Неполные уравнения прямой

10
Неполные уравнения прямой
Если в общем уравнении прямой
один или два из трех
коэффициентов (считая и
свободный член) обращаются в
нуль, то уравнение называется
неполным. Возможны
следующие случаи:
1). С=0; уравнение имеет вид
и определяет
прямую, проходящую через
начало координат.
2.В=0 (А
0); уравнение
имеет вид
и определяет прямую,
перпендикулярную к оси Ох.
Это уравнение может быть
записано в виде х=а, где
18
Окружность,Элепс.
Окружность.
Простейшей кривой второго
порядка яляется окружность.
Окружность радиуса R c
центром в точке Mo называется
Множество всех точек М
плоскости удовлетворяющих
условию МoМ=R
Уравнение
определяет окружность радиуса
R с центром C(
;
).
*Если центр окружности
совпадает с началом координат,
является величиной
отрезка, который отсекает
прямая на оси Оу, считая от
начала координат.5). А=0, С=0
(В
0); уравнение может
быть записано в виде у=0 и
определяет ось абсцисс.
Если ни один из коэффициентов
уравнения (1) не равен нулю, то
его можно преобразовать к виду
Где b^2=c^2-a^2
0(o,O)-центр гиперболы
Точки A1(a,0)и A2(-a,0)-вершины
гиперболы.
A1A2=2a- дествительня ось
(мнинмая B1B2)
то есть если
то уравнение (1) принимает вид
(2).
c^2-a^2=b^2
c>a
E=c\a >1
2.Порабола- это линия состоящая
из точек расстояние от которых
До данной прямой равно
расстоянию до данной точки.
3). В=0, С=0 (А
0);
уравнение может быть записано
в виде х=0 и определяет ось
ординат
4). А=0 (В0); уравнение имеет
вид
и
определяет прямую,
перпендикулярную к оси Оу.
Это уравнение может быть
записано в виде y=b, где
19.
Гипербола. Парабола.
1.Гиперболв- Это линия,состоящая
из точек разность расстояний от
которых до 2х фиксированных
точек(фокусов) есть const.
Канонечское ур-е гипер-ы
Элепс.(кривая 2го порядка)
Эллипсом называется –линия
состоящая из точки сумма
расстояний от фиксированных
точек( фокусы) есть величина
постоянная.
Постоянную сумму расстояний
произвольной точки эллипса до
фокусов принято обозначать
через 2а. Фокусы эллипса
обозначают буквами
И
,
F1-левый фокус.F2-правый
фокус. расстояние между ними через 2с. По определению
эллипса
Каноническое ур-е парболы
(p>0)
Параболой называется множество
всех точек плоскости, каждая из
которых одинаково удалена от
данной точки, называемой фокусом,
и данной прямой, называемой
директрисой. Расстояние от фокуса
F до директрисы называется
параметром параболы и
обозначается через p (p > 0).
уравнение директрисы имеет вид
x=-p/2
Уравнение (11.13) называется
каноническим уравнением
параболы. Парабола есть линия
второго порядка.
или .
>0
Каноническое уравнение
эллипса с центром симметрии в
2
1.
Вектора и линейные операции над
ними.
Вектор-это направленный
прямолинейный отрезок.(отрезок
имеющий определенную длину и
направление).
Длина вектора называется его модулем
(обозначается |AB|). |AB| - расстояние
между началом и концом вектора a.
Векторы называют коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на
параллельных прямых Коллинеарные
векторы могут быть направлены
одинаково или противоположно.
Векторы называют компланарными,
если они лежат в одной плоскости (или
параллельны одной плоскости).
Векторы называют равными, если: 1)
они коллинеарные; 2) одинаково
направлены; 3) имеют равные длины.
Если начало и конец вектора совпадают,
то вектор называют нулевым,
направление его любое.
Нулевой вектор коллинеарен любому
вектору. Он нулевой если его длина =0
Произведение вектора на число
Произведением вектора a на число λ
называется вектор, длина которого равна
|λ|*|a| , а направление совпадает с
направлением вектора a , если λ>0, и
противоположно a, если λ<0.
