АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ
проф. В.М. Бухштабер, проф. А.С. Мищенко, проф. Е.Г. Скляренко,
проф. Е.В. Троицкий, проф. А.В. Чернавский
1. Алгебраическая топология.
1. Теория гомотопий.
Гомотопные отображения, гомотопические классы отображений, гомотопическая эквивалентность. Гомотопические группы топологических пространств. Коммутативность
гомотопических групп для больших размерностей. Точная гомотопическая последовательность пары. Фундаментальная группа топологического пространства. Представление
фундаментальной группы для полиэдров. Вычисление фундаментальной группы двумерных поверхностей. Группа кос как фундаментальная группа конфигурационного пространства системы точек. Вычисление k  мерных гомотопических групп n  мерной сферы для k  n . Слабая гомотопическая эквивалентность, H  пространства и группа гомотопических классов отображений в H  пространство. Коммутативность фундаментальной группы H  пространств.
2. Теория гомологии.
Группы сингулярных гомологии и когомологий. Симплициальные и клеточные разбиения пространств. Симплициальные и клеточные гомологии и когомологии, их связь с
сингулярными. Гомотопическая инвариантность групп гомологии. Эйлерова характеристика. Умножение в когомологиях. Точные гомологическая и когомологическая последовательности пары. Гомоморфизм Гуревича. Связь фундаментальной группы и группы одномерных гомологии. Теорема Гуревича. Гомологии и когомологий с коэффициентами.
Двойственность Пуанкаре для многообразий.
Теории гомологии и когомологий. Теорема единственности для гомологии и когомологий. Обобщенные теории гомологии и когомологий. Пространства Эйленберга-Маклейна. Группы когомологий как группы классов отображений в пространства ЭйленбергаМаклейна.
Кольцо когомологий H  пространства как алгебра Хопфа. Классификация градуированных алгебр Хопфа над полем рациональных чисел. Гомологии и кольца когомологий
проективных пространств. Клетки Шуберта и гомологии многообразий Грассмана.
3. Теория расслоенных пространств.
Накрытия. Лемма о накрывающей гомотопий. Регулярные накрытия. Универсальное
накрытие. Накрытие и фундаментальная группа.
Аксиома о накрывающей гомотопий и расслоение в смысле Серра. Пространство путей и петель, лемма о накрывающей гомотопий для расслоения путей. Локально тривиальные расслоения. Сечения. Точная гомотопическая последовательность расслоения.
Векторные расслоения. Прямая сумма и тензорное произведение векторных расслоений. Действие монодромии в гомологиях расслоения. Формула Пикара-Лефшеца. Многообразие Грассмана как база универсального векторного расслоения. Пространства Тома и
изоморфизм Тома в гомологиях и когомологиях. Характеристические классы векторных
расслоений. Понятие группы K ( X ) .
4. Вычислительные методы.
Основные понятия теории препятствий (препятствующий коцикл и первое препятствие
к сечению расслоения). Спектральная последовательность в (ко)гомологиях расслоения.
Когомологические операции. Оператор Бокштейна. Квадраты Стинрода. Алгебра
Стинрода.
2. Топология гладких многообразий.
Гладкие многообразия. Криволинейные координаты. Гладкие отображения и дифференциал. Диффеоморфизм. Подмногообразия. Ориентация. Касательные векторы и касательные расслоения. Примеры гладких многообразий. Теория Морса: функции Морса, индуцированное клеточное разбиение, неравенства Морса. Перестройки в многообразиях.
Конструкция Понтрягина-Тома. Понятие бордизма многообразий.
Вложения и погружения. Теорема Уитни. Субмерсии и гладкие расслоения. Особые и
регулярные точки гладких отображений. Лемма Сарда. Степень отображения, ее гомотопическая инвариантность. Применения степени отображения. Степень отображения и интеграл. Теорема Гаусса-Бонне. Гомотопическая классификация отображений n  мерной
сферы в себя. Расслоение Хопфа и классификация отображений трехмерной сферы в двумерную. Инвариант Хопфа.
Когомологии де Рама, теорема де Рама. Оператор Лапласа в дифференциальных формах. Теория Ходжа. Интегрирование внешних дифференциальных форм. Формула Стокса.
Точные и замкнутые формы. Когомологии де Рама. Теорема де Рама. Оператор Лапласа и
гармонические формы, разложение Ходжа. Двойственность Пуанкаре. Оператор Хирцебруха и вычисление сигнатуры многообразия.
Индекс особой точки векторного поля и теорема Эйлера-Пуанкаре.
Двойственность Александера. Индексы пересечения и зацепления.
Исчисление струй. Топологии Уитни в пространствах гладких отображений. Теоремы
трансверсальности. Теорема трансверсальности Тома и ее следствия: лемма Морса, слабая
теорема Уитни. Локальная классификация устойчивых отображений 2  2 и 2  3 .
Число Милнора изолированной особенности функции.
Литература
1. Атья М.Ф. Лекции по K  теории. М., Мир, 1967.
2. Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков. М., ИЛ, 1961
3. Милнор Дж., Сташеф Дж.Д. Характеристические классы. М., Мир, 1979.
4. Спеньер Э. Алгебраическая топология. М., Мир, 1971.
5. Стинрод Н.Ф. Топология косых произведений. М., ИЛ, 1953.
6. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. М., Мир, 1970.
7. Расслоенные пространства. М., ИЛ, 1958.
8. Стонг Р. Заметки по теории кобордизмов. М., Мир, 1973.
9. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. М., Наука, 1977.
10. Фукс Д.В., Фоменко А.Т., Гутенмахер В.Л. Гомотопическая топология. М., изд-во
МГУ, 1969.
11. Свитцер P.M. Алгебраическая топология – гомотопии и гомологии. М., Наука, 1985.
12. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М., Наука, 1979.
13. Хилтон П., Уайли С. Теория гомологии. М., Мир, 1966.
14. Стинрод Н., Эпстейн Д. Когомологические операции. М., Мир, 1973.
15. Постников М.М. Лекции по алгебраической топологии. М., Наука, 1985.
16. Милнор Дж. Теория Морса. М., Мир, 1965.
17. Ху Сыцзян. Теория гомотопий. М., Мир, 1964.
18. Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. М., Физ-мат., 1958.