варианты решений тестовых заданий

5 класс
1.
Найти наименьшее трёхзначное число, которое делится нацело и на семь и на восемь.
Ответ: 112.
Решение. Вообще наименьшее число, которое делится и на 7 и на 8, есть 56. Но оно только
двухзначное. Если мы его увеличим в 2 раза, то получим 112. Очевидно, что оно наименьшее
трёхзначное.
Примечание. С этим заданием справились примерно 48% участников. Это лучший результат по 5
классу.
2.
На листе бумаги нарисован правильный треугольник со стороной 21 см. Каждая его
сторона разбита 20-ю точками на отрезки длины 1 см. Через эти точки параллельно
сторонам треугольника проведены прямые, они разбивают треугольник
на
правильные маленькие треугольнички со стороной в 1 см. Сколько маленьких
треугольничков при этом получится?
На рисунке приведён пример такой
конструкции со стороной 5 см.
Ответ: 441.
Решение. Способ 1. Если присмотреться к рисунку, то видно, что в верхнем ряду находится 1
треугольник, в первых двух рядах – (1+3=4=22) треугольников, в первых трёх рядах –
(1+3+5=4+5=9=32) треугольников, в первых четырёх рядах – 16=42 треугольников и т.д. Значит, в
первых 21 ряду, а значит, и всего, будет 212=441 треугольник.
Способ 2. В каждом ряду сверху вниз, начиная со второго ряда, на 2 треугольника больше, чем в
предыдущем. Так, во втором ряду 3=2∙2-1 треугольник, в третьем ряду 5=2∙3-1, в четвёртом ряду
7=2∙4-1. Значит, в 21 ряду будет 2∙21-1= 41 треугольник. Теперь нам нужно найти сумму всех
нечётных натуральных чисел от 1 до 41. Имеем
1+3+5+…+35+37+39+41=(1+39)+(3+37)+(5+35)+…+(19+21)+41=40∙10+41=441.
Способ 3 (предложен нашим кружковцем, учеником 5 класса гимназии им. М.Горького г.Хасавюрта
Сагитовым Сагитавом). Покрасим треугольники остриём вверх в синий цвет, а остриём вниз – в
красный. Тогда в каждом следующем сверху вниз ряду будет одним синим треугольником больше,
чем в предыдущем. Всего синих треугольников будет
1+2+3+…+19+20+21=(1+20)+(2+19)+…+(10+11)+21=10∙21+21=210+21=231.
Аналогично, красных треугольников в каждом ряду будет на один больше, чем в предыдущем. Но в
каждом ряду красных треугольников на один меньше, чем синих. Значит, всего красных
треугольников на 21 (по числу рядов) меньше, чем синих, то есть 210. Тогда всего треугольников
будет 231+210=441.
Примечание. С заданием справились примерно около 25% участников.
3.
Сколько раз за сутки встречаются (совпадают) часовая и минутная стрелки часов (от 00:00
включительно до 24:00 включительно)?
Ответ: 23.
Решение. Если первое совпадение стрелок происходит в 00:00, то второе – через 12/11 часа. Это
означает, что между двумя соседними совпадениями проходит больше часа. Это значит, что после
00:00 до 12:00, когда стрелки в очередной раз совпадут, произойдет не более (на самом деле –
ровно) 11 совпадений, включая совпадение в 12:00. Соответственно, столько же (то есть, 11)
совпадений будет после 12:00 до 24:00, считая совпадение в 24:00. Итого, часовая и минутная
стрелки встречаются 1+2∙11=23 раза.
Примечание. С заданием справились меньше 5% участников.
4.
Из города А в город Б ведут 3 дороги, из города Б в город В - 2 дороги, а из города А в город В - 4
дороги. Сколько различных вариантов путей, которыми можно проехать из города А в город В?
Ответ: 10.
Решение. Здесь ответ можно было получить, просто пересчитав все варианты. Например, так: 1) АБ1-В1, 2) А-Б1-В2, 3) А-Б2-В1, 4) А-Б2-В2, 5) А-Б3-В1, 6) А-Б3-В2. Плюс четыре прямые дороги из А в
В. Итого, 10. Другая форма подсчёта: 3∙2+4=10.
