к компьютерному обучению прочностным расчета в среде mathcad

К КОМПЬЮТЕРНОМУ ОБУЧЕНИЮ ПРОЧНОСТНЫМ
РАСЧЕТАМ В СРЕДЕ MATHCAD
И.А. Ерёменко, кандидат технических наук, доцент
В.Б. Логвинов, кандидат технических наук, доцент
Южно-Российский государственный технический университет
(Новочеркасский политехнический институт), Россия
MathCAD в учебном процессе в ЮРГТУ (НПИ) применяется давно.
Начинали с MathCAD2 под DOS, используя MathCAD в качестве
калькулятора, умеющего интегрировать, дифференцировать и решать
системы уравнений. Математические модели брали из учебников,
традиционно применяемые в учебном процессе при ручном счете. Уже в
первой нашей публикации [2], грешащей недостатками, очевидными с
позиции накопленного опыта, мы указывали, что из большого пакета
методов, разработанных для решения задач без ЭВМ, для адаптации к ПК
следует выбрать тот, который минимально привязан к графическому
представлению информации, т.е. нужно исключить графо-аналитические
методы. Вопросам использования пакета MathCAD для прочностных
расчетов посвящены работы [3], [4] и недавно изданный фундаментальный
труд [1].
Поделимся нашими находками в использовании MathCAD для
прочностных расчетов. Много хлопот доставляет пользователю MathCAD
составление системы канонических уравнений метода сил при расчете
статически неопределимых балок (неразрезных в том числе) [1]. Мы
отказались от них [5]. Применяемую нами математическую модель,
приспособленную к MathCAD, продемонстрируем на примере расчета
неразрезной трехпролётной балки ABCDK (AB=BC=CD=DK=l), имеющей
шарнир слева и консоль справа. Балка загружена равномерно
распределенной поперечной нагрузкой q в первом и втором пролетах,
длины пролетов и консоли одинаковы и равны l. Основную систему
выбираем, отбросив две промежуточные опоры балки (тогда пролет балки
станет равным 3l).
Для балки постоянной жесткости EI необходимо построить эпюры
изгибающих моментов и поперечных сил и найти вертикальное
перемещение сечения К (конца консоли).
Понимая, что построение эпюр является самоцелью при ручном
счете и остается традиционным приемом проверки правильности
составленных уравнений, в дальнейшем эпюры (графическое
представление записанных формул) удаляем с рабочего листа. Целью
расчетчика является определение опасного сечения, проблема решается
функциями maximize и minimize. При использовании первой гипотезы
прочности эти функции применяются к if-выражению для изгибающих
моментов (термин мы ввели, потому что в качестве переключателя в
формуле используем условный оператор if). Если расчетчик применяет
другие гипотезы прочности, то пишется формула, по которой
рассчитываются эквивалентные усилия (напряжения), содержащая ссылки
на if-выражения для изгибающих моментов и поперечных сил в опасной
точке сечений и по ней строится график (эпюра).
Решаем пример в приведенной формулировке.
9. Вводим исходные данные.
2. Составляем if-выражение для изгибающих моментов для заданной
балки:
q  s2
U  Ra  s 
if 0  s  L
2
U  U  R  s  l  if l  s  L
b
M s, Ra , R , Rc :
b
(1)
q  s  2  l 2
U  U  Rc  s  2  l  
if 2  l  s  L
2
U  0 if 3  l  s  L..


Здесь L  4l -длина балки.
3. Даем задание MathCAD на вычисление поперечных сил:
d
(2)
Q s, Ra , R , Rc : M s, Ra , R , Rc .
b
b
ds
4. Составляем if-выражение для изгибающих моментов от
единичной силы, приложенной в произвольном сечении основной
системы, задаваемом координатой u:
3l  u
U
 s if 0  s  u
3l
3l  u
U

 s  1 s  u  if u  s  L
(3)
moss, u  :
3l
u
U U 
 s  3  l  if 3  l  s  L
3l
U.




5. Чтобы вычислить угол поворота сечения, придется составить ifвыражение для изгибающих моментов от единичной пары сил, задаваемой
координатной u.
1
U 
 s if 0  s  u
3l
1
(4)
moms, u  : U  
 s  1 if u  s  L
3l
1
U U 
 s  3  l  if 3  l  s  L.
3l
6. С помощью интеграла Мора вычислим прогиб под единичной
силой в функции от ее u координаты и пока неизвестных опорных реакций:
4l M s, Ra , Rb , Rc  moss, u 
(5)
v u, Ra , R , Rc : 
ds
b
E

I
0




7. Аналогично (5) составим выражения для углов поворота
поперечных сечений балки:
4l M s , R , R , R   moms ,u 
a b c
u , Ra , Rb , Rc  : 
ds .
E

