Периодические дроби

Периодические дроби
Каждое рациональное число является действительным числом, а поэтому
может быть записано в виде десятичной дроби – конечной или бесконечной.
𝑘
Когда – несократимая дробь (kZ, nN), знаменатель которой не содержит
𝑛
никаких простых множителей, кроме 2 и 5; в этом случае числитель делят на
1
371
знаменатель и получают конечную десятичную дробь: =0,25; =2,968.
4
125
При делении 19 на 11 получается бесконечная дробь 1,7272…,
содержащей периодически повторяющуюся группу цифр 72. Эта группа
называется периодом дроби, а сама дробь – периодической. При записи таких
19
дробей период заключают в скобки и пишут один раз: =1,(72).
11
Каждое рациональное число можно записать в виде бесконечной
десятичной периодической дроби.
Каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой
некоторое рациональное число.
Каждую периодическую десятичную дробь можно рассматривать либо
как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, либо как сумму
конечной десятичной дроби и сумму бесконечно убывающей геометрической
прогрессии. Это позволяет представлять периодические десятичные дроби в
виде обыкновенных дробей.
Например, 0,(7). 0,(7)=0,777777…=0,7+0,07+0,007+0,0007+…=
=0,7+0,70,1+0,70,01+0,70,001…=0,7+0,70,1+0,70,12+0,70,13+…
Таким
образом, число 0,(7) есть сумма бесконечно убывающей геометрической
0,7 7
прогрессии, где b1=0,7, q=0,1. Значит, 0,(7)=S=
= .
1−0,1 9
Изучением периодических дробей занимался немецкий математик
К.Ф.Гаусс (1777-1855). Уже в детстве он делил единицу на все подряд простые
числа р из первой тысячи. При этом Гаусс подметил, что, начиная с какого-то
места, десятичные знаки начинают повторяться, т.е. получаются периодические
десятичные дроби. А периоды некоторых дробей достигали нескольких сотен
десятичных знаков. Рассматривая эти примеры, Гаусс установил, что число
цифр в периоде всегда равняется делителем числа р – 1.
Примеры решения задач
Пример 1. Представить в виде обыкновенной дроби число 3,4(12).
Решение: b1=0,012, q=0,01.
Значит, 3,4(12)=3,4+0,0(12)=
0,012
1−0,01
=3,4+
2
165
=3
68
165
Ответ: 3
Пример 2. Найти значение выражения 3,(7)+4,(3).
68
165
7
3
1
9
9
9
Решение: 3,(7)+4,(3)=3 +4 =8 .
Ответ: 8
Упражнения
1. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной:
1)
6)
7
2)
9
444444
7)
999999
4
3
5
9
3)
8)
44
4)
99
2
9)
3
11
5)
33
77
55555
99999
10)
99
5
6
2. Представьте число в виде обыкновенной дроби:
1) 6,(11)
2) 31,5(4)
3) 3,(24)
4) 4,12(3)
5) 17,4(7)
6) 9,12(47)
7) 0,(423)
8) 0,(451)
9) 8,23(41)
10) 1,0(8)
3. Выполните действия:
1) 0,(23)+0,(43)
2) 0,(2)+0,(37)
3) 5,0(8) – 4,1(6)
4) 0,(73) – 0,(487)
5) 0,(2)+0,(3)
6) 0,42(6)+0,12(3)
7) 2,2(7) – 0,47(2)
8) 0,(73)+0,(487)
9) 0,(43) – 0,(2)
10) 0,4(6) - 0,1(3)
4. Выполните действия:
1)
3)
5)
2
3
( +0,(3)):0,25
0,12(3):0,0925
0,8(5)+0,17(1)
0,8(5)−0,17(1)
+ 12,5 ∙ 0,32
+
2)
0,8(3)+0,1(6)
0,8(3)−0,1(6)
0,8(3)−0,4(6)
1,8(3)
4)
6)
(1,25:0,(18)−1,25:0,(8)):0,3(8)
5,(3)+0,291(6)
3
5
0,725+ +0,175+0,42(6)+0,12(3)
0,128∙6,25−(0,0345:0,12)
(0,(6)+0,(3)):0,25
7) (10,(6) – 5,(3)):3,(3)
8)
9)
10)
0,12(3):0,0925
1
9