10_Tema_12_urok_1

(Класс 10, модуль XII, урок 1)
Урок 1. Простейшие тригонометрические уравнения
План урока






1.1. Частный случай уравнения вида
1.2. Частный случай уравнения вида
1.3. Частный случай уравнения вида
1.4. Частный случай уравнения вида
Тесты
Домашнее задание
cos x  a
sin x  a
tgx  a
ctgx  a
Цели урока:
На основе значений тригонометрических функций некоторых углов
ознакомиться с идеологией решения простейших тригонометрических
уравнений.
1.1. Частный случай уравнения вида cos x  a
Рассмотрим тригонометрическое уравнение
3
cos x 

(1)
2
Один из корней этого уравнения можно указать сразу по таблице
значений косинуса основных углов. Действительно, cos 6  23 , а поэтому
число x0  6 является одним из корней этого уравнения.
Зная один из корней, можно найти все его корни. Для этого сначала
вспомним определение косинуса числа 6 . Изобразим на рисунке 1
тригонометрическую окружность, то есть окружность единичного радиуса с
центром в начале координат, и построим направленный угол AOB
величины 6 радиан. Абсцисса точки B пересечения конечной стороны угла
AOB с окружностью равна cos 6 . Если через точку B перпендикулярно оси
Ox провести прямую m , то прямая m пересечет ось Ox в точке K с
абсциссой 23 .
Теперь заметим, что прямая m содержит все точки координатной
плоскости, абсциссы которых равны 23 . Поэтому, используя общие точки B
и C прямой m и окружности, можно указать величины всех углов,
косинусы которых равны 23 .
Точка B соответствует следующим направленным углам: 6 (рис. 2),


(рис. 4), 6  2 (рис. 5), и вообще любому углу
6  2 (рис. 3), 6  4
величины 6  2 m , где m — целое число.
Точка C соответствует следующим направленным углам:  6
(рис. 6),  6  2 (рис. 7),  6  4 (рис. 8),  6  2 (рис. 9), и вообще
любому углу величины  6  2 k , где k — целое число.
Таким образом, уравнение (1) имеет бесконечное множество корней.
Все эти корни можно записать в следующем виде x  6  2 m , x   6  2 k ,
где m и k – произвольные целые числа.
Для краткости эти две записи часто объединяют в одну:
x   6  2 n , n  Z .
Аналогично решаются и некоторые другие уравнения. Например,
зная, что cos 512 
в виде:
2 ( 3 1)
4
, все корни уравнения cos x 
2 ( 3 1)
4
можно записать
x   512  2 n , n  Z .
1.2. Частный случай уравнения вида sin x  a
Рассмотрим тригонометрическое уравнение
2
sin x  

(2)
2
По таблице значений тригонометрических функций можем найти, что
число x0   4 является одним из корней уравнения (2).
Для отыскания всех корней этого уравнения изобразим
тригонометрическую окружность и построим направленный угол AOB
величиной  4 радиан (рисунок 10). Затем через точку B проведем прямую
n перпендикулярно оси Oy , которая пересекает ось Oy в точке L с
ординатой 
2
2
. Прямая n содержит все точки координатной плоскости,
ординаты которых равны 
2
2
. Используя этот факт, нетрудно найти
величины всех направленных углов, синусы которых равны  22 .
Один из направленных углов, соответствующих точке B , был найден
в начале этого пункта. Он равен  4 . Все углы, которым соответствует точка
B , имеют вид  4  2 m , где m — произвольное целое число.
Один из направленных углов, соответствующих точке C , равен  34
(рис. 11). Величины углов, которым соответствует точка C , имеют вид
 34  2 k , где k — произвольное целое число.
Таким образом, уравнение (2) имеет бесконечное множество корней,
которые можно записать в следующем виде:
x   4  2 m , x   34  2 k ,
где m и k – произвольные целые числа.
1.3. Частный случай уравнения вида tgx  a
Рассмотрим тригонометрическое уравнение
1
tgx 