Свойства произведения вектора на
число. 1)λ(a+b)=λa+λb; 2)(λ+µ)a=λa+µa;
3)λ(µa)=(λµ)a=µ(λa); 4)1*a=a.
Сложение вектров
Суммой векторов a и b называется
вектор a+b который соединяет начало
первого вектора с концом второго, при
условии, что начало второго вектора
совпадает с концом первого. Это так
называемое правило треугольника.
Вектор a+b есть диагональ
параллелограмма, построенного на
векторах a и b приложенных к общему
началу. Это правило параллелограмма.
Для того, чтобы сложить данные n
векторов, надо записать их в любом
порядке: a1,a2,...,an . Приложить первый
вектор к какой-либо точке О, а каждый
следующий вектор - к концу
предыдущего. Тогда сумма a1+a2+...+an
есть замыкающий
вектор:S=a1+a2+a3+...+an
Свойства сложения векторов:
1)a+b=b+c - коммутативность;
2)a+(b+a)=(a+b)+c - ассоциативность;
3)a+(-a)=0; 4)a+0=a.
Разностью векторов а и б понимается
вектор с=a-b такой что b+c=a
Рис. Можно вектора a-b=a+(-b)
Единичные вектора называются
ортами
Линейная зависимость и
независимость векторов
Линейной комбинацией векторов
a1,a2,...,an называют вектор
a=λ1 a1+...+λi ai+...+λ nan , где λi - некоторые
вещественные числа, ai – векторы.
Выясним, когда линейная комбинация
векторов может дать нулевой вектор
. Если равенство выполняется только в
том случае, когда все λi=0, то векторы
a1...an называются линейно
независимыми. Если же равенство
выполняется, и хотя бы одно λ i<>0, то
векторы a1...an называются линейно
зависимыми. В случае линейной
зависимости один из векторов может
быть представлен как линейная
комбинация остальных. Если векторы
коллинеарны, то они всегда линейно
зависимы.
В одномерном пространстве линейно
независимым может быть один
ненулевой вектор. В двумерном - два
неколлинеарных. В трехмерном - три
некомпланарных. В каждом
пространстве максимальное количество
линейно независимых векторов равно
размерности пространства. Совокупность
линейно независимых векторов называют
базисом этого пространства.
3
Базис
Определение.
1) Базисом в пространстве
называются любые 3
некомпланарных вектора, взятые в
определенном порядке.
2) Базисом на плоскости называются
любые 2 неколлинеарные векторы,
взятые в определенном порядке.
3)Базисом на прямой называется
любой ненулевой вектор.
то числа a, b и g - называются
компонентами или координатами
вектора а в этом базисе.
Св-ва.
равные векторы имеют
одинаковые координаты,
при умножении вектора на
число его компоненты тоже
умножаются на это число,
при сложении векторов
складываются их соответствующие
компоненты
0( 0,0). IF1F2I=2c
[ рис]
F1(-c,0); F2(C,0)
5.
a^2-c^2=b^2
Экцесцентриситетом Элепса –
Называют отношение
половины расстояния между
фокусами к большой полуоси
эллипса. E=c\a >1
Пусть — M(X,Y) произвольная
точка параболы. Соединим точку Μ
с F. Проведем отрезок ΜΝ
перпендикулярно директрисе.
Согласно определению параболы
MF = ΜΝ. По формуле расстояния
между двумя точками находим:
Следовательно,
Возведя обе части уравнения в
квадрат, получим
Т.Е
и
Выражение скалярного произведения
через координаты.
если векторы и заданы своими
координатами: a(x1; y1; z1); b(x2 ; y2 ; z2).
