Схема I (кручение) Дано: M1 = 6 kHм, M 2 = 4 кНм, M 3 = 2 кНм , а = 0,2 м; D /d = 1,2; b/d =1,1; h/b =1,5. [τ] = 100 МПа , G = 8 ⋅104 МПа . Решение: 1. Построить диаграмму крутящих моментов М К и углов закручивания ϕ для стержня без одной опоры (правой или левой). Изобразим стержень с одной опорой, соблюдая масштаб по длине. Требуемые диаграммы строятся на осях параллельных оси стержня с проставлением значений ординат в характерных точках. Момент реакции в опоре определяется из уравнения равновесия системы: сумма моментов относительно оси Х равна нулю (ось Х – ось стержня). m X M A M1 M 3 M 2 0 М A M 1 M 3 M 2 4кНм Методом сечений определяем внутренние крутящие моменты. Эпюра крутящих моментов представлена на рисунке выше. Крутящий момент является положительный, если он вращает против часовой стрелки. Получаем следующее распределение крутящих моментов вдоль оси балки: M кр (z) 0 при 0 z 0,5a при a z 2a M кр (z) - M 2 4кНм при 2a z 3a M кр (z) - М 2 М 3 2кНм M (z) - М М М 4кНм при 3a z 4a 2 3 1 кр Для определения относительных углов закручивания применяем формулу M кр l l . GJp Эта формула действительна только для части стержня постоянного сечения по длине l .Произведение G J p называется жесткость стержня при кручении, J p полярный момент инерции поперечного сечения стержня. d4 Jp Для сплошного круга: 32 Для прямоугольника вместо полярного момента инерции введено понятие геометрического параметра (фактора) жесткости J K , который по смыслу эквивалентен полярному моменту инерции сечения. Выражение его получается методами теории упругости: J K J p b3 h . Для кольцевого сечения: J p D4 32 d4 32 D4 4 d 1 32 D При формулировании условия прочности при кручении используются геометрические характеристики, которые называются полярными моментами Jp сопротивления, и находятся они по определению: W p max d d3 и Wp 2 16 Для прямоугольного сечения используется геометрический параметр эквивалентный по смыслу полярному моменту сопротивления: WK b 2 h . h Коэффициенты и зависит от отношения . Выбираем его из таблицы. b Для сплошного круга: max h 1,5 , то определяем 0,231 и 0,196 по таблице. b Определим геометрические характеристики поперечных сечений стержня, выразив их через один определяющий параметр ( посредством d ), используя заданные соотношения. Поскольку из условия задачи 4 D D3 d Для кольцевого сечения: max и Wp 1 2 16 D D 1,2d Кольцевое сечение: 1,2d 4 0,1054d 4 32 4 3 1,2d d Wp 1 0,1757d 3 1,2d 16 Прямоугольник: b 1,1d и h 1,5b 1,5 1,1d 1,65d Jp d 1 1,2d 4 J p 0,196 1,1d 1,65d 0,4304d 4 3 Wp 0,231 1,1d 1,65d 0,4612d 3 2 Круглое сечение: D 1,2d Jp 1,2d 4 0,2036d 4 32 1,2d 3 Wp 0,3393d 3 16 Определим повороты сечения для каждой части стержня, где крутящие моменты и жесткости постоянны по длине: 4 103 0,2 1 Поворот сечения 1 относительно А: 1 / A 9,4877 10 8 4 м 4 10 4 8 10 0,1054d d 2 103 0,2 1 1,1617 10 8 4 м 4 10 4 8 10 0,4304d d 3 4 10 1,5 0,2 1 Поворот сечения 3 относительно 2: 3 / 2 3,4851 10 8 4 м 4 10 4 8 10 0,4304d d 0 0,5 0,2 Поворот сечения 4 относительно 3: 4 / 3 0 8 1010 0,2036d 4 По вычисленным значениям углов определяются повороты всех сечений относительно неподвижного сечения А. Так поворот освобождённого конца равен: 1 4 / A 1 / A 2 / 1 3 / 2 4 / 3 4,8409 10 8 4 м 4 d Процедура вычислений показана на диаграмме углов закручивания. В итоге получаем следующие эпюры. Поворот сечения 2 относительно 1: 2 /1 2. Построить диаграмму крутящих моментов M kp для стержня с двумя опорами. Статика даёт одно уравнение равновесия при двух неизвестных: mX M A M B M1 M 2 M 3 0 Задача статически неопределима. Дополнительное уравнение можно записать, учитывая что в опорах сечения стержня не поворачиваются. Устраним правую опору, заменив её действие моментом Х. Очевидно этот момент будет равен реактивному M B , если поворот сечения равен нулю. Дополнительное уравнение: B 0 На основании принципа независимости действия сил: M a M a M a M a M 2,5a X a X 2,5a X 0,5a 0 B 1 3 1 2 2 G J1 G J1 G J 2 G J1 G J 2 G J 1 G J2 G J 3 Получаем, что M 1 a M 3 a M 3 a M 2 a M 2 2,5a G J 1 G J 1 G J 2 G J 1 G J 2 X a 2,5a 0,5a G J1 G J 2 G J 3 1,42315 0,47438 0,11617 0,94877 0,58086 1,0907кН 0,2372 0,1452 0,0614 Возвращаясь, к уравнению равновесия, имеем: M A M B M 1 M 2 M 3 1,0907 6 4 2 2,9093кН Используя метод сечения и формулу для относительных углов закручивания, получаем следующие эпюры: 3. Подобрать размеры поперечных сечений стержня с двумя опорами, сохранив соотношения, из условия прочности. Условие прочности выглядит следующим образом. M kp max [ ] Wp В той части стержня, где поперечное сечение - прямоугольник, максимальное значение момента равно M max 5,0907kHм . Подставим в формулу 5,0907 0,4612d 3 Из этого неравенства получаем, что d 3 5,0907 103 5,0907 103 3 4,797 10 2 м 8 0,4612 0,4612 10 Примем d 4,8 102 м 48мм 5090,7 99,8МПа При этом 3 0,4612 0,048 Недогрузка составляет 0,2%. Размеры сечения тогда b 1,1 48 52,8 мм и h 1,65 48 79,2 мм Проверим прочность кольцевого сечение. D 1,2 48 57,6 мм 2,9093 103 max 149,72 МПа 3 0,1757 0,048 Условие прочности не удовлетворено. Выберем новое значение d . d 3 2,9093 103 5,49 10 2 м 0,1757 108 Примем d 5,5 102 м 55мм 2909,3 99,5МПа При этом 3 0,1757 0,055 Недогрузка 0,5%. D 1,2 55 66 мм Проверим прочность прямоугольного сечение. Размеры сечения тогда b 1,1 55 60,5 мм и h 1,65 55 90,75мм 5090,7 66,3МПа 3 0,4612 0,055 Проверим прочность круглого сечения 1,0907 103 max 19,32 МПа 3 0,3393 0,055 4. Построить для стержня с двумя опорами диаграмму углов закручивания . 2,9093 103 0,2 1 Поворот сечения 1 относительно А: 1 / A 6,9 10 8 4 м 4 10 4 8 10 0,1054d d 3 3,0907 10 0,2 1 Поворот сечения 2 относительно 1: 2 /1 1,7952 10 8 4 м 4 10 4 8 10 0,4304d d 3 5,0907 10 1,5 0,2 1 Поворот сечения 3 относительно 2: 3 / 2 4,4354 108 4 м 4 10 4 8 10 0,4304d d 1,0907 0,5 0,2 1 0,6696 10 8 4 м 4 10 4 8 10 0,2036d d Проверка B 6,9 1,7952 4,4354 0,6696 0,0002 Погрешность 0,02%. Эпюры представлены выше. Поворот сечения 4 относительно 3: 4 / 3 5. Рассчитать опорные закрепления стержня с двумя опорами (сварка) Касательные напряжения в сварном шве образуют опорные моменты, которые уравновешивают крутящие моменты в примыкающих к опорам сечениях. D В левой опоре: M B D D 0,7t dl 2 0,7t 2 2 0,7t 2 AD 0 В правой опоре момент образуется напряжениями, распределенными по кругу. d d d2 M B 0,7t dl 0,7t 0,7t 2 Aкр 2 2 0 AD , Aкр - площади, ограниченные контуром поперечных сечений стержня. Напряжения в швах. MB MA кол kp 0,7t 2 AD 0,7t 2 Akp Площади определяем по формуле 2 2 t t d D 2 2 A*D 2 и A*kp 2 4 4 Из условия прочности определяем толщину шва. MA 0,6 10 2 м 6 мм Для кольца: t кол 