3
(3)
По таблице значений тригонометрических функций можем найти, что
число x0  6 является одним из корней уравнения (3).
Для получения всех корней этого уравнения изобразим
тригонометрическую окружность, ось тангенсов и построим направленный
угол AOB величиной 6 радиан (рис. 12). Затем через точки O и B
проведем прямую l , которая пересекает ось тангенсов в точке N с
ординатой 13 . Точки B и C пересечения прямой l с окружностью
соответствуют направленным углам, тангенсы которых равны
1
3
.
Один из направленных углов, соответствующих точке B , был найден
в начале этого пункта и равен 6 . Все углы, которым соответствует точка B ,
имеют величины 6  2 m , где m — произвольное целое число.
Один из направленных углов, соответствующих точке C , равен 6   . Все
углы, которым соответствует точка C , имеют величины ( 6   )  2 n , где
n – произвольное целое число.
Таким образом, уравнение (3) имеет бесконечное множество корней,
величины которых можно записать в виде:
x  6  2 m , x   76  2 n , где m и n — произвольные целые числа.
Для краткости эти две записи часто объединяют в одну:
x  6   k , k  Z .
1.4. Частный случай уравнения вида ctgx  a
Рассмотрим уравнение
1
(4)

3
Числа вида x   n , x  2   n , где n  Z , не являются корнями этого
уравнения. Поэтому с помощью формулы ctgx  tgx1 уравнение (4) можно
ctgx  
заменить на равносильное уравнение
1
tgx

1
3
или tgx   3 .
Одним из корней последнего уравнения является число x  

.
3
Поэтому аналогично рассмотренному в предыдущем пункте найдем все
корни:
x   3   n , n  Z .
Проверь себя. Простейшие тригонометрические уравнения
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Какое множество корней имеет уравнение cos x  

3
?
2
 1. x    2 k , k  Z
3

 2. x    2 k , k  Z
6
 3. x  
2
 2 k , k  Z
3
5
 2 k , k  Z
6
(Правильный вариант: 3)
 4. x  
1
Какое множество корней имеет уравнение sin x   ?
2


 1. x   2 k , x    2 m, k  Z , m  Z
6
6
 2. x 
 3. x 
5
5
 2 k , x  
 2 m, k  Z , m  Z
6
6

3
 2 k , x  

3
 2 m, k  Z , m  Z
2
2
 2 k , x  
 2 m, k  Z , m  Z
3
3
(Правильный вариант: 2)
 4. x 
Какое множество корней имеет уравнение tgx  

 1. x    2 k , k  Z
6

 2. x     k , k  Z
6

 3. x    2 k , k  Z
3
3
?
3

 4. x     k , k  Z
3
(Правильный вариант: 2)
Какое множество корней имеет уравнение ctgx  3 ?

 1. x     k , k  Z
3
 2. x 
 3. x 
 4. x 

6

3
  k, k  Z
 2 k , k  Z

  k, k  Z
3
(Правильный вариант: 2)
Проверь себя. Простейшие тригонометрические уравнения
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа
.
Какие из указанных множеств являются множеством всех корней уравнения
tgx  1 ?
3
 1. x     k , k  Z
4

 2. x    k , k  Z
4
 3. x 
3
  k, k  Z
4
 4. x 
5
  k, k  Z
4
(Правильные варианты: 1, 2. 4)
Какие из указанных множеств являются множеством всех корней уравнения
sin x  0 ?
 1. x   k , k  Z
 2. x    2 k , k  Z
 3. x  2 k , x    2 m, k  Z , m  Z
 4. x  2 k , x    2 m, k  Z , m  Z
(Правильные варианты: 1, 3, 4)
Какие из указанных множеств являются множеством всех корней уравнения
cos x  0 ?
 1. x   k , k  Z

