Лопатин Михаил Сергеевич ИССЛЕДОВАНИЕ РОБАСТНОГО ПОВЕДЕНИЯ ИНТЕРВАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

На правах рукописи
Лопатин Михаил Сергеевич
ИССЛЕДОВАНИЕ РОБАСТНОГО ПОВЕДЕНИЯ
ИНТЕРВАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Специальность 05.13.01 – системный анализ,
управление и обработка информации
(промышленность)
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Москва – 2010
Работа выполнена в Морской Государственной Академии
имени адмирала Ф.Ф. Ушакова, г. Новороссийск.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
Зеленков Г.А.
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук,
профессор Дружинина О.В.,
кандидат физико-математических наук,
доцент Мартынов В.В.
Ведущая организация:
Центральный экономикоматематический институт РАН
Защита диссертации состоится 6 мая 2010 г. в 16 часов на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д002.017.03 при Учреждении Российской академии наук Вычислительном Центре им. А.А. Дородницына РАН по адресу: 119333, г. Москва, ул. Вавилова, д. 40 в конференц-зале.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра им. А.А. Дородницына РАН.
Автореферат разослан «
»
2010 г.
Ученый секретарь совета по защите докторских
и кандидатских диссертаций
к. ф.-м.н.
2
Мухин А.В.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Учет неопределенности при моделировании систем
управления всегда являлся одной из основных задач. Одна из первых моделей
неопределенности (нелинейная) была предложена в работах А.П. Лурье (1951),
М.А. Айзермана (1961), Ф.Р. Гантмахера (1967). Работы этих лет нашли применение в задачах промышленной пневмоавтоматики, и других задачах управления машинами и механизмами. Модели параметрической неопределенности в
линейных системах появились позднее. Их систематическое изучение начал И.
Горовиц (1970). Важное направление в анализе неопределенности связано с моделью неизвестных, но ограниченных возмущений. Большой вклад в это
направление внесли А.Б. Куржанский и Ф. Л. Черноусько. Модели частотной
неопределенности интенсивно разрабатывались в 1980 гг., вероятностный подход к робастности получил большое развитие с 90-х годов прошлого века.
Задачу об устойчивости интервального семейства полиномов впервые подробно рассмотрел S. Faedo (1953). Однако он получил только достаточные
условия робастной устойчивости, основанные на интервальном аналоге алгоритма Рауса. Более ранний результат по робастной устойчивости получили Л.
Заде и Ч. Дезоер. Затем В.Л. Харитонов доказал критерий устойчивости интервального семейства полиномов, что являлось большим продвижением в этой
области (1978). Далее в этом направлении, в качестве наиболее известных результатов, можно отметить реберную теорему – полученную в 1988 г. (A.C.
Bartlett, C.V. Hollot, H. Lin) и графический критерий робастной устойчивости
полиномов доказанный – в 1990 г. (Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин).
Главными задачами робастной устойчивости, с одной стороны, являлось
определение границ устойчивости в пространстве параметров системы первого
приближения (И.А. Вышнеградский), а с другой, получение оценок области
асимптотической устойчивости расчетных режимов исходных систем.
Исследование устойчивости систем управления при наличии неопределенности в пространстве параметров (робастная теория) является очень нужным и актуальным направлением научных исследований, т.к. позволяет, на этапе проектирования, определить, является ли устойчивым весь класс рассматриваемых систем. Это позволяет обеспечить безопасное функционирование
управляемого объекта, несмотря на то, что в процессе изготовления и эксплуатации его параметры хотя и могут отличаться от расчетных, но гарантировано
будут отвечать устойчивому поведению этого объекта, т.к. они принадлежат
области робастной устойчивости. Заметим, что разработка методов решения задач робастной устойчивости, является достаточно сложной проблемой. Например: устойчивость всех вершинных и реберных матриц семейства не обеспечивает робастной устойчивости всего этого семейства и, поэтому на практике,
усилия инженеров и конструкторов направлены на решение конкретных задач.
Методы расчета робастной устойчивости систем управления (робастное
управление) включают в себя как известные подходы, например, теорию воз3
мущений, так и новые: μ-анализ (J.C. Doyle, A. Packard, Б.Т. Поляк) и вероятностный подход к робастности (R.F. Stengel, L.R. Ray и др.).
Созданию и разработке методов исследования различных задач робастной устойчивости посвящено множество работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как И.А. Вышнеградский, Я.З.
Цыпкин, Б.Т. Поляк, В.Л. Харитонов, П.С. Щербаков, А.С. Немировский, Ю.П.
Петров, М.Г. Сафонов, Н.В. Зубов, B.R. Barmish, J. Ackermann, V. Blondel, J.
Kogan, R. Tempo, D.D. Siljak и др. Эти работы в разное время находили применение в различных задачах начиная с промышленного машиностроения, исследования динамики паровых котлов, конструирования систем управления подвижными объектами, заканчивая задачами управления ядерными, химическими и биологическими реакторами, роботами, а также нефтяной и газовой промышленности последних лет.
Актуальность исследований робастной устойчивости в системах управления на сегодняшний день обусловлена современными потребностями науки и
техники. В практических задачах, связанных с конструированием и моделированием процессов управления в технике, экономике, биологии и других сферах
робастная устойчивость является одним из ключевых факторов гарантирующих
применимость моделей и надежность работы спроектированных систем. Фактически результаты, полученные в теории робастной устойчивости, позволяют
обеспечивать динамическую безопасность управляемых систем на этапе их
конструирования и эксплуатации.
Исследования робастной неустойчивости позволяют дать дополнительную информацию о поведении робастно устойчивых систем, особенно, что
важно, в пограничных режимах. Исследование робастно неустойчивых режимов формирует теоретическую базу для формирования быстродействующих и
экономичных регуляторов, которые позволяют быстро и с минимальными энергетическими и временными затратами изменять параметры системы. Результаты исследований дают эффективные решения нерешенных инженерных задач.
Вопросами робастной неустойчивости с 2002 года занимаются Н. В. Зубов и его
ученики.
Диссертационная работа является продолжением этих исследований и
посвящена развитию наиболее конструктивных аналитических методов и алгоритмов анализа робастной устойчивости и неустойчивости систем управления
по первому приближению в пространстве коэффициентов их характеристических полиномов. Причем исследование проведено и получены новые результаты для интервальных полиномов, где не было существенного продвижения
вплоть до 2002 года. Исследование проводится с единых позиций – анализа робастного поведения интервальных полиномов, при этом робастная устойчивость этих семейств рассматривается как частный случай робастной неустойчивости.
4
Целью диссертационного исследования является развитие аналитических
и вычислительных методов исследования робастной устойчивости и неустойчивости характеристических полиномов систем управления по первому приближению с интервальным описанием неопределенности.
Областью исследования являются теоретические основы и прикладные
методы анализа робастной устойчивости и неустойчивости управляемых динамических систем рассматриваемых в первом приближении.
Методы исследований. В работе применяются как классические методы