то их скалярное произведение может
быть вычислено по формуле
Длинна вектора
|a|=√((a)2=√x12+y12+z12
Угол между векторами
Из формулы a*b=|a|*|b|*cosφ находим
cosφ= a*b/(|a|*|b|), cosφ= x1 x2+y1 y2+z1z2 /
(√x12+y12+z12+√x22+y22+z22)
Свойства скалярного произведения:
1)a*b=b*a – переместительный;
2)λ(ab)=(λa)b=a(λb) – сочитательный;
3)a(b+c)=a*b+a*c – распределительный;
4)а*а=(а)2=|a|2 скалярный квадрат;
5)Если векторы перпендикулярны, то
скалярное произведение равно нулю.
Выражение скалярного произведения
через координаты векторов
Пусть даны векторы a(x1; y1; z1); b(x2 ; y2 ;
z2). Вычислим их скалярное
произведение
a*b= (x1 i+y1 j+z1k) * (x2i+y2 j+z2k) = x1 x2(i*i) +
x1 y2(i*j) + x1z2(i*k) + y1 x2(j*i) + y1 y2(j*j) +
y1 z2(j*k) + z1 x2(k*I) + z1 y2(k*j) + z1z2(k*k) =
x1 x2+y1 y2 +z1z2 .
Здесь учтено, что единичные векторы i, j,
k попарно ортогональны, т.е. для них
выполняются соотношения: i*i=j*j=k*k=1;
i*j=j*k=i*k=0. Значит a*b=x1 x2+y1 y2+z1z2 т.
е. скалярное произведение векторов,
заданных своими декартовыми
координатами, равно сумме
произведений одноименных координат
проекция вектора на заданное
направление
7
Векторное произведение векторов
Результат = вектор S(пар-ма, и треуг)
Векторным произведением вектора a на
вектор b называется такой третий вектор
c (обозначают с=[ab]или с=aхb), который
удовлетворяет следующим условиям:
1)Тройка векторов a;b;с=aхb является
правой. 2) Вектор c перпендикулярен к
каждому из перемножаемых векторов
3) |с|=|axb|=|a||b|sinφ
Рисуем правую и левую тройку.
Св-ва векторного произведения 1) не
выполняются переместительный закон,
так как: [ab]=-[ba]; 2)λ[ab]=[(λa)b]=[a(λb)] сочитательный; 3)[a(b+c)]=[ab]+[ac] –
распределительный; 4) a||b, то [ab]=0 и
обратное: [ab]=0 то a||b; 5)[ab]= площади
параллелограмма, построенного на
перемножаемых векторах.
Выражение векторного произведения
через координаты векторов
Вычисляем как
определитель.
Нахождение площади
параллелограмма и треугольника
Согласно определению векторного
произведения векторов а и b |а хb | =
|а| * |b |sing , т. е. S пар = |а х b |. И,
значит, Sтреугол =1/2|а х b |.
Установление коллинеарности
векторов
8
Смешанное произведение векторов
Результат=число.(V-пар-да, пирамиды)
Если вектор a умножается на вектор b
векторно, а полученный вектор умножается на
вектор c скалярно, то такое произведение
называется смешанным и обозначается
aхb)∙c или [a,b]∙c. Смешанное произведение
векторов a,b,c - число.
Св-ва смешанного произведения
1. Смешанное произведение не меняется при
циклической перестановке его сомножителей,
т. е. а х b )•с=(b х с)•а=(с х а)•b .
Действительно, в этом случае не изменяется
ни объем параллелепипеда, ни ориентация
его ребер
2. Смешанное произведение не меняется при
перемене местами знаков вкторного и
скалярного умножения, т. е. (ахb )•с=а*(bx с).
Действительно, (ахb )•с=±V и а•(b хс)=(b
хс)•а=±V . Знак в правой части этих равенств
берем один и тот же, так как тройки векторов а
, b , с и b , с , а — одной ориентации.
Следовательно, (a хb )•с=a (b хс). Это
позволяет записывать смешанное
произведение векторов (а х b )с в виде abc
без знаков векторного, скалярного умножения.
3. Смешанное произведение меняет свой знак
при перемене мест любых вух векторовсомножителей, т. е. abc =-acb , abc =-bac , abc
=-cba .
