Прочностной расчет блока составной конструкции из шестиугольной

Прочностной расчет блока составной конструкции из шестиугольной
пластины, круговой цилиндрической оболочки и отбортовки
И.А.Маяцкая, И.А.Краснобаев, Икуру Годфрей Аарон
Конструкция состоит из ряда идентичных блоков, скрепленных друг с
другом. Каждый такой блок состоит из основания в форме шестиугольной
пластины, жестко связанной с основанием круговой цилиндрической оболочки, верхний торец которой усилен шестиугольной отбортовкой. Скрепление
блоков друг с другом произведено с одной стороны по вершинам шестиугольных пластин, а с другой – по соответствующим вершинам отбортовок.
Толщины, как пластинки, так и цилиндрической оболочки достаточно
малы, поэтому к ним при построении теории применима гипотеза Кирхгоффа-Лява, кольцеобразная шестиугольная отбортовка рассмотрена как стержень, деформируюшийся совместно с верхним краем цилиндрической оболочки. Материал блока принят упругим, однородным, изотропным. Внешняя
нагрузка считается приложенной в вершинах шестиугольных пластин оснований.
Для
решения
задачи
используется
известный
вариационно-
энергетический метод, состоящий в подсчете потенциальной энергии деформации и работы, производимой внешним нагружением и доставлении величине энергии минимума, соответствующего действительным перемещениям
[1]–[10]. Из составной конструкции вырежем отдельный блок, причем заменим воздействие со стороны других блоков эквивалентной системой сил. Далее будет рассмотрен метод, с помощью которого завершается переход от
одного блока ко всей конструкции. Для простоты сначала рассмотрим тот
случай, когда нагрузка приложена в точке Аi – одной из вершин шестиугольного основания и в точке Вi – вершине шестиугольной отбортовки, соответствующей точке Аi, ( i=1,2,..,6 ), причем, случай симметричного нагружения
рассмотрим отдельно. Таким образом, рассмотрим один вырезанный из всей
конструкции блок. Поскольку даже отдельный блок является достаточно
сложной конструкцией, рассмотрим его составные части.
Рассмотрим нижнее основание блока (рис. 1), т.е. шестиугольную пластину и свяжем с ней прямоугольную декартовую систему координат x, y, z.
В дальнейшем присвоим пластине номер I и перемещения вдоль осейx, y, z от
некоторой нагрузки pi ( i=1,2,..,6 ), приложенной в одной из вершин Аi и соответствующей ей вершине Вi шестиугольной отбортовки, обозначим соответственно u1Ii , u2Ii , u3Ii  индекс внизу обозначает номер координатной оси,
первый индекс вверху – номер тела, второй – номер нагрузки (рис. 1).
Рис. 1. – Шестиугольная пластина
Рис. 2. – Круговая цилиндрическая
толщиной h
оболочка толщиной H
Выберем для пластины (тела I) некоторую аппроксимирующие функции, удовлетворяющие геометрическим условиям закрепления. Для данного
случая такими являются равенство нулю перемещений во всех вершинах
телаI, кроме той, где приложена нагрузка, а также учтем, что любую нагрузку
можно представить в виде симметричной относительно оси x и кососимметричной. Кроме того, аппроксимирующие функции должны отражать характер изменения перемещений. Аппроксимирующие функции принимают вид:
а).симметричное
нагружение некоторого узла А1(тела I): ФкI12,mn  ФкI11,mn ;
n
n
2m1  2
2m1 2

2
2


x
x

5
y
y
x

5
y



I
1
I
1


Фк1,mn  1   
 1 ; Ф
 1 ;
к 2,mn   a 

 4a 2

 a
 4a 2





2m1  2


x  5y2
 x

ФкI13,mn  1   
 1

 a
 4a 2



(1)
n
; ФкI 22,mn  ФкI12,mn ; ФкI 32,mn  ФкI13,mn ;
y
б).кососимметричное нагружение: ФкI13,mn   
a
2m1  2


