Основы механики сплошных сред

Аннотация программы учебной дисциплины
«Основы механики сплошных сред»
Направление 010400.62 – «Прикладная математика и информатика».
Профиль: Математическое и информационное обеспечение экономической деятельности.
Общее количество часов — 180 (5 зачетных единиц). Семестр – 6-7.
1. Цели и задачи дисциплины.
Целями освоения дисциплины являются: ознакомление и изучение явлений и процессов природы на базе феноменологических теорий сплошных сред,
а также приобретение навыков применения математических моделей этих теорий для решения научно-исследовательских и практических задач.
Задачами изучения дисциплины являются: геометрические и кинематические характеристики движения деформируемых сред; законы сохранения массы, количества движения, момента количества движения; простейшие модели
сплошных сред; основные законы термодинамики; модели жидкостей, газов и
твердых тел; подобие и моделирование механических явлений.
2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих
компетенций:
способность применять знания на практике (ОК-6); исследовательские
навыки (ОК-7); фундаментальной подготовкой по основам профессиональных
знаний и готовностью к использованию их в профессиональной деятельности
(ОК-11); способностью к анализу и синтезу (ОК-14); определение общих форм,
закономерностей и инструментальных средств отдельной предметной области
(ПК-1); умение понять поставленную задачу (ПК-2); умение формулировать результат (ПК-3); умение строго доказать утверждение (ПК-4); умение на основе
анализа увидеть и корректно сформулировать результат (ПК-5); умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата (ПК-6); умение
грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7); умение ориентироваться в постановках задач (ПК-8); знание корректных постановок классических задач (ПК-9); понимание корректности постановок задач (ПК-10); глубокое понимание сути точности фундаментального знания (ПК-13).
В результате освоения данной дисциплины обучающийся должен:
знать: основные модели сплошных сред (идеальной жидкости, вязкая
жидкость, теория упругости, уравнения жидкости пограничного слоя, движения
газов и смесей, жесткопластическая и упругопластическая среда) и их приложения для решения различных прикладных задач;
уметь: формулировать математические модели рассматриваемых проблем
механики, как системы взаимодействующих подмоделей;
владеть: системой знаний о закономерностях явлений и процессов в механике сплошных сред, разбираться в физике и формулировать феноменологические теории разделов механики.
3. Содержание дисциплины. Основные разделы.
Введение. Предмет механики сплошной среды. Структура реальных тел.
Гипотезы сплошной среды. Понятие сплошной среды. Геометрические и кинематические понятия для описания движения деформируемых тел. Лагранжево и
эйлерово описание движения сплошной среды. Индивидуальная и местная производные по времени. Связь полей скоростей и ускорений в лагранжевых и эйлеровых координатах. Элементы тензорного исчисления. Преобразование систем координат. Ковариантные и контрвариантные векторы базиса и компоненты вектора. Полиадные произведения векторов базиса. Метрический тензор.
Тензоры. Ранг. Сложение и умножение тензоров, свертка, жонглирование индексами. Операция симметрирования и альтернирования. Тензорные поля. Тензорная поверхность, главные оси и главные компоненты. Инварианты. Шаровой
тензор и девиатор. Деформация. Тензоры конечных и малых деформаций. Механический смысл компонент тензора деформаций. Главные оси тензора деформации. Коэффициент относительного изменения объема. Представление
компонент тензоров деформаций через компоненты вектора перемещения.
Уравнения совместимости деформаций. Тензор скоростей деформаций. Механический смысл компонент тензора скоростей деформаций, их выражение через компоненты вектора скорости. Механический смысл движения вектора скорости. Распределение скоростей в малой окрестности производной точки
сплошной среды. Вектор вихря. Вихревые и потенциальные поля. Циркуляция
скорости. Формула Стокса. Формула Гаусса-Остроградского. Дифференцирование по времени интеграла по подвижному объему. Закон сохранения массы,
количества движения, момента количества движения. Масса и плотность. Закон
сохранения массы для конечного объема сплошной среды. Уравнение неразрывности в переменных Эйлера и Лагранжа для сжимаемой и несжимаемой
среды. Многокомпонентные смеси. Уравнения неразрывности для компонент
смеси. Векторы потоков диффузии. Массовые и поверхностные внутренние и
внешние силы. Закон изменения количества движения для конечного объема
сплошной среды. Тензор напряжений. Механический смысл его компонент.
Главные оси и главные компоненты тензора напряжений. Дифференциальные
уравнения движения сплошной среды. Закон изменения момента количества
движения для конечного объема сплошной среды. Дифференциальные уравнения моментов движения сплошной среды. Симметрия и несимметрия тензора
напряжений. Теория об изменении кинетической энергии для сплошной среды
в интегральной и дифференциальной формах. Работа внутренних поверхностных сил. Простейшие модели сплошных сред. Идеальная жидкость. Уравнения
Эйлера. Замкнутые системы уравнений для несжимаемой идеальной жидкости
и для баротропных движений сжимаемой идеальной жидкости. Вязкая жидкость. Уравнения Навье–Стокса. Замкнутая система уравнений для несжимаемой вязкой жидкости. Упругая среда. Закон Гука для изотропной упругой среды. Уравнения движения в перемещениях для упругого тела (уравнения Ламе).
Уравнение неразрывности в произвольной системе координат. Физические
компоненты векторов и тензоров. Компоненты ускорения и компоненты вектора-градиента скалярной функции в ортогональных системах координат. Уравнение неразрывности в цилиндрической и сферической системах координат.
Уравнения Эйлера и Навье–Стокса в цилиндрической и сферической системах
координат. Основные понятия и законы в термодинамике. Понятия состояния и
параметров состояния термодинамической системы. Процессы и циклы. Первый закон термодинамики – закон сохранения энергии. Его формирование для
конечного индивидуального объема сплошной среды. Дифференциальные
уравнения энергии и притока тепла. Второй закон термодинамики. Обратимые
и необратимые процессы. Второй закон термодинамики для конечного индивидуального объема сплошной среды. Гидродинамика. Идеальная жидкость. Интегральные уравнения Эйлера. Интеграл Бернулли для несжимаемой жидкости
в поле силы тяжести. Трубка Пито. Интеграл Бернулли для адиабатических
движений совершенного газа. Параметры торможения. Число Маха. Максимальная скорость. Связь между скоростью и поперечным сечением трубки тока.
Оценка влияния сжимаемости при установившихся и неустановившихся движениях. Интеграл Коши-Лагранжа. Постановка задач о потенциальных движениях несжимаемой жидкости. Определение давления. Теория размерности. Подобие и моделирование механических явлений. Размерные и безразмерные величины. Пи-теорема. Определяющие параметры. Механически подобные явления. Критерии подобия. Использование теории размерности при нахождении
решений, физическом моделировании и обработке экспериментов.
Составитель: доцент каф. МАиМ Рыженко А.В.