
заданий
дополнительные
Неделя Объем Кол-во
семестра часов баллов
Индивидуальные
задания
1,
2
5
0-6
Индивидуальные
задания
3, 4
5
0-6
1.3
Множества
операции
ними
Всего
Модуль 2
2.1. Предикаты
2.2
2.3
и Выполнение
Индивидуальные
над самостоятельной задания
работы № 2
Выполнение
домашних
заданий
Выполнение
теста «Алгебра
высказываний и
алгебра
множеств»
и Выполнение
кванторы.
домашних
заданий
Строение
Выполнение
теорем. Прямая, самостоятельной
обратная
и работы № 3
противоположВыполнение
ные
теоремы. домашних
Необходимые и заданий
достаточные
условия.
Прямое
Выполнение
произведение
самостоятельной
множеств.
работы № 4
Бинарные
Выполнение
отношения, их домашних
свойства
заданий
5, 6
5
0-6
0-7
15
0-25
Индивидуальные
задания
7, 8
7
0-6
Индивидуальные
задания
11, 12,
7
0-9
Индивидуальные
задания
13, 14,
7
0-10
21
0-25
7
0-10
7
0-6
Всего
Модуль 3
3.1. Отношение
Выполнение
Индивидуальные
эквивалентности, самостоятельной задания
классы
работы № 5
эквивалентности, Выполнение
фактордомашних
множество и
заданий
разбиение
множества.
Связь между
отношением
эквивалентности
и разбиением
множества на
классы
3.2. Отношение
Выполнение
Индивидуальные
порядка.
домашних
задания
заданий
3.3. Функциональные Выполнение
отношения.
Виды
отображений.
Композиция
отображений
2.4. Итоговая работа
«Элементы
алгебры, логики
и теории
множеств» и
собеседование
Всего
Итого
домашних
заданий.
Индивидуальные
задания
7
0-14
Контрольная
работа.
Решение
типовых задач
курса,
собеседование
Индивидуальные
задания
0-20
21
57
0-50
0-100
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины (модуля).
В соответствии с приказом от 19 декабря 2013 г. №1367 фонд оценочных средств для
проведения промежуточной аттестации по дисциплине (модулю) или практике включает
в себя
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе
освоения образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):
Таблица 6.
МАТРИЦА
соответствия компетенций, составных частей ООП и оценочных средств
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
+
+
+
ВКР
Государственная итоговая
аттестация
Б.2П 3 Преддипломная
Б.2П.2. Летняя - педагогическая
Б.2.У2 (С.2.2) Прикладная
математика
Б2.У.3. Практика наблюдений и
пробных уроков
Б2.П1. Психолого-педагогическая
практика
Физика
+
Б.2.У1 (С.2.1) Ознакомительная
Введение в математику
+
+
+
+
+
Физическая картина мира
Введение в
математический анализ
Возрастная анатомия,
физиология и гигиена*
Общая психология*
Технологии
самообразования *
Современная научная
картина мира*
Физкультура*
Общекультурные,
общепрофессиональные
компетенции
ОК-1
ОК - 6
Профессиональные,
профессиональноспециализированные
компетенции
ПК-1
Русский язык и культура
речи*
История*
Индекс
компетенции
Иностранный язык*
10.1.Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы (выдержка из
матрицы компетенций).
Таблица 6
Циклы,
Циклы Б1 (С1) дисциплины (модули)
Б.3. (С.3)
Б.2. (С.2) Практики / НИР
дисциплины
ГИА
(модули)
1 семестр
учебного плана
ОП
Индекс
компетенции
Общекультурные,
общепрофессиональные
компетенции
ОК-1
ОК-6
Профессиональные,
профессиональноспециализированные
компетенции
ПК-1
+
+
+
+
+
+
+
+
2 семестр
+
ВКР
Б.2. (С.2) Практики / НИР
Государственная итоговая
аттестация
Б.2П 3. Преддипломная
Б2.П1. Психологопедагогическая
Б.2П.2. Летняя - педагогическая
Б2.У3. Практика наблюдений и
пробных уроков
Циклы Б1 (С1) дисциплины (модули)
Б.2.У2 Прикладная математика
Конструктивная
геометрия
Б.2.У1 Ознакомительная
Физическая картина
мира
Практикум по решению
геометрических задач
Физика
Элементы логики и
теории множеств
Аналитическая
геометрия
Физическая культура*
Психология развития и
возрастная психология*
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного плана
ОП
История педагогической
мысли и разованияь*
Русский язык и культура
речи*
Основы математической
обработки информации*
Иностранный язык*
Продолжение таблицы 6
Б.3. (С.3)
ГИА
Индекс
компетенции
Общекультурные,
общепрофессиональные
компетенции
ОК-1
ОК-6
Профессиональные,
профессиональноспециализированные
компетенции
ПК-1
+
+
+
+
+
+
+
+
3 семестр
ВКР
Б.2. (С2) Практики / НИР
Государственная итоговая
аттестация
Б.2П 3. Преддипломная
Б.2П.2. Летняя - педагогическая
Б2.П1. Психолого-педагогическая
Б2.У3. Практика наблюдений и
пробных уроков
Циклы Б1 (С1) дисциплины (модули)
Б.2.У2 Прикладная математика
Б.2.У1 Ознакомительная
Архитектура компьютера
Основные алгебраические
структуры
Аналитическая
геометрия
Основы
микроэлектроники
Педагогическая
психология*
Дифференциальное и
интегральное исчисление
Русский язык и культура
речи*
Информатика и
современные
информационные
технологии*
Педагогика школы*
Иностранный язык*
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Б.3. (С.3)
ГИА
Индекс
компетенции
+
+
+
+
+
+
4 семестр
+
+
+
ВКР
Б.2. (С.2) Практики / НИР
Государственная итоговая
аттестация
Б.2П 3. Преддипломная
Б.2П.2. Летняя –
педагогическая
Б2.П1. Психологопедагогическая
Циклы Б1 (С1) дисциплины (модули)
Б.2.У2 Прикладная
математика
Б2.У3 Практика наблюдений
и пробных уроков
Б.2.У1 Ознакомительная
Теория матриц
Основания
геометрии
Теория линейных
операторов
Социальная
психология*
Дифференциальное
и интегральное
исчисление
Ряды
Русский язык и
культура речи*
Педагогика школы*
Общекультурные,
