Неравенства. 10 класс

Администрация г.Магнитогорска
Управление образования администрации г.Магнитогорска
Школа индивидуального образования одаренных детей
Образовательная программа по направлению
«Математика для одаренных»
(программа для учащихся 10-ых классов)
Общее количество часов на одну группу - 151
из них:
аудиторных занятий
- 111
индивидуальная работа,
подготовка к турнирам
- 40
Всего 1 группа
Составитель: педагог дополнительного
образования Никифорова Н.С.
Магнитогорск
2006
Пояснительная записка
Математические олимпиады и турниры – прекрасный способ не только
выявления, но и обучения талантливых детей. Олимпиадные задачи
повторяют в миниатюре проблемы, стоящие перед учеными-математиками.
При их решении используются типичные методы научных исследований,
такие, как полный перебор вариантов, переход от частного к общему,
построение математических моделей на основе строгих логических
рассуждений.
Однако в реальных условиях учебного процесса практически отсутствует
возможность преподавания математики с организацией серьезного
творчества. Поэтому дополнительное математическое образование для
одаренных детей необходимо. Именно соединение классных и внеклассных
форм математического творчества даст наибольшую результативность.
На олимпиадах для школьников по математике часто предлагаются
неравенства, доказательство которых лучше выявляет способность и
возможность учащихся, степень их интеллектуального развития. Кроме того,
многие задачи повышенной сложности (из различных разделов математики)
эффективно решаются с помощью неравенств. В курсе математики средней
школы учащийся знакомится со свойствами неравенств и методами их
решения в простейших случаях. В рамках данного курса рассматриваются
неравенства Коши, Бернулли и некоторые другие, с которыми ученики не
знакомы, различные методы доказательства неравенств, а также применение
неравенств при решении задач различного рода (решение уравнений,
неравенств, систем уравнений и неравенств, задач на максимум-минимум,
задач на доказательство и других).
I.
Организационно-методический раздел
Целями курса являются
- приобщение школьников к решению школьных олимпиадных задач,
- обучение методам и приемам их решения и составления,
- знакомство с формами организации и правилами проведения
некоторых математических состязаний,
- формирование исследовательских навыков и умений,
- знакомство школьников с некоторыми неравенствами,
- обучение различным методам доказательства неравенств,
- обучение применению неравенств при решении задач.
Задачами курса являются
- расширение и углубление знаний учащихся в области математики,
- повышение интереса школьников к занятиям математикой.
II. Содержание курса
Дополнительное математическое образование за рамками государственных
стандартов должно строиться на основе максимального учета
индивидуальных особенностей и интересов школьника. Программа курса
должна предоставлять возможность каждому ученику ознакомиться с
различными математическими идеями, увидеть их многообразие.
Данный курс включает в себя
- знакомство с простейшими неравенствами, такими, как неравенство Коши,
неравенство Бернулли, неравенство Коши-Буняковского и другими,
- различные методы доказательства неравенств,
- геометрические неравенства,
- решение задач повышенной сложности на рассматриваемые темы.
В программу курса включены методы доказательства неравенств,
использующие
соотношения
между
средними
арифметическими,
геометрическими,
гармоническими
и
квадратичными,
методы
математической индукции и замены переменных и т.д. Эти методы
позволяют не только доказывать разнообразные неравенства, но и решать
некоторые задачи, связанные с неравенствами.
В плане индивидуальных занятий предполагается:
- математические бои между учащимися различных школ,
- математические регаты,
- подготовка к турнирам (Колмогоровский)
- творческие сборы и летние математические школы.
Показатели проводимых занятий определяются по результатам:
- выступлений учащихся на олимпиадах и турнирах,
- работы в летних математических школах.
III. Распределение часов по темам.
10 класс
№
Количество отведенных
часов
Наименование темы
Простейшие неравенства
1
Основные свойства неравенств, изучаемые в курсе
средней школы
9
Использование метода Штурма
2
3
Метод, предложенный немецким математиком
Штурмом Р., кроме различных приложений, дает
возможность провести оценку неравенств при
наличии определенных условий. С помощью этого
метода можно доказать ряд неравенств.
Метод использования соотношений между
средними
арифметическими,
геометрическими,
гармоническими
и
квадратичными
6
6
Кроме доказательства неравенств данный метод
позволяет решать некоторые задачи на нахождение
минимальных и максимальных значений
Метод применения
Буняковского
4
неравенства
Коши-
Доказательство неравенства Коши-Буняковского,
применение
данного
неравенства
для
доказательства других неравенств
6
Метод замены переменных
5
9
6
Метод использования свойств симметрии и
однородности
6
7
Применение
индукции
9
метода
математической
О применении одного неравенства
8
3
Частный случай неравенства Чебышева
Использование производной и интеграла
9
9
Метод использования свойств функции
10
Наибольшее (наименьшее) значение функции на
интервале (отрезке), возрастание (убывание)
функции.
9
Метод применения неравенства Йенсена
11
6
Неравенства,
связанные
последовательностями
с
12
6
Доказательство
ограниченности
(неограниченности) последовательности
13
Неравенства из теории чисел
9
Различные неравенства
14
15
Неравенства,
для
доказательства
которых
используются методы, не рассматриваемые в
предыдущих темах, а также неравенства, для
доказательства
которых
используются
одновременно несколько методов.
Геометрические неравенства
9
9
IV. Учебно-методическое обеспечение курса
1. Берлов С.Л., Иванов С.В. Кохась К.П. Петербургские математические
олимпиады. – СПб.: Издательство «Лань», 2003
2. Седракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства. –
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002
3. Школьные математические олимпиады/ Сост. Н.Х.Агаханов,
Д.А.Терешин, Г.М.Кузнецова. – М.: Дрофа, 2002
4. Журналы «Квант», «Математика в школе».