A2: уравнения оболочек

1
Лекция
Основные уравнения теории оболочек.
Содержание: Оболочка, как физический объект; гипотеза Кирхгофа-Лява; деформации
оболочек; напряжения в оболочке; уравнения движения оболочки.
Под оболочками понимают тела, одно из измерений которых (толщина оболочки)
много меньше двух других. Поверхность, которая делит пополам толщину оболочки
называется срединной. Таким образом, вводя ряд предположений, движение оболочки
можно свести к изучению движения ее срединной поверхности. В качестве основного
предположения теории тонких оболочек наиболее часто используется гиппотеза
Кирхгофа-Лява [6]. Согласно этой гипотезе считается, что нормальное к
недеформированной срединной поверхности волокно оболочки остается нормальным к
ней и после деформации, а также не меняет своей длины. Поскольку оболочки являются
элементами большинства конструкций и механизмов, их изучению посвящено огромное
количество работ. Историю вопроса и библиографию можно найти в [1 – 7 ].
Поверхность в каждой точке имеет главные кривизны k1 , k 2 и соответствующие им
радиусы кривизны 1  1 k1 , 2  1 k 2 . Произведение главных кривизн
  k1  k 2 называется гауссовой кривизной поверхности, полусумма k  (k1  k 2 ) 2 –
средней кривизной. Для оболочки вращения линии главных кривизн совпадают с
параллелями и мередианами. Оболочки считаются тонкими, если их толщина много
меньше радиуса кривизны.
Рис.1 Цилиндрическая (а) и коническая (б) поверхности вращения.
На рис.1 приведены цилиндрическая (а) и коническая (б) срединные поверхности. Они
имеют положительную кривизну параллелей и нулевую кривизну мередианов. Для
тороидальной поверхности кривизна может менять знак. Для выпуклых оболочек
кривизна положительна. Рассмотрим локальную систему координат оси x, y которой
совмещены с касательными к линиям главных кривизн поверхности, а ось z направлена
по нормали в сторону центра кривизны (рис.2).
2
Рис.2 Локальная система координат с центром в точке О срединной поверхности.
Оси x, y  касательные к линиям главных кривизн, ось z направлена по нормали к
срединной поверхности в сторону центра кривизны.
Обозначим соответственно компоненты перемещения точек срединной
поверхности оболочки по введенным осям:
u x  u ( x, y, t ); u y  v( x, y, t ); u z  w( x. y, t ),
(1)
тогда перемещения точек поверхности, имеющей координату z  const используя
гиппотезу Кирхгофа-Лява можно записать в виде (см. рис.3):
w
w
(2)
uz  u  z
; vz  v  z
; w z  w.
x
y
Рис.3 Перемещения точек поверхности, параллельной срединной складываются из
перемещений соответствующей точки срединной поверхности и смещений при прогибе с
учетом гипотезы кирхгофа-Лява о нерастяжимости нормального волокна.
Определим деформации  zx ,  zy в направлениях x, y точек поверхности,
параллельной срединной и отстоящей от нее на расстоянии z только за счет перемещений
u z , v z (рис.4).
Рис.4 Деформация элемента оболочки ABCD при смещениях u z , v z .
Координаты точки А ( x, y ), а перемещение (u z , v z ) . Координаты точки В ( x  dx, y ) , а
u z
v z
dx, v z 
dx). Координаты точки D ( x, y  dy ) , а перемещение
x
x
u z
v z
z
z
(u 
dy, v 
dy ).
y
y
Тогда длина элемента АВ после деформации будет равна
перемещение (u z 
3
 u z  u z  2  v z  2 
 
 .
| A1 B1 | dx 1  2

 x  x   x  


Относительное удлинение вдоль направления x соответственно равно
2
2
| A B |  | AB | u z 1  u z 
1  v z 
  
 .
 1 1

 
| AB |
x 2  x 
2  x 
Аналогично получим
 zx
2
(3)
2
| A D |  | AD | v z 1  v z 
1  u z 
  