теории устойчивости (при точном описании систем управления), так и методы
робастной теории устойчивости (при неопределенности в описании этих систем). Кроме того, используются методы качественной теории обыкновенных
дифференциальных уравнений, алгебры, математического анализа и математического программирования.
Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, основаны на классических достижениях в теории устойчивости, робастной
теории и новейших результатов по неустойчивости, корректности поставленных задач. Все доказательства утверждений являются строгими и основаны на
выводах фундаментальных наук, таких как математический анализ, теория
функций и функциональный анализ, дифференциальные уравнения, алгебра,
выпуклый анализ, теория матриц.
Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в комплексном исследовании робастной устойчивости и неустойчивости линейных систем управления с интервальным описанием неопределенности
их характеристических полиномов. Результатом этого подхода стало создание
новых и развитие наиболее известных критериев робастного поведения непрерывных и дискретных систем в пространстве коэффициентов характеристического полинома. Разработаны критерии и процедуры, расширяющие область неопределенности исходного интервального семейства при сохранении принадлежности определенному классу неустойчивости. Эти подходы являются продвижением в развитии методов исследования робастной устойчивости и робастной неустойчивости нелинейных систем по первому приближению, что позволяет установить границы допустимых отклонений параметров исходной системы от
расчетных, при которых система остается устойчивой или остается неустойчивой. Фактически, разработанные методы исследования робастной неустойчивости позволяют проводить исследование робастной устойчивости, как частного
случая робастной неустойчивости.
До сих пор в научных исследованиях и инженерной практике избегали
объектов с неустойчивыми режимами эксплуатации. Поэтому в теории эти случаи рассматривались достаточно редко. Развитие техники и новых технологий
показали, что явление неустойчивости не является только пограничным явлением устойчивых режимов, а как показали математические исследования, стано5
вится преобладающим с ростом размерности систем. В некоторых случаях это
явление может становиться полезным.
Практическая значимость. На основе результатов диссертации созданы
новые эффективные критерии исследования робастной устойчивости и неустойчивости нелинейных систем по первому приближению, позволяющие
проводить анализ робастного поведения динамических систем для интервального типа неопределенности в пространстве коэффициентов их характеристических полиномов. Причем, эти результаты обобщены и на комплексный случай. Комплекс критериев и условий, а также разработанных на их основе алгоритмов позволяет исследовать и решать проблему динамической безопасности
объектов системно, т.е. исследовать не только границы изменения параметров
сохраняющих устойчивость, но и совокупность параметров оставляющих систему неустойчивой. Полученные автором новые критерии позволят разрабатывать более эффективные системы управления, что даст возможность снизить
затраты ресурсов, средств и времени на разработку современных систем. Исследования классов неустойчивости имеет широкое применение при синтезе
систем управления, а также является продвижением в решении вопроса близости устойчивых и неустойчивых режимов. Результаты работы использованы
для разработки новых спецкурсов по теории устойчивости в условиях неопределенности и чтении общих курсов, таких как дифференциальные уравнения,
теория управления и методы численного анализа.
Реализация результатов. Результаты диссертации использованы в научно-исследовательской работе, проводящейся в КубГУ и МГА им. адмирала
Ф.Ф. Ушакова, при чтении спецкурса «Методы исследования устойчивости динамических систем» на факультете прикладной математики КубГУ. По результатам диссертации планируется издание двух учебных пособий и монографии.
Личный вклад автора в проведенные исследования. В диссертацию
вошли результаты, которые получены лично автором, а также разработанные в
соавторстве. Все результаты других авторов, упомянутых в диссертации, носят
справочный характер и имеют соответствующие обозначения. Основные работы по теме диссертации [1-12] выполнены на паритетной основе, суммарный
личный вклад автора в данных публикациях составляет 1,46 п.л. и 3,5 с. Автор
принимал участие в совместной постановке задач, анализе и интерпретации результатов исследований, непосредственно автором были проведены компьютерные моделирования, аналитические вычисления и численные эксперименты.
Апробация работы. По результатам работы автором были сделаны доклады на 12-ти международных, 4-х всероссийских и 2-х региональных конференциях, проходивших в Дубне, Киеве, Минске, Москве, Новороссийске, Обнинске,
Пущино, Ростове-на-Дону, Самаре, Суздале, Чебоксарах. Результаты также обсуждались на научных семинарах в Вычислительном центре имени А.А. Дород-
6
ницына РАН, Институте системного анализа РАН, а так же на семинарах КубГУ
и МГА им. адмирала Ф.Ф. Ушакова.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 24 научных работы.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Главы состоят из
параграфов. В каждой главе используется своя автономная нумерация формул,
теорем и определений. Объем диссертации 147 страниц. Список литературы
содержит 120 наименований. Приложение 39 страниц.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту:
 Новые, более эффективные модификации методов исследования устойчивости и неустойчивости различных систем управления, позволяющие исследовать более широкий класс этих систем.
 Улучшенный графический критерий исследования робастной устойчивости систем управления Цыпкина-Поляка в плане снятия ранее присутствовавших в нем ограничений. Он распространен на неустойчивые системы управления.
 Новая методика исследования характеристик робастной устойчивости
или неустойчивости интервальной системы управления методом допустимых линейных преобразований, преобразующих ее в интервальную
или выпуклую систему с сохранением инварианта принадлежности одному классу неустойчивости.
 Алгоритмы для новых модификаций методов исследования робастной
устойчивости и неустойчивости, а также пакет программ, реализующий
эти алгоритмы, и включающий эффективные алгоритмы построения минимального полинома.
Краткое содержание диссертационной работы.
Во введении приведена общая характеристика диссертации, обоснованы
актуальность темы исследования, достоверность, научная новизна и практическая значимость результатов, полученных в работе.
Промышленные объекты управления имеют соответствующие математические модели, описывающие их статические и динамические характеристики.
Теория автоматического управления, изучающая процессы автоматического
управления объектами разной природы применяется для выявления свойств систем автоматического управления при помощи математических средств и разрабатываются рекомендации по их проектированию.
Рассмотрим различные формы задания линейных управляемых систем и
нелинейных систем по первому приближению. А также переход к исследова-
7
нию их устойчивости и неустойчивости с помощью характеристических полиномов в этих формах.
Задание в пространстве состояний.
Линейная стационарная непрерывная управляемая система в пространстве состояний описывается векторным линейным обыкновенным дифференциальным уравнением:
x

