2 км / ч

Задача 1.
Если груз массы m = 10 г поставить на линейку на расстоянии x от её края, то
линейка примет горизонтально с положение равновесия при размещении под ней упора на
расстоянии y от того же края линейки (рис). Зависимость y(x) при различных
размещениях груза представлена в таблице. Построив
X, мм У, мм график
зависимости y(x), определите массу линейки и ее длину.
10
120
Решение:
30
129
50
137
70
146
90
155
100
160
120
169
Рассмотрим систему в положении равновесия (рис. 1 Пусть М – масса линейки, а L – её
длина. Запишем правило моментов относительно точки опоры:
Mg (L / 2– y) = mg(y – x).
Преобразовав выражение, получим:
𝑚
𝑀
y = 𝑚+𝑀x+2(𝑚+𝑀)L
L/2
Mg
mg
Построим график зависимости y от x (рис.11). Из полученной формулы следует, что
должна получиться прямая с угловым коэффициентом а=m/(М+m), пересекающая ось y в
точке с ординатой yo = ML / (2m+2M).
Определяем по графику указанные параметры: a = 0,445, yo= 115,3 мм. Из них получаем
искомые характеристики линейки:
y,мм
1−𝑎
M=
𝑎
m = 12,5 г,
2𝑦𝑜
𝐿 = 1−𝑎 =
2×115,3
= 41,5 мм.
180
1−0,445
160
140
120
100
х,мм
Ответ: M = 12,5 г, 𝐿= 41,5 мм.
Задача 2.
Силикатный кирпич имеет следующие размеры сторон: a = 5 см, b = 10 см и с = 20
см. Два таких кирпича поставили буквой T сначала на основание a × с (рис. а), а потом в
аквариум, заполненный водой, на основание а × b (рис. б). В результате оказалось, что
давление кирпичей на поверхность, одинаково. Найдите массу m такого кирпича.
Поскольку кирпич шершавый, вода под него подтекает. Плотность воды ρ0 = 1000 кг/м3.
Решение:
Пусть плотность кирпича p, тогда в первом случае давление составит:
2𝑚
p₁= 𝑎𝑐 =
2𝜌∗𝑎𝑏𝑐
𝑎𝑐
= 2𝜌 ∗ 𝑏.
Во втором случае из массы кирпичей нужно вычесть массу вытесненной воды:
𝑝2 =
2𝑚−𝑚𝑏
𝑎𝑏
=
2𝜌∗𝑎𝑏𝑐−2𝜌0 ∗𝑎𝑏𝑐
𝑎𝑏
= 2(𝜌 − 𝜌0 )𝑐.
Приравняв давления, получим:
𝑐
2(𝜌 − 𝜌0 )c=2p*b, откуда 𝜌 = 𝜌0 𝑐−𝑏 = 2000 кг/м3 .
Наконец, найден массу кирпича:
𝑚 = 𝜌 ∗ 𝑎𝑏𝑐 = 1000 ∗ 0,005 ∗ 0,1 ∗ 0,2 ∗ м3 кг/м3 = 2 кг.
Ответ: 𝑚 = 2 кг.
Задача 3.
Английский купец говорит русскому, что у них в Англии плотность золота 0,697
фунтов на дюйм в кубе. Русский купец отвечает, что если длину измерять в аршинах, а вес
- в пудах, то плотность золота на Руси будет равна... Чему равна плотность золота на Руси?
Примечание. В одном фунте 0,4536 кг, в одном футе 12 дюймов, в одном дюйме 25,4
мм, в 1 пуде 16,38 кг, в одной сажени три аршина или 2,1336 м
Решение:
Найдем переводной коэффициент из фунтов в пуды:
𝑎=
0,4536
≈ 27,7 ⋅ 10−3 .
16,38
Переводной коэффициент из дюймов в аршины:
25,4 ⋅ 10−3
𝛽=
≈ 35,71 ⋅ 10−3 .
2,1336/3
В одном кубическом дюйме содержится 𝛽 3 = (35,71 ⋅ 10−3 )3 = 45,56 ⋅ 10−6 кубических
аршин.
Следовательно, плотность золота
𝜌 = 0,697
𝑎
27,7 ⋅ 10−3 .
=
≈ 424 пуда/аршин3
𝛽 3 (35,71 ⋅ 10−3 )3
Ответ: 𝜌 ≈ 424 пуда/аршин3
Задача 4.
Ко дну калориметра прикреплён плоский нагревательный элемент, над которым
находится тонкий слой льда. После того, как нагревательный элемент включили на время
τ1, лёд нагрелся па Δt = 2°С.. Какое время τ2, может потребоваться для увеличения
температуры содержимого калориметра ещё на Δt = 2°С? Потерями теплоты в
окружающую среду и теплоёмкостью калориметра можно пренебречь. Процесс
теплообмена внутри калориметра можно считать достаточно быстрым. Удельная
теплоёмкость льда с1 =2,1 кДж/(кг·°C), воды с2 = 4,2 кДж/(кг·°C), удельная теплота
плавления льда λ = 330 кДж/кг.
