Лекция №11 Тех Мех_2015

Тема 7
Расчет прочности и жесткости простых балок.
Лекция №11
11.1 Касательные напряжения при изгибе.
11.2 Распределение касательных напряжений в сечениях балок различной формы.
11.3 Расчет прочности в заданном сечении двутавровой балки.
11.4 Траектории главных напряжений.
11.1 Касательные напряжения при изгибе.
В общем случае в поперечном сечении балки при плоском изгибе возникают два
силовых фактора: изгибающий момент M z и поперечная сила Q y . Изгибающий момент
реализуется в поперечном сечении системой нормальных напряжений.
Поперечная сила Q y , вектор которой лежит в плоскости сечения, вызывает в
точках сечения касательные напряжения  yx (рис. 11.1, а)
Рис.11.1 Напряжения при плоском поперечном изгибе
По закону парности касательных напряжений на продольных площадках
возникают равные им касательные напряжения  yx (рис 11.1,б).
Таким образом,
в продольном сечении возникают усилия сдвига,
интенсивность которых обозначим T (усилие, приходящееся на единицу длины, Н/м, рис.
11.2, б).
Рис. 11.2 Касательные напряжения принимаются постоянными
по ширине сечения (по оси z)
Рассмотрим равновесие отсеченной части балки (рис. 11.2, б). Равнодействующая
усилий
T уравновешивает продольную силу N отс , действующую на площади Aотс
поперечного сечения. Считая справедливой формулу для нормальных напряжений
 x  M z y / J z , получим
N отс 

dA 
Aотс
где
Mz
Jz
 ydA 
A отс
M z отс
Sz
Jz
N отс 
M z отс
Sz
Jz
(11.1)
S zотс - статический момент относительно оси z отсеченной части сечения.
Интенсивность сил T  T (x) изменяется по длине балки. Рассмотрим равновесие
элемента балки длиной dx с площадью поперечного сечения Aотс . Сумма проекций всех
сил на ось x дает (см. рис 11.2, в):
dN отс
.
T
dx
N отс  ( N отс  dN отс )  Tdx  0 ,
(11.2)
Сделаем допущение о том, что касательные напряжения  по ширине сечения b
распределены равномерно (рис. 11.1, б). Тогда
1 dN отс

b dx
отс
Ограничимся рассмотрением балок постоянного сечения, тогда S z
Tdx  (b)dx ,

T
,
b
, J z не зависят от координаты x . Учитывая, что
dM z
 Qy , получим:
dx
отс
S zотс dM z S z Q y


J zb dx
J zb
Интенсивность сдвигающих усилий
T  b 
Q y S zотс
Jz
(11.3)

Q y S zотс
(11.4)
J zb
T (погонная сдвигающая сила)
Q y S zотс
T
Jz
(11.5)
Формула (11.4) – формула Журавского.
11.2 Распределение касательных напряжений в сечениях балок различной формы.
Прямоугольное сечение. Найдем касательное напряжение, для чего проведем
горизонтальный разрез на уровне y (рис 11.3,а)
Рис. 11.3 Распределение касательных напряжений
в прямоугольном сечении балки
S zотс
h
1 h
 b(  y) (  y)
2
2 2
S zотс
1 h2
 b(  y 2 )
2 4
bh3
J z
12
Подставим (11.6) в (11.4) в результате получим:

3 Qy
4y2
(1  2 ) ,
2 bh
h
3
2
   s (1 
где  s - среднее напряжение в сечении.
4y2
h2
s 
),
Qy
bh

Эпюра  показана на рис. 11.3,б. В крайних точках сечения y  
(11.6)
(11.6)
,
h
,   0 . Это
2
согласуется с законом парности касательных напряжений, т.к. на поверхности бруса
касательных напряжений нет.
отс
Толстостенный двутавр (рис. 11.4,а). При составлении выражения для S z
следует рассмотреть два случая: 1) 0,5  h  y  0,5  H (широкая часть сечения); 2)
0  y  0,5  h (узкая часть сечения)
Рис. 11.4 Изменение погонного сдвигового усилия и напряжений по высоте
толстостенного двутавра при изгибе
В первом случае по аналогии с прямоугольным сечением:
H2
 B(
 y2 ) ,
4
(11.7)
1
h2
2
2
 B ( H  y )  b(  y 2 ) .
4
4
(11.7)
S zотс
Во втором случае
S zотс
Выражения(11.5) для погонной сдвигающей силы примут вид:
T1 
Qy
Jz
B(
H2
 y2 ),
4
Аналогично для второго случая:
0,5  h  y  0,5  H ,
(11.8)
Qy 1
h2
2
2
T2 
[ B( H  y )  b(  y 2 )]
Jz 4
4
0  y  0,5  h
(11.9)
Эпюры показаны на рис 11.4,б. Касательные напряжения соответственно определятся так:
 1  T1 / B ,  2  T2 / b . Эпюры напряжений на рис 11.4,в.
Двутавр. Двутавровое сечение может быть представлено в виде сопряжений
трех прямоугольников: двух горизонтальных полок и вертикальной стенки (рис.11.5).
Рис. 11.5 К определению касательных напряжений в балке двутаврового сечения
Напряжения в стенке определяться по формуле (см. 11.4)
 xy 
Q y S zотс
J zd
(11.10)
,
S zотс -
где
вычисляется для заштрихованной части сечения, показанной на рисунке 11.5.
Наибольшие значения касательные напряжения имеют на уровне нейтральной оси при
y=0.
 max 
где
1
S z2
1
Q y S z2
(11.11)
J zd ,
- статический момент половины площади сечения относительно оси z
1
S z2
h
1 h
h
 (  t)  d  (  t)  b  t  (  t) .
2
2 2
2
(11.12)
Для прокатных двутавров и швеллеров величина статического момента
половины сечения приведена в сортаменте.
На уровне сопряжения полки и стенки касательные напряжения определяются по
формуле
 xy 
Q y S zпол
J zd
,
S zпол 
bt
(h  t ) .
2
(11.13)
Напряжения
 xy в полках не могут быть найдены по формуле (11.4), так как
b  t и предположение о равномерном их распределении по ширине полки
становится неприемлемым. Напряжения
практического интереса.
Аотс в
полках малы и не представляют
Рис. 11.6 Касательные напряжения в полках и стенке двутавра
Значительными являются горизонтальные напряжения  xz в полках (рис.
11.6). Для определения этих напряжений рассмотрим равновесие бесконечно малого
элемента, выделенного из нижней полки.
Согласно закону парности касательных напряжений на продольной грани этого
элемента действуют напряжения  xz (рис 11.7,а, б). Вследствие малости толщины полки
двутавра эти напряжения можно считать равномерно распределенными по толщине полки
t . С учетом этого можно записать уравнение равновесия и определить  zx :
Рис. 11.7 К определению касательных напряжений  zx
 ( х  d x )dA    х dA   zx  t  dx  0 ,
Aотс
Aотс
 zx 
1
t

