1. (Прасолов). Доказать, что если a,b,c - стороны треугольника, то (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)≤abc. 2. (Всеросс. 2003 г). Доказать, что если a+b+c=1, то 1 1 1 2 2 2 . 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 3. (Окружн. 2004 г). Доказать, что если a+b+c= /2, то cos(a)+cos(b)+cos(c)>sin(a)+sin(b)+sin(c). b c 3 a 2 2 4. (VIII куб. Колм.). Доказать неравенство ab bc ca 2 для любых b b c c a a 4 положительных a,b,c с суммой 1. 5. (VII куб. Колм.). Доказать, что 2a 2b 2c a b c 2 2 . a bc b ac c ab bc ac ab 2 6. (VI куб. Колм.). Доказать, что если ac=bd, то a bb c c d d a 4a c b d . abcd 7. (Моск мат. олимп. 1952 г.). Доказать, что при n N , n 2 и x 1, 1 x 1 x 2 n n n 8. (Моск мат. олимп. 1972 г.). x1>y1, x1+x2>y1+y2, … , x1+…+xn>y1+…+yn, k N, доказать: x1k+…+xnk>y1k+…+ynk. 9. (Моск мат. олимп. 1972 г.). Из отрезков длиной a,b,c можно составить треугольник. Доказать, 1 1 1 , , что из отрезков длиной можно составить треугольник. bc ab ac Сборник задач "Неравенства". §1 Простейшие неравенства. 10. Доказать a2+b2>c2+(a+b-c)2, a>c, b<c. 11. Доказать a b ab a b b a . 2 12. Доказать ax y a xy, x a, y a . 13. Доказать 1 1 2 , x 1. x 1 x 1 x 14. Доказать 1 1 1 1 1 , kN . 3k 1 3k 2 3k 3 2k 1 2k 2 15. Доказать ac bd ad bc 144, a b 4, c d 6 . 2 2 16. Доказать a3b+b3c+c3a≥a2b2+b2c2+a2c2 для положительных чисел. 17. Доказать, что при 0<a,b,c<1, одно из чисел (1-a)b, (1-b)c, (1-c)a не больше 1/4. §2 Использование метода Штурма. 18. Числа х1, х2, … , х1997 удовлетворяют условиям: 1 а). xi 3 , 3 б). x1 x2 x1997 318 3 12 Найти наибольшее значение выражения: x112 x 12 2 x1997 . 19. Доказать 1 xn 1 x1 1 x2 n n 1 при x1 x2 xn 1 . x1 x2 xn 20. Докажите, что из всех выпуклых n-угольников, вписанных в данную окружность, наибольшей будет площадь правильного n-угольника. §3 Метод использования соотношений между средними. 21. Доказать a ba cb c 8abc . 22. Доказать a b c d b c d ac d a bd a b c a bb cc d d a . 23. Доказать x 8 y 8 1 , x y 1. 128 2 2 1 1 25 , a b 1. 24. Доказать a b a b 2 2 2 2 2 n2 1 1 1 1 , x1 x 2 x n 1 . 25. Доказать x1 x 2 x n x1 x2 xn n 26. Доказать a 4 b 4 c 4 abca b c . 6a1 1 6a5 1 55 , a1 a5 1 . 27. Доказать 28. Доказать 1 1 1 1 1 1 , a,b,c - стороны треугольника. bca abc abc a b c 29. Доказать n n! n 1 . 2 30. Найти наименьшее значение функции f(x)= n 31. Решить систему уравненеий: x y z 3, 2 2 2 x y z 3. 32. Заданы числа a,b,c,d,e, такие что 1 1 x n 1 1 x , x [0;1), n 1, n N . a b c d e 8, 2 2 2 2 2 a b c d e 16. Найти наибольшее значение e. §4 Метод применения неравенства Коши-Буняковского. 33. Доказать a 2 b 2 c 2 14, a 2b 3c 14 . 34. Доказать 1 35. Доказать a a c b b a b c c b c a bc 1 ca 1 ab 1 1 1 . a b c a 2 b 2 c 2 a b c . 36. Доказать x 4 y 4 x 3 y xy3 . 37. Доказать a1 a n a17 a n7 a13 a n3 a15 a n5 . 38. Доказать a 1 2a 3 50 3a 12 . n n n 39. Доказать aik 1 ai1 n aik , k , n N . i 1 i 1 i 1 a k ank a1 a n 40. Доказать 1 , k, n N . n n k §5 Метод замены переменных. 41. Доказать 1 42. Доказать 1 2 1 n n 2 . n 1 x y z 3 3 , x2 y2 z2 1. 2 2 2 4 1 x 1 y 1 z x y 43. Доказать 1 x 2 1 y 2 2 1 , 2 2 x , y 1. 44. Доказать a na1 an a1 n , 0 a1 ,, an 1 . 1 a1 1 an n a1 an 45. Доказать x y y z x z 2 xyz2 x y z 2 y z x 2 z x y . §6 Метод использования свойств симметрии и однородности. 46. Доказать a b c 3 . bc ac ab 2 47. Доказать a b a c c b . 2 48. Доказать a b b c c d d a b a c b d c a d , d c b a . 49. Доказать xn x1 x2 n . x2 xn x1 x3 xn x1 xn1 n 1 §7 Применение ММИ. 50. Доказать a12 a22 a22n a22n1 a1 a2 a2n a2n1 , a1 a2n1 . 2 2 n ai n ai2 §8 О применении одного неравенства i 1n i 1 bi bi i 1 an a1 n , p a1 p an n 2 a1 ,, an , n 3 . 51. Доказать . p - периметр многоугольника со сторонами 1 n2 1 , x1 x n 1 . 52. Доказать xi xi n i 1 n 53. Доказать a b c 2 a 2 b 2 b 2 c 2 a 2 c 2 a3 b3 c3 . 2c 2a 2b bc ac ab a2 a2 a2 54. Доказать 1 1 * 1 2 * * 1 n 1 a1 * * 1 a n . a1 a 2 a3 55. Доказать xn2 x12 x 22 4 , x1 xn 2 . 1 x2 x n 1 x1 x3 xn 1 x1 xn 1 3n 2 56. Доказать x1k x 2k x nk x1 x n , x1 x 2 x n 1 . 57. Доказать 58. Доказать a1 an a1 an , a1a2 an 1 . 2n 1 1 1 3n 1 . 3n 1 n 1 n 2 2n 4n 1 §10 Метод использования свойств функций. 59. Доказать 2a b 2b c 2a c 1 2a b c 1 . §14 Различные неравенства. 1 1 60. Доказать x2n x1n x2 n x1 n , 0 x1 x2 . 1 1 61. Доказать x1 x2 xn n при x1 x2 xn 1 . 62. Доказать, что для углов , , остроугольного треугольника справедливо двойное 3 неравенство: 2 sin sin sin . 2 2 2 2 1 1 1 63. Доказать 1 1 1 n 2 4 2 1 64. Сравнить числа: 3 100 2 3 100 3. 1 и 2 100 1 1 2 100 . (№65 и №66 , , - углы треугольника) 65. Доказать sin sin sin 66. Доказать sin sin sin 67. Доказать 3 3 . 2 3 3 . 8 1 a b b c a c 8 , a,b,c - стороны треугольника. 4 27 a b c 3 68. Доказать sin sin sin 1 2 , , - углы тупоугольного треугольника. 69. Доказать x14 x n4 x13 x n3 , x1 x 2 x n 1 . 70. Доказать a 3bb 4cc 2a 60abc, 0 a b c .