Задания по комбинаторике (для 2ПРИ)

n!C nk
Ank
Факториал
Упражнение №1:
Записать со знаком факториала следующие выражения.
1)
1*2*3*... *(п-3)(п-1)
2)
1*2*2*2*3*...*(п-2)(п-1)
3)
1*2*3*5*...*120
4)
5)
6)
1*2*3*...*(n-6)*(n-5)*n
1*2*3*3*. ,.*(n+l)(n+2)
2*3*...*(n-3)(n-l).
13.
.
Упростить выражение и вычислить его
значение при n равном 5:
( n  2)!
( n  2)! ( n
2
.
 1)
Правило произведения
Упражнение №2:
Упражнение №1:
Упростить выражение.
1.
Сколько существует четырехразрядных чисел,
которые делятся на 5?
2.
Сколько существует четырехразрядных чисел,
заканчивающихся на 5?
3.
Сколько существует пятиразрядных чисел,
которые делятся на 10?
4.
Сколько существует пятеричных
шестиразрядных чисел?
5.
Сколько существует трехразрядных чисел,
которые не делятся на 5?
6.
Сколько существует троичных четырехразрядных
чисел?
7.
Из города А в город В ведут пять дорог . а из
города В в С ведут три дороги. Сколько путей
проходящих через В, ведут из А в С?
1)
1*2*3*...*(n-3)-(n+l)!
n!
2)
1*2*3*...*(n-2)-(n+l)!
n!
3)
1*2*3*...*(n-3)-(n+l)!
(n-1)!
4)
3*...*(n-3)-(n+l)!
2(n-1)!
5)
n(n-2)!n(n-l)!
(n-2)!3n3
6)
(n-1)!2+(n-l)!(n-2)
n!(n-1)!
(n-1)!(n+l)!-n!2
4n(n-2)!2(n-1)2
7)
8.
Упростить выражение и вычислить его
значение при n равном 5:
( n  1)!4n!
2( n  1)!
9.
.
Упростить выражение и вычислить его
значение при n = 3:
6  (n  1)!(n  1)!
.
n!
10.
Упростить выражение и вычислить его
значение при n = 3:
(n  1)!(n  1)!
.
(n  2)!
11.
Упростить выражение и вычислить его
значение при n = 4:
(n 2  4)( n  3)!
.
(n  2)!
12.
Упростить выражение и вычислить его
значение при n = 7, k =5 :
Правило суммы
Упражнение №1:
1.
Пусть на потоке 100 студентов. 28 из них
знают английский, 30 -немецкий, 42 - французский, 8 —
английский и немецкий сразу, 10 английский и
французский, 5 - немецкий и французский, и только трое
знают все три языка. Сколько студентов не знают ни
одного языка?
2.
Из 30 студентов за два экзамена получили 5
только девять. Физику на 5 сдали 12 человек, химию -16
человек. Сколько студентов не получили ни одной
пятерки?
3.
Из 28 студентов не сдали оба экзамена
девять человек. Физику не сдали 10 человек, химию - 15.
Сколько успевающих студентов?
4.
За столом сидело 14 человек. Шоколадный
торт попробовали 8 человек, медовый 10 человек. И тот, и
другой торт отведали 6 человек. Сколько человек не едят
сладкого?
5.
В группе 30 человек. На субботнике 13
человек мыли полы, 21 - мыли панели. И полы и панели
драили 7 человек. Сколько человек не пришло на
субботник?
6.
В библиотеке 36 человек сдавали учебники
по физике и по геометрии. Оба учебника не сдало 8
человек. Учебник по геометрии дома оставили 10 человек,
по физике -13. Сколько человек сдали все учебники?
7.
Управление имеет 158 предприятий, из них
120 предприятий выпускают продукцию А, 50 продукцию В, 30 — продукцию С. Продукцию А и В
выпускают 40 предприятий, В и С - 10 предприятий, А и С
- 20 предприятий. Все виды продукции выпускают 8
предприятий. Сколько предприятий:
a.
выпускают ровно один вид
продукции А, В или С?
b.
не выпускают ни одного из
указанных видов продукции?
Выборки без повторений
Упражнение №1:
1.
Сколько четырехбуквенных
последовательностей можно образовать из всех гласных
букв русского алфавита, если в каждой
последовательности повторяющихся букв нет? (В русском
алфавите 10 гласных).
2.
Пять студентов выбирают по одной книге из
10 предложенных. Все книги разные. Сколькими
способами может быть осуществлен выбор?
3.
Имеется 12 тем для рефератов. Четыре
студента могут выбрать любую тему. Сколькими
способами можно распределить темы между ними?
4.