общепрофессиональные
компетенции
ОК-1
ОК-6
Профессиональные,
профессиональноспециализированные
компетенции
ПК-1
Иностранный язык*
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного плана
ОП
Б.3. (С.3)
ГИА
Индекс
компетенции
Общекультурные,
общепрофессиональные
компетенции
ОК-1
ОК-6
Профессиональные,
профессиональноспециализированные
компетенции
ПК-1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
5 семестр
ВКР
Б.2. (С.2) Практики / НИР
Государственная итоговая
аттестация
Б.2П 3. Преддипломная
Б2.П1. Психологопедагогическая
Б.2П.2. Летняя –
педагогическая
Циклы Б1 (С1) дисциплины (модули)
Б.2.У2 Прикладная
математика
Б2.У3. Практика наблюдений
и пробных уроков
Б.2.У1 Ознакомительная
Основы теории колец
+
Основные виды
алгебр
Линейная алгебра
Теория функций
Русский язык и
культура
речи*
Практикум
по
решению
профессиональных
задач*
Социальная
психология *
Безопасность
жизнедеятельности*
Иностранный язык*
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного плана
ОП
Б.3. (С.3)
ГИА
Индекс
компетенции
Общекультурные,
общепрофессиональные
компетенции
ОК-1
ОК - 6
Профессиональные,
профессиональноспециализированные
компетенции
ПК-1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
ВКР
Б.2. (С2) Практики / НИР
Государственная итоговая
аттестация
Б.2П 3. Преддипломная
Б.2П.2. Летняя - педагогическая
Б2.П1. Психолого-педагогическая
Б2.У3. Практика наблюдений и
пробных уроков
Циклы Б1 (С1) дисциплины (модули)
Б.2.У2 Прикладная математика
Б.2.У1 Ознакомительная
Элементарная математика
Общая методика обучения
математике
Теория чисел
Линейная алгебра
Теория функций
Основы психологического
сопровождения в
образовательном процессе*
Методика организации
летнего отдыха*
Педагогика школы*
Русский язык и культура
речи*
Иностранный язык*
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Б.3. (С.3)
ГИА
6 семестр
Индекс
компетенции
ОК-1
ОК-6
Профессиональные,
профессиональноспециализированные
компетенции
ПК-1
+
+
+
+
+
+
7 семестр
+
+
+
+
Б.2. (С.25) Практики / НИР
Государственная итоговая
аттестация
ВКР
Б.2П 3. Преддипломная
Б2.У3. Практика наблюдений и
пробных уроков
Б2.П1. Психологопедагогическая
Б.2П.2. Летняя - педагогическая
Б.2.У2 Прикладная математика
Циклы Б1 (С1) дисциплины (модули)
Б.2.У1 Ознакомительная
Методы оптимизации
Общекультурные,
общепрофессиональные
компетенции
Теория игр и методы
принятия решений
Специальная методика
обучения математике
Элементарная
математика
Современные
направления развития
математики
Возникновение и
развитие
математической науки
Теория функций
Основы права*
Культурология*
Русский язык и
культура речи*
Философия*
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Б.3. (С.3)
ГИА
Индекс
компетенции
ОК-1
ОК-6
Профессиональные,
профессиональноспециализированные
компетенции
ПК-1
+
+
+
+
+
+
+
+
Общекультурные,
общепрофессиональные
компетенции
+
8 семестр
ВКР
Б.2. (С.25) Практики / НИР
Государственная итоговая аттестация
Б.2П 3. Преддипломная
Б.2П.2. Летняя – педагогическая
Б2.У3. Практика наблюдений и пробных
уроков
Б2.П1. Психолого-педагогическая
Б.2.У2 Прикладная математика
Циклы Б1 (С1) дисциплины (модули)
Б.2.У1 Ознакомительная
Современные направления
развития математики
Возникновение и развитие
математической науки
Формирование ключевых
компетенций в обучении
математике
Формирование предметных
компетенций
Организация исследовательской
деятельности учащихся по
математике
Организация педагогического
исследования учителя математики
Дискретная математика
Элементарная математика
Специальная методика обучения
математике
Теория вероятностей, случайные
величины
Алгебра многочленов
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Б.3. (С.3)
ГИА
Общекультурные,
общепрофессиональные
компетенции
ОК-1
ОК-6
Профессиональные,
профессиональноспециализированные
компетенции
ПК-1
+
+
*-дисциплины базовой части
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Б.2. (С2) Практики / НИР
9 семестр
ВКР
Циклы Б1 (С1) дисциплины (модули)
Государственная итоговая аттестация
Б.2П 3. Преддипломная
Б.2П.2. Летняя – педагогическая
Б2.У3. Практика наблюдений и
пробных уроков
Б2.П21 Психолого-педагогическая
Б.2.У2 Прикладная математика
Б.2.У1 Ознакомительная
Современные средства
оценивания результатов обучения
Математическая логика и теория
алгоритмов
Внеклассная работа по
математике
Развивающие задачи в обучении
математике
Технология подготовки
школьников к ЕГЭ
Элементарная математика
Математическая статистика
+
История математики
Технология обучения математике
Дифференциальная геометрия и
топология
Специальная методика
обучения математике
Дифференциальные уравнения
Индекс
компетенции
Экономика образования*
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Б3.
(С.3)
ГИА
Код компетенции
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных
этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 7.
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения
ОП
минимальный
(удовл.)
61-75 баллов
Знает: методы
и приемы
работы с
учебников
ОК-1
Умеет:
находить
необходимую
информацию
Владеет:
методами и
приемами
работы с
учебником
Виды занятий
(лекции, семинар
ские,
практические,
лабораторные)
Оценочные
средства (тесты,
творческие
работы, проекты
и др.)
базовый
(хор.)
76-90
повышенный
(отл.)