A
x

B
u

D
w
,y

C
x

D
w
,
1
2
n
m
где x(t)R – вектор называемый состоянием системы, u(t)R – управление,
y(t)Rl – выход системы, wt
( )Rp – входные сигналы (внешние возмущения)
AB
, ,C
,D
,D
1
2.
или задающие воздействия. Матрицы nnnm
  l
nnp
 l
p
Аналогичные дискретные системы описываются разностными уравнениями:
x

A
x

B
u

D
w
,y

C
x

D
w
,
k
k

1
k

11
k

1
k
k
2
k
где k играет роль времени, и может обозначать номер итерации в итерационном
процессе или время, в процессах связанных с цифровым управлением. Характеs
d
e
t(
s
EA
), где E – единичристический полином матрицы А имеет вид f()
ная матрица.
В непрерывном одномерном случае (широко применяемом на практике)
система может быть записана в виде:
(
n
)
(
n

1
)
(
m
)
y

a
y

.
.
.

a
y

a
y

r
u

.
.
.

r
u

r
u
,
n

m
.
n

1
1
0
m
1
0
В этом случае характеристический полином имеет вид:
n
n

1
f
(
ssa
)


s

.
.
.

a
s

a
.
n

1
1
0
Далее будем понимать под интервальной системой управления систему
первого приближения, характеристический полином которой будет иметь интервальные ограничения на коэффициенты.
Задание с помощью передаточных функций.
Многомерная система может быть описана с помощью передаточных функций:

1
H
(
s
)

C
(
s
E

A
)
B
,
u
y

1
H
(
s
)

C
(
s
E

A
)
D

D
,
u
w
1
2
где матричная функция Hu y (s) комплексной переменной s называется передаточной функцией от управления u к выходу y, а аналогичная функция Hu w (s)
называется передаточной функцией от возмущения w к выходу y. Элементами
матриц H(s) являются дробно-рациональные функции, имеющие общий знамеs
d
e
t(
s
EA
)– характеристический полином матрицы A.
натель f()
В рассмотренных случаях исследование устойчивости и неустойчивости
системы можно свести к исследованию устойчивости и неустойчивости полинома f ( s ) .
8
В первой главе сделан анализ основных методов исследования устойчивости характеристических полиномов линейных стационарных систем управления и нелинейных систем по первому приближению с целью их использования для выяснения характера неустойчивости этих систем, различая их по числу собственных чисел матрицы системы лежащих в правой и левой полуплоскости и рассмотрен ряд теорем, дающих необходимые и достаточные условия
принадлежности рассматриваемых систем определенному классу неустойчивости, причем аналогичные критерии для устойчивых систем, непосредственно
следуют из приведенных теорем (критерии Михайлова, Найквиста и т.д.).
Примером реализации на практике свойства устойчивости является сохранение работоспособности управляемой системы при наличии отклонений в
начальных данных.
Определение 1. Полином степени n с вещественными или комплексными коэффициентами, не имеющий нулевых и чисто мнимых корней
n
f
(
s
)

A

A
s

.
.
.

A
s
,
A

0
,
A

0
0
1
n
0
n
принадлежит классу (n, k ) -эквивалентности, если k его корней, с учетом их
кратности, лежат в правой полуплоскости. Такие полиномы при k  0 называют
устойчивыми (полиномы Гурвица).
В п. 1. рассматриваются графические критерии принадлежности полиномов непрерывных систем классам (n, k) –эквивалентности. Описана методика
анализа диаграмм годографа Михайлова в непрерывном и дискретном случае
для определения принадлежности полиномов классам (n, k) –эквивалентности
и оценки величины запаса устойчивости или неустойчивости для полинома
данного класса.
Теорема 1 (графический критерий). Полином f ( s ) степени n при
A
0
,A
0, не имеющий чисто мнимых корней принадлежит классу (n, k ) 0
n
эквивалентности тогда и только тогда, когда угол поворота против хода часо
равен (n2k), где k число корвой стрелки вектора f ( j ) при 
ней полинома f ( s ) с положительной вещественной частью (0kn) с учетом
их кратностей.
Заметим, что для полинома с комплексными коэффициентами,
n
f
(
sA
)


A
s

.
.
.