Сколько различных шестизначных чисел
можно образовать из цифр от 1 до 8, если в каждом числе
все цифры разные?
5.
Число размещений без повторений из n пo
m равно 3024. Найдите n и m?
6.
Сколько всего существует четырехзначных
десятичных чисел, если в каждом из них все цифры
разные?
7.
Студентам предложено несколько книг. Из
них каждый выбирает себе одну книгу. Всего существует
5040 способов выбора. Сколько было книг и сколько
студентов?
8.
Имеется 10 сотрудников и 6 рабочих мест,
на которые их следует распределить. Известно, что
каждый сотрудник может работать на каждом рабочем
месте. Сколькими способами можно осуществить
назначение?
Упражнение №2:
1.
Для дежурства в классе выделено 6 человек.
Сколькими способами можно составить график дежурства
6-ти человек с понедельника до субботы?
2.
Сколько различных вариантов расписания
на день можно составить для 5 различных уроков?
3.
Сколько различных перестановок можно
образовать из букв слова "километр"?
4.
Сколько существует способов для записи
суммы чисел: a+b+c+d?
5.
Известно, что n человек могут разместиться
в очереди 720 способами. Найдите n
6.
Сколько десятизначных чисел можно
составить из десятичных цифр, если каждая цифра в числе
встречается один раз, и каждое число начинается с
последовательности цифр 51 и оканчивается цифрой 7.
7.
Составляют буквенно-цифровой код:
записывают в некотором порядке пять букв: а, Ь, с, d, e,
затем справа приписывают три цифры 4,5,7, также в
определенном порядке, например, abdce475, decab745 и
т.д. Сколько существует таких кодов?
Упражнение №3:
1.
Сколько существует 8-разрядных двоичных
кодов, каждый из которых содержит 5 нулей?
2.
80 знаков некоторого алфавита решено
закодировать двоичными кодами, содержащими три
единицы каждый. Найдите наименьшее значение n и
число нулей в коде, если n - длина кода.
3.
Из 20 вопросов нужно составить
экзаменационные билеты, содержащие по два вопроса
каждый. Сколько возможных способов?
4.
Замок сейфа управляется 12-ю кнопками
путем одновременного нажатия трех кнопок с номерами i,
j, к, где i, j, к= 1,2,3,..., 12; i ≠j; i ≠ k;j ≠ к. Тройка этих
номеров образует кодовый ключ. Некто решил открыть
сейф путем проб и ошибок. Сколько троек ему придется
проверить в самом неблагоприятном случае?
5.
При встрече 12 человек обменялись
рукопожатиями. Сколько сделано рукопожатий?
6.
Сколько диагоналей в выпуклом
десятиугольнике?
Выборки с повторениями
Упражнение №1:
1.
Сколько существует восьмиразрядных чисел
двоичной системы счисления?
2.
Сколько существует трехразрядных чисел
восьмеричной системы счисления?
3.
Сколько существует нечетных
трехразрядных десятичных чисел, не содержащих четных
цифр в двух старших разрядах?
4.
Сколько слов длинной в три буквы можно
составить из букв а, б, в, г, д?
5.
Сотрудник ГАИ запомнил, что в номере
машины нарушителя были цифры 1 и 4. Номер машины
состоит из трех цифр. Сколько номеров машин
потребуется проверить сотруднику ГАИ
Упражнение №2:
1.
Имеются путевки в шесть детских лагерей.
Десяти родителям предложили выбрать путевки для детей
в тот или иной лагерь по своему усмотрению. Сколькими
способами возможен выбор лагеря?
2.
Продаются тетради пяти цветов: с синей
обложкой, фиолетовой, красной, зеленой и оранжевой.
Требуется купить 17 тетрадей, среди которых 5 тетрадей
должны быть с синей обложкой, 2-е красной обложкой, а
цвет обложек остальных тетрадей может быть любым.
Сколькими способами возможна такая покупка?
3.
30 конфет необходимо распределить по
трем ящикам. Сколькими способами это можно сделать
при условии, что все конфеты одинаковые (после
распределения некоторые ящики могут быть пустыми)?
4.
В магазине продают три вида конфет.
Необходимо купить 10. Сколькими способами можно
сделать покупку?
5.
Между тремя учениками необходимо
разделить 45 яблок. Сколькими способами это можно
сделать при условии, что все яблоки одинаковые, и что
каждый ученик получил не менее 7 яблок?
6.
В четыре ящика необходимо разложить 30
предметов так, чтобы в каждом ящике оказалось хотя бы 4
предмета. Сколько существует способов загрузки ящиков?
7.
В четыре ящика необходимо загрузить n
предметов так, чтобы в каждом ящике оказалось не менее,
чем по 5 предметов. Известно, что существует 1540
способов загрузки ящиков. Определите n ?