91-100
Знает:
методы и
приемы с
разными
печатным
и
источника
ми
информац
ии
Умеет:
находить
необходи
мую
информац
ию и
применят
ь ее при
решении
стандартн
ых задач
Знает: методы
и приемы с
различными
источниками
информации
Лекции,
практические
занятия
Тестирование,
самостоятельная
работа
Умеет:
находить
необходимую
информацию
и применять
ее при
решении
задач любого
уровня
сложности,
обосновывать
и пояснять
выбор метода
Владеет:
Владеет:
методами самостоятель
и
но использует
приемами общие и
с разными лично
печатным созданные
и
методы и
источника приемы с
ми
различными
информац источниками
ии
информации
Лекции,
практические
занятия
самостоятельная
работа
Лекции,
практические
занятия
самостоятельная
работа
Знает:
основные
понятия
геометрии и
запоминает их
в словесной
форме
ОК-6
Умеет:
сообщать идеи,
проблемы и
решения
простейших
задач, как
специалистам,
так и не
специалистам
Владеет:
методами и
приемами
устных
сообщений об
основных
понятиях,
доказательства
х простейших
утверждений и
решениях
алгоритмическ
их задач
Знает и
запомина
ет
словесну
юи
символьн
ую запись
геометрич
еских
понятий и
утвержде
ний
Умеет:
сообщать
идеи,
проблемы
и
решения
простейш
их задач,
как
специалис
там, так и
не
специалис
там,
используя
диапазон
качествен
ной и
количеств
енной
информац
ии
Владеет:
методами
и
приемами
устных
сообщени
й об
основных
понятиях,
доказател
ьствах
утвержде
ний и
решениях
стандартн
ых задач
Знает,
запоминает и
воспроизводи
т словесную и
символьную
запись
геометрическ
их понятий и
утверждений
Лекции,
практические
занятия
Тестирование,
контрольная
работа
Умеет:
Лекции,
сообщать
практические
идеи,
занятия
проблемы и
решения
простейших
задач, как
специалистам,
так и не
специалистам,
используя
диапазон
качественной
и
количественн
ой
информации
самостоятельная
работа
Владеет:
методами и
приемами
устных
сообщений об
основных
понятиях ,
доказательств
ах
утверждений
и решениях
задач
повышенной
сложности
самостоятельная
работа
Лекции,
практические
занятия
ПК-1
Знает
необходимый
фактический
материал для
реализации
учебных
программ
базовых и
элективных
курсов в
непрофильных
классах
Умеет решать
задачи и
доказывать
утверждения
для реализации
учебных
программ
базовых и
элективных
курсов в
непрофильных
классах
Владеет
методами
решения задач
и способами
доказательства
утверждений
для реализации
учебных
программ
базовых и
элективных
курсов в
непрофильных
классах
Знает
необходи
мый
фактичес
кий
материал
для
реализаци
и
учебных
программ
базовых и
элективн
ых курсов
в средней
школе
Умеет
решать
задачи и
доказыват
ь
утвержде
ния
реализаци
и
учебных
программ
базовых и
элективн
ых курсов
в средней
школе
Владеет
методами
решения
задач и
способам
и
доказател
ьства
утвержде
ний для
реализаци
и
учебных
программ
базовых и
элективн
ых курсов
в средней
школе
Знает
Лекции,
необходимый практические
фактический
занятия
материал для
реализации
учебных
программ
базовых и
элективных
курсов в
различных
образовательн
ых
учреждениях
самостоятельная
работа
Умеет решать Лекции,
задачи и
практические
доказывать
занятия
утверждения
для
реализации
учебных
программ
базовых и
элективных
курсов в
различных
образовательн
ых
учреждениях
Тестирование,
контрольная
работа
Владеет
Лекции,
методами
практические
решения
занятия
задач и
способами
доказательств
а
утверждений
для
реализации
учебных
программ
базовых и
элективных
курсов в
различных
образовательн
ых
учреждениях
Тестирование,
контрольная
работа
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Оценочные средства диагностирующего контроля
Тест
I уровень
1. В следующих множествах все элементы, кроме одного, обладают некоторым
свойством. Найдите элементы, не обладающие этим свойством:
a) треугольник; квадрат; трапеция; круг; правильный шестиугольник.
b) 2; 6; 15; 84; 156.
2. Закончите предложения:
a) пересечением множества чётных натуральных чисел с множеством целых чисел,
делящихся на 3 является множество…;
b) (-1;0]  (-3; -0,5) = …
3. Выберите номер правильного
ответа. Неравенство ( x  1 )  x  2  0
равносильно:
x  1  0
x  1  0
x  1  0
x  1  0
1) x  1  0; 2) 
; 3) x  2  0 или 
; 4) 
или 
.
x  2  0
x  2  0
x  2  0
x  2  0
II уровень
4. Опишите множество точек М на плоскости, таких, что
а) {М: ОМ = R}; b) {М: AМ = BM}.
5. Расположите множества чисел таким образом, чтобы каждое следующее
множество было подмножеством предыдущего: Q (рациональные числа), N (натуральные
числа), R (действительные числа) Z (целые числа).
6. Следует ли из того, что “Все x являются y и некоторые y являются z”
утверждение: “Некоторые x является z” ?
1) да; 2) нет.
7. В теореме “Вертикальные углы равны” выделите условие и заключение.
Сформулируйте теорему обратную данной. Определите, истинна она или ложна.
8. Вместо многоточия вставьте слова “необходимо”, “достаточно” или
“необходимо и достаточно” так, чтобы следующее утверждение были верным: “Для того,
чтобы сумма целых чисел была чётной, …,чтобы каждое слагаемое было чётным”
III уровень
9. На вопрос, кто из трёх учащихся изучал логику, был получен правильный ответ:
«Если логику изучал первый, то изучал и второй, но неверно, что если изучал третий, то
изучал и второй». Кто из трёх учащихся изучал логику?
Оценочные средства текущего
технология оценивания работы студентов
контроля:
модульно-рейтинговая
Контрольные, самостоятельные и домашние работы для текущего контроля
по дисциплине “Элементы логики и теории множеств”
I семестр
Самостоятельная работа № 1
Тема: «Алгебра высказываний»
Вариант 1
1. Запишите в символической форме высказывание, обозначив буквами p и q, элементарные высказывания ( p  b5, q  b7 ):
Неверно, что b не делится ни на 5, ни на 7.
2. Сформулируйте отрицание для высказывания, будет ли оно истинным?
500 делится на 5 и на 4.
3. Является ли данная формула законом логики?
(pq)(rq)(p rq)
4. Что можно сказать об истинностном значении формулы (p q) r, если (p
r)( p  r ) истинна?