A
s
,
A

0
0
1
n
n
 


n
n
i
f
(
j
)

A
(
j
)

a

j
b
(
j
)

g
(
)

j
h
(
)




,
i
i
i
i
i

0
i

0
С помощью нормировки годограф Михайлова можно сделать ограниченным, что значительно удобнее для инженерной практики. Точнее, при
,












2 3 4 5 6
g
(
)

a

b

a

b

a

b

a

.
.
.
,
0
1
2
3
4
5
6
2 3 4 5 6
h
(
)

b

a

b

a

b

a

b

.
.
.
,
0
12
3
4
5
6
9






2
K
(
)

T
(
)

R
(
)

1




.
.
.

(
)
1
или K
f(j
)
)
нормированный годограф f0(
K
(
) становится ограниченным и удобным
для визуализации.
В п. 2. рассматриваются группы аналитических методов исследования
устойчивости и неустойчивости полиномов непрерывных систем основанные
на подходах Ляпунова (первый метод), Гурвица (матричные методы), Рауса,
Зубова Н.В. (методы понижения порядка).
В п. 3. рассматриваются методы анализа устойчивости и неустойчивости
линейных дискретных систем управления. Здесь описаны графические (аналоги
подхода Михайлова) и аналитические критерии (матричный метод и метод понижения порядка), а также предлагается методика применения графических методов для систем большого порядка. Здесь же уделено внимание вопросам исследования разностных систем и сверхустойчивости таких систем.
П. 4. содержит описания методов исследования устойчивости и неустойчивости полиномов с комплексными коэффициентами. Здесь также рассматриваются все группы методов (графические и аналитические, матричные и методы понижения порядка) для их исследования в непрерывном и дискретном случаях.
Во второй главе рассматриваются аналитические критерии робастного поведения интервальных систем управления. Используется единый подход к системному анализу робастной устойчивости и неустойчивости динамических систем по первому линейному приближению. Рассматриваемые критерии и методы
исследования робастной неустойчивости включают, как частный случай, известные результаты, полученные в теории робастной устойчивости для интервального описания неопределенности, такие как теорема Харитонова.
Техническая система автоматического управления должна обеспечивать
устойчивое управление процессом во всем диапазоне нагрузок на технологический объект. Это условие будет выполняться, если объект управления является
робастно устойчивым.
В п. 2.1 приведены новейшие результаты по выпуклым множествам робастно устойчивых и неустойчивых полиномов. Приведенные критерии относятся к
вариантам реберной теоремы для аффинных семейств специального вида. Причем в п. 2.2-2.4 отмечена связь этих утверждений с интервальными полиномами.
Теорема 2. Пусть множество коэффициентов семейства полиномов
n

1 n
T
f
(
sa
)


a
s

.
.
.

a
s

s

(
a
,a
,...,a
)
, A
0
1
n

1
0
1
n

1
представляет собой замкнутое, ограниченное и выпуклое k-множество  En ,
имеющее конечное число угловых точек A
1,A
1,...,A
m. Для того, чтобы множество  было выпуклым k-множеством полиномов необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись два условия:
3
10
n
n
1. Угловые полиномы при i  1, m ,
n

1 n
T
f
(
sa
)


a
s

.
.
.

a
s

s
(
aa
, i1
,.
.
.
,a
)
, A
i
i
0
i
1
i
n

1
i
i0
i
n

1
являются полиномами из класса (n, k ) -эквивалентности.
2. Выполняется:
либо полиномы
m
m
m
g(), h(), где  1,   0 ,
f(
j

)

g
()


j
h
()

, не имеют общих положительных корней;
i1
i
i
либо полиномы
i i
i1
i i
i1
i
i
i

f
(
s
)

(
1


)
f
(
s
)
,


[
0
,
1
]
,
i
,1
l

,
m
,
i

l
i
l
являются полиномами из класса (n, k ) -эквивалентности;
либо для всех положительных корней уравнения
h
()(
g

h
()(
g

l
i )
i
l )0
выполняются неравенства
g
(
)
gh
(
)(

h
(
)

0
,
i
,
j

1
,
m
,
i

j
.
i
l
i )
l
В частности, при k  0 получим критерии существования выпуклых множеств коэффициентов полиномов Гурвица.
В п. 2.2-2.4 этой главы приведены аналитические критерии робастной неустойчивости семейств непрерывных и дискретных полиномов с интервальными
ограничениями на коэффициенты, т.е. принадлежности этих семейств классам
(n, k ) – эквивалентности полиномов для вещественного и комплексного случаев,
полученных в последние годы. Здесь приведен их анализ и добавлены доказательства, которых не было в печати.
Определение 2. Назовем, интервальный полином с вещественными коэффициентами
n

1
n
F
(
s
)

{
f
(
s
)

a

a
s

.
.
.

a
s

a
s
,
0
1
n

1
n
(1)
a

a

a
,
i

1
,
n
}
i
i
i
интервальным полиномом класса (n, k ) –эквивалентности, если любой полином
из этого семейства принадлежит классу (n, k ) –эквивалентности. Для определенности будем считать, что a 0  0 , an  an 0.
Определение 3. Четыре полинома, коэффициенты, которых составлены
из крайних значений их интервалов, называются угловыми полиномами 1 ( s ) ,
2 ( s ) , 3 ( s ) , 4 ( s ) интервального полинома F ( s ) . Точнее:
 




