VGasp_HomotopicAndAlgebraicTopology_2014 (новое окно)

Правительство Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный университет
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Гомотопическая и алгебраическая топология
Homotopic and Algebraic Topology
Язык обучения
русский
Трудоемкость в зачетных единицах: 4
Регистрационный номер рабочей программы:
Санкт-Петербург
2014
Раздел 1.
Характеристики учебных занятий
1.1. Цели и задачи учебных занятий.
Дать аспиранту общее представление об основных разделах теории гомотопий, теории
гомологий и теории когомологий.
1.2. Требования подготовленности обучающегося к освоению содержания учебных
занятий (пререквизиты).
Обучающиеся должны обладать знаниями по геометрии, топологии и алгебре в объеме
стандартных университетских курсов. Более конкретно необходимо знание общей топологии,
основ теории многообразий, линейной алгебры, теории групп и алгебр.
1.3. Перечень результатов обучения (learning outcomes).
Слушатели курса должны овладеть теорией и навыками использования алгебраической
топологии.
Формируемые компетенции.
ОКА-1: готовность применять научный подход в своей профессиональной деятельности,
разделять ценности научно-педагогического сообщества;
ОКА-3: готовность исполнять обязанности исследователя в соответствии с научной
специальностью, в том числе обеспечение руководства обучением в индивидуальном порядке
и в форме семинаров, проведение исследований по специальности, разработка и подготовка к
изданию научных трудов и статей.
1.4. Перечень и объём активных и интерактивных форм учебных занятий.
зачет 2 часа
Раздел 2.
Организация, структура и содержание учебных занятий
2.1. Организация учебных занятий
2.1.1 Основной курс
Трудоёмкость, объёмы учебной работы и наполняемость групп обучающихся
Трудоёмкость
Объём активных и интерактивных
форм учебных занятий
итоговая аттестация
(сам.раб.)
промежуточная аттестация (сам.раб.)
текущий контроль (сам.раб.)
сам.раб. с использованием
методических материалов
Самостоятельная работа
итоговая аттестация
под руководством
преподавателя
в присутствии
преподавателя
промежуточная
аттестация
текущий контроль
коллоквиумы
контрольные работы
лабораторные работы
консультации
практические
занятия
семинары
Период
обучения
(модуль)
лекции
Контактная работа обучающихся с преподавателем
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
1 год
обучения
52
2
90
4
ИТОГО
52
2
90
4
Виды, формы и сроки текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации
Виды итоговой
аттестации
Формы текущего
(только для программ
Виды промежуточной
контроля
итоговой
аттестации и
Код модуля в
аттестации
успеваемости
дополнительных
составе
образовательных
дисциплины,
программ)
практики и
Формы
Сроки
Виды
Сроки
Виды
Сроки
т.п.
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
зачет, устно,
по графику
традиционная
промежуто
1 год обучения
форма
чной
аттестации
2.2. Структура и содержание учебных занятий
№
Наименование темы (раздела, части)
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Вид учебных занятий
лекция
по методическим материалам
лекция
Тема 2. Гомотопии.
по методическим материалам
лекция
Тема 3. Гомотопические группы.
по методическим материалам
лекция
Тема 4. Расслоения и гомотопические
группы.
по методическим материалам
лекция
Тема 5. Клеточные пространства.
по методическим материалам
лекция
Тема 6. Симплициальные пространства.
по методическим материалам
лекция
Тема 7. Клеточная аппроксимация
отображений и пространств.
по методическим материалам
Тема 8. Гомотопические группы сфер и лекция
классических многообразий.
по методическим материалам
лекция
Тема 9. Применение клеточной техники.
по методическим материалам
лекция
Тема 10. Симплициальные гомологии.
по методическим материалам
лекция
Тема 11. Гомологии алгебраических
комплексов.
по методическим материалам
лекция
Тема 12. Группы сингулярных
гомологий.
по методическим материалам
Тема 13. Степень отображения, ее
лекция
вычисление и применения. Гомологии
по методическим материалам
клеточных пространств.
Тема 14. Гомологии и гомотопии.
лекция
Тема 1. Введение.
Количество
часов
2
4
2
4
2
4
2
4
2
4
3
4
2
4
2
4
3
4
3
4
3
5
3
5
3
5
3
15
Тема 15. Гомологии и когомологии с
произвольными коэффициентами.
16
Тема 16. Произведения.
17
Тема 17. Кольца когомологий –
приложения.
18
Тема 18. Двойственность.
19
Тема 19. Двойственность в векторных
расслоениях и гладких многообразиях.
