Обыкновенные дифференциальные уравнения

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Сибирский государственный индустриальный университет»
Кафедра высшей математики
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Индивидуальные задания
Методические указания для практических занятий
Новокузнецк
2014
УДК 517.9(07)
О-303
Рецензент
доктор физико-математических наук, доцент
кафедры физики имени профессора В.М. Финкеля СибГИУ
Коваленко В.В.
О-303 Обыкновенные дифференциальные уравнения. Индивидуальные задания : метод. указ. / Сиб. гос. индустр. ун-т; сост.
Ю.Ю. Кузьмина. – Новокузнецк : Изд. центр СибГИУ, 2014. – 23 с.
Приведены варианты и образцы выполнения индивидуальных заданий по теме « Обыкновенные дифференциальные
уравнения».
Предназначены для студентов всех специальностей и
направлений подготовки.
Печатается по решению Совета Института фундаментального образования
2
Вариант 1
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти кривую, проходящую через точку А (2,16), зная, что угловой коэффициент касательной в любой точке кривой в три раза
больше углового коэффициента прямой, соединяющей эту же точку с
началом координат.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
б)
в)
г)
д)
;
е)
.
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
а)
б)
Вариант 2
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти кривую, проходящую через точку А(2,16), зная, что угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен квадрату
ординаты этой точки.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
б)
в)
г)
д)
е)
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
б)
3
Вариант 3
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти кривую, у которой сумма длин касательной (точнее, длины её отрезка от точки касания до точки пересечения с осью абсцисс)
и подкасательной в любой её точке равна произведению координат
точки касания.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
б)
; в)
г)
д)
е)
.
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
а)
б)
Вариант 4
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(1,1), у которой подкасательная равна сумме координат точки касания.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
в)
б)
г)
д)
; е)
.
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
а)
б)
4
Вариант 5
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти кривую, проходящую через точку А(1,2), для которой отрезок на оси ординат, отсекаемый любой касательной к кривой, равен
абсциссе точки касания.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
в)
д)
е)
.
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
)
Вариант 6
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти кривую, проходящую через точку А(1,1), у которой расстояние любой касательной от начала координат равно абсциссе точки касания.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
г)
е)
.
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
5
Вариант
7
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти семейство кривых, подкасательная в любой точке которых равна среднему арифметическому координат точки касания.
а)
г)
е)
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
Вариант 8
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти кривую, проходящую через точку (0,0), зная, что угловой
коэффициент в любой её точке равен сумме координат этой точки.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
г)
е)
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
6
Вариант 9
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти кривую, проходящую через точку А (1,2), касательная к
которой в произвольной её точке отсекает на оси ординат отрезок,
равный квадрату ординаты точки касания.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
в)
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
а)
Вариант 10
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти кривые, у которых площадь треугольника, образованного
осью абсцисс, касательной и радиусом – вектором точки касания, постоянна и равна 4.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
.
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
7
Вариант 11
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти все линии, у которых отрезок касательной между точкой
касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью
координат.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
г)
е)
.
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
Вариант 12
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти линию, у которой длина нормали (отрезок её точки линии
до оси абсцисс) есть постоянная величина а.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
г)
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
8
Вариант 13
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти линию, у которой сумма длин касательной и подкасательной в любой её точке пропорционально произведению координат
точки касания (коэффициент пропорциональности равен к).
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
б)
г)
д)
.
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
Вариант 14
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти линию, у которой площадь трапеции, образованной осями
координат, ординатой произвольной точки и касательной в этой точке, равна половине квадрата абсциссы.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
г)
.
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
9
Вариант 15
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти линию, у которой отрезок, отсекаемый на оси ординат касательной в произвольной точке: пропорционален кубу ординаты
точки касания.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
г)
е)
.
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
Вариант 16
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти линию, у которой отрезок, отсекаемый на оси ординат касательной в произвольной точке: пропорционален квадрату ординаты
точки касания.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
г)
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
10
Вариант 17
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти такую кривую, проходящую через точку (0; -2), чтобы угловой коэффициент касательной в любой точке равнялся ординате
этой точки, увеличенной на три единицы.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
в)
е)
.
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
Вариант 18
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти кривую, проходящую через точку (а; а), если подкасательная в любой точке её равна удвоенной абсциссе точки касания.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
в)
е)
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
11
Вариант 19
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти кривую, проходящую через точку А(0; 1), для которой
треугольник, образованный осью 0y, касательной к кривой в произвольной её точке и радиусом – вектором точки касания, - равнобедренный (причём основанием его служит отрезок касательной от точки
касания до оси 0y).
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
a)
г)
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
Вариант 20
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти семейство линий, касательные к которым отсекают от оси
абсцисс отрезки, равные ординате точки касания.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
.
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
12
Вариант 21
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти уравнение кривой, проходящей через начало координат,
если в каждой её точке подкасательная в К раз меньше поднормали.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
Вариант 22
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти кривые, у которых подкасательная равна удвоенной абсциссе точки касания.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
.
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
13
Вариант 23
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти кривые, у которых площадь треугольника, ограниченного
касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки
касания, есть величина постоянная, равная а².
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
д)
.