Упражнение №3:
1.
Сколько существует семизначных чисел, в
каждом из которых четыре двойки и три семерки?
2.
Сколько различных слов можно образовать,
переставляя буквы в слове "раскраска"?
3.
В числе четыре двойки, три тройки, три
четвёрки, пять пятёрок. Сколько чисел можно образовать,
переставляя эти цифры, если каждое число начинается с
последовательности 253 и оканчивается 53?
4.
Сколько слов можно образовать,
переставляя буквы в слове "авиация", если вновь
образованное слово не должно начинаться с гласной
буквы?
5.
Сколько различных слов можно образовать
путем перестановки букв в слове "территория", если
оставить все согласные буквы на прежнем месте?
6.
Сколько различных перестановок можно
образовать из букв слова "барабашка", если все они
должны начинаться с согласной буквы?
7.
В числе три двойки, четыре тройки, две
четверки и три пятерки. Сколько чисел можно образовать,
переставляя эти числа, если каждое из них начинается с:
a.
355 и заканчивается тремя
двойками;
b.
555 и заканчивается двумя 4;
c.
423 и заканчивается двумя 5;
d.
543 и заканчивается 23;
e.
344 и заканчивается 555.
Разное
14.
В 92-процессорном ЭВС 19
микропроцессоров обрабатывают текстовую
информацию, 17 - графическою, 11 - символьную, 12 микропроцессоров одновременно обрабатывают
графическую и текстовую, 7 - текстовую и символьную, 5
- графическую и символьную, а часть микропроцессоров
одновременно обрабатывают графическую, текстовую и
символьную информацию. Сколько микропроцессоров
являются универсальными, если при решении задачи не
задействованы 67 микропроцессоров.
15.
Определить число всевозможных слов
длины 5, если А = {X,Y}- алфавит.
16.
Определить число всевозможных слов
длины 4, если А = {X,Y,Z,T}- алфавит.
17.
Из них 19 не сдали математику, 17 - физику,
11 - программирование, 12 студентов не сдали математику
и физику, 7 - математику и программирование, 5 - физику
и программирование; 237 сдали математику, физику,
программирование. Сколько студентов безуспешно (т.е.
не сдавшие 3-й экзамена) закончили сессию ?
18.
Определить число всех n последовательностей из нулей и единиц (т.е. двоичных
кодов длины n).
19.
Из алфавита выделили k букв. Известно, что
из этих k букв две буквы (причем различные) можно
выбрать 132 способами. Найти k.
20.
Код автоматической камеры хранения
состоит из пяти различных цифр. Хозяин багажа забыл
точный код, но помнит, что в нем использовались цифры
1,3,4,8,9. Сколько надо перебрать комбинаций для
открытия камеры?
21.
Сколько
существует
десятизначных
трехразрядных чисел, в которых первая цифра четная,
вторая нечетная, а третья любая?
22.
Компьютерные
взломщики
составили
программу,
определяющую
пароль
пользователя,
состоящий из 6 маленьких различных латинских букв
(всего 26 букв). Сколько вариантов различных паролей
необходимо испытать в худшем случае? Оцените
приблизительно, сколько на это потребуется дней, если
предположить, что компьютер за 1 секунду перебирает
100 вариантов.
23.
Старший разряд трехзначного числа
некоторой системы счисления может содержать одну
цифру из 9 , младший одну из x , а средний – на две
меньше, чем младший. Найдите x, если известно, что
всего таких чисел существует 315?
24.
Составляют
буквенно-цифровой
код:
записывают сначала в некотором порядке две любых
различных цифры, затем справа приписывают пять букв:
a, b, c, d, e, также в определенном порядке. Сколько
существует таких кодов?
25.
Сколько
существует
десятизначных
двухразрядных чисел, в которых первая цифра четная, а
вторая нечетная?
26.
Составляют специальный код: записывают
сначала в некотором порядке пять согласных букв: б, в, г,
д, ж, затем справа приписывают две любых различных
гласных буквы (всего гласных букв 10) также в
определенном порядке. Сколько существует таких кодов?
27.
В спортивном классе учатся 25 человек. 10
человек занимаются плаванием, 13 человек занимаются
гимнастикой, причем 5 человек занимаются обоими
видами спорта. Сколько человек занимаются другими
видами спорта?
28.
Сколько существует семизначных чисел, в
каждом из которых две пятерки, две четверки и три
двойки?
29.
Сколько различных вариантов количества
очков может выпасть при бросании трех кубиков?
30.
Сколько разных четырехзначных чисел
можно составить из цифр 0, 1, 2?