Интегрирование дифференциальных уравнений

Задача D-13.9
Цилиндр массой 4 кг шарнирно закреплен на штоке OA. Цилиндр катится по
скошенной поверхности клина. Клин движется в направляющих, перпендикулярных
штоку. На шток действует сила Р  14 H , на клин массой 1 кг — сила F  2 H ; масса
штока 6 кг. Механизм расположен в горизонтальной плоскости. Найти ускорение клина
при    / 4 .
y
F
1
w2z
O
Ba
S
VB
a
P
x
A
VO
2
3
Решение
Обозначим клин телом 1, цилиндр – телом 2, шток – телом 3. Введем
координату S , которая определяет положение тела 1 (показана на рисунке).
Для решения задачи составим уравнение Лагранжа 2-го рода, выбрав за
обобщенную координату расстояние S :
d  дT  дT
Q.
(1)


dt  дS  дS
Кинетическая энергия поступательного движения тела 1 равна:
mV 2
T1  1 B ,
(2)
2
где m1  масса тела 1, m1  4 кг ;
VB  скорость тела 1 (поскольку тело 1 движется поступательно, то скорости всех его
точек равны между собой, выбрана точка В – точка касания клина с цилиндром).
Кинетическая энергия плоского движения тела 2 равна:
m V 2 J 2
T2  2 O  2 2 z ,
(3)
2
2
где m2  масса тела 2, m2  1 кг ;
VO  скорость центра масс тела 2 (точка О);
J 2  момент инерции тела 2 относительно его центра масс, так как это однородный
цилиндр, то J 2  0,5m2 R 2 , где R  радиус цилиндра;
2 z  угловая скорость тела 2.
Кинетическая энергия поступательного движения тела 3 равна:
mV2
(4)
T3  3 O ,
2
где m3  масса тела 3, m3  6 кг ;
VO  скорость тела 3 (поскольку тело 3 движется поступательно, то скорости всех его
точек равны между собой, выбрана точка О).
Выразим скорости, входящие в выражения (2) ÷ (4) через обобщенную скорость S .
Для этого составим кинематический граф:
R
O 
 B .
Соответствующие уравнения для проекций скоростей:
(5)
VBx  VOx  R  2 z  sin  ,
VBy  VOy  R  2 z  cos  .
(6)
Так как тело 1 движется вертикально, то горизонтальная составляющая его
скорости равна нулю:
VBx  0 ,
(7)
а вертикальная составляющая его скорости равна:
(8)
VBy  S .
Так как тело 3 движется горизонтально, то вертикальная составляющая его
скорости равна нулю:
VOy  0 .
(9)
Подставляя (7) ÷ (9) в выражения (5) и (6), получим:
0  VOx  R  2 z  sin  ,
S  R  2 z  cos  .
Отсюда находим угловую скорость тела 2 и проекцию скорости точки О:
S
,
2 z 
R  cos 
VOx  R  2 z  sin   R 
S
 sin   S  tg  .
R  cos 
(10)
(11)
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел 1÷3:
m1VBy2 m2VOx2 J 222z m3VOx2
T  T1  T2  T3 




2
2
2
2
2


S
2
2
0,5m2 R  

2
m2  S  tg 
R  cos   m3  S  tg 
m1S






2
2
2
2

m2
S2 

  m1 
  m2  m3   tg 2   .
2
2 
2 cos 

Введем обозначение для постоянной величины:
m2
С1  m1 
  m2  m3   tg 2  ,
(12)
2 cos 2 
отсюда имеем простое выражение для кинетической энергии, удобное для подстановки в
уравнение Лагранжа
S2
T
 C1 .
(13)
2


2


Определим обобщенную силу системы, соответствующую обобщенной
координате S :
Q  1/ S   P VOx  F VBy   1/ S  P  S  tg   F  S   P  tg   F .
(14)
Вычислим частные производные:
дT
 S  С1 ,
(15)
дS
дT
 0.
(16)
дS
Полная производная по времени определяется по формуле:
d  дT 
(17)

  S  С1 .
dt  дS 
Подставив (16) и (17) в уравнение (1), получим окончательный вид уравнения
Лагранжа:
S  С1  Q .
(18)
Отсюда ускорение тела 1 (клина):
Q
S .
(19)
С1
Вычислим коэффициент С1 (обобщенную массу):
m2
1

С  m1 
  m2  m3   tg 2   4 
 1  6   tg 2  12 кг;
2

2 cos 
4
2 cos 2
4
и обобщенную силу:

Q  P  tg   F  14  tg  2  12 Н .
4
Подставив полученные значения в уравнение (19), определяем искомое ускорение
клина:
12
S
 1 м / с2 .
12
Знак полученного ускорения указывает на то, что ускорение клина направлено в
сторону увеличения координаты S , т.е. вертикально вверх.
Ответ: S  1 м / с 2 .