Тема 20. Двойственность Пуанкаре в
барицентрической форме.
Зачет
20
21
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
лекция
по методическим материалам
промежуточная аттестация
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
2
Тема 1. Введение.
Алгебраические инварианты топологических пространств. История возникновения и
развития теорий гомотопий и гомологий. Положение алгебраической топологии в
современной математике.
Тема 2. Гомотопии.
Гомотопии и гомотопность. Пути. Гомотопическая эквивалентность Ретракция.
Деформационная ретракция. Относительные гомотопии. k — связность. Пары Борсука.
Корсы. Гомотопические свойства топологических конструкций. Естественные групповые
структуры в множествах гомотопических классов.
Тема 3. Гомотопические группы.
Абсолютные гомотопические группы. Ансамбли гомотопических групп топологического
пространства. Относительные гомотопические группы. Гомотопическая последовательность
пары. Расщепление. Гомотопическая последовательность тройки. Умножение Уайтхеда.
Гомотопическая последовательность триады. Гомотопические теоремы вырезания,
факторизации и надстройки.
Тема 4. Расслоения и гомотопические группы.
Общие определения. Локадьно тривиальные расслоения. Расслоения Серра. Расслоения
пространств отображений. Ансамбли гомотопических групп слоев расслоения Серра.
Гомотопическая последовательность расслоения Серра. Важнейшие специальные случаи.
Тема 5. Клеточные пространства.
Основные понятия. Склеивание клеточных пространств из шаров. Примеры клеточных
разбиений. Топологические и гомотопические свойства клеточных пространств. Клеточные
конструкции.
Тема 6. Симплициальные пространства.
Основные понятия. Симплициальные схемы. Симплициальные конструкции. Звезды, линки,
регулярные окрестности. Симплициальная аппроксимация непрерывного отображения.
Тема 7. Клеточная аппроксимация отображений и пространств.
Клеточная аппроксимация непрерывного отображения. Клеточные k – связные пары.
Симплициальная аппроксимация клеточных пространств. Слабая гомотопическая
эквивалентность. Клеточная аппроксимация топологических пространств. Теорема о
накрывающей гомотопии.
Тема 8. Гомотопические группы сфер и классических многообразий.
Надстройка в гомотопических группах сфер. Простейшие гомотопические группы сфер.
Композиционное умножение. Гомотопические группы сфер. Гомотопические группы
проективных пространств и линз. Гомотопические группы классических групп.
Гомотопические группы многообразий и пространств Штифеля. Гомотопические группы
многообразий и пространств Грассмана.
Тема 9. Применение клеточной техники.
Гомотопические группы одномерного клеточного пространства. Эффект приклеивания
шаров. Фундаментальная группа клеточного пространства. Гомотопические группы
компактных поверхностей. Гомотопические группы букетов. Гомотопические группы k –
связной клеточной пары. Пространства с заданными гомотопическими группами.
Тема 10. Симплициальные гомологии.
Симплициальные пространства, полиэдры. Комплекс ориентированных симплициальных
цепей. Лемма о граничном гомоморфизме. Циклы и границы, группы гомологий. Первые
вычисления. Симплициальный вариант леммы Пуанкаре, группы гомологий симплекса и его
границы. Гомологическая последовательность пары.
Тема 11. Гомологии алгебраических комплексов.
Короткие точные последовательности, условия их расщепляемости. Цепные алгебраические
комплексы: циклы, границы, группы гомологий, цепные гомоморфизмы, цепные гомотопии,
индуцированные гомоморфизмы групп гомологий. Цепно стягиваемые алгебраические
комплексы. Конструкция конуса. Стягиваемость свободного ацикличного комплекса.
Подкомплексы и факторкомплексы. Короткая точная последовательность алгебраических
комплексов и точная последовательность их групп гомологий. Алгебраическая лемма об
эйлеровой характеристике. Комплексы с аугментацией.
Тема 12. Группы сингулярных гомологий.
Сингулярный цепной комплекс. Вычисление нульмерных (приведенных) групп гомологий.
Естественность групп гомологий. Прямое доказательство ``аксиомы гомотопии’’ (разбиение
призмы). Относительные группы гомологий и точная последовательность пары. Случай
ретракта. Лемма о пяти гомоморфизмах. Точная последовательность тройки. Следствия из
теоремы о вырезании: группы гомологий букета, факторпространства, надстройки. Группы
гомологий произведения пространства на шар и сферу. Равносильные условия вырезаемости
триады. Последовательность Майера–Вьеториса. Доказательство леммы о покрытии и
теоремы о вырезании.