Вариант 2
1. Запишите в символической форме высказывание, обозначив буквами p и q, элементарные высказывания ( p  b5, q  b7 ):
Если b не делится на 5,то неверно, что b делится на 5 и на 7.
2. Сформулируйте отрицание для высказывания, будет ли оно истинным?
500 делится на 5 или на 4.
3. Является ли данная формула законом логики?
(p rq)(pq) (rq)
4. Что можно сказать об истинностном значении формулы p q r, если (qp)
r ) ложна?
Домашнее задание №1
Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
Упражнения
1. Пусть a – высказывание «сегодня ясно», b – «сегодня идёт дождь», c – «сегодня
пасмурно». Переведите на обычный язык следующие предложения: a) a  ( b  c ) ,
b) b  c , c) ( c  b )  a .
2. Записать символически следующие высказывания, обозначив буквами простые
высказывания, входящие в них:
a) если Антон пойдёт в театр, то Юля пойдёт в кино, или Антон останется дома и
Юля будет учить уроки;
b) урожай уцелеет тогда и только тогда, когда не будет засухи, а если урожай не
уцелеет, то фермеры обанкротятся и оставят фермы.
3. Определите значения истинности следующих высказываний:
a) если 16 делится на 4, то 16 не делится на 3;
b) если 2  2  5, то 7  7 = 81;
c) 18 не делится на 4 тогда и только тогда, когда 18 не делится на 2;
d) 2  2 тогда и только тогда, когда 2  2  5;
е) неверно, что число n делится на 2 и на 3 тогда и только тогда, когда оно не
делится ни на 2, ни на 3.
4. Какие из данных формул являются законами логики?
a) ( a  b )  ( a  b ) ; b) ( a  b )  a  b ; c) ( a  b )  a  b.
Самостоятельная работа № 2 по дисциплине
Тема: «Алгебра множеств»
Вариант 1
1. Вставьте между множествами символ  или , чтобы получилось истинное
высказывание:
{a} … {a, {a, б}}
2. Найдите A B, A  B, A \ B, B \ A , A, В , если:
A = { x | x  5 }; B = { x | 3< x < 7}, U = R
3. Доказать равенство множеств:
A  ( B \ C ) = ( A  B ) (A С )
4. Cледующее утверждение либо докажите, либо покажите при помощи диаграмм
Эйлера – Венна , что оно не всегда верно:
( A  B ) ( B  A ) B
Вариант 2
1. Вставьте между множествами символ  или  , чтобы получилось истинное
высказывание:
{c, d} … {c, d, {c},{d}}
2. Найдите A B, A  B, A \ B, B \ A , A, В , если:
A = { x | 0 x  3 }; B = {3, 5, 10}, U = R
3. Доказать равенство множеств:
(A \ B)  ( A \ B ) = ( A B )\ (A  B)
4. Cледующее утверждение либо докажите, либо покажите при помощи диаграмм
Эйлера – Венна , что оно не всегда верно:
( B  A ) ( A \ B) A
Домашнее задание №2
Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
Упражнения
1. Перечислите элементы множества А = {xR | x2 - 3x + 2 = 0};
2. Указать, истинны или ложны утверждения:
а) m{n, m, k}; b)m{n, m, k}; c)m{n,{m},k}; d) 5  Q ; e)   R ; g) ;
h) 
{}.
3. Вставьте между множествами символ  или , чтобы получилось истинное
высказывание:
а){p}…{p,{p, s}}; b){p}…{{p}, s}; c) p…{p, s}.
4. Укажите для каждой операции над множествами «объединение», «пересечение»,
«разность», «дополнение» соответствующий символ.
5. Составьте пары «множество-операция», в результате которой оно получилось из
множеств А и В. Поставьте «+» в соответствующей клетке таблицы 1 и таблицы 2.
Таблица 1
AB AB A\B
С={x| x  A  xB}
D={x| x  A  xB}
A
B
E={x| x  A  xB}
G={x| x  U  xB}
H={x| x  U  xA}
Таблица 2
A={6, 8, 10}; B={8,11} AB AB A\B B\А
C={8}
D={6, 8, 10, 11}
E={11}
H={6, 10}
Тест
Тема: «Алгебра высказываний » и «Алгебра множеств»
1. (Множественный ответ) Выберите из списка высказывания:
а) Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей
стороны называется медианой.
б) 15 делится нацело на 7.
в) Сколько дней в високосном году?
г) Волга впадает в Каспийское море.
Ответ:
2. (Одинарный выбор). Выберите из предложенных высказываний отрицание
высказывания «3 меньше 4»:
а) 3 больше 4
б) 4 меньше 3
в) 3 больше или равно 4
г) 3 не превосходит 4
Ответ:
3. (Вложенный ответ). Дизъюнкцией двух высказываний p и q называется высказывание
«p или q» ложное в том и только том случае, когда p _______ , и q – ложно.
Ответ:
4. (Да/Нет) Формула ((p q)(q r))  (p r) является законом логики.
а) Да
б) Нет
Ответ:
5. (Да/Нет) Формулы (p q) r и (p r) (q r) является равносильными.
а) Да
б) Нет
Ответ:
6. (Короткий ответ) Как называется множество, которое содержит все рассматриваемые
множества в качестве подмножеств?
Ответ:
7. (Вопрос на соответствие). Укажите названия операций над множествами:
∩
\

¯
Ответы:
8.
(Одинарный выбор). Выберите из предложенных множеств разность между
множеством А = {2, 3, 4, 5} и множеством В = {1, 4, 5, 6, 7}.
а) {1, 6, 7}
б) {4, 5}
в) {2, 3}
г) {1, 2, 3, 6, 7}
Ответ:
9. (Да/Нет) Множества (А  В) \ С и (А \ С)  (В \ С) равны.
а) Да
б) Нет
Ответ:
10. (Множественный ответ) Выберите из списка истинные высказывания:
а) Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех
элементов, которые принадлежат множеству А и В одновременно.
б) {a, b, c, d} ∩ {b, d, e} = {b, d}
в) R  Q
г) Z  Q = Q
Ответ:
Самостоятельная работа № 3 по дисциплине
Тема: «Предикаты и кванторы. Строение теорем»
Вариант 1
1. Записать в символической форме (используя кванторы) следующее высказывание, установить его истинность: “Если x и y – натуральные числа, произведение
которых делится на простое число p, то хотя бы один из множителей делится на p”.