Действительно, такая перестановка
равносильна перестановке сомножителей в
векторном произведении, меняющей у
произведения знак.
4.Смешанное произведение ненулевых
векторов а, b и с равно нулю огда и только
тогда, когда они компланарны.
Если abc =0 , то а, b и с— компланарны.
Допустим, что это не так. Можно было бы
построить параллелепипед с объемом V¹ 0.
Но так как abc =±V , то получили бы, что abc¹0
. Это противоречит условию: abc =0.
Обратно, пусть векторы а, b , с —
компланарны. Тогда вектор d =ахb будет
перпендикулярен плоскости, в которой лежат
векторы а, b ,с, и следовательно, d ^с.
Поэтому d •с=0, т. е. abc =0.
Выражение смешанного произведения
через координаты векторов
Пусть заданы векторы a =ахi +ayj +azk ,
b =bxi +byj +bzk , с=cxi +cyj +czk .
Найдем их смешанное произведение,
используя выражения в координатах
для векторного и скалярного
произведений:
Если
- базис в пространстве и
11.3
, (2)
6
Скалярное произведение векторов
Результат = число.
Пусть даны два вектора a и b и угол φ
между ними. Скалярным
произведением векторов a и b
называется число, равное произведению
длин этих векторов на косинус угла
между ними. По определению
a*b=|a|*|b|*cosφ так же можно и этой
формулой.
Декартова система координат
Координатами вектора в декартовой
системе координат называют его
проекции на координатные оси.
Координаты вектора a обозначаются ax
;ay ;az или (x,y,z ), т.е.a=(ax,ay,az) или
a(x,y,z). Если вектор a образует с осями
координат соответственно углы α, β, γ , то
косинусы этих углов, т.е. cosα, cosβ, cosγ
называются направляющими косинусами
вектора a.
или
Определение объемов
параллелепипеда и треугольной
пирамиды
Нетрудно показать, что объем
параллелепипеда, построенного на
векторах а, b и с вычисляется как V
=|аbс|, а объем треугольной пирамиды,
построенной на этих же векторах, равен
V =1/6*|abc |.
9.
Уравнение плоскости в
пространстве
В декартовых координатах
каждая плоскость определяется
уравнением первой степени и
каждое уравнение первой
степени определяет плоскость.
Всякий (не равный нулю)
вектор, перпендикулярный к
данной плоскости, называется
ее нормальным вектором.
Уравнение
определяет плоскость,
проходящую через точку
и имеющей
нормальный вектор
.
Раскрывая в уравнении (1)
скобки и обозначая число
буквой D,
представим его в виде
Это уравнение называется
общим уравнением плоскости.
11.
Расположение 2x плоскостей в
пространстве.
1.
параллельны.
2.
пересекаются
опр. Две плоскости в
пространстве наз.
Параллельными ели они
пересекаются , в противном
случае они параллельны.
Плоскости могут совпадать,
быть параллельными или
пересекаться по прямой.
12 .
Каноническое уравнение
прямой в пространстве.
13.
Прямая, как пересечение 2х
плоскостей.
14.
Расположение 2х
Прямы в пространстве.
Если известна одна точка
Пересечение 2 плоскостей
Задают прямую в пространстве.
прямой и направляющий вектор
Прямая в пространстве может быть
задана:
1) как линия пересечения двух
плоскостей,т.е. системой уравнений:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x +
B2 y + C2 z + D2 = 0;
Угол между двумя прямыми на
плоскости. Условия параллельности и
перпендикулярности прямых.
Пусть даны
две прямые
своими
общими
уравнениям
и:
A1x+B1 y+C1=
0,
A2x+B2 y+C2=0. Пусть прямые
пересекаются (угол между ними равен φ).