11
2
3

s)a0as
as
as
1(
1 
2 
3  ,
2
3
2(s)a0as
as
as
1 
2 
3  ,
2
3

s)a0as
as
as
3(
1 
2 
3  ,
2
3
4(s)a0as
as
as
1 
2 
3  .
(2)
Теорема 3. Интервальный полином F ( s ) принадлежит классу (n, k ) –
эквивалентности тогда и только тогда, когда:
1. Угловые полиномы (2) принадлежат классу (n, k ) – эквивалентности.
2. Для всех положительных корней полиномов g ( ) , g ( ) , h( ) , h( )
выполняются следующие условия:
)h(
)0;
если g() 0 или g() 0, то h(
)g(
)0,
если h() 0 или h() 0, то g(
где
g()a0 a22 a44  ,
g()a0 a22 a44  ,
h()a1a33 a55  ,
h()a1a33 a55  .
a0  0 , an an  0, q  Q , Q m ,
aq
a
Теорема 4. Пусть a
i
i( )
i , i  0, n ,
Q -связно. Тогда для того, чтобы семейство полиномов
n
U
(
s
,
Q
)

u
(
s
,
q
)

a
(
q
)

a
(
q
)
sa

.
.
.(

q
)
s
;
q

Q


0
1
n
принадлежало классу (n, k ) – эквивалентности необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось одно из следующих условий:
1. Либо все четыре угловых полинома были из класса (n, k ) – эквивалентности и для всех положительных корней полиномов g ( ) , g ( ) , h( ) , h( )
выполнялись соотношения, если:
)h(
)0;
а) g() 0 или g() 0, то h(
)g(
)0.
б) h() 0 или h() 0, то g(
2. Либо все политопы соответствующие сторонам прямоугольника с вершинами из угловых полиномов принадлежали классу (n, k ) – эквивалентности.
В п. 2.5 рассмотрен метод решения задач робастного поведения выпуклых множеств полиномов с помощью допустимых преобразований их коэффициентов. Этот подход использован для построения интервальных характеристических полиномов, принадлежащих однородным классам (n, k ) – эквивалентности, т.к. допустимые преобразования оставляют эти полиномы в том же
12
классе устойчивости (k  0) или неустойчивости (k 1,n) . В частности, все полиномы «ящика» Харитонова эти преобразования оставляют полиномами
Гурвица. Для полиномов Гурвица (k  0) допустимые линейные преобразования разработаны Н.В. Зубовым и дополняют аналогичные преобразования
предложенные Ю.А. Неймарком. Приложение некоторых из этих преобразований к семействам интервальных полиномов позволяет расширить множество
как устойчивых, так и неустойчивых интервальных полиномов, не прибегая
каждый раз для их анализа к теореме Харитонова в первом случае или к ее
обобщениям во втором.
Рассмотрим допустимые линейные преобразования коэффициентов полинома:
bi  ai , bi  iai , ( i 0,1, ,n),
(3)
b2i a2i , b2i1a2i1,
(4)
b
0),   0 ,   0
( i  0, l при n2l 1; i 0,l 1 при n  2l и a
2
l
1
2
l
1
Теорема 5. Пусть интервальный полином F ( s ) принадлежит классу (n, k ) –
эквивалентности, тогда при допустимых линейных преобразованиях его коэффициентов (3), (4) его образ также останется интервальным полиномом из того
же класса.
Теорема 6. Пусть:
1. A — произвольное выпуклое множество коэффициентов полиномов из
класса (n, k ) – эквивалентности;
2. D — матрица, допустимого линейного преобразования.
Тогда множество коэффициентов B преобразованных полиномов, являющихся полиномами из того же класса B DA, есть выпуклое множество.
AA
В третьей главе предлагается математический аппарат исследования робастного поведения интервальных семейств полиномов графическими методами. В рамках предложенного подхода некоторые известные критерии робастной устойчивости являются следствиями приведенных в данной главе результатов.
Современные промышленные регуляторы обеспечивают устойчивый
процесс регулирования подавляющего большинства промышленных объектов
при условии, что правильно выбраны настройки регулятора. Дополнительной
гарантией является то, что вариации параметров на границах допусков достаточно малы и компенсируются запасами устойчивости системы. Запасы устойчивости позволяют получить графические критерии описанные ниже.
В п. 3.1 приведен графический критерий принадлежности выпуклых
множеств полиномов, имеющих конечное число угловых точек, классу  n, k  –
эквивалентности. Критерии робастного поведения выпуклых множеств можно
использовать для исследования интервальных полиномов.
13
Главное преимущество графических критериев состоит в том, что с их
помощью для интервального полинома достаточно проверить поведение лишь
одного, а не четырех годографов для вещественного или восьми для комплексного случаев, как это делалось ранее. Кроме того, одновременно можно найти
максимальный размах неопределенности, при котором сохраняется робастная
устойчивость или неустойчивость.
В п. 3.2 предложено обобщение графического критерия Цыпкина - Поляка
проверки устойчивости интервальных полиномов с вещественными коэффициентами, позволяющее снять все ограничения на коэффициенты, которые присутствовали ранее в этом критерии.
Далее в п. 3.3 приведен графический критерий устойчивости семейств
интервальных полиномов с комплексными коэффициентами. Показано, что при
стандартных ограничениях на коэффициенты специальный годограф будет
ограниченным, что удобно в инженерной практике. В общем случае, когда сняты некоторые ограничения на коэффициенты этот годограф может стать неограниченным, что не дает особых проблем в расчетах, так как при  
прослеживаются прогнозируемые тенденции в поведении нормированного номинального годографа, что дает возможность прекратить вычисления при не
очень больших частотах  .
В п. 3.4 главы построены графические критерии позволяющие определить
робастное поведение семейств интервальных полиномов в вещественном и
комплексном случаях. Под робастным поведением понимается только устойчивость или только неустойчивость для всех полиномов семейства. Точнее, доказаны графические критерии принадлежности семейств интервальных полиномов классам (n, k ) – эквивалентности для полиномов с вещественными и комплексными коэффициентами. Причем при k  0 эти критерии переходят в соответствующие графические критерии устойчивости интервальных семейств полиномов.
n
0

f
(
s
)
=
A
+
A
s
+
.
.
.
+
A
s
,A

a

j
b
,a

a
,
0
n
i
i
i
i
i
i

n

(
s
)
=
 0
b

b
,i
0
,i 0
,
i

0
,
n
,
(

)