2. В следующем предложении вместо многоточия вставьте слова “необходимо”,
или “достаточно” или “необходимо и достаточно” так, чтобы получилось истинное
высказывание: “Для того чтобы число x делилось на 3,…, чтобы сумма цифр его
десятичной записи делилась на 3”.
3. P(x,y) означает “Окружность x вписана в четырёхугольник y”. Прочтите высказывание, постройте его отрицание и сформулируйте словами:
( y ) (  x ) P(x, y).
4. Следующую теорему сформулировать символически в импликативном виде, затем составить обратную, противоположные теоремы, указать их истинностные
значения. “Для того чтобы число делилось на 12, достаточно чтобы оно делилось на 6 и
на 4”. Приведите контрпримеры для ложных утверждений.
Вариант 2
1. Записать в символической форме (используя кванторы) следующее высказывание, установить его истинность: “Для каждой прямой x на плоскости  и каждой точки
этой плоскости найдётся прямая, проходящая через эту точку и параллельная прямой x”.
2. В следующем предложении вместо многоточия вставьте слова “необходимо”,
или “достаточно” или “необходимо и достаточно” так, чтобы получилось истинное
высказывание: “Для того чтобы параллелограмм x был ромбом,…,чтобы его диагонали
делили пополам внутренние углы”.
3. P(x,y) означает “Окружность x вписана в квадрат y”. Прочтите высказывание, постройте его отрицание и сформулируйте словами .
( y ) (  x ) P(x, y).
4. Следующую теорему сформулировать символически в импликативном виде, затем составить обратную, противоположные теоремы, указать их истинностные значения.
“Для того чтобы число a делилось на 30, необходимо чтобы оно делилось на 5 и на 3”.
Приведите контрпримеры для ложных утверждений.
Домашнее задание №3
Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
Упражнения
1. Сформулируйте утверждение обратное данному:
( n N) (сумма цифр числа n делится на 9)  (число n делится на 9).
Указание. Необходимо оставить без изменения разъяснительную часть, а условие и
заключение поменять местами.
2. Сформулируйте утверждение противоположное данному:
( n N) (сумма цифр числа n делится на 9)  (число n делится на 9).
Указание. Если оставить без изменения разъяснительную часть, а условие и заключение
заменить их отрицаниями, то получим утверждение, противоположное данному.
3. Утверждение «( n N) (число n не делится на 9)  (сумма цифр числа n не
делится на 9)» является обратным противоположному или противоположным обратному?
4. Является ли условие «сумма цифр числа n делится на 9» достаточным для
заключения «число n делится на 9»?
5. Является ли условие «сумма цифр числа n делится на 9» необходимым для
заключения «число n делится на 9»?
Самостоятельная работа № 4 по дисциплине
Тема: «Бинарные отношения»
Вариант 1
1. Найти A  B и изобразить его на декартовой плоскости .
A = {xN|1 x  3}, B ={ yN| 2 y4}.
2. Нарисовать граф, найти область определения, область значений и определить
свойства бинарного отношения, определённого на множестве A.  = {(x, y)| y  x }, A = {
5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}.
3. Доказать, что отношение ρ является эквивалентностью на множестве A и найти
соответствующее фактор-множество A/ρ, если A = N, xρy ( x- y)  3.
4. Укажите все сюръективные отображения множества A={1,2,3} на множество B =
{a, b}. Существуют ли инъективные отображения A в B?
Вариант 2
1. Найти A  B и изобразить его на декартовой плоскости .A = {xZ| -2 x  1}, B = {
yZ|1 y 2}
2. Нарисовать граф, найти область определения, область значений и определить
свойства бинарного отношения, определённого на множестве A.  = {(x, y)| y=x+1 }, A =
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
3. Доказать, что отношение ρ является эквивалентностью на множестве A и найти
соответствующее фактор-множество A / ρ, если A = N, xρy  (x при делении на 4 даёт
такой же остаток, что и y).
4. Найдите все отображения множества A ={1,2} в себя. Укажите, какие из них
инъективны, сюръективны, биективны ?
Домашнее задание № 4
Изучить теоретический материал по учебникам и конспекту лекций.
Упражнения
1.Закончите каждое предложение, указав одно из свойств (рефлексивность,
симметричность, транзитивность, антисимметричность, антирефлексивность):
a) Всякое действительное число равно самому себе, поэтому отношение
равенства обладает свойством…;
b)( а, b, c  R) (a < b  b < c  a < c)-истинное высказывание, поэтому
отношение «<» на R обладает свойством…;
c)( а, b, c  Z) (a  b  b  a  a = b)-истинное высказывание, поэтому
отношение «» на Z обладает свойством…;
d)( а  N) ( а  а )-ложное высказывание, поэтому отношение «  » на N не
обладает свойством…;
e) Если прямая а перпендикулярна b, то и прямая b перпендикулярна прямой а.
Поэтому отношение перпендикулярности на множестве прямых плоскости обладает
свойством ….
2. Для каждого вида бинарного отношения в таблице 1 отметьте знаком «+»,
номера тех свойств, которыми оно обязательно должно обладать (1-рефлексивность, 2симметричность, 3-транзитивность, 4-антисимметричность, 5-антирефлексивность,
6-связанность):
Таблица 1
1 2 3 4 5 6
Эквивалентность
Порядок
строгий порядок
нестрогий порядок
линейный порядок
3.Пусть множество А – конечно,   А  А . Какими свойствами обладает  в
каждом из случаев а – d? Закончите предложения:
a) Если в каждой точке графа отношения  есть петля, то …;
b) Если на графе нет односторонних стрелок, то…;
c) Если на графе нет двусторонних стрелок (не считая петель), то…;
d) Если на графе нет ни одной петли, то….
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы
формирования компетенций.
При подготовке к занятиям можно опираться на конспекты лекций и литературу,
предложенную в разделе 12 данной рабочей программы. В указанном разделе
расположены: список основной литературы, дополнительной литературы, необходимые
интернет-ресурсы.
Подготовка к самостоятельным и контрольным работам
При подготовке к самостоятельным и контрольным работам необходимо проработать
материалы лекционных и практических занятий, дополнительную литературу. В течение
семестра предусмотрен 1 тест, 4 самостоятельных работ и 1 контрольная работа (см. п.
10.3).
