Проект макета ООП ВПО вуза - факультете информатики ТГУ.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Томский государственный университет
УТВЕРЖДАЮ
Декан факультета информатики
Сущенко С.П.
"
" декабря 2010 г.
Рабочая программа дисциплины
«Дифференциальные и разностные уравнения»
Направление подготовки
230700 Прикладная информатика
Квалификация выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Томск
2010
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины (модуля) «Дифференциальные и разностные уравнения»
являются получение теоретических знаний по дифференциальным и разностным уравнениям и приобретение практических навыков аналитического и численного решения
дифференциальных и разностных уравнений при проектировании, исследовании и математическом моделировании систем и процессов, требующих использования математического аппарата дифференциальных и разностных уравнений.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Раздел образовательной программы: Б.2. Математический и естественнонаучный цикл.
Базовая часть.
Для изучения курса необходимо знание следующих дисциплин:
- математический анализ;
- алгебра и геометрия;
- программирование.
Для того чтобы приступить к изучению курса «Дифференциальные и разностные уравнения», студент должен обладать следующими знаниями и умениями:
- знать математический анализ, алгебру и геометрию;
- знать основы компьютерных технологий и языков программирования;
- уметь строить алгоритмы решения поставленной задачи;
- уметь разрабатывать программы для ЭВМ.
Знания и умения, полученные в ходе освоения данной дисциплины (модуля), понадобятся при изучении таких последующих дисциплин ООП, как:
- методы оптимизации и исследование операций;
- имитационное моделирование;
- основы естествознания (физика).
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
(модуля).
Курс «Дифференциальные и разностные уравнения» способствует выработке у студента
следующих компетенций:
- способность при решении профессиональных задач анализировать социальноэкономические проблемы и процессы с применением методов системного анализа и математического моделирования (ПК-2);
- способность применять к решению прикладных задач базовые алгоритмы обработки
информации, выполнять оценку сложности алгоритмов, программировать и тестировать программы (ПК-10);
- способность применять методы анализа прикладной области на концептуальном, логическом, математическом и алгоритмическом уровнях (ПК-17);
- способность применять системный подход и математические методы в формализации
решения прикладных задач (ПК-21);
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
знать:
- математические основы теории дифференциальных и разностных уравнений;
- основные аналитические и численные методы решения и исследования дифференциальных и разностных уравнений;
- программные средства численного решения дифференциальных и разностных уравнений;
уметь:
- применять эти знания в исследовательской и прикладной деятельности, требующей использование математического аппарата теории дифференциальных и разностных уравнений;
владеть:
- технологиями компьютерного решения дифференциальных и разностных уравнений;
- навыками аналитического и численного решения и исследования дифференциальных и
разностных уравнений.
Успешно освоившим дисциплину считается студент, обладающий знанием математической теории и современных методов решения и исследования дифференциальных и разностных уравнений и продемонстрировавший в ходе выполнения лабораторных заданий практические навыки в использовании этих знаний.
№
Дисциплины
п/п
Семестр
Раздел
Неделя семестра
4. Структура и содержание дисциплины «Дифференциальные и разностные уравнения»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы, 108 часов.
Виды учебной работы,
включая самостоятельную
работу студентов, и трудоемкость (в часах)
Форма промежуточной
аттестации (по
семестрам)
всего
1
2
3
4
5
6
7
8
Обыкновенные дифференциальные уравнения
(ДУ)
Разностные уравнения и
приближенные методы
интегрирования ДУ
Дифференциальные
уравнения более высокого порядка
Линейные ДУ с постоянными коэффициентами
Операционное исчисление
Автономные (консервативные) системы
Первые интегралы ДУ
(законы сохранения)
Теория устойчивости
Итого:
Формы текущего контроля успеваемости (по
неделям семестра)
лекции
лаборатории
самостоятельная работа
4
1,2
3
16
8
0
8
Контр. раб. №1
(4-я неделя)
4
5,6
7
16
4
4
8
Лаб. раб. №1–3
Контр. раб. №2
(8-я неделя)
4
9
10
16
4
4
8
Лаб. раб. №4
4
11
14
4
2
8
Контр. раб. №3
(12-я неделя )
4
13
8
2
4
14
12
4
2
6
Лаб. раб. №5
4
15
12
2
2
8
Лаб. раб. №6
4
16
14
4
2
8
32
16
60
Лаб. раб. №7
Экзамен
108
6
Лекционный курс
Тема 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Дифференциальные уравнения (ДУ). Основные понятия. Определение дифференциального уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных. Порядок и степень дифференциального уравнения. Понятие решения дифференциального уравнения. Интегральная кривая, частное решение, общее решение, интеграл дифференциального уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнения, разрешенные относительно производной. Поле направлений касательных. Изоклины. Особые точки и особые решения ДУ. Уравнения с разделяющимися переменными и
приводящиеся к ним. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные уравнения первого порядка. Неоднородные уравнения. Метод вариации постоянных. Уравнения в полных
дифференциалах. Теоремы существования и единственности решения дифференциального
уравнения. Условия Липшица. Теорема о непрерывной зависимости решения от параметра и
начальных условий. Теорема о дифференцируемости решений.