0
.


i
i
i
i
i
i

0

Назовем  ( S ) интервальным полиномом класса (n, k ) -эквивалентности,
если любой полином из этого семейства принадлежит классу (n, k ) эквивалентности.
f
(
j
ω
)
=
g
(
ω
)
+
j
h
(
ω
)
(5)
0
0
0
0 0
0
2 0
3 0
4

g
(
ω
)
=
a

b
ω

a
ω
+
b
ω
+
a
ω

.
.
.
,

0
0
1
2
3
4

0 0
0
2 0
3 0
4

h
(
ω
)
=
b
+
a
ω

b
ω
a
ω
+
b
ω
+
.
.
.
.

0
0
1
2
3
4
Кроме того, для номинально годографа (5) введем нормировочные функции:



14








3
2
4

R
(
ω
)
=
α
+
β
α
ω
+
β+
α
ω
+
.
.
.
,
0
1+
2
3
4


3
2
4
T
(
ω
)

β
+
α
+
β
ω
+
α+
β
ω
+
.
.
.
.

0
1
2
3
4

Z
(
ω
)
=
g
(
ω
)
/
R
(
ω
)
+
j
h
(
ω
)
/
T
(
ω
)
0
0
0
Теорема 7. Для принадлежности классу (n, k ) – эквивалентности ком,β>
, α>
,β>
плексного интервального полинома (s) при α>
0 0
0 0
n 0
n 0необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:
0
2
2 0
2
2

m
a
x
(
(
a
)(

a
)
,
(
b
)()


0
,

0
0
0
0)
1.  0
2
2 0
2
2
m
a
x
(
(
a
)(

a
)
,
(
b
)()


0

n
n
n
n)

2. Сложный годограф Z 0 (ω) при изменении ω от  до + проходит
против часовой стрелки ровно n  2k полуоборотов и не пересекает
квадрат с вершинами (; ) .
k
k - радиус робастного поведения  max
вычисляется по формуле:
0 0


a
nb
n
k
*



m
i
n
(
,
)
,

m
a
x
,
,
m
a
x

n n



*
*
( ; ) - наибольший квадрат с центром в нуле, вписанный в этот годограф.
В п. 3.5 предложены новые графические критерии робастного поведения
интервального семейства полиномов с вещественными и комплексными коэффициентами с двумя размахами неопределенности в отличие от критериев
Цыпкина-Поляка и его обобщений.
Рассмотрим интервальный полином с комплексными коэффициентами:
n


f
(
S
)

A

A
S

.
.
.

A
S
,
A

a

j
b
,
0
1
n
i
i
i



(
S
)



0
0
a

a

,
b

b

,

0
,

0
,0

,

0
.
i
i
i
i
i
i
i
i




(
)

(
)
/
Rj
(
)

h
(
)
/
T
(
)
,
Определение 4. Назовем функцию Zg
0
0
 0  0 ,  0  0 ,  n  0 ,  n  0 , определенную на всей вещественной оси, сложным нормированным номинальным годографом или кратко – сложным годографом, где
0
0
0
2
0
3
0
4
0
0
0
2
0
3
0
4
g
(
)

a

b

a

b

a

.
.
.
,
h
(
)

b

a

b

a

b

.
.
.
.
0
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4










 



























2
4
R
(
)



/
.
.
.
,
0
1 /
2
3
4
3














2
4
T
(
)




.
.
.
.
0
1 /
2
3 /
4
3
Теорема 8. Для того, чтобы комплексный интервальный полином  ( S )
степени n при был интервальным полиномом класса (n, k ) -эквивалентности

0
,0

0
,n

0
,n

0
, необходимо и достаточно выполнение двух условий:
0
0
22
0
2 2
0
22
0
2 2
a
x
(
(
a
)

(
)
,
(
b
)

(
)
)

0
,
m
a
x
(
(
a
)

(
)
,
(
b
)

(
)
)

0
.
1. m
0
0
0
0
n
n
n
n


 


 
15
2. Годограф Z ( ) при изменении  от  до  проходит последовательно
n  2k
против
часовой
стрелки
ровно
полуоборотов
a
r
g(
Z)

(
nk

2
)
(
) не пересекая прямоугольника с вершинами








(,) .
Рассмотрим интервальный полином с вещественными коэффициентами
n
0
F
(
s
)

{
f
(
s
)

a

a
s

.
.
.

a
s
,
a

ain

,

0
,
}
.
(6)
0
1
ni
i
i
(
j)

g
()

jh
()
Рассмотрим функции f
(номинальный годограф):
0
0
0
0
0
2
0
4
0
0
2
0
4
g
(
)

a

a

a

.
.
.
,
h
(
)

a

a

a

.
.
.
.
0
0
2
4
0
1
3
5
>>
0
,1 0
,
n
>>
0
,n 0
Теорема 9. Пусть 0
;
1
n
n
mmm



[
]
r

r

r

[
]
1
;
;
1
2
3
1 2 3
2
2
0
0
ˆ
ˆ
ˆ
a

a
,


i

,.
.
. , aa

,


i

1

,.
.
.
, (    в (1))
 








  




 


ˆ
ˆ
ˆ
a

a



,


i


,.