x
x  5y2

I
3

Фк 2,mn  1   
 1

 a
 4a 2



n
(2)
n
2m1  2
2

x

5
y

 1 ;
 4a 2



y
; ФкI 33,mn   
a
n
2m1  2
2

x

5
y

 1 ;
 4a 2



(3)
в).симметричное нагружение некоторого узла В1 (тела III) : ФкI15,mn  ФкI14,mn ;
2m1  2

x   x 
x  5y2

I
4

Фк1,mn  1   1   
 1

 4a 2
 a   a 



n
2m1  2

x   x 
x  5y2


ФкI 34,mn  1   1   
 1

 4a 2
 a   a 



n
г).кососимметричное
x   x 

ФкI 26,mn  1   1   
 a   a 

; ФкI 24,mn   y 
a
n
2m1 2
2

x

5
y

 1
 4a 2



; (4)
; ФкI 25,mn  ФкI 24,mn ; ФкI 35,mn  ФкI 34,mn ; (5)
 y
ФкI16,mn   
a
нагружение:
n
2m1  2
2

 x  5 y  1 ;
 4a 2



n
n
2m1  2
2m1  2
2
2


y
x

5
y
x

5
y




 1 . (
 1 ; ФкI 36,mn   
 4a 2


a
 4a 2





6)
Подставим перемещения любой к-ой точки тела в виде разложений в ряды по

выбранным аппроксимирующим функциям: u кIi1  
mo
u кIi2 


 AкIi1,mnФкIi1,mn ( x, y) ;
n0

 
Ii
Ii
Ii 
A
Ф
(
x
,
y
)
u
AкIi3,mnФкIi3,mn ( x, y ) ,i=1,2,..,6
;




к
2
,
mn
к
2
,
mn
к
3
mo n0
mo n0
(7)
В общем случае тело I работает как на изгиб, так и на двустороннее растяжение. В таком случае энергия деформации записывается в виде выражений:
ПI 

2
2
2
2

   Ii
Ii   G  u Ii    u Ii    G  u Ii  u Ii  hdF 
u

u










  2  к1,x к 2, y 
к1, x 
к1, y  
 к 2, y   2  к 2, x



(F ) 


2
2
2
2

 Ii
   Ii
 h3
Ii
Ii
Ii







u

u

G
u

u

2
G
u
dF ,
 к3, xx 
 к3, yy  
 к3, xy  
  2  к3,xx к3, yy 



 

  12



(F ) 

(8)
где λ, G – упругие постоянные материала, h –толщина пластинки.
Рассмотрим цилиндрическую оболочку (тело II), введем цилиндрическую систему координат φ, r, z от (рис. 2), где радиус r отсчитывается от оси
цилиндра, z – от торца, соединенного пластиной к торцу, усиленному шестиугольной отбортовкой. Для пластины выберем аппроксимирующие функции
для перемещений, удовлетворяющие тем же условиям. В таком случае перемещения любой точки тела II от действия некоторой нагрузки равны:
u кIIi
1 






 aк 2,mnФк 2,mn ( , z) uкIIi3    aкIIi3,mnФкIIi3,mn ( , z) . (9)
  aкIIi1,mnФкIIi1,mn ( , z ) ; u к 2  m
o
mo
mo
n0
IIi
n0
IIi
IIi
n0
Проведя рассуждения, аналогичные изложенным в п.1.2 аппроксимирующие функции для тела II можно записать в виде:
z
3 z

1 z


ФкII11,mn    sin 2   sin m  z n ; ФкII21,mn    cos 2  1  cos 2   cos m  z n ;
4 H

4 H
 H

z
1 z


3 z

ФкII31,mn    cos 2  1  cos 2   cos m  z n ; ФкII33,mn    sin 2   sin m  z n ;
4 H
 H

4 H

ФкII1,2mn  ФкII11,mn ;
ФкII22,mn  ФкII21,mn ; ФкII32,mn  ФкII31,mn ;
z
1 z


3 z

ФкII1,3mn    cos 2  1  cos 2   cos m  z n ; ФкII23,mn    sin 2   sin m  z n ;
4 H
 H

4 H

z
3 z

1 z


ФкII1,4mn    sin 2   sin m  z n ; ФкII24,mn    cos 2  1  cos 2   sin m  z n ;
4 H