Тема 13. Степень отображения, ее вычисление и применения. Гомологии
клеточных пространств.
Степень отображения из сферы в сферу и ее свойства. Группы гомологий поверхностей.
Локальное вычисление степени отображения. Теоремы Жордана и Брауэра. Гомологически
полноценные фильтрации. Клеточные гомологии и их совпадение с сингулярными.
Вычисление групп гомологий некоторых пространств. Пространства Мура.
Тема 14. Гомологии и гомотопии.
Теоремы Пуанкаре, Гуревича и Уайтхеда. Формула Пуанкаре - Хопфа. Теорема Лефшеца о
неподвижной точке.
Тема 15. Гомологии и когомологии с произвольными коэффициентами.
Тензорное произведение абелевых групп и его свойства. Резольвента и функтор Tor. Примеры
вычислений. Два варианта формулы универсальных коэффициентов для гомологий.
Гомоморфизм Бокштейна. Функторы Hom и Ext. Группы когомологий: коцепи, аксиомы
теории когомологий, спаривание с группами когомологий. Группа Брушлинского. Формулы
универсальных коэффициентов для когомологий.
Тема 16. Произведения.
Формула Кюннета – алгебраический вариант. Теорема Эйленберга - Зильбера. Внешнее (ко-)
гомологическое умножение. Чашечное произведение: определение для коцепей, формула для
кограницы, определение произведения когомологических классов. Примеры вычислений.
Умножение в относительном случае. Лемма о естественных операторах и косая
коммутативность чашечного произведения. Связь внешнего когомологического умножения и
чашечного произведения. Кольца когомологий произведения, букета и надстройки.
Определение и свойства ``cap’’ - произведения.
Тема 17. Кольца когомологий – приложения.
Информация – кольца когомологий проективных пространств. Теоремы Улама – Борсука, ``о
сэндвиче’’, о нетривиальности нечетного отображения сферы, о неподвижной точке для
проективных пространств. Инвариант Хопфа. О конечномерных вещественных алгебрах с
делением.
Тема 18. Двойственность.
Фундаментальный класс многообразия (топологического и комбинаторного). Инвариантное
определение оператора Пуанкаре. Формулировка теоремы двойственности Пуанкаре и ее
прямые следствия. Индекс пересечений. Леммы о неособой кососимметрической форме и
неособой симметрической форме с максимальной изотропной подгруппой. Двойственность
Пуанкаре – Лефшеца. Сигнатура края многообразия. Сигнатура как гомоморфизм групп
кобордизмов. Гомотопическая классификация замкнутых односвязных четырехмерных
многообразий.
Тема 19. Двойственность в векторных расслоениях и гладких многообразиях.
Класс Тома векторного расслоения. Последовательность Гизина. Кольца когомологий
проективных пространств. Лемма о двойственности Пуанкаре – Лефшеца в трубчатой
окрестности гладкого подмногообразия. Геометрическая интерпретация индекса пересечений
в гладком случае. Обратный гомоморфизм Хопфа и его геометрическая интерпретации.
Геометрическая интерпретация коэффициента зацепления. Линзовые пространства.
Коэффициенты зацепления со значениями в факторгруппе рациональных чисел по целым.
Классификация линзовых пространств.
Тема 20. Двойственность Пуанкаре в барицентрической форме.
Топологические многообразия, псевдо- и h-многообразия. Линки и барицентрические звезды
симплексов. Геометрическое определение оператора Пуанкаре на уровне цепей.
Формулировки двойственности Александера – Понтрягина.
Раздел 3.
Обеспечение учебных занятий
3.1. Методическое обеспечение
3.1.1 Методические указания по освоению дисциплины
Посещение лекций.
3.1.2 Методическое обеспечение самостоятельной работы
Основная и дополнительная литература.
3.1.3 Методика проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации и критерии оценивания
Методика проведения зачета
Зачет проводятся в устной форме. Билет состоит из двух вопросов. Один из вопросов может
быть задачей. Время подготовки ответа на вопросы билета составляет 60 минут.
Использование конспектов и учебников, а также электронных устройств хранения, обработки
или передачи информации при подготовке и ответе на вопросы экзамена категорически
запрещено. В случае обнаружения факта использования недозволенных материалов
(устройств) составляется акт и студент удаляется с зачета. После ответа на вопросы билета
преподаватель задает несколько дополнительных вопросов или задач, на основании оценки
ответов на которые решение о выставлении зачета может быть скорректировано.
Критерии выставления зачета
Зачет ставится за верно изложенный теоретический материал билета, и правильно решенные
задачи (возможно с помощью наводящих подсказок преподавателя).
