КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА НАГРУЖЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА Р.З. Кажарова Учреждение Российской академии наук Научно-исследовательский институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН (Россия, г. Нальчик) Рассмотрим следующий класс нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными порядка 1, 2 : j j j D0t u x, u x, t a x, t u x, t j b x, t u x j , t c x, t u x j , t j x, t . m n k j 1 j 1 j 1 (1) Здесь D0t - оператор дробного дифференцирования порядка , x - спектральная функция из класса C I r , I r x,0 : 0 x r, a j x, t , b j x, t , c j x, t , x, t - заданные непрерывные в области x, t : 0 x r, 0 t T функции независимых переменных x и t , x j , t j - заданные точки из , причем t j 0, j 1, 2, ..., k . Пусть - гамма- функция Эйлера, 1 / z; - функция Миттаг-Леффлера. Задача VN: Найти решение ux, t уравнения (1) из пространства L C \ I r удовлетворяющее следующим условиям lim t 2 u x, t x , 0 x r , (2) t 0 t (3) ux,T x, 0 x r, где x , x - заданные функции из класса C I r . Для уравнения (1) задачи Коши и Дирихле в видоизмененной постановке были рассмотрены В.А. Нахушевой [1]. Применяя методику исследования В.А. Нахушевой доказана следующая теорема. Теорема. Пусть x, t L C \ I r и 1/ T ; 1 0. Тогда решение задачи VN для уравнения (4) D0t ux, ux, t x, t представимо в виде (5) ux, t U , ,, ; x, t U , , ; x, t U , ; x, t , где U , , ; x, t x t 11/ t ; x 1t 21/ t ; 1 , U , ; x, t D0t 1/ t ; x, , x T ; 1 x xT 1 T 2 1 / 1 / T ; D0T 1 / T ; 1 m n k x, a j x, u x, t j b j x, u x j , c j x, u x j , t j . (6) j 1 j 1 j 1 Для задачи VN выписано обобщенное решение. Методом интегральных уравнений доказана однозначная разрешимость поставленной задачи при m n k 1 в случаях: аx, t 0 ; bx, t 0 ; сx, t 0 . Рассмотрим частный случай уравнения (1). Пусть m n k 1 , bx, t 0 . Тогда уравнение (1) принимает вид: (7) D0t ux, ux, t ax, t ux, t1 сx, t ux1, t1 x, t , Решение задачи VN для уравнения (7) представимо в виде: u x, t U , , , ; x, t (8) D0t 1/ t ; ax, u x, t1 сx, u x1, t1 , где U , , , ; x, t x t 11 / t ; x t 21 / t ; 1 D0t 1 / t ; x, , 1 x x T 11 / T ; D0T 1 / T ; а x 2 T 1 / T ; 1 x, ax, ux, t1 сx, ux1, t1 . Перепишем (8) в виде: (9) ux, t U , ,, ; x, t Ax, t ux, t1 Cx, t ux1, t1 , где t ; cx, . Ax, t D0t 1/ t ; ax, , C x, t D0t 1/ Рассмотрим следующие варианты уравнения (9): (10) ux, t f x, t Ax, t ux, t1 , (11) ux, t f x, t Cx, t ux1, t1 , где f x, t U , ,, ; x, t . Исследуем разрешимость модельного уравнения (10). Пусть t t1 , тогда получаем u x, t1 f x, t1 . 1 Ax, t1 Нагруженное функциональное уравнение (10) однозначно разрешимо, если Ax, t1 1, тогда решение этого уравнения записывается в виде: f x, t1 u x, t f x, t A x, t . (12) 1 Ax, t1 Рассмотрим разрешимость уравнения (11). Пусть с( x, t ) c1 const . Так как [1] Cx, t c1t 1/ t ; 1 , то уравнение (11) безусловно и однозначно разрешимо тогда и только тогда, когда c1t1 1/ t1 ; 1 1. Решение уравнения (11) записывается в следующем виде: f x1, t1 u x, t f x, t С x, t . 1 С x1, t1 (13) Литература 1. Нахушева В.А. Задачи Коши и Дирихле в видоизмененной постановке для одного класса нагруженных дифференциальных уравнений дробного порядка// Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. Акад. Наук. Нальчик, 2009. Т. 11, № 1. С. 6-9.