 .
(4)
 1 1

 
| AD |
y 2  y 
2  y 
Рассмотрим теперь относительное удлинение вдоль осей, которое получается только за
счет нормального перемещения w. При нормальном прогибе w элемент dx  AB (рис.5)
переходит в элемент A1 B1 .
 zy
Рис.5 Относительное удлинение волокна оси x в результате прогиба.
Если вспомнить что радиус кривизны срединного волокна равен 1 то начальная
длина элемента AB  (1  z)d . Его длина после прогиба A1 B1  (1  z  w)d , отсюда
w
 zx  
 k x w .
1
w
 zy  
 k y w .
Аналогично
(5)
2
Определим относительные удлинения элементов линий главных кривизн за счет того, что
величина прогиба изменяется вдоль линий (рис.6)
Рис.6 Деформация элемента за счет зависимости прогиба от координат ( x, y ).
w
w
dx, DD1  w 
dy. (6)
Пусть прогиб в точке А равен w  AA1 , тогда BB1  w 
x
y
4
Это позволяет найти новую длину элементов A1 B1 и A1 D1 и вычислить относительные
удлинения. Так:
2
2
2
1  w 
1  w 
 w 
(7)
| A1 B1 | dx 1    ,   zx    , аналогично  zy    .
2  y 
2  x 
 x 
Остается подсчитать деформацию сдвига  z . Разобьем ее определение также на
составляющие. Первая составляющая возникает при изменении угла между волокнами в
результате движения в плоскости xy (рис.4). Эта величина дается известной формулой
удвоенной компоненты тензора деформаций
u z v z
(8)
 z  2 xy 

.
y
x
Вторая составляющая возникает за счет изменения прогиба (рис.6). Для ее определения
2
 w
w 
найдем длину отрезка B1 D1 . С одной стороны | B1 D1 |  dx  dy  
dy 
dx  , с
x 
 y
другой стороны | B1 D1 | 2 | A1 B1 | 2  | A1 D1 | 2 2 | A1 B1 |  | A1 D1 |  cos 2   z . . Приравнивая
эти величины, получим
2
2
2

2

2
2
 w
 w 
w 
 w 
dx  dy  
dy 
dx   dx 2  dy 2    dx 2    dy 2 
x 
 x 
 y
 y 
2
2
  w  2   w  2 

z 
 2  dx  dy  cos    1    1    ,
2
  x    y  
откуда
w w
.
(9)
x y
Суммируя (3), (4) с соответствующими величинами в (5), (6) и (7), а также (8) с (9),
окончательно получим:
z 
2
2
2
2
 zx
u z
1  u z

 k x w  
x
2  x
2

1  v z 
1 w
  
    ;

2  x 
2  x 

 zy
v z
1  u z

 k y w  
y
2  y

1  v z 
1  w 
  
    ;



2  y 
2  y 

2
(10)
u z v z w w


.
y
x x y
В теории тонких оболочек считается, что порядок квадратов градиента прогиба равен
порядку градиентов перемещений u z , v z . Поэтому квадратами градиента перемещений в
плоскостях параллельных срединной поверхности пренебрегают. В этом случае
выражения (10) упрощаются:

z

2
 zx 
u z
1  w 
 kxw    ;
x
2  x 
2
 zy
v z
1  w 

 k y w    ;
y
2  y 
u z v z w w


.
y
x x y
Воспользуемся выражениями (1), (2) и из (11) получим:

z

(11)
5
2
 zx
u
1  w 
2w

 kxw     z 2 ;
x
2  x 
x
 zy
v
1  w 
2w

 k y w     z 2 ;
y
2  y 
y
2
(12)
u v w w
2w
 
 
 2z
.
y x x y
xy
Заметим, что часть слагаемых в (12) выражает собой деформации срединной поверхности,
поскольку не зависит от z (назовем их  x ,  y ,  ), а последние слагаемые, называемые
обычно деформациями изгиба явно включают расстояние до срединной поверхности
(обозначим их  xи ,  yи ,  и ).
Таким образом :
(13)
 zx   x   xи ;  zy   y   yи ;  zx     и .
Как и обычные компоненты тензора деформаций, деформации срединной поверхности не
являются независимыми и удовлетворяют уравнению совместности:
z
 2 x
y 2

 2 y
x 2
2
2  2w 
2w 2w
2w
2w
 

 