1 курс
Вопросы к экзамену по дисциплине «Элементы логики и теории множеств»
I курс, I семестр
1. Высказывания и операции над ними.
2. Формулы алгебры высказываний. Законы логики. Логические равенства. Примеры.
3. Множество. Подмножество. Способы задания множеств. Операции над множествами.
Диаграммы Эйлера-Венна. Примеры.
4. Основные свойства операций над множествами.
5. Одноместный предикат, область определения и область истинности предиката.
Эквивалентные предикаты. Кванторы общности и существования. Примеры.
6. Логические операции над предикатами. Логическое следствие. Примеры.
7. Строение теоремы. Прямая, обратная и противоположная теоремы.
8. Необходимые и достаточные условия. Доказательство от противного. Примеры.
9. Понятие упорядоченной пары. Прямое (декартово) произведение двух множеств.
Примеры.
10. Бинарные отношения, способы их задания, свойства. Примеры.
Задачи к экзамену по дисциплине «Элементы теории множеств и логики»
I курс, I семестр
1. Сформулировать 1) конъюнкцию, 2) дизъюнкцию, 3) импликацию, 4) эквиваленцию
высказываний p  “2 + 3 = 5” и q  “4 · 3 = 12”. Для полученных высказываний, указать,
истинны они или ложны.
2. Является ли законом логики формула p  q  r ?
3. Найти A  B, A  B, A \ B , если А = {a, b, c, d}, В = {с, d, e, g, k}.
4. Доказать равенство: ( A  B) \ ( A  B)  ( A \ B)  ( B \ A) .
5. Проверить, верно, ли равенство ( A \ B)  ( B \ A)  ( A  B) \ ( A \ B) ?
6. Запишите следующие высказывания, используя кванторы:
а) «Если число больше 7, то его квадрат больше 49»;
b) «Существует такое действительное х, что для любого действительного числа а имеет
место равенство: а + x = a». Являются ли они истинными?
7. На множестве Х заданы предикаты А(x) и В(x). Сформулировать теорему ( х  Х) А(x)
 В(x), убедиться в её истинности. Установить, истинны или ложны теоремы: обратная
данной (прямой), противоположная данной и обратная противоположной.
а) Х - множество четырёхугольников плоскости. А(x)  «х - прямоугольник»,
В(x)  «Диагонали четырёхугольника х равны».
8. Проверить свойства отношения «  » на множестве П (прямых плоскости), является ли
оно
рефлексивным,
симметричным,
транзитивным,
антисимметричным,
антирефлексивным?
9. А = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.  = {(x, y)| x, y  A; x и y при делении на 4 дают одинаковые
остатки}. Изобразить граф данного бинарного отношения, найти классы
эквивалентности и построить фактор-множество множества А по отношению 
(обозначается А ).

10. Пусть А = {m, n}, B = {k, l}, Рассмотрим бинарные отношения, заданные
перечислением: 1) f1 = {(m, k),(n, k)}; 2) f2 = {(m, k), (n, l)}; 3) f3 = {(n, k), (n, l)}.
Выяснить, какие из них являются функцией.
Составление задач и тестовых заданий для взаимопроверки
В качестве одного из видов самостоятельной работы, студентам предлагается
составление тестов и задач по различным разделам дисциплины. Они послужат хорошим
инструментом для проверки собственного уровня усвоения содержательной учебной
информации по дисциплине, так как для их составления необходимо проработать весь
материал по конкретной теме (лекционный, материал практических занятий, вопросы,
выносимые на самостоятельное изучение) и в дальнейшем могут быть использованы при
взаимооценке студентов.
Критерии успешности обучения
Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика
фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля,
предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов).
Шкала перевода баллов в оценки следующая:
Таблица 7
Баллы
Экзамен
0 – 60
61 – 75
76 – 90
91 – 100
Неудовлетворительно
Удовлетворительно
Хорошо
Отлично
Неуспевающие студенты или студенты, желающие повысить оценку, должны пройти
собеседование и написать контрольную работу для итогового контроля.
11. Образовательные технологии
При освоении дисциплины используются различные методы и формы активизации
познавательной деятельности бакалавров (активные и интерактивные) для достижения
запланированных результатов обучения и формирования заявленных компетенций.
Учебный процесс, опирающийся на использование интерактивных методов обучения,
организуется с учетом включенности в процесс познания всех студентов группы без
исключения. Совместная деятельность означает, что каждый вносит свой особый
индивидуальный вклад, в ходе работы идет обмен знаниями, идеями, способами
деятельности. Интерактивные методы основаны на принципах взаимодействия,
активности обучаемых, опоре на групповой опыт, обязательной обратной связи. Создается
среда
образовательного
общения,
которая
характеризуется
открытостью,
взаимодействием участников, равенством их аргументов, накоплением совместного
знания, возможность взаимной оценки и контроля.
Данная дисциплина предполагает широкое применение таких интерактивных
технологий, как групповая работа, в процессе которой происходит обмен опытом,
выявляются различные точки зрения, активизируется творческий потенциал каждого
участника, повышается продуктивность его взаимодействия с другими, его социальная
активность. Сопоставление взглядов всех членов группы повышает уровень понимания
ситуации и выработки идей решения рассматриваемых задач.
В рамках данного учебного курса также предусмотрено использование таких
активных методов обучения, как учебные дискуссии, технологии развития критического
мышления, «мозговой штурм» и др. Эти технологии в сочетании с внеаудиторной работой
решают задачи формирования и развития профессиональных умений и навыков
обучающихся, как основы профессиональной компетентности.
Интерактивные формы проведения занятий (групповая работа, дискуссии и др.).
План проведения интерактивных занятий
Таблица 8
№
темы
1.1.
1.2.
1.3.
2.1.
2.2.
3.1.
Тема занятия
Форма проведения
Высказывания и логические
операции над ними
Формулы. Основные законы
логики. Равносильные
формулы.
Множества и операции над
ними.
Предикаты и кванторы.
Строение теорем. Прямая,
обратная
и
противоположные теоремы.
Необходимые и достаточные
условия.
Отношение
эквивалентности,
классы
эквивалентности,
фактормножество
и
разбиение
множества.
