urok4_opredelenieformyislvyiskipostrtablicistinnosti

Урок №21
Алгебра логики. Определение формы сложных высказываний, построение таблиц истинности
(урок 2 по теме; тип: урок закрепления)
Цели урока:
- проверить знание терминологии по теме Логические операции;
- научить записывать формы сложных высказываний, строить таблицы истинности сложных высказываний;
- ввести понятия: сложное высказывание, тождественно истинное высказывание и тождественно ложное
высказывание;
- развитие логического и пространственного мышления, памяти, внимательности;
- повышение интереса к предмету;
- воспитание культуры общения.
Этапы урока
I.
Организационный момент. Постановка цели урока. 2 мин.
II.
Проверка домашнего задания. 10 мин.
III.
Контроль знаний (диктант). 9 мин.
IV.
Закрепление. 20мин.
V.
Подведение итогов урока. 2 мин.
VI.
Постановка домашнего задания. 2 мин.
Ход урока
Проверяем письменное домашнее задание.
Далее проверяем знание логических операций. Проводится данный контроль в виде диктанта по двум
вариантам. В первых трёх заданиях учитель диктует запись сложного высказывания, используя научные названия
логических операций, учащиеся должны заменить названия специальными обозначениями и записать полученное
составное высказывание. В четвёртом и пятом задании даны логические операции и нужно записать соответствующие
им названия в алгебре логики, обозначение на естественном языке и построить таблицу истинности.
Вариант 1.
Вариант 2.
1. «А импликация В конъюнкция С» (ответ: А
В·С)
1. «А дизъюнкция В эквивалентность С»
(ответ: А
2. Ответ: А
3. Ответ: А·В
В
С)
2. Ответ: А·С
А·В
С
В
А
С
3. Ответ: А
В
С
В·D
4.Логическое сложение
4.Логическое умножение
5. Логическое равенство
5. Логическое следование
Для проверки можно открыть обратную сторону доски с правильными ответами.
Переходим к следующему материалу.
§3. Алгебра логики. Определение формы сложных высказываний,
построение таблиц истинности
1
(по книге В. Лысковой и Е. Ракитиной «Логика в информатике)
Введенные нами пять логических операций дают возможность из простых высказываний строить сложные
(составные).
Если несколько простых высказываний объединены в одно с помощью логических операций, то такое
высказывание называется сложным.
Всякое сложное высказывание принимает значение 1 или 0 в зависимости от значения простых высказываний,
из которых оно построено.
Таблицу, показывающую, какие значения принимает сложное высказывание при всех сочетаниях (наборах)
значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности сложного высказывания.
Сложные высказывания часто называют формулами логики высказываний.
Реальную задачу мы получаем, как правило, в виде текста на естественном языке. И прежде чем приступить к
её решению мы должны выделить простые высказывания, отношения между ними и перевести их на язык формул
(формализовать условие задачи, определить форму сложного высказывания).
Приведём примеры определения формулы сложного высказывания.
1.
Е= Ваш приезд не является ни необходимым, ни желательным.
Составляющие простые высказывания:
А= Ваш приезд необходим; В= Ваш приезд желателен.
Формула сложного высказывания: Е= А & В .
Определите самостоятельно формы сложных высказываний:
2.
К= Поиски врага длились уже три часа, но результатов не было, притаившийся враг ничем себя не
выдавал.
3.
Р=Чтобы погода была солнечной, достаточно, чтобы не было ни ветра, ни дождя.
4.
Т= Если у меня будет свободное время и не будет дождя, то я не буду писать сочинение, а пойду на
дискотеку.
5.
X= Лошадь погибает от одного грамма никотина, но я не лошадь, следовательно, курить вредно.
Теперь для тренировки попробуем выполнить обратное задание.
6. Пусть дана формула сложного высказывания: ( А & В )
( С &·D) и составляющие простые
высказывания:
А= Человек с детства давал нервам властвовать над собой;
В= Человек в юности давал нервам властвовать над собой;
С= Нервы привыкнут раздражаться;
D= Нервы будут послушны.
Какая фраза на естественном языке может быть сформулирована по данной форме?
Е= Если человек с детства и юности своей не давал нервам властвовать над собой, то они не привыкнут
раздражаться и будут ему послушны. (К. Д. Ушинский.)
Выясним теперь, какие значения будет принимать сложное высказывание в примере 1 при различных
наборах, входящих в него простых суждений, т.е. построим таблицу истинности для формулы А & В .
1
2
3
4
5
А
В
А
В
А&В
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
Алгоритм построения таблицы истинности
1)
Подсчитать n- количество переменных в формуле.
2)
Определить число строк в таблице m=2n+ 2, где 2n -количество двоичных наборов, 2-строки
заголовка.
3)
Подсчитать количество логических операций в формуле.