3.1.4 Методические материалы для проведения текущего контроля успеваемости и
промежуточной аттестации (контрольно-измерительные материалы, оценочные
средства)
Список вопросов к зачету.
1. Алгебраические инварианты топологических пространств.
2. Гомотопии и гомотопность. Пути. Гомотопическая эквивалентность Ретракция.
Деформационная ретракция. Относительные гомотопии. k — связность. Пары Борсука.
Корсы.
3. Гомотопические свойства топологических конструкций. Естественные групповые
структуры в множествах гомотопических классов.
4. Абсолютные гомотопические группы. Ансамбли гомотопических групп топологического
пространства. Относительные гомотопические группы. Гомотопическая последовательность
пары. Расщепление. Гомотопическая последовательность тройки.
5. Умножение Уайтхеда. Гомотопическая последовательность триады.
6. Гомотопические теоремы вырезания, факторизации и надстройки.
7. Локально тривиальные расслоения. Расслоения Серра. Расслоения пространств
отображений.
8. Ансамбли гомотопических групп слоев расслоения Серра. Гомотопическая
последовательность расслоения Серра. Важнейшие специальные случаи.
9. Склеивание клеточных пространств из шаров. Примеры клеточных разбиений.
Топологические свойства клеточных пространств.
10. Гомотопические свойства клеточных пространств. Клеточные конструкции.
11. Симплициальные пространства. Основные понятия. Симплициальные схемы.
Симплициальные конструкции. Звезды, линки, регулярные окрестности.
12. Симплициальная аппроксимация непрерывного отображения.
13. Клеточная аппроксимация непрерывного отображения. Клеточные k – связные пары.
14. Симплициальная аппроксимация клеточных пространств. Слабая гомотопическая
эквивалентность.
15. Клеточная аппроксимация топологических пространств. Теорема о накрывающей
гомотопии.
16. Надстройка в гомотопических группах сфер. Простейшие гомотопические группы сфер.
Композиционное умножение. Гомотопические группы сфер. Гомотопические группы
проективных пространств и линз.
17. Гомотопические группы классических групп. Гомотопические группы многообразий и
пространств Штифеля. Гомотопические группы многообразий и пространств Грассмана.
18. Гомотопические группы одномерного клеточного пространства. Эффект приклеивания
шаров. Фундаментальная группа клеточного пространства. Гомотопические группы
компактных поверхностей. Гомотопические группы букетов. Гомотопические группы k –
связной клеточной пары. Пространства с заданными гомотопическими группами.
19. Симплициальные пространства, полиэдры. Комплекс ориентированных симплициальных
цепей. Лемма о граничном гомоморфизме. Циклы и границы, группы гомологий. Первые
вычисления. Симплициальный вариант леммы Пуанкаре, группы гомологий симплекса и его
границы. Гомологическая последовательность пары.
20. Короткие точные последовательности, условия их расщепляемости. Цепные
алгебраические комплексы: циклы, границы, группы гомологий, цепные гомоморфизмы,
цепные гомотопии, индуцированные гомоморфизмы групп гомологий. Цепно стягиваемые
алгебраические комплексы. Конструкция конуса. Стягиваемость свободного ацикличного
комплекса. Подкомплексы и факторкомплексы.
21. Короткая точная последовательность алгебраических комплексов и точная
последовательность их групп гомологий. Алгебраическая лемма об эйлеровой
характеристике. Комплексы с аугментацией.
22. Сингулярный цепной комплекс. Вычисление нульмерных (приведенных) групп
гомологий. Естественность групп гомологий. Прямое доказательство ``аксиомы гомотопии’’
(разбиение призмы).
23. Относительные группы гомологий и точная последовательность пары. Случай ретракта.
Лемма о пяти гомоморфизмах. Точная последовательность тройки. Следствия из теоремы о
вырезании: группы гомологий букета, факторпространства, надстройки.
24. Группы гомологий произведения пространства на шар и сферу. Равносильные условия
вырезаемости триады. Последовательность Майера–Вьеториса. Доказательство леммы о
покрытии и теоремы о вырезании.
25. Степень отображения из сферы в сферу и ее свойства. Группы гомологий поверхностей.
Локальное вычисление степени отображения.
26. Теоремы Жордана и Брауэра.
27. Гомологически полноценные фильтрации. Клеточные гомологии и их совпадение с
сингулярными. Вычисление групп гомологий некоторых пространств. Пространства Мура.
28. Теоремы Пуанкаре, Гуревича и Уайтхеда.
29. Формула Пуанкаре - Хопфа.