.
.


a



,

2
i1


,.

.
.

,a
, (    в (1))
ˆ
ˆ
ˆ
aa


,

i


,.
..
, aa


,
2
i1


,.

.
.

, (   1 в (1))
2
i
2
i
2
i
0
2
i
2
i
0
2
i
2
i
2
i
2
i
12 m
1 2
i

12
i

1
2
i

1
0
12 m
22
i

12
i

1
2
i

1
12 m
3
0
2
i

1 2
i

1 2
i

1
1
2r
1
1
2r
2
1
2r
3

2
i 
2
i 1
2
i
R
()







 


,

02
in
;


2
i
2
i
2
i



2
i


,

.
.
.m
2
i


,

.
.
.m
2
i


,
...
12
1
12
2
12
m
3



2
i
2
i 1
2
i
T
()

 





 


,


2
i

1
2
i

1
2
i


ˆˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
2
i

1


,

.
.
.
2
i


,

.
.
.

2
i

1


,

.
.
.
12 r
2
12 r
3

12 r
1

1

21
i 
n
.


Тогда F  s  принадлежит классу (n, k ) -эквивалентности тогда и только тогда,
когда:
0
0
0
0

,a

а) a
0
0
n
n, если a0 ,an - центры фиксированных интервалов, иначе
a00 0или a00 0 ; an0 n или an0 n ; что зависит от размахов при a00 ,
an0 .

(
)

g
(
)
/
Rj
(
)

h
(
)
/
T
(
)
б) годограф Z
при изменении ω от 0 до 
0
0
0
проходит через n  2k квадратов против часовой стрелки и не пересекает квадрата (; ).
В п. 3.6 этой главы описаны различные подходы для расширения области
робастного поведения семейств полиномов.
В последнем п. 3.7 главы рассмотрены известные и предложены новые
приемы визуализации для исследования робастного поведения семейств полиномов.
16
Четвертая глава содержит исследование вопросов построения характеристических и минимальных полиномов, и полиномов с заданной локализацией
нулей.
В п. 4.1 даётся перечень основных методов построения характеристического полинома и кратко излагаются наиболее конструктивные методы вычисления коэффициентов характеристического полинома. Здесь достаточно подробно
рассмотрен только метод Крылова и проведен анализ его особых случаев.
В п. 4.2 предложены методы и алгоритмы построения минимального полинома, что является полезным, если его степень намного меньше степени характеристического полинома.
В модифицированном методе построения коэффициентов минимального
полинома матрицы n - го порядка необходимо искать решение систем линейных алгебраических уравнений порядка n 2  m , n  m .
Пусть A – вещественная, постоянная матрица размера n  n . Поставим
задачу поиска минимального полинома этой матрицы, т.е. полинома наименьшей степени аннулирующего матрицу A с коэффициентом при старшей степени равным единице. Таким образом минимальный полином имеет вид:

 
k
k

1
f
(
)


c

c

c

0
k

1 
1
0
(7)
причем выполняется матричное тождество:
k
k

1
A

c
A


c
A

c
E
0
k

1
1
0
(8)
Теорема 10. Степень минимального полинома равна k  1 , если матрицы
k k

1
0 0
A
,A
, ,,
A
A
;
A

E
(9)
– линейно независимы, а матрицы
k

1 k k

1
AA
, ,A
, ,A
,E
(10)
уже линейно зависимы.
Введем понятие развернутой матрицы Bk для матричной совокупности
2
(9). Эта матрица размера n (k1) столбцы которой составлены из столбцов
m
A
,n матриц A
, mk,0записанных один под другим подряд, начиная с
im, i 1
первого столбца этой матрицы ( A1m ), кончая последним ( Anm ):
A
E
A




1
k A
1
k

1
1
1
m




A
E
A
2
k A
2
k

1
2
2
m



B


AAA
, ,0
, m

,m

k
,
0 (11)


k
k






A
E
A
n
k A
n
k

1
n
n
m




Теорема 11. Если для первого из чисел k  0, n система линейных алгебраических уравнений
17
T
B
C

A
,C

(
c
,
c
,,)
c
(12)
k
k

1
kk

1
0
имеет решение, то минимальный полином матрицы A имеет вид:
k

1 k
k

1
f
(
)


c
c

c

c

0
(13)
k
k

1
1
0
Справедливо и обратное утверждение о том, что коэффициенты миниT

(
cc
, k
, ,c
)
мального полинома (13) C
, являются решениями система лиk
1
0
нейных алгебраических уравнений (12).
Теорема 12. Если для первого из чисел k  0, n системы линейных алгебраических уравнений