 2. x    2 k , k  Z
2

 3. x    k , k  Z
2

3
 4. x   2 k , x   2 m, k  Z , m  Z
2
2
(Правильные варианты: 2, 3, 4)
Какие из указанных множеств являются множеством всех корней уравнения
1
sin x  ?
2

2
 1. x   2 k , x 
 2 m, k  Z , m  Z
3
3

5
 2. x    2 k , x    2 m, k  Z , m  Z
6
6

5
 3. x   2 k , x   2 m, k  Z , m  Z
6
6
13
17
 4. x 
 2 k , x 
 2 m, k  Z , m  Z
6
6
(Правильные варианты: 3, 4)
Домашнее задание
1. Решить уравнение: а) cos x  12 ; б) cos x 
г) cos x  
2.
3
2
; д) cos x 
Решить
г) sin x 
2
2
уравнение:
; д) sin x 
2
2
2 ( 3 1)
4
; в) cos x 
2 (1 3)
4
;
; е) cos x  1 ; ж) cos x  0 .
а) sin x   12 ;
2 (1 3)
4
б) sin x  
2 ( 3 1)
4
;
в) sin x 
3
2
;
; е) sin x  1; ж) sin x  0 ; з) sin x  1 .
3. Решить уравнение: а) tgx  1 ; б) tgx  3 ; в) tgx   3 ; г) tgx  2  3 ;
д) tgx  2  3 ; е) tgx  3  2 ; ж) tgx  0 .
4. Решить уравнение: а) sin3x  0 ; б) cos 2x   12 ;
г) sin 2x  23 ;
и) ctg 5 x  0 .
5.
д) cos 3x 
Решить
2 (1 3)
4
уравнение:
;
е) tg 4x  1 ;
ж) sin 2x  1 ;
а) cos(3x  2 ) 
в) cos( 2x  23 )   12 ;
г) cos(01x  4 )  1  0 ;
е) sin(3x  3 )  12 ;
ж) sin( 2x  23 ) 
3
2
;
3
2
;
в) ctg 2 x  
1
3
;
з) cos3x  0 ;
б) cos(2 x  3 ) 
2
2
;
д) sin(2 x  4 )  
2
2
;
з) 2sin(01x  4 )  1  0 ;
и) tgx(3x  2 )  1 ;
к) ctg ( 12 x  3 )  2  3 ;
л) tg (2 x  6 ) 
3
3
0;
м) ctg (01x  0 3 )  3 .
Словарь терминов
Направленный угол. На координатной плоскости угол,
образованный поворотом положительного луча оси Ox вокруг начала
координат.
Радианная мера направленного угла. Радианной мерой угла
называется длина пути, пройденного при повороте точкой пересечения
подвижного луча с единичной окружностью, взятая со знаком «плюс», если
поворот происходит против хода часовой стрелки, и взятая со знаком
«минус», - если по ходу часовой стрелки.
Синус числа. Синусом числа x называется ордината пересечения с
единичной окружностью луча, образующего угол в x радиан.
Косинус числа. Косинусом числа x называется абсцисса пересечения
с единичной окружностью луча, образующего угол в x радиан..
Пусть n - натуральное число, большее единицы.

Тангенс числа. Тангенсом числа x при x    k , k  Z , называется
2
sin x
отношение
.
cos x
Котангенс числа. Котангенсом числа x при x   k , k  Z , называется
cos x
отношение
.
sin x
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. 10-12-01.EPS
Рисунок 2. 10-12-02.EPS
Рисунок 3. 10-12-03.EPS
Рисунок 4. 10-12-04.EPS
Рисунок 5. 10-12-05.EPS
Рисунок 6. 10-12-06.EPS
Рисунок 7. 10-12-07.EPS
Рисунок 8. 10-12-08.EPS
Рисунок 9. 10-12-09.EPS
Рисунок 10. 10-12-10.EPS
Рисунок 11. 10-12-11.EPS
Рисунок 12. 10-12-12.EPS