Возьмем нормали n1 и n2 к прямым I и II:
n1=(A1,B1) и n2=(A2,B2). Угол между
прямыми равен углу между векторами
n1=(A1,B1) и n2=(A2,B2):
cosφ=(n1∙n2)/(|n1|∙|n2|) Переходя от
векторной записи к координатной,
получим:
cosφ=(A1 A2+B1B2)/(√A12+B12*√A22+B22).
Если прямые параллельны, то и n1||n2 ,
и их одноименные координаты пропорциональны: A1/A2=B1/B2 , но при этом
A1/A2=B1/B2<>C1/C2.
A1/A2=B1/B2=C1/C2, то прямые совпадают.
Если прямые перпендикулярны, то и
n1┴n2: A1A2+B1B2=0
, то прямая
может быть определена (двумя)
уравнениями вида
. (1)
В таком виде уравнения прямой
называются каноническм.
канонические уравнения
прямой, проходящей через
данные точки
и
имеют
15.
Расположение прямой и
плоскости в пространстве.
Прямая может лежать на
данной плоскости, быть
параллельна данной плоскости
или пересекать ее в одной точке,
см. следующие рисунки.
16.
Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от точки до прямой.
Пусть заданы прямая L уравнением
Ax+By+C=0 и точка Mo (xo,yo)
Требуется найти расстояние от
точки Mo до прямой L.
Решение: Расстояние d от точки Mo
прямой L равно модулю проекции
вектора MoM1 где M1 (x1,y1)
произвольная точка прямой L, на
направлении нормального вектора
n=(A,B) Cл-но
17.
Прямая на плоскости.
Т-ма Любая прямая на
плоскостизадаеться уравнением 1й
степени.
Всякое ур-е 1ой степени задает
прямую на плоскости.
Число k=tg(alf) называеться
угловым коэф. прямой. А уравнение
прямой с угловым коэфицентом.
уравнения
ур-е прямой по 2м точкм
x-x1/x2-x1 =y-y1/y2-y1=z-z1/z2-z1
Уравнение прямой в отрезках
Нормальное уравнение
прямой
уравнение прямой с угловым
коэфицентом.
y=kx+b
параметрическими уравнениями
Y=kx+b
Так как точка M1 (x1,y1)
принадлежит прямой L, то
Ax1+By1+C=0,т.е С=-Ax1-By1
Поэтому
y-yo=k(x-xo)  y=kx+b
гдe k
ур-е прямой по 2м точкм
x-x1/x2-x1 =y-y1/y2-y1=z-z1/z2-z1
Уравнение прямой в отрезках
Уравнения плоскости в
пространстве
Общее уравнение
плоскости
вид
Нормальное уравнение
прямой
Уравнение прямой с угловым
коэффициентом
Расстояние от точки до плоскости.
Пусть задана точка Mo(Xo,yO,Zo) и
плоскость Q своим уравнением
Ax+By+Cz+D=O
Расстояние от точки Mo до
плоскости находиться по формуле.
Из общего уравнения прямой Ax+By+C=0
выразим y: y=-A/B*x-C/B, B<>0 Введем
обозначения: -A/B*x=k -C/B=b. Получаем
уравнение прямой с угловым
коэффициентом: y=kx+b, k=tgα, где α угол между прямой и осью Ох, b ордината точки пересечения прямой с
осью Оу
Общее уравнение прямой на
плоскости
Уравнение прямой, проходящей через
точку M0(x0 ;y0) перпендикулярно
вектору n=(A;B).
Берем на прямой
точку М с
текущими
координатами
(x;y)
рассмотрение
вектор М0 М=(xx0 ;y-y0), где x-x0 и y-y0 - разность
одноименных координат конца и начала
вектора. Так как n┴ М0 М, то скалярное
произведение n∙М0М=0. Записывая
произведение через координаты
векторов, получим: A(x-x0 )+B(y-y0)=0.
Раскроем скобки в уравнении: Ах+By-Ax0By0=0 и обозначим C=-Ax0-By0 тогда
получим общее уравнение прямой на
плоскости: Ax+By+C=0.
Уравнение плоскости, проходящей
через три данные
точки
Уравнение плоскости в отрезках