 
k
A
c
A, i
1
,n

j

0
i
jj
i
k

1
(14)
T

(
cc
, k
, ,c
)
имеют одно и то же решение C
, то минимальный полином
k
1
0
матрицы A имеет вид (13).
В п. 4.3 приведены приемы для построения устойчивых и неустойчивых
полиномов с заранее заданным количеством нулей слева и справа от мнимой
оси.
Основные результаты диссертационной работы.
Исследования и результаты, полученные в диссертации, являются системными. Во-первых, они направлены на усиление известных методов исследования робастной устойчивости интервальных линейных систем управления.
Во-вторых, они реализуют системный подход к анализу самой робастной
устойчивости, ранжируя ее по порядку системы, по особенностям задачи, по
числовым полям принадлежности коэффициентов и параметров, по удобству
использования тех или иных критериев и подходов и т.д. В-третьих, все описанные результаты рассматриваются сточки зрения общего подхода к проблеме
устойчивости, а именно, исследования, как устойчивости, так и неустойчивости. Точнее, проведен анализ критериев принадлежности линейных систем
классам (n,k) - эквивалентности, в которых при k  0 получим устойчивость таких семейств, а при k  1, n — неустойчивость. Этот единый подход был применен и к проблеме робастности интервальных семейств управления. Рассмотрены существующие и предложены новые подходы к анализу робастной устойчивости и неустойчивости интервальных семейств. В-четвертых, построен ряд
новых алгоритмов, относящихся к теме исследования, и имеющих прикладное
значение для инженерной практики.
1. Сделан обзор и проведен анализ широкого круга вопросов связанных с исследованием робастной устойчивости интервальных систем управления.
2. Проведен анализ методов исследования устойчивости и неустойчивости полиномов с точки зрения принадлежности классам (n,k) - эквивалентности.
3. Сделаны обобщения известных аналитических и графических критериев
принадлежности классам (n,k) - эквивалентности интервальных полиномов с
18
4.
5.
6.
7.
8.
9.
комплексными и вещественными коэффициентами в непрерывном и дискретном случаях.
Разработана методика и алгоритмы расширения робастно устойчивого или
неустойчивого интервального семейства полиномов до либо интервального,
либо выпуклого множества полиномов, оставляющих эти множества полиномов в одном классе устойчивости или неустойчивости.
Получен новый подход и построены алгоритмы вычисления минимального
полинома.
Получены аналитические критерии существования и методы построения
устойчивых и неустойчивых выпуклых множеств в пространстве коэффициентов характеристического полинома системы управления.
Построены алгоритмы для новых и известных методов построения устойчивых и неустойчивых полиномов с заданной локализацией нулей.
Построено большое число новых алгоритмов сопровождающих исследования в диссертационной работе, полезных как для инженерной практики, так
и для научных и образовательных целей. Кроме того, проведено большое
количество численных экспериментов, подтверждающих теоретические результаты.
Разработаны алгоритмы для новых модификаций методов исследования робастной устойчивости и неустойчивости и пакет программ, реализующий
эти алгоритмы.
Основные публикации по теме диссертации.
1. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Лопатин М.С. Критерий принадлежности
классам (n,k)-эквивалентности дискретных интервальных полиномов.
Труды Института системного анализа РАН «Динамика линейных и нелинейных систем». Выпуск 25(2). М.: Изд-во «КомКнига», 2006, с. 154
– 159.
2. Зеленков Г.А., Зубов И.Н., Лопатин М.С. О робастном поведении интервальных полиномов. Материалы I международной и VI региональной научно-технической конференции «Стратегия развития транспортно- логистической системы Азово-Черноморского бассейна; Проблемы безопасности морского судоходства, технической и коммерческой эксплуатации морского транспорта». Новороссийск: МГА им.
адм. Ф.Ф. Ушакова, 2007, с. 69.
3. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Лопатин М.С., Неронов В.Ф. О выпуклых
семействах неустойчивых полиномов. Труды Института системного
анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 31(1). М.:
ЛКИ, 2007, с. 158 – 161.
4. Зеленков Г.А., Лопатин М.С. Математические исследования в системе
MATLAB. Материалы XV международной конференции «Математика.
Образование». Чебоксары: Изд-во Чувашского университета, 2007, с.
235.
19
5. Зеленков Г.А., Лопатин М.С., Мухин А.В. Графические критерии
принадлежности семейств интервальных полиномов классам (n,k)- эквивалентности. Труды Института системного анализа РАН «Динамика
неоднородных систем». Выпуск 29(1). М.: ЛКИ, 2007, с. 131 – 135.
6. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Лопатин М.С. Новый подход к вычислению
минимального многочлена. Материалы четвертой международной
конференции «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение
к современным проблемам естествознания». Обнинск, 2008, с. 33.
7. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Лопатин М.С. О робастной k-стабилизации
для объектов, описанных передаточными функциями. Материалы
международной конференции по дифференциальным уравнениям и
динамическим системам. Суздаль, Владимир: Изд-во Владимирского
ГУ, 2008, с. 110 – 112.
8. Зеленков Г.А., Зубов Н.В., Лопатин М.С., Черноглазов Д.Г. Робастное
поведение интервальных полиномов с независимыми ограничениями
на вещественную и комплексную части коэффициентов. Труды Института системного анализа РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 32(3). М.: ЛКИ, 2008, с. 161 – 167.
9. Зеленков Г.А., Лопатин М.С., Тарасов А.А. Об усилении графического
критерия робастной устойчивости интервальных полиномов. Материалы международной научной конференции «Фундаментальные проблемы системной безопасности» / Вычислительный центр им. А.А.
Дородницына РАН. - М.: Вузовская книга, 2008, с. 492 – 495.
10.Зубов Н.В., Лопатин М.С., Неронов В.Ф. Оптимизация метода построения минимального многочлена как решения системы линейных алгебраических уравнений. Труды Института системного анализа РАН
«Динамика неоднородных систем». Выпуск 32(2). М.: ЛКИ, 2008, с.
184 – 188.
11.Лопатин М.С., Зеленков Г.А., Зубов Н.В. Исследование робастной
устойчивости и неустойчивости комплексных интервальных полиномов. Материалы международной конференции «Dynamical System
Modelling and Stability investigation. Modelling and stability. DSMSI2009». Украина, Киев, 2009, с. 298.
12.Лопатин М.С., Тульчий В.В., Зеленков Г.А. Исследование робастной
устойчивости и неустойчивости по группам вещественных коэффициентов интервального полинома. Труды Института системного анализа
РАН «Динамика неоднородных систем». Выпуск 39(1). М.: ЛИБРОКОМ, 2008, с. 133 – 137.
20