Занятие - Geometry.ru

Треугольники с параллельными
сторонами
Теорема: Треугольники с параллельными сторонами гомотетичны.
1. Через вершины треугольника АВС проводятся касательные к описанной окружности, которые
пересекаются в точках А1, В1 и С1. При этом вершина А лежит на отрезке В1С1, В на отрезке А1С1, С на
отрезке А1В1. АА2 , ВВ2 и СС2 – высоты треугольника АВС, которые пересекаются в точке Н. O – центр
описанной окружности треугольника АВС. Докажите, что прямые А1А2, В1В2 и С1С2 пересекаются на
прямой OН.
2. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A1, B1, C1 соответственно.
Биссектриса угла А пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке A2. Точки B2 и C2
определяются аналогично. Докажите, что прямые A1A2, B1B2 и C1C2 пересекаются в одной точке.
3. Два треугольника имеют общую вписанную и описанную окружности. Стороны одного из них касаются
вписанной окружности в точках K, L и M, стороны другого – в точках K1, L1 и M1. Докажите, что
треугольники KLM и K1, L1 и M1 имеют общий ортоцентр. (Олимпиада ФМЛ №239, 2002, 10-11 классы, №2, Т.
Емельянова, Л. Емельянов).
4. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A1, B1, C1 соответственно.
Точки A2, B2, C2 — середины дуг BAC, CBA, ACB описанной около треугольника ABC окружности.
Докажите, что прямые A1A2, B1B2 и C1C2 пересекаются в одной точке. (Всероссийская олимпиада, 1997–1998,
11.2).
5. Окружность с центром I, вписанная в треугольник АВС, касается сторон ВС, СА, АВ в точках А1 , В1, С1
соответственно. Пусть Ia, Ib, Ic – центры вневписанных окружностей треугольника АВС, касающихся
соответственно сторон ВС, СА, АВ. Отрезки IaB1 и IbA1 пересекаются в точке С2. Аналогично, отрезки IbC1 и
IcB1 пересекаются в точке А2, а отрезки IсA1 и IaC1 – в точке В2. а) Докажите, что прямые IaA1, IbB1 и IcC1
пересекаются в одной точке. б) Докажите, что I является центром окружности, описанной около
треугольника А2В2С2. ( п. б) Л.Емельянов, А.Полянский, Всероссийская олимпиада, 2012-2013, 10.7)
6. Вписанная окружность треугольника АВС касается его сторон в точках А’, B’ и C’. Известно, что
ортоцентры треугольников АВС и А’B’C’ совпадают. Верно ли, что АВС – правильный? (Олимпиада им.
И.Ф.Шарыгина, Ф.Нилов).
7. а) Вписанная окружность треугольника АВС касается сторон АС и АВ в точках В0 и С0 соответственно.
Биссектрисы углов В и С треугольника АВС пересекают серединный перпендикуляр к биссектрисе AL в
точках Q и P соответственно. Доказать, что прямые PС0 и QB0 пересекаются на прямой ВС. (всероссийская
олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина, заочный тур, 2012-2013)
8. б) В треугольнике АВС провели биссектрису AL. Точки O1 и O2 – центры описанных окружностей
треугольников ABL и ACL соответственно. Точки В1 и С1 – проекции вершин С и В на биссектрисы углов В
и С соответственно. Доказать, что прямые O1С1 и O1B1 пересекаются на прямой ВС. (всероссийская
олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина, заочный тур, 2012-2013)
9. в) Доказать, что в задачах 7 и 8 все указанные прямые пересекаются в одной точке. (всероссийская
олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина, заочный тур, 2012-2013)