10.1 Касательные напряжения при изгибе.

Лекция №10
10.1 Касательные напряжения при изгибе.
10.2 Распределение касательных напряжений в сечениях балок
различной формы.
10.3 Расчет прочности в заданном сечении двутавровой балки.
10.4 Траектории главных напряжений.
10.1 Касательные напряжения при изгибе.
В общем случае в поперечном сечении балки при плоском изгибе
возникают два силовых фактора: изгибающий момент M z и поперечная сила
Q y . Изгибающий момент реализуется в поперечном сечении системой
нормальных напряжений  x  M z y / J z .
Поперечная сила Q y , вектор которой лежит в плоскости сечения,
вызывает в точках сечения касательные напряжения  xy (рис. 10.1, а)
Рис.10.1 Напряжения при плоском поперечном изгибе
По закону парности касательных напряжений на продольных
площадках возникают равные им касательные напряжения  yx (рис 10.1,б).
Таким образом, в продольном сечении возникают усилия сдвига,
интенсивность которых обозначим T (усилие, приходящееся на единицу
длины, Н/м, рис. 10.2, б).
Рис. 10.2 Касательные напряжения принимаются постоянными на ширине
сечения (по оси z)
Рассмотрим равновесие отсеченной части балки (рис. 10.2, б).
Равнодействующая усилий T уравновешивает продольную силу N отс ,
действующую на площади Aотс поперечного сечения. Считая справедливой
формулу для нормальных напряжений  x  M z y / J z , получим
N отс 

Aотс
dA 
Mz
Jz
 ydA 
A отс
M z отс
Sz
Jz
N отс 
M z отс
Sz
Jz
(10.1)
где S z - статический момент относительно оси z отсеченной части сечения.
Интенсивность сил T  T (x) изменяется по длине балки. Рассмотрим
равновесие элемента балки длиной dx с площадью поперечного сечения Aотс
. Сумма проекций всех сил на ось x дает (см. рис 10.2, в):
(10.2)
N отс  ( N отс  dN отс )  Tdx  0 ,
dN отс
.
T
dx
Сделаем допущение о том, что касательные напряжения  по
ширине сечения b распределены равномерно (рис. 10.1, б). Тогда
T
(10.3)
Tdx  (b)dx ,
1 dN отс
 ,

b
b dx
Ограничимся рассмотрением балок постоянного сечения, тогда S zотс
, J z не зависят от координаты x . Учитывая, что dM z / dx  Q y , получим:
отс
Q y S zотс
S zотс dM z S z Q y



J zb dx
J zb
J zb
Интенсивность сдвигающих усилий T (погонная сдвигающая сила)
Q y S zотс
Q y S zотс
T  b 
T
Jz
Jz
Формула (10.4) – формула Журавского.
(10.4)
(10.5)
10.2 Распределение касательных напряжений в сечениях балок
различной формы.
Прямоугольное сечение. Найдем касательное напряжение, для чего
проведем горизонтальный разрез на уровне y (рис 10.3,а)
Рис. 10.3 Распределение касательных напряжений
в прямоугольном сечении балки
h
1 h
1 h2
bh3
S zотс  b(  y) (  y)
S zотс  b(  y 2 )
J z
2
2 2
2 4
12
Подставим (10.6) в (10.4) в результате получим:
Qy
3 Qy
4y2
3
4y2
,
s 

(1  2 ) ,
   s (1  2 ) ,
bh
2 bh
2
h
h
где  s - среднее напряжение в сечении.
(10.6)
(10.6)
h
,
2
  0 . Это согласуется с законом парности касательных напряжений, т.к.
на поверхности бруса касательных напряжений нет.
Эпюра  показана на рис. 10.3,б. В крайних точках сечения y  
Толстостенный двутавр (рис. 10.4,а). При составлении выражения
для S zотс следует рассмотреть два случая: 1) 0,5  h  y  0,5  H (широкая часть
сечения); 2) 0  y  0,5  h (узкая часть сечения)
Рис. 10.4 Изменение погонного сдвигового усилия и напряжений по высоте
толстостенного двутавра при изгибе
В первом случае по аналогии с прямоугольным сечением:
(10.7)
H2
отс
S z  B(
 y2 ) ,
4
Во втором случае
(10.7)
1
h2
отс
2
2
S z  B ( H  y )  b(  y 2 ) .
4
4
Выражения(10.5) для погонной сдвигающей силы примут вид:
0,5  h  y  0,5  H ,
(10.8)
Qy H 2
T1 
B(
 y2 ) ,
Jz
4
Аналогично для второго случая:
0  y  0,5  h
(10.9)
Qy 1
h2
2
2
T2 
[ B( H  y )  b(  y 2 )]
Jz 4
4
Эпюры показаны на рис 10.4,б. Касательные напряжения соответственно
определятся так: 1  T1 / B ,  2  T2 / b . Эпюры напряжений на рис 10.4,в.
Двутавр. Двутавровое сечение может быть представлено в виде
сопряжений трех прямоугольников: двух горизонтальных полок и
вертикальной стенки (рис.10.5).
Рис. 10.5 К определению касательных напряжений в балке
двутаврового сечения
Напряжения в стенке определяться по формуле (см. 10.4)
(10.10)
Q y S zотс
 xy 
J zd ,
где S zотс - вычисляется для заштрихованной части сечения, показанной на
рисунке 10.5. Наибольшие значения касательные напряжения имеют на
уровне нейтральной оси при y=0.
1
(10.11)
2
Qy S z
 max 
J zd ,
где
1
S z2
- статический момент половины площади относительно оси z
(10.12)
h
1 h
h
 (  t)  d  (  t)  b  t  (  t) .
2
2 2
2
Для прокатных двутавров и швеллеров величина статического
момента половины сечения приведена в сортаменте.
На уровне сопряжения полки и стенки касательные напряжения
определяются по формуле
1
S z2
 xy 
Q y S zпол
,
S zпол 
bt
(h  t ) .
2
(10.13)
J zd
Напряжения  xy в полках не могут быть найдены по формуле
(10.4), так как b  t и предположение о равномерном их распределении
по ширине полки становится неприемлемым. Напряжения  xy в полках
малы и не представляют практического интереса.
Рис. 10.6 Касательные напряжения в полках и стенке двутавра
Значительными являются горизонтальные напряжения  xz в
полках (рис. 10.6).
Для определения этих напряжений рассмотрим
равновесие бесконечно малого элемента, выделенного из нижней полки.
Согласно закону парности касательных напряжений на продольной
грани этого элемента действуют напряжения  xz (рис 10.7,а,б.). Вследствие
малости толщины полки двутавра эти напряжения можно считать
равномерно распределенными по толщине полки t . С учетом этого можно
записать уравнение равновесия и определить  zx :
Рис. 10.7 К определению касательных напряжений  zx
 ( х  d x )dA    х dA   zx  t  dx  0 ,
Aотс
 zx 
Aотс
1
t