Взаимопроверка студентов
Кол-во
Часов
Лекция
с
запланированными
ошибками
Взаимопроверка студентов
Работа в малых группах
Взаимопроверка студентов
1
1
1
1
Работа
в
группах:
составление
тестовых
заданий для групповых
взаимопроверок
Итого
4
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)
12.1. Основная литература
1.
2.
Евсюкова Е.В. Элементы логики и теории множеств: Учебно-методическое пособие
для организации коррекционной и самостоятельной работы студентов первого курса
математического факультета. – Тобольск: изд-во ТГПИ, 2005. – 131 с.
Кострикин А.И. Введение в алгебру (в 3-х Т.Т.). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001-2004.
12.2. Дополнительная литература
3.
Антипов И.Н. и др. Избранные вопросы математики. 9 класс.
курс. М., Просвещение, 1979.
4.
Баскаков А.Г. и др. О бинарных отношениях и фактор-множествах // Соровский
образовательный журнал, 1998. № 6-с.112-115
Березина Л. Ю. Графы и их применение. М., Просвещение, 1979
Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., ИЛ, 1963.
5.
6.
Факультативный
7.
Виленкин Н.Я., Гутер Р.С., Земляков А.Н., Никольская И. Л.
Факультативный
курс. Избранные вопросы математики. 7-8 классы. М. Просвещение, 1978.
8.
Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. М., Наука, 1968.
9.
Виленкин Н.Я. Современные
Просвещение, 1974.
10.
Градштейн И. С. Прямая и обратная теоремы. М., Наука, 1973
11.
Калужнин Л.А. Введение в общую алгебру. М., Наука, 1973.
12.
М. Клайн. Математика. Утрата определённости. М., Мир, 1984.
основы
школьного
курса
математики.
М.,
13.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М., Высшая школа. 1979.
14.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории
чисел. – М.: Просвещение, 1993.
Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М., Физматгиз, 1962.
15.
16.
Мадер В.В. Школьнику об алгебре логики. М., Просвещение, 1993.
17.
Мальцев А.И. Алгебраические системы. М., Наука, 1970.
18.
Столл Роберт Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М., Просвещение,
1968.
19.
Столяр А.А. Как мы рассуждаем. Минск, 1998.
20.
Дополнительные главы по курсу математики / Учебное пособие по фак. курсу для
учащихся 9 классов. Сб. статей. Составитель П.В. Стратилатов / М., Просвещение,
1974.
21.
Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – Мн: Выш. школа,
1982.
Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – Мн: Выш. школа, 1982.
22.
12.3. Интернет-ресурсы:
http://www.proklondike.com/books/thmath/thmath_penzov_element_mat_logiki.html
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости).
В процессе изучения дисциплины используются следующие информационные
технологии: мультимедийные технологии, традиционные лекции и практические занятия,
интерактивные формы лекций и практических занятий: занятия в малых группах,
самостоятельная работа, контрольные работы, плановые и дополнительные консультации.
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).


Технические средства обучения: компьютер, принтер, ксерокс (для подготовки
материалов для учебного процесса).
Аудитории с мультимедийным обеспечением.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля)
В течение семестра студенты разбирают и решают задачи, указанные
преподавателем, разбирают основные понятия и теоремы, решают домашние задания.
Запланировано: 1 тест, 4 самостоятельных работы, 1 итоговая семестровая работа (задачи
к экзамену).
Методические указания к решению задач
Задание 1. Доказать, что a  b  a  b является законом логики.
Решение. Составим таблицы истинности для выражений, стоящих в левой и правой
частях формулы (их удобно совместить). Получим:
а
1
1
0
0
b
1
0
1
0
а
0
0
1
1
b
0
1
0
1
a b
1
0
0
0
a b
0
1
1
1
а b
0
1
1
1
Сравнивая два последних столбца, мы видим, что они одинаковые. Значит,
формулы равносильны (или логически равны): a  b  а  b .
В качестве образца рассмотрим доказательства законов дистрибутивности.
Задание 2. Доказать закон дистрибутивности
(1)
A  B  C    A  B   A  C 
Решение. Доказательство закона (1) A  B  C    A  B   A  C  основано на
определениях операций над множествами и логических равенствах
из алгебры
высказываний: x  A  B  C   x  A  x  B  C  
 x  A  x  B  x  C   x  A  x  B  x  A  x  C   x  A  B  x  A  C  
 x   A  B   A  C .
Доказав некоторые свойства операций над множествами «методом включения»,
другие можно выводить из них чисто формально.
Задание 3. Доказать закон дистрибутивности
(2)
A  B  C    A  B   A  C 
Решение. Выведем второй закон дистрибутивности (2) A  B  C  =
  A  B   A  C  из первого закона дистрибутивности и из законов коммутативности,
ассоциативности и поглощения:
 A  B   A  C  =
  A  B  A   A  B  C    A   A  B  C   A  B  A  C   A  B 
A  C  A  C  B  A   A  C   B  C    A   A  C   B  C   A  B  C  .
Задание 4. Проверить, верно ли равенство A \ B  A   A  B  ?
Решение. a)Пусть  A \ B  x  A \ B  x  A  x  B  x  A  x  B  a  b ,
a

( x  A); b  ( x  B) .
где
b) Пусть x  A   A  B   x  A  x   A  B   x  A  x  A  x  B   a  a  b  .
Составим эквиваленцию ФВЛ, полученных в пунктах a) и b), получим
a  b  a  a  b и построим её таблицу истинности.
a
1
0
1
0
Так как формула F
ФВЛ
b a a  b ab a  a  b F
1 0
1
1
1
1
0 1
1
0
1
1
0 0
0
0
0
1
1 1
1
0
1
1
 a  b  a  a  b является законом логики, то равенство
A \ B  A   A  B  является верным.
Ответ: равенство является верным.
Задание 5. Прочитайте следующие высказывания. Какие из них истинны и почему?
а) ( х  R) (х + 3 =8); b) ( х  R) (x+ 3 = 8); с) ( х  R) (x2< 0).
Решение. а) ( х  R) (х + 3 =8) (читается так: при любом действительно х имеем
х + 3 =8). Это высказывание ложно, так как, например, при х = 4 имеем: х + 3  8;
b) ( х  R) (x+ 3 = 8) (читается так: существует действительное значение х такое, что x+ 3
=8). Это высказывание истинно, так как х = 5  Т, Т  ;
с) ( х  R) (x2< 0) (читается так: существует действительное число х, квадрат которого
отрицателен). Это высказывание ложно, так как Т = .