30. Теорема Лефшеца о неподвижной точке.
31. Тензорное произведение абелевых групп и его свойства. Резольвента и функтор Tor.
Примеры вычислений.
32. Два варианта формулы универсальных коэффициентов для гомологий. Гомоморфизм
Бокштейна. Функторы Hom и Ext.
33. Группы когомологий: коцепи, аксиомы теории когомологий, спаривание с группами
когомологий.
34. Группа Брушлинского. Формулы универсальных коэффициентов для когомологий.
35. Формула Кюннета – алгебраический вариант. Теорема Эйленберга - Зильбера. Внешнее
(ко-) гомологическое умножение.
36. Чашечное произведение: определение для коцепей, формула для кограницы, определение
произведения когомологических классов. Примеры вычислений. Умножение в
относительном случае.
37. Лемма о естественных операторах и косая коммутативность чашечного произведения.
Связь внешнего когомологического умножения и чашечного произведения.
38. Кольца когомологий произведения, букета и надстройки. Определение и свойства ``cap’’ произведения.
39. Информация – кольца когомологий проективных пространств. Теоремы Улама – Борсука,
``о сэндвиче’’, о нетривиальности нечетного отображения сферы, о неподвижной точке для
проективных пространств.
40. Инвариант Хопфа. О конечномерных вещественных алгебрах с делением.
41. Фундаментальный класс многообразия (топологического и комбинаторного).
Инвариантное определение оператора Пуанкаре. Формулировка теоремы двойственности
Пуанкаре и ее прямые следствия.
42. Индекс пересечений. Леммы о неособой кососимметрической форме и неособой
симметрической форме с максимальной изотропной подгруппой. Двойственность Пуанкаре –
Лефшеца.
43. Сигнатура края многообразия. Сигнатура как гомоморфизм групп кобордизмов.
44. Гомотопическая классификация замкнутых односвязных четырехмерных многообразий.
45. Класс Тома векторного расслоения. Последовательность Гизина. Кольца когомологий
проективных пространств. Лемма о двойственности Пуанкаре – Лефшеца в трубчатой
окрестности гладкого подмногообразия.
46. Геометрическая интерпретация индекса пересечений в гладком случае. Обратный
гомоморфизм Хопфа и его геометрическая интерпретации.
47. Геометрическая интерпретация коэффициента зацепления. Линзовые пространства.
Коэффициенты зацепления со значениями в факторгруппе рациональных чисел по целым.
Классификация линзовых пространств.
48. Геометрическое определение оператора Пуанкаре на уровне цепей. Двойственность
Пуанкаре в барицентрической форме. Формулировки двойственности Александера –
Понтрягина.
3.1.5 Методические материалы для оценки обучающимися содержания и качества
учебного процесса
3.2. Кадровое обеспечение
3.2.1 Образование и (или) квалификация штатных преподавателей и иных лиц,
допущенных к проведению учебных занятий
К проведению занятий должны привлекаться преподаватели, имеющие ученую степень
доктора или кандидата наук (в том числе степень PhD, прошедшую установленную
процедуру признания и установления эквивалентности) или ученое звание профессора или
доцента.
3.2.2 Обеспечение учебно-вспомогательным и (или) иным персоналом
Не требуется.
3.3. Материально-техническое обеспечение
3.3.1 Характеристики аудиторий (помещений, мест) для проведения занятий
Стандартно оборудованные лекционные аудитории с возможностью электронной
презентации курса.
3.3.2 Характеристики аудиторного оборудования, в том числе неспециализированного
компьютерного оборудования и программного обеспечения общего пользования
Доска для письма мелом или фломастером, мультимедийный проектор.
3.3.3 Характеристики специализированного оборудования
Не требуется.
3.3.4 Характеристики специализированного программного обеспечения
Не требуется.
3.3.5 Перечень и объёмы требуемых расходных материалов
Мел, фломастеры для доски, губка.
3.4. Информационное обеспечение
3.4.1 Список обязательной литературы
1. D. Kozlov, Combinatorial Algebraic Topology, электронный ресурс,
https://find.library.spbu.ru/vufind/Record/978-3-540-71962-5
3.4.2 Список дополнительной литературы
1. А. Хэтчер. Алгебраическая топология. М., МЦНМО, 2011.
2. Дж. У. Вик, Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. М., МЦНМО, 2005.
3. А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс. Курс гомотопической топологии. М., Наука, 1989.
3.4.3 Перечень иных информационных источников
Раздел 4. Разработчики программы
Звагельский Михаил Юрьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
высшей геометрии, zvag@pdmi.ras.ru