I
0
(6)
8. Идентификаторы функций (1)–(6) содержат три неизвестные
реакции. Для их определения составляем и решаем систему трех
уравнений:
Ra : 1; R : 1, Rc : 1
b
Given
M 3l , Ra , Rb , Rc   0
(7)
vl , Ra , Rb , Rc   0 v2  l , Ra , Rb , Rc   0
 Ra 
 Ra 
 
 


R
:

MinErr
R
,
R
,
R
 b
 Rb   
a b c
R 
R 
 c
 c
Первое из уравнений (7) указывает, что на опоре D нет изгибающего
момента, второе и третье уравнение отражают наличие опор В, С.
9. Реакции найдены, теперь исчезла необходимость сопровождать
идентификаторы перечислением в скобках известных величин.
Желательно, но необязательно, ввести следующие упрощения:
MM s  : M s , Ra , Rb , Rc ; QQs  : Qs , Ra , Rb , Rc ;
vvs  : vs , Ra , Rb , Rc ; s  : s , Ra , Rb , Rc .
(8)
Верхние две формулы могут быть использованы для построения
эпюр внутренних усилий и напряжений. Они же годятся и для целей
исследования на экстремум без построения эпюр:
MM MaximizeMM , s   
Нижние две формулы (8) позволяют без применения численного
решения дифференциального уравнения изогнутой оси балки [1] дать
задание системе построить на экране эпюры прогибов и углов поворота
сечений балки.
Примечание
Если условие задачи не требует вычисления деформаций и
построения эпюр прогибов и углов поворота, а необходимо только
раскрыть статическую неопределимость (найти «лишние» реакции) и
построить эпюру изгибающих моментов, из уравнений (1)–(7) пригодится
только (1). В нем нужно сделать изменение только в левой части, включив
в параметры идентификатор внешней нагрузки
M s, Ra , R , Rc , q : 
b
Изгибающие моменты в основной системе от единичной силы,
приложенной вместо опоры B(u=l), и от единичной силы, приложенной
вместо опоры С(u=2l), могут быть вычислены по формулам:


 2

 1

M  s, ,1,0,0 ; M  s, ,0,1,0 .
 3

 3

Система уравнений, предназначенная для вычисления
реакций (7) примет следующий вид
Given
4l
 2
 3
0
M 3l , Ra , Rb , Rc , q   0;


4l


«лишних»
 M s , Ra , Rb , Rc , q   M  s , ,1,0 ,0  ds  0 ;
 1
 3
 M s , Ra , Rb , Rc , q   M  s , ,0 ,1,0  ds  0 ;
0
 Ra 


 R  : find R , R , R
a b c
 b
R 
 c

mos Z s , u  :

 Ra 


R  
 b
R 
 c
 1  u  1  s if 0  s  u
;
0 if u  s  L
(9)
0 if 0  s  u
(10)
mos Z s, u  :
.
0
 1s  u  if u  s  L.
Если конец рассчитываемой балки защемлен, основная система
может быть выбрана в виде консольной балки (заделка слева, заделка
справа) и вместо (4) используем (9) или (10). Заделка справа и (10)
предпочтительнее. Даже если защемлен левый конец балки, лучше
изобразить балку в зеркальном отображении, тогда (рассматривая левую
отсеченную часть) не нужно будет включать в if-выражение типа (1) и
систему (7) реакции заделки, уравнений станет на одно меньше (ранее в (1)
не вошла реакция опоры D).
Приведенный здесь алгоритм вполне заменяет систему канонических
уравнений и может стать содержанием одной из лекций и разделов
учебника. Компьютерно грамотный студент, обучающийся по
классическим учебникам, без специальных указаний преподавателя будет
использовать MathCAD в качестве калькулятора, а это не позволит ему
легко перестраивать математическую модель и проводить разносторонние
исследования и оптимизацию.
Литература:
1. Вафин Р.К., Егодуров Г.С., Зангеев Б.И. Расчет на прочность элементов
машиностроительных конструкций в среде MathCAD: Учеб. пособие
для вузов. / Под ред. д.т.н., проф. Р.К. Вафина. – Улан-Удэ: Бурят. кн.
изд-во, 2005. – 600 с.
2. Ерёменко И.А., Логвинов В.Б. Задачи по сопротивлению материалов в
системе MathCAD: Учеб. пособие / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. –
Новочеркасск: ЮРГТУ, 1999. – 60 с.
3. Минин Л.С., Хроматов В.Е., Самсонов Ю.П. Расчетные и тестовые
задания по сопротивлению материалов / Под ред. В.Е. Хроматова. Учеб.
пособие. – М.: Высш. шк., 2003. – 224 с.
4. Степанов А.Г. Динамика машин. – Екатеринбург: УрОРАН, 1999. –
392 с.
5. Хальфин М.Н., Ерёменко И.А., Логвинов В.Б. Прочностные расчеты
деталей подъемно-транспортных машин: Учеб. пособие. / Юж.-Рос. гос.
техн. ун-т. – Новочеркасск: ЮРГТУ, 2006. – 192 с.