4 H
 H

z
1 z


ФкII34,mn    cos 2  1  cos 2   sin m  z n ; Ф II 5  Ф II 4 ; Ф II 5  Ф II 4 ;
к 2,mn
к 2,mn
к1,mn
к1,mn
4 H
 H

z
1 z


ФкII35,mn  ФкII34,mn ; ФкII1,6mn    cos 2  1  cos 2   sin m  z n ;
4 H
 H

3 z

3 z

ФкII26,mn    sin 2   sin m  z n ; ФкII36,mn    sin 2   sin m  z n .
4 H

4 H

(10)
Можно записать энергию деформации тела II:
П II 





Eh
1 2 

2
 1   2  21  1 2  12  a0 ddz 
2

4
2(1  ) ( F ) 





Eh3
2 a ddz. , где деформации равны:
1   2 2  21   1 2  12
2

0
12(1   ) ( F )
1   IIi
1   IIi
IIi
a
Ф

aк 2,mnФкIIi2,mn, z ; i=1,2,..,6




к
1
,
mn
к
1
,
mn
,

a0 mo n0
a0 mo n0
 
 
i
IIi
IIi
i
 2    a к3,mnФк3,mn, z  2     aкIIi2,mnФкIIi2,mn, zz
mo n0
mo n0
 
1   IIi
i  1
12
aкIIi3,mnФкIIi

aк1,mnФкIIi




3
,
mn
,

1,mn, z
a0 mo n0
a0 mo n0
1   IIi
1   IIi
IIi
1i  
a
Ф

aк1,mnФкIIi




к
2
,
mn
к
2
,
mn
,

1,mn,
a 2 mo n0
a 2 mo n0
0
0


1
1   IIi
i
IIi
IIi
12  
aк 2,mnФк 2,mn, z 
aк1,mnФкIIi
(11)




1,mn, z
a0 mo n0
a0 mo n0
1i 
Литература:
1. Краснобаев И.А., Маяцкая И.А. Основы расчета на изгиб тонких жестких
пластин [Текст]: Монография / Краснобаев И.А., Маяцкая И.А. – Ростов н/Д,
РГСУ, 2011.– 87 с.
2. Краснобаев И.А., Маяцкая И.А., Смирнов И.И., Языев Б.М. Теория пластин и оболочек: [Текст]: Монография / Краснобаев И.А., Маяцкая И.А.,
Смирнов И.И., Языев Б.М. – Ростов н/Д, РГСУ, 2011.– 114 с.
3. Амосов А.А. Техническая теория тонких упругих оболочек: [Текст]: Монография / Амосов А.А.–М.:АСВ, 2009, – 332 с.
4. Филин А.П. Элементы теории оболочек.–Л.:Стройиздат, 1975, – 256 с.
5. Огибалов П.М., Колтунов М.Л. Оболочки и пластины.–М.:МГУ, 1969, –
696 с.
6. Calladine C.R. Theory of shell structures.– N.Y.: Cambridge University Press,
1989, –788 p.
7. Zingoni A. Shell structures in civil and mechanical engineering.– N.Y.: Thomas
Telford Publishing, 1997, –351 p.
8. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек.–Л.:Политехника, 1961, – 658 с.
9. Математическое моделирование. [Текст]: Монография/ Дж. Эндрюс, Р.
Мак – Лоун. – М.: Мир, 1979.
10.Литвинов В.В., Кулинич И.И. Соотношения между компонентами поверхностной
нагрузки в оболочках вращения при безмоментном их состоя-
нии.[Текст] //Интернет-журнал «Инженерный вестник Дона». 2012 №4 (2)
[Электронный ресурс].-М. 2012. – Режим доступа: http://www.ivdon.ru.
11.Стрельников Г.П., Бурцева С.В., Авилкин В.И. К расчету оболочек вариационно-энергетическим методом.[Текст] //Интернет-журнал «Инженерный
вестник Дона». 2012 №4 (2) [Электронный ресурс].-М. 2012. – Режим доступа: http://www.ivdon.ru.