Примечание. С заданием справились 20% участников.
5.
Найти все двузначные числа, которые ровно в восемь раз больше суммы своих цифр?
Ответ: 72.
Решение. Число это единственное. Если искомое двузначное число составлено из цифр a и b, то
имеем: 10a+b=8(a+b) или 2a=7b. Так как a и b – цифры, то a=7, b=2.
Примечание. С заданием справились примерно 25% участников.
6.
Петя пошел в школу 1 сентября 2012 г., закончит её он 31 мая 2023 г. Сколько дней (включая
каникулы, выходные, праздники, учитывая високосные годы) Петя проведёт в школе (т.е., сколько
дней пройдёт от 1 сентября 2012 г. до 31 мая 2023 г., включая первый и последний)?
Ответ: 3925 дней.
Решение. От 1 сентября 2012 г. до 31 августа 2023 года пройдет ровно 11 лет. Имеем:
365∙11+2=4017 дней с учётом того, что 2016 и 2020 годы – високосные. Из этого результата надо
отнять 92 дня лета 2023 года. Получим: 4017–92=3925.
Примечание. С заданием справились около 8% участников.
7.
Сколько различных чисел можно получить, переставляя цифры числа 12123?
Ответ: 30.
Решение. Если все цифры пятизначного числа были бы различными (например, 12345), то можно
было составить 120 чисел. Действительно, на первую позицию можно поставить любую из 5 цифр.
Для каждого из этих 5 вариантов существует 4 варианта на вторую позицию (то есть, уже 20
вариантов). На третью позицию для каждого из этих 20 вариантов существует по 3 варианта
оставшихся цифр, на четвёртую позицию – по 2 варианта, на пятую позицию – 1 вариант. Итого,
5∙4∙3∙2∙1=120 чисел. Если теперь в числе две цифры одинаковые, то количество различных чисел
уменьшается ровно в два раза, так как числа, получающиеся перестановкой двух одинаковых цифр,
ничем не отличаются. Так как в нашем случае две пары цифр одинаковые, то количество различных
чисел уменьшается в 4 раза. Таким образом, 120:4=30.
Примечание. С заданием справились примерно 2,5% участников.
6 класс
1.
Все трёхзначные натуральные числа от 100 до 999 выписаны в ряд без промежутков. Сколько раз в
записи этого числа встречается цифра 7?
Ответ: 280.
Решение. Всего трёхзначных чисел 900 или 9 сотен. Цифра 7 в каждой сотне в разряде единиц
встречается 10 раз, столько же раз она встречается в разряде десятков. Это будет 2∙10∙9=180. Кроме
того, эта цифра 100 раз встречается в разряде сотен. Итого, 180+100=280.
Примечание. Несмотря на простоту решения, задача вызвала у детей большие трудности. Она
оказалась самой трудной в 6 классе и с ней справились меньше 2,5% участников.
2.
Вася сказал: «Послезавтра мне будет 11 лет, а в прошлом году исполнилось 8». Когда у Васи день
рождения?
Решения нет. К сожалению, при редактировании текста была допущена опечатка. В связи с этим в
предложенном варианте задача не решается. Поэтому жюри решила аннулировать все результаты
по этой задаче.
3.
Вычислить
.
Ответ: 1.
Решение. Так как 244∙395–151=(243+1) ∙395–151=
=243∙395+395–151=243∙395+244, то значение дроби равно 1.
Примечание. Эта задача решена подавляющим большинством учащихся,
но вряд ли кто её решал таким рациональным способом! С заданием
справились примерно около 75% участников.
4.
Чему равна площадь треугольника, изображённого на рисунке (размер
одной клеточки – 1 см)?
Ответ: 12 см2.
Решение. Площадь треугольника можно найти как разность между
площадью прямоугольника (6∙5=30) и суммой площадей трёх
прямоугольных треугольников. Площадь каждого такого треугольника
равна половине площади прямоугольника с такими же сторонами. То
есть, (5∙2:2=5; 6∙3:2=9; 4∙2:2=4). Тогда искомая площадь равна 30–
(5+9+4)=12 (см2).
Примечание. С этим заданием справились 33% участников.
5.
Вычислить сумму
1 + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) + (1+2+3+4+5) + (1+2+3+4+5+6) +
(1+2+3+4+5+6+7) + (1+2+3+4+5+6+7+8) + (1+2+3+4+5+6+7+8+9) + (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) .
Ответ: 220.
Способов вычисления этой суммы много. Например, можно было бы поступить следующим образом:
1∙10+2∙9+3∙8+4∙7+5∙6+6∙5+7∙4+8∙3+9∙2+10∙1=
=2∙(1∙10+2∙9+3∙8+4∙7+5∙6)=2∙(10+18+24+28+30)=2∙110=220.
Примечание. С заданием справились примерно около 69% участников.
6.
Произведение двух натуральных чисел, каждое из которых не делится на 10, равно 1000. Чему равна
их сумма?
Ответ: 133.
Решение. Заметим, что 1000=2∙2∙2∙5∙5∙5=a∙b. Если в разложении хотя бы одного из чисел a и b есть и
2 и 5, то оно будет делиться на 10. Значит, одно из данных чисел равно 2∙2∙2=8, а другое – 5∙5∙5=125.
Сумма этих чисел равна 133.
Примечание. Некоторые дети, найдя эти числа (8 и 133), не находили их сумму. Такие ответы не
засчитывались. С заданием справились около 45% участников.
7.
Сколько существует трёхзначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна чётная цифра?
Ответ: 775.
Решение. Найдем сначала, в записи скольких чисел нет ни одной чётной цифры, или количество
трёхзначных чисел, запись которых состоят только из нечётных цифр. Имеется всего 5 нечётных
цифр. В разряде сотен может находиться любая из них. Это 5 вариантов. На каждый из этих
вариантов на место в разряде десятков претендует также любая из 5 цифр. Это уже 5∙5=25
вариантов. Наконец, место в разряде единиц готова занять любая из 5 нечётных цифр. Итак, всего
125 чисел, в записи которых участвуют только нечётные цифры. Но так как всего 900 трёхзначных
чисел, то в записи всех остальных 775=900–125 чисел присутствует хотя бы одна чётная цифра.
Примечание. Эта задача наряду с первой также оказалась одной из самых трудных и она таковой
является. С заданием справились примерно 4% участников.
7 класс
1.
Найти наименьшее целое число, квадрат которого начинается на две единицы.
Ответ: нет такого числа.
Решение. Любое число вида -34∙100…0 является требуемым, а среди них нет наименьшего.
Примечание. В авторском условии предполагалось найти наименьшее натуральное число (это 34).
Поскольку опечатка произошла по вине организаторов, то были засчитаны как правильные все
ответы: а) нет (у одного!!! ученика), б) 34, в) -34 и г) 1156=342. С заданием справились 53%
участников.
2.
На схеме изображён план городка. На всех улицах введено одностороннее
движение – ехать можно только «вправо» или «вверх». Сколько есть
разных маршрутов из точки А в точку В?
B
Ответ: 35.
Решение. Задачу будем решать с конца. Рассмотрим правый верхний
прямоугольник. Если мы оказались в вершине В, то нам осталось 0 разных
маршрутов. Если мы находимся в правой нижней вершине или в левой A
нижней вершине этого прямоугольника, то мы можем пройти в В по
единственному маршруту. Если мы оказались в левой нижней вершине
этого прямоугольника, то мы можем попасть в В двумя различными
маршрутами. Отметим эти числа в этих вершинах. Рассмотрим
предпоследний прямоугольник в верхнем ряду. В двух вершинах его уже
числа записаны. В верхней левой вершине запишем число 1, а в левой
нижней вершине – число 3 (направо пойдёшь – 2 маршрута, вверх пойдёшь
– 1 маршрут). Последовательно записав в каждую вершину по одному
числу, равную сумме правого и верхнего соседей, мы в вершине А запишем
число 35 (см.рис.).
Примечание. С заданием справились лишь 1% участников.
3.
Найти наибольшее четырёхзначное число, все цифры которого различны и
которое делится на 2, на 5, на 9, и на 11.
Ответ: 8910.
Решение. Имеем 2∙5∙9∙11=990. Это наименьшее число, которое делится на
2, на 5, на 9, и на 11. Но он трёхзначное. Наибольшее четырёхзначное
число, которое делится на 990 а значит и на 2, на 5, на 9, и на 11, это 9900.
Однако в нём не все цифры различные. Проверим 9900-990=8910. Оно нас
устраивает, так как между 8910 и 9900 нет чисел, кратных 990.
Примечание. С заданием справились примерно 30% участников.
4.
Числа от 1 до 10 разбили на две группы так, что произведение чисел первой группы нацело делится
на произведение чисел второй группы. Какое наименьшее значение может быть у частного от
деления произведения чисел первой группы на произведение чисел второй группы?
Ответ: 7.
Решение. Пример: (1∙2∙5∙7∙8∙9):(3∙4∙6∙10)=7. Заметим, число 7 нельзя включать во вторую группу, так
как нет другого множителя, которое сокращается с 7. Тогда результат деления не может быть
меньше 7. Существуют и другие примеры, например (2∙4∙7∙9∙10):(1∙3∙5∙6∙8).
Примечание. С заданием справились примерно 16% участников.
5.
Вычислить сумму
1 + (–1+2) + (1–2+3) + (–1+2–3+4) + (1–2+3–4+5) + (–1+2–3+4–5+6) + … + (–1+2–
3+4–5+…+98–99+100).
Ответ: 2550.
Решение. Заметим, что после раскрытия скобок и взаимного уничтожения противоположных чисел
останется следующая сумма: 2+4+6+8+…+98+100=(2+100)+(4+98)+…+(48+54)+(50+52)=25∙102=2550.
Примечание. С заданием справились чуть больше 8% участников.
6.
Из 343 маленьких одинаковых кубиков составлен куб размером 7×7×7. Сначала в центральном
маленьком кубике пишем число 1. Затем, во всех его соседних маленьких кубиках (имеющих с ним
общую грань) пишем число 2. Затем, во всех маленьких кубиках, соседних с уже имеющими числа 2,
пишем число 4. И так далее, на каждом шаге во всех маленьких кубиках, соседних с уже имеющими
число N, пишем число 2N. Какое число будет записано последним?
Ответ: 512.
Решение. Рассмотрим средний горизонтальный слой, состоящий из 7×7 кубиков и в каждом кубике
согласно правилам запишем числа (см. рис. слева). В центральной клетке следующего за средним (2го) слоя будет записано число 2, а все остальные числа в 2 раза больше, чем в показанной на
рисунке. Тогда 4-й (последний) слой будет заполнен следующим образом (см. рис. справа).
Аналогично будут заполняться нижние слои. Значит, последним будет записано число 512 в 8
вершинных кубиках.
Примечание. С заданием справились только 3 участника и все с одной школы! Странно!
7.
64
32
16
8
16
32
64
512
256
128
64
128
256
512
32
16
8
4
8
16
32
256
128
64
32
64
128
256
16
8
4
2
4
8
16
128
64
32
16
32
64
128
8
4
2
1
2
4
8
64
32
16
8
16
32
64
16
8
4
2
4
8
16
128
64
32
16
32
64
128
32
16
8
4
8
16
32
256
128
64
32
64
128
256
64
32
16
8
16
32
64
512
256
128
64
128
256
512
Квадрат какого числа равен 12345678987654321?
Ответ: 111111111.
Решение. Заметим, что 11∙11=121, 111∙111=12321. Далее, по интуиции делаем вывод: так как данное
число 17-значное, число единиц должно быть 9.
Примечание. Некоторые учащиеся записывали ответ в виде 1111111112, что, конечно, неверно.
Однако жюри принимало такие решения. Справились с заданием около 28% участников.