8 класс, ФЮМ и тренировка

8 класс, ФЮМ и тренировка
8 класс, ФЮМ и тренировка
1. В русском алфавите 33 буквы. Можно ли расположить вдоль
окружности несколько букв так, чтобы среди любых 11 букв подряд все буквы были бы различными и при этом любое множество
из различных 11 букв встречалось бы ровно один раз?
1. В русском алфавите 33 буквы. Можно ли расположить вдоль
окружности несколько букв так, чтобы среди любых 11 букв подряд все буквы были бы различными и при этом любое множество
из различных 11 букв встречалось бы ровно один раз?
2. Найдите все такие простые числа p, что ни при каком натуральном n число nn+1+(n+1)n не делится на p.
2. Найдите все такие простые числа p, что ни при каком натуральном n число nn+1+(n+1)n не делится на p.
3. Докажите, что при вещественных x>0 выполнено неравенство
𝑥5
𝑥4
4𝑥 3 +1
3. Докажите, что при вещественных x>0 выполнено неравенство
5
4
3
3 +9 +3 ≥3
.
4. В ряд выписаны числа от 1 до 13. Можно ли выписать под ними еще раз числа от 1 до
13 в некотором порядке так, чтобы сумма чисел в каждом столбце оказалась точным
квадратом?
3𝑥 + 9𝑥 + 332 ≥ 34𝑥 +1 .
4. В ряд выписаны числа от 1 до 13. Можно ли выписать под ними еще раз числа от 1 до
13 в некотором порядке так, чтобы сумма чисел в каждом столбце оказалась точным
квадратом?
5. Через вершину A треугольника ABC проведена прямая, параллельная BC. На этой прямой выбрана точка D таким образом, что AD=AB+AC. Отрезки BD и AC пересекаются в
точке F. Докажите, что прямая, проходящая через точку F параллельно BC, проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC.
5. Через вершину A треугольника ABC проведена прямая, параллельная BC. На этой прямой выбрана точка D таким образом, что AD=AB+AC. Отрезки BD и AC пересекаются в
точке F. Докажите, что прямая, проходящая через точку F параллельно BC, проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC.
6. Имеется куча с 3N камнями. Двое играют в игру: за ход разрешается выбрать одну из
имеющихся куч камней и разбить ее на две или на три равные кучи, если это возможно.
Проигрывает тот, кто не может сделать ход. При каких N выигрывает первый игрок?
6. Имеется куча с 3N камнями. Двое играют в игру: за ход разрешается выбрать одну из
имеющихся куч камней и разбить ее на две или на три равные кучи, если это возможно.
Проигрывает тот, кто не может сделать ход. При каких N выигрывает первый игрок?
7. Найдите площадь выпуклого четырехугольника ABCD, если известно, что A = 60,
AB = AD, BC+CD=AC=1.
7. Найдите площадь выпуклого четырехугольника ABCD, если известно, что A = 60,
AB = AD, BC+CD=AC=1.
8. Назовем натуральное число сбалансированным, если число его различных простых
делителей в 2012 раз меньше количества цифр в его десятичной записи. Докажите, что
существует лишь конечное число сбалансированных чисел.
8. Назовем натуральное число сбалансированным, если число его различных простых
делителей в 2012 раз меньше количества цифр в его десятичной записи. Докажите, что
существует лишь конечное число сбалансированных чисел.
9. Вещественные числа a и b таковы, что трехчлены x2+2ax+b2 и x2+2bx+a2 имеют общий
корень. Докажите, что a = b.
9. Вещественные числа a и b таковы, что трехчлены x2+2ax+b2 и x2+2bx+a2 имеют общий
корень. Докажите, что a = b.
10. В графе степени всех вершин не превосходят 11. Докажите, что ребра этого графа
можно раскрасить в 221 цвет таким образом, чтобы концы ребер каждого цвета не совпадали и были не смежны.
10. В графе степени всех вершин не превосходят 11. Докажите, что ребра этого графа
можно раскрасить в 221 цвет таким образом, чтобы концы ребер каждого цвета не совпадали и были не смежны.
11. Какую наибольшую длину может иметь отрезок натурального ряда, в котором
11. Какую наибольшую длину может иметь отрезок натурального ряда, в котором
поровну чисел, делящихся на 2012 и 2013?
поровну чисел, делящихся на 2012 и 2013?
n
32
n
12. В графе c 2 вершинами (n>3) выбрано 2 -n полных подграфов попарно различных
размеров. Докажите, что к одному из этих подграфов можно добавить вершину так, чтобы он остался полным.
12. В графе c 2n вершинами (n>3) выбрано 2n-n полных подграфов попарно различных
размеров. Докажите, что к одному из этих подграфов можно добавить вершину так, чтобы он остался полным.
13. В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC угол A равен 60. Точки O и I -центры описанной и вписанной окружности треугольника ABC соответственно. Докажите,
что прямыe OI, BC и серединный перпендикуляр к отрезку AI пересекаются в одной точке.
13. В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC угол A равен 60. Точки O и I -центры описанной и вписанной окружности треугольника ABC соответственно. Докажите,
что прямыe OI, BC и серединный перпендикуляр к отрезку AI пересекаются в одной точке.
14. Последовательность a1, a2, a3, … натуральных чисел удовлетворяет соотношению
an = an+1an-1-1 при n>1. Найдите все такие последовательности.
14. Последовательность a1, a2, a3, … натуральных чисел удовлетворяет соотношению
an = an+1an-1-1 при n>1. Найдите все такие последовательности.