Решение:
После первого нагревания ( в зависимости от конечной температуры льда) возможны
следующие предельные варианты.
1.Если получился лёд при температуре меньшей -2˚С, то на повторный нагрев
понадобится столько же теплоты и времени, сколько было затрачено на первый , а
именно:
𝑄 = 𝑚𝑐1 ∆𝑡
2. Если получился лёд при температуре 0˚С, тогда сначала придётся его расплавить, а
затем нагреть полученную воду на 2˚С, то есть затратить Q=mˠ+mcQ = mλ + m𝑐2 Δ𝑡
теплоты. Подставляя значение m из (1), найдем
𝑄1 =
𝑄(ʎ+𝑐2𝛥𝑡 )
𝑐1𝛥𝑡
= 80,6𝑄
Ответ: Искомое время нагревания лежит в диапазоне 𝜏 1 < 𝜏
< 80,6𝜏 .
Задача 5.
Пауки Stegodyphus раcificus, обитающие в Южной Азии, создают самую топкую в
мире паутину. Ее диаметр 10 нм (1 нм = 10-9 м). Оцените длину паутины, которую мог бы
сделать такой паук массой 0,2 г. Масса вещества, из которого образуется паутина,
составляет 10% от массы наука. Плотность паука и паутины считайте приблизительно
равными 10-3 кг/м3.
Примечание. В физике понятие «оценить» означает, что вычисления следует делать
приближенно. Например, оценим объем шара диаметром 3 см. Искомый объем немного
меньше объёма куба со стороной 3 см. Объём куба равен 27 см3. Следовательно,
оценочно, объём шара 10 см3.
Решение:
Масса вещества паутины M= m * 10% = 0,02 . Следовательно , максимальный объём паутины.
V=
𝑀 0,02∗ 10−3 кг
𝑃
=
103 кг/м3
= 2*10−8 м3 .
Объём паутины равен произведению её длины L на площадь сечения S. Для оценки площадь
сечения S можно полагать равной
оценочно.
𝑑 2 . Тогда объём паутинки V =LS =L𝑑 2 , откуда её длина
L=
𝑣
𝑑2
=
2∗10−8
(10−8 )
=2*108 м = 200000 км- максимальная длина
L=2*108 м
Ответ:
Задача 6.
Турист первую треть всего времени движения шёл но грунтовой дороге со скоростью ν 1 = 2
км/ч, затем треть всего пути перемещался по шоссе со Скоростью ν2. В конце второго участка пути
он встретил грузовик, на котором и вернулся в исходную точку по той же дороге. Известно, что на
грузовике он ехал с постоянной скоростью ν3. Вычислите среднюю (путевую) скорость ν0 туриста.
Укажите минимальное возможное значение скорости ν2.
Решение:
Пусть a – расстояние, пройденное туристом по грунтовой дороге, b – по шоссе. Тогда на
грузовике турист проезжает расстояние a + b. По условию справедливо a + b + ( a + b ) = 3b, откуда
b = 2a.
Время, за которое турист проходит грунтовую дорогу,
𝑡1 =а / 𝑣1 . Пусть полное время движения Т. По условию Т = 3𝑡1 . Тогда среднепутевая скорость:
𝑣=
𝑎+𝑏+(𝑎+𝑏)
Т
6𝑎
𝑎
1
1
= 3𝑡 = 2 ∗ 𝑡 = 2𝑣1 = 4км\ч.
При этом время , которое турист идёт по шоссе , 𝑡2 < T- 𝑡1 = 2 𝑡1 . Поскольку 𝑡2 = b / 𝑣2
то
𝑣2 =
Ответ:
𝑏
𝑡₂
𝑎
𝑎
𝑡₂
2𝑡₂
= 2* > 2*
= 𝑣1 = 2 км / ч
𝑣1 = 2 км / ч
Задача 7.
Маугли принимал у удава Каа зачёт по развороту на 180о. Техника разворота такова: Каа,
вытянувшись в линию, ползёт к Маугли со скоростью ν1,; как только голова удава касается ног
мальчика, удав поворачивает ее на 180о и начинает выполнять разворот; при этом голова Каа
удаляется от Маугли со скоростью ν2 > ν1, а хвост продолжает движение в прежнем направлении и
с прежней скоростью (рис.). За какое время tо удав выполнит разворот? На каком расстоянии от
ног мальчика окажется хвост удава сразу же после выполнения разворота? Считайте, что длина L
удава Каа во время разворота не меняется.
Решение:
Введем систему координат, в которой начало отсчета расположено у ног Маугли, ось
𝑥 сонаправлена с вектором 𝑣₂ , а время 𝑡 отсчитывается от момента начала поворота.