4)
Установить последовательность выполнения логических операций с учётом скобок и приоритетов.
5)
Определить количество столбцов в таблице: число переменных плюс число операций.
6)
Выписать наборы входных переменных с учётом того, что они представляют собой натуральный ряд
n- разрядных чисел от 0 до 2n-1.
Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в
7)
соответствии с установленной последовательностью.
Построим по данному алгоритму таблицу истинности для формулы
С
А& В из примера 2.
Порядок выполнения логических операций будет следующим: инверсия С, инверсия В, конъюнкция,
импликация.
1
2
3
4
5
6
7
А
В
С
С
В
(1)&(5)
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
(4)
(6)
§4. Алгебра логики. Тождественно истинные, тождественно ложные и эквивалентные высказывания
Если сложное высказывание истинно при всех значениях входящих в него переменных, то такое
высказывание называется тождественно истинным или тавтологией (обозначается константой 1.)
Например, высказывание Демократ- это человек, исповедующий демократические убеждения всегда
истинно, т. е. является тавтологией.
Все математические, физические законы и законы других наук являются тавтологиями.
Если сложное высказывание ложно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание
называется тождественно ложным (обозначается константой 0).
Проверить, является ли сложное высказывание в алгебре логики тождественным истинным или тождественно
ложным, можно по таблице истинности.
Пример. Построим таблицы истинности для формул А  А и
А& А
А А
1
2
А& А
3
1
2
3
А
А
А А
А
А
А& А
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
Первое высказывание будет тождественно истинным. Например, Дождь будет или дождя не будет. Второе
высказывание тождественно ложное. Например, Компьютер включен, и компьютер не включен (выключен).
Если значения сложных высказываний совпадают на всех возможных наборах значений входящих в них
переменных, то такие высказывания называют равносильными, или тождественными, или эквивалентными.
Высказывания А и В равносильны (А=В) тогда и только тогда, когда их эквивалентность А
В является
тождественно истинным высказыванием.
В качестве примера рассмотрим два высказывания:
X= Не может быть, что Матроскин выиграл приз и отказался от него.
X=
 &.
Y= Или Матроскин не отказался от приза, или не выиграл его.
Y= А  В .
Чтобы доказать равносильность сложных высказываний X и Y, достаточно построить из таблицы истинности.
Объединим эти две таблицы в одну:
1
2
3
4
5
6
7
8
А
В
А
В
(1)& (2)
X= (5)
Y=(3)  (4)
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
(6)
(7)
Существуют два варианта рассуждений:
1.
Так как значения сложных высказываний совпадают на всех возможных наборах значений входящих
в них переменных, то по определению X равносильно Y.
2.
Так как 8-й столбец содержит одни единицы, то эквивалентность X и Y тождественна истина, значит,
X и Y тождественно истинна, значит, X и Y равносильны.
Дополнительное задание
Формализуйте приведённое ниже высказывание и постройте для него таблицу истинности:
F= {Если все стороны четырёхугольника равны, а он не является квадратом, то один из его углов не
является прямым}
Подведение итогов урока
- Сегодня на уроке мы работали со сложными высказываниями. Научились определять формы сложных
высказываний, рассмотрели алгоритм построения таблиц истинности для сложного высказывания.
Кратко повторить алгоритм построения таблицы истинности.
- Мы также рассмотрели понятия тождественно истинных и тождественно ложных высказываний,
эквивалентных высказываний, научились с помощью таблиц истинности определять данные типы высказываний.
Постановка домашнего задания
1.
Разобрать конспект урока.
2.
Выучить все определения и алгоритм построения таблицы истинности из конспекта урока.
3.
Выполнить упражнения с карточки в тетради. Листочек с классной работой вклеить в тетрадь, карточку
принести.
Все пункты заданий на карточке учитель должен прокомментировать.
Карточка для домашней работы
1.
Определите формы следующих сложных высказываний:
А) Е= Вчера было пасмурно, а сегодня ярко светит солнце.
Б) К= И добродетель стать пороком может, когда её неправильно приложат. (У. Шекспир.)
В) Р= Люди получают высшее образование тогда и только тогда, когда они заканчивают институт,
университет или академию.
2.
Постройте таблицы истинности следующих сложных высказываний и определите, являются ли эти
высказывания тождественно истинными:
А) А
3.
В  А; Б) А  (В
А·В); *в) (А
В)
(В
А)
Докажите эквивалентность следующих высказываний:
F1= {Если одно слагаемое делиться на 3 и сумма делится на 3, то и второе слагаемое делится на 3};
F2= {Если одно слагаемое делится на три, а второе не делится на 3, то сума не делится на три}.
4.
Дополнительное задание.
Выберите высказывание, эквивалентное данному не (неА и не(В и С)).
А) А и В или С и А; Б) (А или В) и (А или С); В) А и (В или С); Г) А или (не В или не С).