k

k
.
x
y
xy  xy 
x 2 y 2
y 2
x 2
(14)
Напряженное состояние оболочек. Связь между силами и деформациями.
В рамках сделанных предположений усилия, как результат действия внутренних
поверхностных сил, действующие на границах выделенного малого элемента оболочки
можно разделить на три основных категории.
К первой категории отнесем усилия, действующие в срединной поверхности. Им
отвечают деформации срединной поверхности  x ,  y ,  в (13). Обычно эти усилия
называют цепными или мембранными (рис.7)
Рис.7 Цепные усилия на границах элемента оболочки, соответствующие деформациям
срединной поверхности  x ,  y ,  и соответствующим им цепным напряжениям  x ,  y , .
Цепные усилия выражаются через соответствующие цепные напряжения и толщину
оболочки h :
N x   x h, N y   y h,   h.
(15)
Они имеют размерность силы, приходящейся на единицу длины.
6
Ко второй категории отнесем напряжения изгиба, вызывающие соответствующие
деформации  xи ,  yи ,  и в (13) и распределенные по линейному закону по толщине
оболочки (рис.8).
Рис.8 Изгибающие и крутящие моменты, как результат приведения к срединной
поверхности изгибающих напряжений  x и ,  y и ,  и , вызывающих деформации
 xи ,  yи ,  и .
Главный вектор этих напряжений равен нулю, поэтому результатом их действия будет
изгибающие осевые моменты M x , M y и крутящие моменты H . Они вычисляются как
интегралы по толщине оболочки от соответствующих ихгибающих напряжений
 x и ,  y и , и :
Mx 
h
2
h x и  zdz;

My 
h
2
h y и  zdz;

2
H
2
h
2
hи  zdz.

(16)
2
Третья категория усилий связана с поперечным сдвигом и характеризуется
сдвиговыми напряжениями  xz ,  yz и соответствующими им интегральными усилиями,
которые называются поперечными или перерезывающими силами Q x , Q y ,
направленными по нормали к поверхности (рис.9).
Рис.9 Поперечные напряжения  xz ,  yz и соответствующие им перерезывающие
усилия Q x , Q y .
Поперечные или перерезывающие усилия вычисляются, как интегралы по толщине
оболочки от соответствующим им сдвиговых напряжений:
Qx 
h
2
h x z dz;

2
Qy 
h
2
h y z dz.

2
(17)
7
Таким образом, соответствующие интегральные усилия (силы и моменты на единицу
длины), даются соотношениями (15)-(17).
Напряжения  zz в оболочках малы, поэтому полагаются равными нулю и закон
Гука испльзуется в рамках плосконапряженного состояния:
y
y


 2(1  )
(18)
x  x  
, y 
 x ,   
.
E
E
E
E
G
E
Выражая напряжения через деформации из (18) получим:
E
E
E
(19)
  G 
.
x 
( x   y ),  y 
( y   x ),
2
2
2(1  )
1 
1 
С учетом (12), (15) и (19) получим связь цепных усилий с перемещениями:
2
2
 v
Eh  u
1  w 
1  w   
Nx 
  k x w        k y w     ,
2  x 
2  y   
1   2  x
 y


2
2
 u
Eh 
1  w 
1  w   
 v



(20)
Ny 

k
w




k
w


   ,
y
x


2 
y
2  y 

x
2

x
1  



 


Eh  u v w w 
T
  
.
2(1  )  y x x y 
Подстановка в (19) изгибных деформаций и затем изгибных напряжений в (16) приводит
после интегрирования к выражениям для изгибающих и крутящих моментов:
 2w
Eh3   2 w
2w 
2w 

;
Mx  




D




2 
 x 2
12(1   2 )  x 2
y 2 

y


 2w
Eh3   2 w
2w 
2w 

;
My  




D


(21)


2 
 x 2
12(1   2 )  y 2
x 2 

y


Eh3  2 w
2w
H 
  D(1  )
,
12(1  ) xy
xy
где величина D  Eh3 [12(1   2 )] называется цилиндрической жесткостью.
Уравнения движения оболочки.
Рассмотренные виды внутренних усилий позволяют составить уравнения
движения оболочки рассматривая ее малый элемент. В качестве внешних сил будем
учитывать распределенную по срединной поверхности силу, состоящую из плотности
массовых сил, включая силы инерции
 2u
 2v
2w
hg x  h 2 ; hg y  h 2 ; hg z  h 2
t
t
t
и плотности поверхностных сил p x , p y , p z . Тогда уравнение движения малого
элемента оболочки в проекции на ось x можно представить в форме
N x 
Q x  w  2 w 
w


dx dy  N x dy  Q x
dy   Q x 
dx 
 2 dy 
Nx 

x

x

x

x
x dx 





T 
 2u


 T 
dy dx  Tdx  p x dxdy  hg x dxdy  h 2 dxdy.
y 
t

Аналогичное уравнение можно выписать и в проекции на ось y После деления на
площадь dxdy , получим:
8
h
 2 u N x T   w 


  Qx
  p x  hg x ;
x
y x 
x 
t 2
(22)
 v T N y  
w 
  p y  hg y .