Пока поворот не закончился, координата 𝑥₁ хвоста и 𝑥₂ головы Каа зависят от времени
следующим образом:
х₁ = 𝐿 − 𝑣₁𝑡 ,
х₂ = 𝑣₂𝑡 ,
Конец поворота – это момент времени 𝑡₀, когда удав снова вытянулся вдоль оси х, то есть
х₂ (𝑡₀) − 𝑥₁ (𝑡₀) = 𝐿
откуда после подстановки 𝑥₁ и 𝑥₂ найдем
2𝐿
𝑡₀ = 𝑣₁+𝑣₂
Координата хвоста в этот момент:
х₀ = х₁ (𝑡₀) = 𝐿 − 𝑣₁ 𝑡₀ =
𝑣₂− 𝑣₁
𝑣₁+𝑣₂
𝐿
М
х
Ответ: х₀ =
𝑣₂− 𝑣₁
𝑣₁+𝑣₂
𝐿
Задача 8.
В боковой стенке бутылки проделано маленькое отверстие, в которое вставлена затычка. В
бутылку начиняют воду и закрывают её горлышко пробкой, через которую пропущена трубка.
Длина трубки подобрана таким образом, что её нижний конец находится выше отверстия в стенке
бутылки, но ниже поверхности воды, а верхний конец сообщается с атмосферой. Затычку из
отверстия в боковой стенке вынимают, и из него начинает вытекать вода. Через некоторое время
поток воды из отверстия устанавливается, и вода вытекает с постоянной скоростью. Найдите
давление воздуха P, находящегося в бутылке, в тот момент, когда нижний конец трубки находится
на глубине h = 5 см от поверхности воды. Плотность воды ρ = 1000 кг/м3. атмосферное давление P0
= 100000 Па., ускорение свободного падения g = 9.8 м/с2.
Решение:
Если в любой момент времени давление в жидкости на уровне нижнего конца трубки равно 𝑝 +
𝜌𝑔 , где p – давление воздуха в бутылке, h – глубина, на которую погружен нижний конец трубки,
то до вынимания затычки давление воздуха в бутылке было равно атмосферному давлению po.
Значит, давление на уровне нижнего конца трубки было равно 𝑝𝑜 + 𝜌𝑔ℎ . Давление на уровне
отверстия в боковой стенке было ещё больше т.к. оно находится глубже нижнего конца трубки,
поэтому после вынимания затычки вода начинает вытекать из бутылки, объем воздуха над
поверхностью воды увеличивается, и давление воздуха в бутылке постепенно падает . Так будет
продолжаться до тех пор, пока давление на уровне нижнего конца трубки не станет равно
атмосферному. Как только это случится, через трубку в бутылку станут входить пузырьки воздуха,
и вода станет вытекать из отверстия с постоянной скоростью. Значит, начиная с этого момента
справедливо соотношение 𝑝𝑜 = 𝑝 + 𝜌𝑔ℎ , откуда для момента, когда нижний конец трубки
находится на глубине h = 5 см, получаем, что 𝑝 = 𝑝𝑜 − 𝜌𝑔ℎ = 99 510 Па.
𝑝𝑜
Ответ:
𝑝 = 99 510 Па.
ℎ
𝑝
Задача 9.
На горизонтальную поверхность льда при комнатной температуре T1 = 0 0С кладут копеечную
монету, нагретую до температуры T2 = 50 °С.. Монета проплавляет лёд и опускается в
образовавшуюся лунку. На какую часть своей толщины она погрузится в лёд? Удельная
теплоёмкость материала монеты C = 380 Дж/(кг·°С), плотность его ρ = 8,9 гр./см3, удельная
теплота плавления льда λ = 3,4·105 Дж/кг, плотность льда ρ0 = 0,9 гр./см3.
Решение:
Если считать монету цилиндром с площадью основания S и высотой h, то при ее остывании до
температуры 𝑇1 = 0°С выделяется количество тепла Q = CpSh ( 𝑇2 - 𝑇1 ), которое достаточно для
того, чтобы расплавить лед объемом Sx, где x – глубина, на которую погрузится монета: Q = λpoSx
Отсюда
𝑥
𝐶 𝑝
380 8900
( 𝑇2 − 𝑇1 ) =
=
(50 − 0) 0,55,
ℎ
𝜆 𝑝𝑜
340000 900
То есть монета погрузится в лёд на 55% своей толщины
Заметим, что если считать, что вода, выплавленная и нагретая монетой, растекается по
поверхности льда и плавит его в стороне от монеты, то глубина ее погружения в лед получится
немного меньше: 𝑥⁄ℎ ≈ 0,48
Ответ:
𝑥⁄ ≈ 0,48
ℎ
Задача 10.
В люстре 6 одинаковых лампочек. Она управляется двумя выключателями, имеющими два
положения «включено» и «выключено». От коробки с выключателями к люстре идут три провода.
Лампочки в люстре либо:
Из условия следует, что при замыкании одного выключателя на все лампочки
должно подаваться напряжение, меньшее напряжения в сети. При замыкании же второго
выключателя на при лампочки должно подаваться полное напряжение сети, а три
остальные лампочки должны либо отключаться от сети, либо подключаться к сети так,
чтобы напряжение между их контактами было равно нулю. Поэтому ясно, что нужно
собрать две одинаковые схемы, состоящие из трёх параллельно соединенных лампочек
каждая, а затем соединить эти две схемы друг с другом и подключить к источнику
напряжения. Это можно сделать двумя способами
Решение: