Открытые задачи на метод математической индукции

Открытые задачи на метод математической индукции
Здесь собраны задачи, в которых нет готовых утверждений. Сначала надо эти
утверждения получить (угадать с помощью численного эксперимента и аналогий), а потом
уже доказывать методом математической индукции.
1. С помощью картинки угадайте формулу для суммы первых n натуральных чисел.
Докажите её. Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение про сумму первых n
чётных чисел; первых n нечётных чисел.
2. Подберите коэффициенты a, b, c, d так, чтобы сумма квадратов первых n натуральных
чисел равнялась an 3  bn 2  cn  d (при любом n ) и докажите полученную формулу.
3. Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение про сумму 1 2  2  3  ...  n(n  1) .
4. Сформулируйте и решите задачу, аналогичную предыдущей, для суммы кубов первых n
натуральных чисел. Подсказка 1. Можно решать аналогично задаче 2. Какой степени
многочлен надо брать? Подсказка 2. Можно посчитать несколько первых сумм и найти
закономерность.
5. Найдите и докажите формулу для суммы знакопеременной суммы 1  2  3  4  5...n
(чётные числа с минусом, нечётные с плюсом).
6. Сформулируйте и решите задачу, аналогичную предыдущей, для знакопеременной
суммы квадратов. Предложите общую гипотезу. 1
n
b  cn
i
7. Найдите и докажите формулу для суммы  i (она имеет вид a  n для некоторых
2
i 1 2
чисел a, b, c ).
8. Найдите и докажите формулу для суммы
n
i  2
i
.
i 1
9. Найдите и докажите формулу для (a1  a2  ...  an ) 2 (обобщение квадрата суммы).
10. Рассмотрим два числа a1 и a 2 , удовлетворяющие неравенствам 0  a1  1 , 0  a2  1 .
Тогда, очевидно, (1  a1 )(1  a2 )  1  a1  a2  a1a2  1  a1  a2 . Обобщите это утверждение
на n чисел и докажите своё обобщение.
11. Последовательность (bn ) задана рекуррентно: b1  3, bn1  7an  3 . Докажите, что
bn  0,5(7 n  1). Найдите и докажите формулу n -го члена для последовательности (cn ) :
c1  4, cn1  3cn  2.
1
Знакопеременная сумма k-х степеней выражается многочленом степени k.