Тема 2. Разностные уравнения и приближенные методы интегрирования ДУ.
Понятие полного метрического пространства. Фундаментальные последовательности.
Принцип сжатых отображений. Теорема о неподвижной точке. Задача Коши. Метод последовательных приближений Пикара. Разностные схемы. Метод ломаных Эйлера. Недостатки
метода ломаных и метода последовательных приближений. Метод Эйлера с уравниванием и
метод Хьюна. Методы Рунге-Кутты. Схема метода Рунге-Кутты второго-третьего порядка
точности. Схема метода Рунге-Кутты четвертого порядка точности.
Тема 3. Дифференциальные уравнения более высокого порядка.
Система ДУ. Каноническая (нормальная) форма системы ДУ. Векторное ДУ. Фазовое
пространство, фазовые переменные, фазовая кривая, фазовая траектория, фазовый портрет
ДУ. Динамическая система. Общий интеграл и частное решение векторного ДУ. Начальная
задача (задача Коши), двухточечная краевая задача (ДТКЗ), многоточечные краевые задачи.
Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для векторного ДУ. Линейные векторные ДУ (системы линейных ДУ). Теоремы существования и единственности
для линейных векторных ДУ. Линейно независимые системы решений. Определитель Вронского и его свойства. Фундаментальная система решений.
Тема 4. Линейные ДУ с постоянными коэффициентами.
Матричная экспонента. Собственные векторы и собственные числа матрицы коэффициентов. Представление общего решения системы однородных ДУ с постоянными коэффициентами через собственные векторы и собственные числа матрицы коэффициентов. Фундаментальная система решений. Фундаментальная матрица. Представление решений однородной и неоднородной системы ДУ с постоянными коэффициентами через фундаментальную
матрицу. Метод вариации постоянных. Теорема Лиувилля.
Тема 5. Операционное исчисление.
Операционное исчисление Хевисайда. Оригиналы и изображения. Преобразование
Лапласа. Основные формулы операционного исчисления (линейность преобразования
Лапласа, изображение производных, теорема запаздывания). Теорема единственности. Интегрирование ДУ методами операционного исчисления.
Тема 6. Автономные (консервативные) системы.
Определение и свойства автономных систем. Точка покоя (равновесия). Возможные ти-
пы фазовых траекторий автономных систем. Примеры автономных систем: модели “хищник
- жертва” (уравнение Лотки-Вольтерры, модифицированные уравнения Лотки-Вольтерры,
уравнение Холлинга-Тэннера). Качественная теория автономных систем второго порядка.
Линеаризация ДУ вблизи точки покоя. Поля скоростей и направлений исходных и линеаризованных уравнений. Точки покоя как особые точки. Их классификация (узел, фокус, центр,
седловая точка) и свойства. Циклы. Точки бифуркации. Бифуркация рождения цикла (бифуркация Хопфа). Предельный цикл. Устойчивый и неустойчивый фокусы. Аттракторы и
репеллеры.
Тема 7. Первые интегралы ДУ (законы сохранения).
Определение и свойства первых интегралов. Теоремы о первых интегралах. Производная
в силу системы ДУ (производная по направлению векторного поля скоростей, производная
Ли). Связь первых интегралов с фазовым портретом системы и законами сохранения на примере уравнений Лотки-Вольтерры и линеаризованных уравнений Холлинга-Тэннера.
Тема 8. Теория устойчивости.
Определение устойчивости по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Неустойчивость.
Второй метод Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости. Функция Ляпунова. Теорема
Ляпунова об асимптотической устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости. Устойчивость положения равновесия линейной однородной автономной системы. Теорема о необходимых и достаточных условиях асимптотической устойчивости. Устойчивость нелинейных
автономных систем по линейному приближению. Теоремы Ляпунова и Четаева об устойчивости и неустойчивости по линейному приближению. Критерий устойчивости РаусаГурвица. Качественный анализ решений линейных (и линеаризованных) ДУ второго порядка
по собственным числам матрицы коэффициентов (решениям характеристического уравнения).
Лабораторный практикум
Лабораторная работа №1. Метод ломаных Эйлера.