Задание 6. Запишите следующие высказывания, используя кванторы:
а) «Квадрат любого числа есть число неотрицательное»;
b) «Найдётся такое действительное х, квадрат которого равен 0 ».
Ответ: a) ( х  R) (х2 0); b) ( х  R) (x2= 0).
Задание 7. На множестве Х заданы предикаты А(x) и В(x). Сформулировать
теорему ( х  Х) А(x)  В(x), убедиться в её истинности. Установить, истинны или
ложны теоремы: обратная данной (прямой), противоположная данной и обратная
противоположной.
а) Х - множество четырёхугольников плоскости. А(x)  «х - ромб»,
В(x)  «Диагонали четырёхугольника х в точке пересечения делятся пополам».
Решение. (1) «( х  Х) А(x)  В(x)»  «Если четырёхугольник х - ромб, то его
диагонали в точке пересечения делятся пополам»;
(2) ( х  Х) В(x)  А(x)  «Если диагонали четырёхугольника х в точке
пересечения делятся пополам, то х - ромб.
(3) ( х  Х) A( x )  B( x )  «Если четырёхугольник х не является ромбом, то его
диагонали в точке пересечения не делятся пополам».
(4) ( х  Х) B( x )  A( x )  «Если диагонали четырёхугольника х в точке
пересечения не делятся пополам, то х не является ромбом.
(1)(прямая теорема) истинна, так как х - ромб, то есть параллелограмм, а в
параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся пополам.
(2)(обратная) ложна, так как можно привести контрпример – в любом
параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся пополам, но не всякий
параллелограмм является ромбом.
(3)(противоположная прямой) равносильна обратной, а поэтому ложна.
(4)(противоположная прямой) равносильна прямой,
а поэтому истинна.
Задание 8. Отношение «||» на множестве П (прямых плоскости) является
рефлексивным, симметричным, транзитивным, но не является антисимметричным и
антирефлексивным.
Решение. Действительно:
1. x  П  x || x - истинно (отношение «||» рефлексивно);
2. x, y  П  x || y  y || x - истинно (отношение «||» симметрично);
3. x, y, z  П  x || y  y || z  x || z  - истинно (отношение «||» транзитивно);
4. x, y, z  П  x || y  y || x  x  y  -ложно (отношение «||» не антисимметрично);
5. x  П  x // x -ложно (отношение «||» не антирефлексивно).
Задание 9. А = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
 = {(x, y)| x, y  A; x и y при делении на 3 дают одинаковые остатки}.
Изобразить граф данного бинарного отношения, найти классы эквивалентности и
построить фактор-множество множества А по отношению  (обозначается А ).

Решение:
4
0
5
1
6
3
2
Рис. 1
Получили три класса эквивалентности:
 1  = {1, 4},  2  = {2, 5},  3  = {0, 3, 6}
Совокупность всех классов эквивалентности множества А
фактор-множеством множества А по отношению  и обозначается А
А

= {{1, 4}, {2, 5}, {0, 3, 6}} = {  1  ,  2
называется

 ,  3  }.
Задание 10. Пусть А = {a, b}, B = {c, d}, A  B = {(a, c),(a, d),(b, c),(b, d)}.
Рассмотрим бинарные отношения, заданные перечислением:
1) f1 = {(a, c),(a, d)};
2) f2 = {(a, c), (b, c)};
3) f3 = {(a, c), (b, d)}.
Выяснить какие из них являются функцией.
Решение:
1) f1 = {(a, c),(a, d)} не является функцией, так как a f1 c  a f1d, но c  d;
2) f2 = {(a, c), (b, c)} – функция (по определению);
3) f3 = {(a, c), (b, d)} – функция (по определению).
1 семестр
Дополнения и изменения к рабочей программе на 201__ / 201__ учебный год
В рабочую программу вносятся следующие изменения:
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Рабочая
программа
пересмотрена
и
одобрена
на
заседании
______________________________________ «__» _______________2014 г.
Заведующий кафедрой ___________________/___________________/
Подпись
Ф.И.О.
кафедры
Образец оформления оборотной стороны
титульного листа УМК. Рабочей программы
дисциплины (модуля) для электронного издания
Евсюкова Е.В. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. Учебно-методический
комплекс. Рабочая программа »“Элементы логики и теории множеств” для студентов
направления подготовки 050100.62(4403.01) Педагогическое направление.«Математика»
(заочная форма обучения). Тюмень, 2015, ___ стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) «Элементы логики и теории множеств»
опубликована на сайте ТюмГУ: ______________ (указать наименование дисциплины
(модуля) в соответствии с учебным планом образовательной программы) [электронный
ресурс] / Режим доступа: http://www.utmn.ru, раздел «Образовательная деятельность»,
свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой физики, математики и методик преподавания.
Утверждено директором филиала Тюм ГУ в г. Тобольске (наименование Института).
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Шебанова Л.П., канд. пед. наук, доцент, заведующий
кафедрой физики, математики и методик преподавания.
© Тюменский государственный университет, 2015.
© Евсюкова Елена Владимировна, 2015.
Шаблон рабочей программы дисциплины (модуля) для студентов бакалавриата
(специалитета)
Образец оформления листа утверждения
для электронного издания
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
УТВЕРЖДАЮ
Директор Института
_______________________ /Ф.И.О./
__________ _____________ 201__г.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
для студентов направления подготовки: 0540100.62 (44.03.01).
Педагогическое образование.
профиль подготовки: “Математика”,
квалификация: бакалавр
(заочная форма обучения)
Тюменский государственный университет
2015
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ
от ____.____.2014
Содержание: УМК по дисциплине (наименование дисциплины) для студентов (указать
код, название направления и профиля подготовки, форму обучения)
Автор(-ы): ФИО
Объем _____стр.
Должность
ФИО
Дата
согласования
Результат
согласования
Примечание
Заведующий
кафедрой
(наименование
кафедры)
ФИО
__.__.2014
Рекомендовано
к электронному
изданию
Протокол заседания
кафедры от __.__.2014
№ __
Председатель УМК
(Институт)
ФИО
__.__.2014
Согласовано
Протокол заседания
УМК от __.__.2014
№ __
Директор ИБЦ
ФИО
__.__.2014
Согласовано