ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Лабораторная работа № 100.
Измерение линейных величин штангенциркулем и микрометром.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
ПРЯМЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Пусть в результате измерений некоторой физической величины мы получили ряд чисел
x1 , x2 , ....., xn. Наилучшим приближением измеряемой величины к истинному значению будет
среднее арифметическое  x  
 xi
i
(при n   оно совпадает с истинным значением x). При
n
конечном числе измерений можно утверждать лишь следующее: имеется какая-то вероятность
того, что истинное значение измеряемой величины лежит в определенных пределах вблизи  x.
Наша задача найти эти пределы и определить вероятность попадания истинного значения
измеряемой величины в найденный интервал.
Интервал значений физической величины, в который попадает ее истинное значение с
некоторой вероятностью , называется доверительным интервалом. Вероятность , с которой
истинное значение измеряемой величины попадает в доверительный интервал, называется
надежностью.
Результат измерений физической величины представляется в виде:
x =  x  x (с надежностью ), где x - полуширина доверительного интервала.
При числе измерений n  30 полуширина доверительного интервала (абсолютная
погрешность результата измерений) определяется по формуле:
 x = t (n) x ,
где t (n)  коэффициент Стьюдента, зависящий от надежности  и числа измерений n, а   x
 среднеквадратичная погрешность результата серии n измерений (погрешность среднего
арифметического), определяемая по формуле:
 x i 
2
σx 
i
nn  1
, (i=1,2,....,n).
где xi = xi -  x - абсолютная погрешность отдельных измерений.
Ниже приведены значения коэффициента Стьюдента для надежности =0.95
n
t(n)
2
3
4
5
10
12,7
4,3
3,2
2,8
2,3
Для оценки точности измерений используют относительную погрешность измерений,
которая дается в процентах (или долях единицы):
 = x / x
КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Рассмотрим случай, когда некоторая физическая величина f (a,b,c,..), неподдающаяся
непосредственному измерению, является функцией других физических величин a,b,c, . . .,
которые можно определить с помощью прямых измерений. Результат косвенных измерений
величины f записывается в виде:
f =  f   f
Среднее значение функции вычисляется подстановкой средних значений переменных:
 f = f (a, b, . . .)
Абсолютную погрешность функции  f можно найти по формуле:
2
2
f
  f

( f)2= 
a   
b   ....
 a   b 
Однако, обычно её удобнее вычислять с помощью предварительно найденной
относительной погрешности функции  f :
 f = f  f
Относительная погрешность функции  f =  f / f находится по формуле:
( f )2=   ln f  a     ln f  b   ....
 a
  b

2
2
ПОРЯДОК ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. В тетради сделать следующую таблицу:
h =
d =
n
hi
di
 hi
(hi )2
di
(di )2
1
2
3
4
5
Среднее  h =
 (hi )2 =  d =
 (di)2=
значение
Произвести по 5 раз измерения высоты цилиндра штангенциркулем и диаметра цилиндра
микрометром. Данные занести в таблицу. Провести обработку результатов измерений и
вычислить объем цилиндра.
2. Найти среднее арифметическое величин  h и  d.
3. Вычислить абсолютные погрешности отдельных измерений: hi = hi   h, тоже самое для d
4. Вычислить квадраты абсолютных погрешностей: (hi )2 = (hi   h)2., тоже самое для d
5. Вычислить среднеквадратичные погрешности для величин h и d:
 hi 2
i
 d i 2

 d   i

nn  1
nn  1
6. Определить абсолютную погрешность результата измерений:
h = t (n) h =
d = t (n) d =
a
6 . Найти абсолютную погрешность с учетом точности прибора (полуширину доверительного
интервала):
h=(h)2+(h)2 =
d=(d)2+(d)2 =
7. Вычислить относительные погрешности прямых измерений:
h = h /h =
d = d / d =
8. Найти формулу и вычислить относительную погрешность функции:  V =
9. Найти среднее значение объема цилиндра:
 V  = V ( h,  d) =
10. Определить абсолютную погрешность объема:
 V = V V  =
11. Окончательный результат записать после округления в виде:
h =  h   h =
h =
d =  d  d =
d =
V =  V   V =
V =
  h 
P.S. Все вычисления и запись окончательных результатов целесообразно проводить, используя стандартную
форму записи: 1,3710-5 (вместо 0,0000137). При округлении в погрешности x оставляют одну значащую цифру
(если первая цифра 1 или 2, можно оставить две значащие цифры). Округление величины x производят в
соответствии с x. Так, если в погрешности первая значащая цифра является сотой, то и округление x производят
до сотых. Например, при округлении результатов: 36586  391 и 0,000645291  0,000001494 получим соответственно
(3,66  0.04)104 и (6,453  0,015)10-4.