Aотс
d x
dA.
dx
(11.14)
Во второе уравнение (11.14) подставим выражение для
 zx   xz , получим
 xz 
Учитывая, что
1 dM z
t  J z dx
 x  M z y / J z и с учетом
(11.15)
 ydA .
Aотс
dM z
 Q y и S zотс   ydA будем иметь:
dx
Aотс
 xz 
Q y S zотс
b
h t
S zотс  t (  z )(  ) .
2
2 2
J zt
(11.16)
,
Из формул (11.16) видно, что касательные напряжения  xz по оси Оz (вдоль полки)
изменяются по линейному закону. На рис. 11.6 показаны эпюры касательных напряжений
 zx .
Касательные напряжения образуют в сечении двутавра непрерывный поток,
направленный в каждой точке параллельно контуру сечения.
11.3 Расчет прочности в заданном сечении двутавровой балки
В заданном
сечении находят величины Q и M. В масштабе вычерчивают
идеализированный двутавр, представляющий собой совокупность прямоугольных
элементов – полок шириной b и толщиной t и стенки высотой (h–2t) и толщиной s (Рис
11.8).
Вычисление напряжений.
В точках 1,3,4,5,7, взятых через одну четверть высоты балки, и в местах
сопряжения стенки с полками (точки 2,6) вычисляют нормальные и касательные
напряжения по формулам
Q  Sz
,
xy   
Jz  b
My
x   
,
Jz
(10)

где y – ордината рассматриваемой точки; b  b(y) – ширина сечения; S z – статический
момент
отсеченной
части
сечения
(для
точек
1,7:
Sz  0 , для точек 26:
Sz  Sz  0,5  s  y 2 и b = s).
Эпюры  и  строят в масштабе справа от идеализированного двутавра с указанием
значений в рассмотренных выше точках. Эпюру  строят только в пределах стенки. На
эпюрах проставляют знаки нормальных напряжений и указывают направление
касательных напряжений (положительных – вниз, отрицательных – вверх).
Нахождение главных напряжений и положения главных сечений.
В характерных точках 17 находят значения главных напряжений по формулам для
плоского напряженного состояния
2
2
max

0
,
5



0
,
25




, 1  max , 2  0, 3  min .
min
(20)
Положение сечения, в котором действует главное напряжение  max , задается
углом между положительным направлением оси x и внешней нормалью к сечению


 
 max  arctg max
  arctg



    min

 .

(30)
По полученным данным справа от эпюр на уровне точек 17 изображают
квадратные элементы со сторонами, параллельными координатным осям, с
действующими по их граням напряжениями  и , а также элементы со сторонами,
параллельными главным сечениям, с действующими на них главными напряжениями
 max и  min . При этом положительным значениям  max соответствует угол,
отложенный от положительного направления оси x по ходу часовой стрелки.
Вычисление приведенных напряжений и коэффициента запаса прочности.
Для точек 17 по третьей гипотезе прочности вычисляют приведенное напряжение
i  1  3   max   min ,
(40)
проверяют выполнение условия прочности
i  R
и находят коэффициент запаса прочности
k пч  R n / i ,
где R n - нормативное сопротивление.
По полученным данным строят эпюры  i и k пч .
(50)
(60)
11.4 Траектории главных напряжений.
Траектория главных напряжений  max (  min ) –это линия, в каждой точке которой
касательная совпадает с направлением главного напряжения  max (  min ) в этой точке.
Рис. 11.8 Траектории главных напряжений при изгибе и схема армирования
железобетонных балок
Рис.11.9 Векторное поле главных напряжений
(срединная плоскость 1/2 балки)
Рис.11.10 Векторное поле  max
Расчет прочности, комментарии для РГР.
My
Jz
(1*)
Q  Sz
xy   
Jz  b
(2*)
x   
(3*)
 max  0,5    0, 25   2   2
min
 max


 
 arctg max
  arctg



    min



1   max ,  2  0,  3   min
 i  1   3
(4*)
(5*)
(6*)
Касательные напряжения в пределах полок.
 xz 
Q y S zотс
J zt
,
b
h t
S zотс  t (  z )(  ) .
2
2 2
(7*)