Aотс
d x
dA.
dx
(10.14)
Во второе уравнение (10.14) подставим выражение для  x  M z y / J z и с
учетом  zx   xz , получим
1 dM z
(10.15)
 xz 
ydA .

t  J z dx A
отс
Учитывая, что
dM z
 Q y и S zотс   ydA будем иметь:
dx
Aотс
 xz 
Q y S zотс
J zt
b
h t
S zотс  t (  z )(  ) .
2
2 2
,
(10.16)
Из формул (10.16) видно, что касательные напряжения  xz по оси Оz (вдоль
полки) изменяются по линейному закону. На рис. 10.6 показаны эпюры
касательных напряжений  zx ( Q  0 ).
y
Касательные напряжения образуют в сечении двутавра непрерывный
поток, направленный в каждой точке параллельно контуру сечения.
10.3 Расчет прочности в заданном сечении двутавровой балки
В заданном
сечении находят величины Q и M. В масштабе
вычерчивают
идеализированный
двутавр,
представляющий
собой
совокупность прямоугольных элементов – полок шириной b и толщиной t и
стенки высотой (h–2t) и толщиной s (Рис 10.8).
Вычисление напряжений.
В точках 1,3,4,5,7, взятых через одну четверть высоты балки, и в местах
сопряжения стенки с полками (точки 2,6) вычисляют нормальные и
касательные напряжения по формулам
My
Q  Sz
,
(10)
x   
,
xy   
Jz
Jz  b
где y – ордината рассматриваемой точки; b  b(y) – ширина сечения; S z –
статический момент отсеченной части сечения (для точек 1,7: Sz  0 , для
точек 26: Sz  Sz  0,5  s  y 2 и b = s).
Эпюры  и  строят в масштабе справа от идеализированного двутавра
с указанием значений в рассмотренных выше точках. Эпюру  строят только
в пределах стенки. На эпюрах проставляют знаки нормальных напряжений и
указывают направление касательных напряжений (положительных – вниз,
отрицательных – вверх).
Нахождение главных напряжений и положения главных сечений.
В характерных точках 17 находят значения главных напряжений по
формулам для плоского напряженного состояния
2
2
max

0
,
5



0
,
25




, 1  max , 2  0, 3  min .
min
(20)
Положение сечения, в котором действует главное напряжение  max ,
задается углом между положительным направлением оси x и внешней
нормалью к сечению



 
 .
 max  arctg max
(30)
  arctg



    min 
По полученным данным справа от эпюр на уровне точек 17
изображают квадратные элементы со сторонами, параллельными
координатным осям, с действующими по их граням напряжениями  и , а
также элементы со сторонами, параллельными главным сечениям, с
действующими на них главными напряжениями  max и  min . При этом
положительным значениям  max соответствует угол, отложенный от
положительного направления оси x по ходу часовой стрелки.
Вычисление приведенных напряжений и коэффициента запаса
прочности.
Для точек 17 по третьей гипотезе прочности вычисляют приведенное
напряжение
i  1  3   max   min ,
(40)
проверяют выполнение условия прочности
i  R
(50)
и находят коэффициент запаса прочности
k пч  R n / i ,
(60)
где R n - нормативное сопротивление.
По полученным данным строят эпюры  i и k пч .
10.4 Траектории главных напряжений.
Траектория главных напряжений  max (  min ) –это линия, в каждой
точке которой касательная совпадает с направлением главного напряжения
 max (  min ) в этой точке.
Рис. 10.8 Траектории главных напряжений при изгибе и схема армирования
железобетонных балок