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
Вариант 24
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Определить и построить кривую, проходящую через точку (–1;
–1), для которой отрезок ОТ, отсекаемый на оси Ох касательной к
кривой в любой её точке, равен квадрату абсциссы точки касания.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
14
Вариант 25
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти линию, у которой любая касательная пересекается с осью
ординат в точке, одинаково удалённой от точки касания и от начала
координат.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
Вариант 26
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти уравнение кривой, проходящей через точку (-1, -1) и обладающей своим телом, что отрезок, отсекаемый на оси ОХ касательной, проведённой в любой точке кривой, равен квадрату абсциссы
точки касания.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
.
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
15
Вариант 27
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти кривую, у которой точка пересечения любой касательной
с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
Вариант 28
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти кривую, каждая касательная которой пересекает прямую
y=1 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точке касания.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
.
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
16
Вариант 29
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти кривые, у которых поднормаль равна сумме абсциссы и
ординаты точки касания.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
Вариант 30
1. С помощью дифференциального уравнения решить задачу.
Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1,1) и обладающей тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой точке М кривой вдвое больше углового коэффициента радиуса вектора точки М.
2. Определить тип уравнения. Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
a)
17
Демонстрационные примеры
Задание 1. С помощью дифференциального уравнения решить
задачу.
Найти уравнение кривой, проходящей через точку А (1, 1), у которой подкасательная равна сумме координат точки касания.
Решение.
Рисунок 1 – Касательная к графику функции y=f(x) в точке М
На рис. 1 отрезок ВС является подкасательной. Касательная к искомой кривой
проведена в точке
Так как по условию
то из прямоугольного треугольника МСВ находим:
Решим полученное однородное дифференциальное уравнение. Полагая
Отсюда
Интегрируя полученное уравнение, имеем
Подставляя
18
(по условию кривая проходит через точку А(1,1)), находим
конкретное значение
Таким образом, искомой
кривой является линия, определяемая уравнением
Задание 2. Определить тип уравнения. Найти общее решение
или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
а)
. Это уравнение с разделяющими переменными.
Разделяя переменные и интегрируя, находим общее решение заданного уравнения:
откуда
т.е.
б)
или
- однородное уравнение, так как приводится к виду:
. Вводим замену переменной y/x=t(x), от-
куда
в)
- линейное уравнение первого порядка. Будем искать
решение в виде:
уравне-
ние сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными:
Из первого уравнения находим:
Подставим найденное значение
во второе
уравнение
Окончательно:
г)
содержит независимой переменной
19
Уравнение второго порядка не
Вводим замену:
Используя
начальные
условия:
д)
Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно искомую функцию
т. е. имеет вид
Положим
Получаем дифференциальное уравнение первого порядка
- линейное относительно неизвестной функции
Общее решение
этого уравнения найдём подстановкой
Получаем:
Из первого уравнения находим
Подставляя во второе уравнение, получим
Следовательно,
т.е.
Интегрируя это равенство, найдём общее решение исходного уравнения
е)
Характеристическое уравнение
имеет два действительных корня
поэтому общее решение
однородного
уравнения
Правая часть неоднородного уравнения имеет вид
– многочлен
первой степени,
– не является корнем характеристического
уравнения. Значит, частное решение ищем в таком же виде:
многочлен первой степени с неизвестными коэффициентами). Для определения коэффициентов А и
В находим
после чего подставляем выражения для
ференциальное уравнение:
20
в исходное диф-
После сокращения обеих частей на
и приравнивания коэффициентов при соответствующих степенях в левой и правой части полученного равенства приходим к системе уравнений относительно неизвестных А и В:
Отсюда
Общее решение ис-
ходного уравнения имеет вид
Задание 3. Решить системы дифференциальных уравнений:
а) методом исключения;
б) методом Эйлера.
а)
Выразим
из
первого
уравнения
Подставим
во второе уравнение:
Получили линейное уравнение второго порядка с
постоянными коэффициентами. Общее решение:
–
общее решение однородного уравнения,
частичное решение неоднородного уравнения. Составляем и решаем характеристическое
уравнение:
б)
Составляем характеристическое уравнение:
21
Находим связь между произвольными постоянными общего уравнения. Для этого необходимо решить уравнения:
Окончательно, общее решение:
Библиографический список
1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа.
Изд. 8-е / Г. Н. Берман. – Москва : Наука, 2005. – 416 с.
2. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т.1. /
П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – Москва : Высшая
школа, 2003. – 304 с.
3. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике : учебное
пособие для втузов / В.П. Минорский. – 15-е изд. – М. : Издательство
физико-математической литературы, 2008. – 336 с.
4. Сборник задач по высшей математике с контрольными работами.
1 курс : учебное пособие для вузов / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный,
С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. – 4-е изд. – М. : Айрис-Пресс, 2005. –
575 c.
22
Учебное издание
Составитель
Кузьмина Юлия Юрьевна
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Индивидуальные задания
Методические указания для практических занятий
Напечатано в полном соответствии с авторским оригиналом
Подписано в печать 17.03.2014г.
Формат бумаги 60х84 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная.
Усл.-печ. 1,34 л. Уч.-изд. 1,50 л. Тираж 50 экз. Заказ
.
Сибирский государственный индустриальный университет
654007, г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42.
Типография СибГИУ
23