  Q y
2
x
y
x 
y 
t
В проекции на нормаль к поверхности будем иметь такое уравнение движения
 2 w Q x Q y
 
w
w 

h 2 

 k x N x  k y N y   N x
T
x
y
x 
x
y 
t
(23)
  w
w 
  p z  hg z .
  T
 Ny
y  x
y 
Рассмотрим теперь равновесие моментов. При этом для тонких оболочек
собственным моментом инерции вращения обычно пренебрегают. Распишем подробно
сумму моментов относительно оси y
M x 
H
dx

dx dy  M x dy  ( H 
dy )dx  Hdx  p z dxdy 
M x 
x
y
2


h
2
Q y
Q x 
dx
dx
2w
dx

  Qx 
dx dydx 
dydx  hg z dxdy  h 2 dxdy  0
x
y
2
2
2
t


Аналогичное уравнение можно выписать в проекции на другую ось. После предельного
перехода получим:
M x H

 Q x  0;
x
y
(24)
H M y

 Q y  0.
x
y
Если использовать формулы (21) в (24), перерезывающие усилия можно выразить через
прогиб

Q x   D w ,
x
(25)

Qy   D  w  .
y
Подстановка (24) в (23) позволяет исключить перерезывающие усилия из уравнения в
проекции на нормаль. Для пологих оболочек при отсутствии сильного смятия
нелинейными слагаемыми в уравнениях (22) пренебрегают. Тогда уравнения (22), (23)
перепишутся следующим образом:
 2 u N x T
h 2 

 p x  hg x ;
x
y
t
 2 v T N y
h 2 

 p y  hg y ;
(26)
x
y
t
2
2w 2M x  M y
2H
 
w
w 
h 2 


2
 kx N x  k y N y   N x
T

2
2
xy
x 
x
y 
t
x
y
  w
w 
 Ny
T
  pz  hg z .
y  x
y 
Система уравнений (20), (21), (26) замкнута и описывает движение оболочки при
поставленных начальных и граничных условиях.

9
Уравнения линейной теории оболочек. В том случае, когда премещения срединной
поверхности и их градиенты также можно считать малыми, все нелинейные члены
имеют второй порядок малости и ими можно пренебречь.
В этом случае выражения для деформаций имеют согласно ( 12 ) вид
u
2w
 zx 
 k x w  z 2   x   xu ;
x
x
v
2w
z
y 
 k y w  z 2   y   yu ;
(27)
y
y
u v
2w
  2z
   u .
y x
xy
Выражая напряжения, соответствующие срединной поверхности (они постоянны по
толщине оболочки) и изгибную часть напряжений (распределены по толщине по
линейному закону) через перемещения из (19), (27) получим:
 v

E  u
E

k
w



k
w
x 
(



)


x
y
x
y

 ;
(1   2 )  x
1  2
 y

E  v
E
 u

(28)
 k y w     kx w  ;
y 
( y   x ) 
2 
2
(1   )  y
1 
 x

z 
  G 
 xu 
E  u v 
  ;
2(1  )  y x 
  2 w  2 w 
E 
E

z
(1


)
(



)


 2  2  ;
xu
yu
(1   2 ) 
y  
1  2
 x
 yu 
  2 w  2 w 
E 
E

z
(1


)
(



)


 2  2  ;
yu
xu
(1   2 ) 
y  
1  2
 x
u  G  u 
(28’)
E 
2w 

z

.
(1  )  xy 
Из (15) получим:
N x  x h 
 v

hE  u
 kx w     k y w  ;
2 
(1   )  x
 y

N y  yh 
hE  v
 u

 k y w     kx w  ;
2 
(1   )  y
 x

E  u v 
  .
2(1  )  y x 
Изгибающие моменты согласно (16), (28’) будут равны:
  h 
h
2
h
Mx 

My 
h
2
h

2
h
2

 x и  zdz 
2
 y и  zdz 
z 2 dz 
 h2
h
2

 h2
z 2 dz 
 2 w 2 w 
E 
h3 E

(1


)



w;

 2
2 
12(1


)
(1   2 ) 

x

y



 2 w 2 w 
E 
h3 E

(1


)



w;

 2
2 
12(1


)
(1   2 ) 

x

y



(29)
10
H
h
2
h

2
и  zdz 
h
2

z 2 dz 
 h2
E  2w 
h3 E  2 w
.