2 D 0,7 2 4 MB 0,228 10 2 м 2,3 мм Для круга: t кр 2 d 0,7 2 4 Поскольку расчет приближенный, то назначим t кол 6 мм и t кр 3 мм . Проверим условие прочности MA кол 92,62МПа 2 t кол D 2 0,7t кол 2 2 4 MB MB кp 103,58МПа 2 2 t кр t кр d 0,7t d 2 2 0,7t 2 2 4 Все условия прочности выполняются. Схема II. (Изгиб двухопорной балки) Данные для задачи: E 2,1 10 5 МПа ; 160МПа ; Р 30кН ; М 30кНм ; q 22 a 3 м ; b 2м ; c 2,5м кН ; м 1. Построить диаграммы: поперечных сил T и изгибающих моментов M и . Для определения реакции опор воспользуемся уравнениями равновесия. 1,5c a уравнение m A Pa qa 1,5c 2 M M RB 1,5c b 0 относительно опоры А a 1,5c mB Pa 1,5c b b 1,5c R A qa 1,5c b 2 M M 0 момента относительно опоры В. Из второго уравнения получаем, что реакцию в опоре А. 1 a 1,5c RA qa 1,5c b Pa 1,5c b 93,16кН b 1,5c 2 Из уравнения сил находим реакцию в опоре В. 1 1,5c a RB Pa qa 1,5c 25,34кН 1,5c b 2 Проверка. F P a 1,5cq RA RB 0 момента уравнение Построение диаграмм T и M и . В поперечных сечениях стержня внутренние силовые факторы следует изображать в положительном направлении, согласно принятому правилу знаков: Знак момента M и принят по знаку кривизны, знак поперечной силы T по знаку касательных напряжений. Сечение 1. Из уравнения равновесия сил T P qx 30 22 x (прямая) F P qx T 0 имеем x2 M и 0 имеем Из уравнения равновесия моментов M Px q 2 x2 M и Px q 30 x 11x 2 (парабола) 2 Сечение 2. Из уравнения равновесия сил F P qx R A T 0 имеем T P qx RA 30 22x 93,16 123,16 22x (прямая) x2 M и R A x a M 0 имеем Из уравнения равновесия моментов M Px q 2 M и Px q x2 R A x a M 30 x 11x 2 93,16x 3 30 11x 2 123,16 x 309,48 2 парабола Сечение 3. Из уравнения равновесия сил F P qa 1,5c R A T 0 имеем T P qa 1,5c RA 30 223 1,5 2,5 93,16 25,34 (константа) Из уравнения равновесия моментов a 1,5c M Px qa 1,5c x 2 M и R A x a M 0 имеем a 1,5c M и Px qa 1,5c x R A x a M 30 x 22 6,75 x 3,375 93,16x 3 30 2 25,34 x 191,7 (прямая) Все данные сведены в таблицу. x, м T , кН 0 a3 a3 a 1,5c 6,75 a 1,5c 6,75 a 1,5c b 8,75 30 -36 57,16 -25,34 -25,34 -25,34 Получаем следующие эпюры. M и , кНм 0 -9 -39 20,66 20,66 -30 2. Изобразить изогнутую ось балки. Без количественной оценки перемещений поперечных сечений балки её изогнутую ось изображаем по распределению изгибающих моментов по длине, зная, что на опорах перемещения отсутствуют и возможен их поворот. Необходимо учитывать: положительному моменту соответствует положительная кривизна и наоборот; смена кривизны (точка перегиба), где изгибающий момент равен нулю; кривизна там больше, где больше изгибающий момент. 3. Определить размеры поперечного сечения стержня из условий прочности. M max и y max Jz Геометрические характеристики поперечного сечения. Поскольку фигура симметрична, то положение центра тяжести находится на пересечении осей Oz и Oy. Наша фигура состоит из 4 простых фигур: 2-х прямоугольников и 2-х полукругов. Все они симметричны относительно оси Oz. Поэтому можем записать, что характеристики известны. J z J 1 J 2 J 3 J 4 . Для них геометрические 0,6b 0,6b b0,6b 2bb 3 , J2 , J3 , J4 128 128 12 12 4 3 1 0,6 0,6 0,1423b 4 J z J 1 J 2 J 3 J 4 b 4 64 12 6 3. Определить размеры поперечного сечения из условия прочности. Для стержня постоянного сечения по длине расчетная величина изгибающего момента есть максимальное значение на диаграмме. В нашем случае это вершина параболы 11x 2 123,16 x 309,48 . Определим вершину параболы 123,16 xверш 5,598 . Тогда максимальный расчетный изгибающий момент равен. 2 (-11) 4 4 3 J1 M max расч 105,5982 112,86 5,598 232,15 35,256кНм Знак показывает, что верхняя часть сечения (выше нейтральной оси Z ) сжимается, нижняя часть растягивается. Координаты точек наиболее удалённых от нейтрального слоя находятся в растянутой зоне: y max Р b 2 Из условия прочности: M max расч Jz 2 0,1423b 4 0,2846b 3 y max Р b b 3 M max расч 3 0,2846 35,256 10 3 0,0918 м 9,18 10 2 м 6 0,2846 160 10 Примем, что b 9,2 см. 4. Построить диаграммы распределения нормальных и касательных напряжений по высоте сечения стержня. Диаграмм распределения нормальных . Нормальные напряжения изменяются по линейному закону: y Mи y Jz Для построения диаграммы достаточно определить напряжения в двух точках (максимально удалённых от нейтральной оси Z ): max p max p M max 35,256 10 3 b 159МПа 3 0,2846b 4 0,2846 0,092 M max 35,256 10 3 b 159МПа 3 0,2846b 4 0,2846 0,092 Диаграмма распределения касательных напряжений по высоте сечения. Касательные напряжения определяются по формуле Журавского: T S z отс J z by - касательное напряжение на уровне y, S z отс - статический момент площади S z отс Aотс y c,отс выше уровня y (или ниже). b y - ширина сечения по материалу на уровне y. Определим касательные напряжения в точках 1, 2 и 3, которые показаны ниже на диаграмме. Напряжения определяем в сечении, где сдвигающая сила имеет максимальное значение. По диаграмме Tmax 57,16кН Точка 1. S z отс 0 , 0 Точка 2. S z отс 0,2b 2b 0,4b 0,16b 3 , Точка 3. 57,16 10 3 0,16b 3 32,135 10 3 32,135 10 3 3,8МПа 0,1423b 4 2b b2 (0,092) 2 S z отс Ay A1 y1 A2 y 2 2b b b 0,3b 2 2 2 2 4 0,3b 1 0,3b b 0,15b b 3 0,018 0,045 0,437b 3 3 2 57,16 10 3 0,437b 3 438,84 10 3 51,85МПа 0,1423b 4 0,4b 0,092 2 Поскольку поперечное сечение симметрично, то в симметричных точках будут такие же значения. Схема III. (Изгиб консольной балки) E 2,1 10 5 МПа ; 160МПа ; Р 30кН ; М 30кНм ; q 22 a 3 м ; b 2м ; c 2,5м кН ; м 1. Построить диаграммы поперечных сил T и изгибающих моментов M и . Реакции: F P qc qa RA 0 RA P qc qa 91кН c2 m Pc qa b c 0 , 5 a q M MA 0 A 2 qc 2 M A Pc qab c 0,5a M 359,75кНм 2 Проверка: m B qa 2 M P(1,5a b) qc1,5a b 0,5c RA (1,5a b c) M A 0 Построение диаграмм T и M и . В поперечных сечениях стержня внутренние силовые факторы следует изображать в положительном направлении, согласно принятому правилу знаков: Знак момента M и принят по знаку кривизны, знак поперечной силы T по знаку касательных напряжений. Сечение 1. Из уравнения равновесия сил F T 0 имеем T 0 (константа) Из уравнения равновесия моментов M M и 0 имеем M и 0 (константа) Сечение 2. Из уравнения равновесия сил F qx 0,5a T 0 имеем T qx 0,5a 22 x 33 (прямая) Из уравнения равновесия моментов M q x 0,5a 2 2 M и 0 имеем M и q x 0,5a 2 2 22 x 0,5 32 2 11x 2 33x 24,75 - парабола Сечение 3. Из уравнения равновесия сил F qa T 0 имеем T qa 22 3 66 (константа) Из уравнения равновесия моментов M qax a M M и 0 имеем M и qax a M 66x 3 30 66 x 228 (прямая) Сечение 4. Из уравнения равновесия сил F qa qx 1,5a b T P 0 имеем T qa qx 1,5a b P 66 22x 1,5 3 2 30 22x 107 (прямая) Из уравнения равновесия моментов 2 x 1,5a b Px 1,5a b M и 0 имеем M qax a M q 2 x 1,5a b 2 Px 1,5a b 11x 2 107 x 431,75 (парабола) M и qax a M q 2 Все данные сведены в таблицу. x, м T , кН 0 0,5a 1,5 0,5a 1,5 1,5a 4,5 0 0 0 -66 M и , кНм 0 0 0 -99 1,5a 4,5 1,5a b 6,5 1,5a b 6,5 1,5a b c 6,5 Получаем следующие эпюры. -66 -66 -36 -91 -69 -201 -201 -359,75 3. Подобрать размеры поперечного сечения балки из условия прочности. Момент инерции сечения относительно главной центральной оси Z: 2 a a J z 4 J z1 b y c A , y max b 2 2 Осевой момент сопротивления сечения: Wz Jz y max 2 J z1 a b y c A 2 4 a b 2 По условию прочности требуемый момент сопротивления Wz M и расч 359,75 10 3 2248,44см 3 6 160 10 2 J z1 a b y c A 2 2248,44см 3 Уравнение: a b 2 Возьмем равнополочный уголок №16 из ГОСТ 8509-93 b 16см , B 16см , A 31,43см 2 , yC 4,3 , J z1 774,24см 4 , t 1см Примем a 20 см. 2 J z1 a b y c A 2 2396,048см 3 a b 2 Недогрузка составляет 6,2%. J z Wz y max 2396,048 26 62,297 10 3 см 4 62,297 10 5 м 4 4. Построить диаграммы распределения нормальных и касательных напряжений по высоте сечения стержня. Диаграмм распределения нормальных . Нормальные напряжения изменяются по линейному закону: y Mи y Jz Для построения диаграммы достаточно определить напряжения в двух точках (максимально удалённых от нейтральной оси Z ): max 1 2 M max 359,75 10 3 y1 0,26 150,14МПа Jz 62,297 10 5 M max 359,75 10 3 y2 0,1 57,75МПа Jz 62,297 10 5 Диаграмма распределения касательных напряжений по высоте сечения. Касательные напряжения определяются по формуле Журавского: T S z отс J z by T 91кН t a T 2 B t b 2 91 10 3 2 16 1 10 16 0,5 10 6 2 1 0,372МПа J z 2B 62,297 2 16 10 7 t a T 2 B t b 2 91 10 3 2 16 1 10 16 0,5 10 6 2 2 5,96 МПа J z 2t 62,297 2 1 10 7 a T 2 A b y c 3 6 2 91 10 2 31,4310 16 4,3 10 9,96 МПа 3 J z 2t 62,297 2 1 10 7 Поскольку поперечное сечение симметрично, то в симметричных точках будут такие же значения. 5. Определить вертикальное перемещение концевого сечения стержня. Универсальное уравнение изогнутой линии. EJ z v EJ z v0 EJ z 0 M i i x a 2 Mi 2! Pi i x a 3 Pi 3! qi i x a 4 qi 4! Здесь v0 - перемещение в начале координат 0 - поворот сечение в начале координат. a M , a P , a q - точки приложения сосредоточенных моментов, сил и распределенной нагрузки. i i i v0 0 и 0 0 при x=0 Сечение 0 x c x2 x3 x4 RA q 2 6 24 Сечение c x b c 4 3 x2 x3 x4 x c x c EJ z v M A RA q q P 2 6 24 24 6 Сечение b c x c b a x c 4 P x c 3 q x (c b) 4 M x (c b)2 x2 x3 x4 EJ z v M A RA q q 2 6 24 24 6 24 2 Сечение b c a x c b 1,5a EJ z v M A x c P x c q x ( c b ) M x (c b ) q x ( c b a ) x2 x3 x4 RA q q 2 6 24 24 6 24 2 24 4 EJ z v M A 3 4 2 При х = b+c+1,5a = 9 м 9 2,5 30 9 2,5 22 9 (2,5 2) 30 9 (2,5 2) 92 93 94 91 22 22 2 6 24 24 6 24 2 4 9 (2,5 2 3) (14569,875 11056,5 6014,25 1636,3 1373,125 375,89 303,75 4,46) 10 3 22 24 22553,87 10 3 4 3 4 EJ z v B 359,75 22553,87 10 3 22553,87 10 3 vB 0,172 м 17,2см EJ z 2,1 1011 62,297 10 5 Определить значение силы, которую необходимо приложить на свободном конце, чтобы компенсировать перемещение. 2 4 v B X 2 X b c 1,5a vB 3EJ z 3 Следовательно. X 3EJ z v B X 2b c 1,5a 3 46,3кН Проверка 9 2,5 30 9 2,5 22 9 (2,5 2) 30 9 (2,5 2) 92 93 94 EJ z v B 56,95 44,7 22 22 2 6 24 24 6 24 2 4 9 (2,5 2 3) (2306,475 5431,05 6014,25 1636,3 1373,125 375,89 303,75 4,46) 10 3 22 24 8696,615 8748,685 52,07 10 3 4 Погрешность 52,07 100 0,6 % 8696,615 3 4 2