(1  )  xy 
12(1  ) xy
Таким образом для изгибающих моментов получим следующие выражения:
 v

hE  u
Nx 

k
w



k
w

x
y

 ;
(1   2 )  x
 y

Ny 
hE  v
 u

 k y w     kx w  ;
2 
(1   )  y
 x

T
E  u v 
  ;
2(1  )  y x 
Mx  My  
(30)
h3 E
w;
12(1  )
h3 E  2 w
.
12(1  ) xy
Уравнения движения после линеаризации будут иметь вид:
 2u N x T
h 2 

 px  hg x ;
x
y
t
 2v T N y
h 2 

 p y  hg y .
x
y
t
H 
(31)
2
2w 2M x  M y
2 H
h 2 


2
 k x N x  k y N y  pz  hg z .
xy
t
x 2
y 2
Таким образом в случае малых перемещений и деформаций оболочка описывается
системой уравнений (30), (31). При этом перерезывающие силы Qx , Q y вычисляются по
формулам (25).
Пример 1: Рассмотрим равновесие упругой сферической оболочки, находящейся под
внутренним давлением в отсутствии массовых сил. В этом случае единственным
перемещением отличным от нуля является перемещение w . При этом
px  p y  0, pz   P0 , g x  g y  g z  0, k x  k y  1 R0 ,
где R0  радиус срединной поверхности. Из уравнений (30) получим:
hE w
Nx  N y  
; T  0; M x  M y  H  0.
(1  ) R0
Из уравнений (31) два первых выполняются тождественно, а последнее сводится к
равенству
1
2hE w
2
N x  P0  0, или 
 P0  0,
R0
1   R02
откуда находим единственную неизвестную величину радиальное перемещение
1   P0 R02
w
.
hE 2
Воспользуемся полученной формулой для определения перемещения и усилий,
возникающих в сферическом сосуде метрового радиуса под действием внутренннего
давления в 100 атмосфер (в системе С  107 н м 2 ). Считаем, что оболочка изготовлена из
стали с параметрами E  2 1011 н м 2 ,   0,3 , k  1.2, *  108 н м 2  соответственно
11
коэффициент запаса и предел прочности. Подстановка численных значений приводит к
следующему значению для толщины оболочки:
N
P R *
kP R 1, 2 107
  x  0 0  , h  0 *0 
 0,06 м.
h
2h
k
2
2 108
Пример 2: Рассмотрим равновесие упругой цилиндрической оболочки, находящейся
под внутренним давлением в отсутствии массовых сил. В этом случае единственным
перемещением отличным от нуля является перемещение w . При этом
px  p y  0, pz   P0 , g x  g y  g z  0, k x  1 R0 , k y  0
где R0  радиус срединной поверхности. Из уравнений (30) получим:
hE w
hE w
Nx  
; Ny  
; T  0; M x  M y  H  0.
2
(1   ) R0
(1   2 ) R0
Из уравнений (31) два первых выполняются тождественно, а последнее сводится к
равенству
1
hE w
N x  P0  0. или 
 P0  0,
R0
1   2 R02
откуда находим единственную неизвестную величину радиальное перемещение
(1   2 ) P0 R02
w
.
E
h
Воспользуемся полученной формулой для определения перемещения и усилий,
возникающих в цилиндрической трубе метрового радиуса под действием внутренннего
давления в 100 атмосфер (в системе С  107 н м 2 ). Считаем, что оболочка изготовлена из
стали с параметрами E  2 1011 н м 2 ,   0,3 , k  1.2, *  108 н м 2  соответственно
коэффициент запаса и предел прочности. Подстановка численных значений приводит к
следующему значению для толщины оболочки:
N
P R *
kP R 1, 2 107
  x  0 0  , h  0* 0 
 0,12 м.
h
h
k

108
Обратим внимание, что для оболочек напряжения  zz  P0 на лицевой поверхности много
меньше (на порядок), чем мембранные напряжения   12 zz .
ЛИТЕРАТУРА
1. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. Гостехиздат, Москва,
1949
2. Гольденвейзер А.Л Теория тонких упругих оболочек. Гостехиздат, Москва, 1953
3. Кильчевский Н.А. Основы аналитической механики оболочек. Изд.АН УССР, Киев,
1963
4. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Судпромгиз, Ленинград, 1951
5. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. Гостехиздат, Москва, 1947
6. Love A. Mathematical theory of elasticity. Русский перевод: Ляв А. Математическая
теория упругости, Москва, 1935.
7. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. Русский перевод:
Физматгиз, Москва, 1963.