Цель работы: Программная реализация и исследование скорости сходимости метода
ломаных Эйлера. Экспериментальное определение порядка точности метода.
Содержание работы.
Программная реализация разностной схемы метода ломаных Эйлера. Наблюдение на
экране дисплея интегральных кривых и фазовых траекторий, полученных методом ломаных.
Исследование сходимости метода. Исследование зависимости точности решения от величины шага интегрирования. Исследование зависимости числа итераций от требуемой точности
решения. Экспериментальное определение порядка точности метода. Графическое (визуальное) сравнение последовательности интегральных кривых и фазовых траекторий с решением, получаемым стандартной процедурой метода Рунге–Кутты порядка точности 4–5 с заданной (высокой) точностью. Иллюстрация работы метода ломаных Эйлера на первых двухтрех шагах в увеличенном масштабе (с большим шагом).
Лабораторная работа №2. Метод Эйлера c уравниванием и метод Хьюна.
Цель работы: Программная реализация и исследование скорости сходимости метода
Эйлера с уравниванием (метода Эйлера-Коши) и его первого приближения (метода Хьюна).
Экспериментальное определение порядка точности этих методов.
Содержание работы.
Программная реализация разностной схемы метода Эйлера с уравниванием. Наблюдение
на экране дисплея интегральных кривых и фазовых траекторий, полученных этим методом.
Исследование сходимости метода. Исследование зависимости точности решения от величи-
ны шага интегрирования. Исследование зависимости числа итераций от требуемой точности
решения. Экспериментальное определение порядка точности метода. Иллюстрация работы
метода Эйлера с уравниванием на первых двух-трех шагах в увеличенном масштабе (с большим шагом).
Лабораторная работа №3. Методы Рунге-Кутты 2–4 порядков точности.
Цель работы: Программная реализация и исследование скорости сходимости методов
Рунге-Кутты 2-3-го порядка точности и 4-5-го порядка точности. Экспериментальное
определение порядка точности этих методов.
Содержание работы.
Программная реализация разностных схем методов Рунге–Кутты. Наблюдение на экране
дисплея интегральных кривых и фазовых траекторий, полученных этими методами. Графическое (визуальное) сравнение интегральных кривых и фазовых траекторий с решением, получаемым стандартной процедурой метода Рунге–Кутты порядка точности 4–5 с заданной
(высокой) точностью. Исследование сходимости методов. Исследование зависимости числа
итераций (дробления шага интегрирования) от требуемой точности решения и от величины
начального шага интегрирования. Экспериментальное определение порядка точности метода. Построение графической зависимости числа шагов интегрирования от требуемой точности решения и фактической точности решения от числа шагов интегрирования. Совмещение
графиков зависимостей фактической точности решения от числа шагов интегрирования для
методов Рунге–Кутты 1, 2, 3 и 4 порядков точности. Сравнение точности различных схем метода Рунге–Кутты между собой, с методом ломаных Эйлера и с методом Эйлера с уравниванием.
Лабораторная работа №4. Интегральные кривые, фазовые портреты, поля скоростей и направлений. Качественный анализ решений дифференциальных уравнений.
Цель работы: Качественное исследование решений систем дифференциальных уравнений второго порядка.
Содержание работы.
Построение интегральных кривых и фазовых траекторий решений дифференциальных
уравнений при различных начальных условиях. Наблюдение особых точек. Построение полей скоростей и полей направлений касательных к фазовым траекториям и интегральным
кривым. Качественное исследование решений дифференциальных уравнений по полям скоростей и направлений. Исследование в режиме наложения графиков интегральных кривых и
фазовых траекторий на поля скоростей и направлений. Исследование характера особых точек. Наблюдение различного характера поведения решений в окрестности центра и узла.
Лабораторная работа №5. Линеаризованные уравнения.
Цель работы: Сравнительное исследование решений нелинейных и линеаризованных систем дифференциальных уравнений второго порядка.
Содержание работы.
Программная реализация решений нелинейных и линеаризованных (относительно точек
покоя) систем дифференциальных уравнений. Построение фундаментальных матриц решений линеаризованных автономных систем через собственные векторы и собственные значения матриц коэффициентов. Построение точного решения задачи Коши для линеаризованных уравнений с использованием фундаментальных матриц решений. Сравнение точных решений линеаризованных уравнений с решениями, получаемыми методом Рунге–Кутты для
линеаризованных и исходных нелинейных уравнений. Сравнение решений линеаризованных
и соответствующих нелинейных уравнений при различных начальных условиях, вблизи и
вдали от точки линеаризации. Исследование особых точек линеаризованных уравнений в
сравнении с нелинейными уравнениями при различных значениях параметров систем.
Наблюдение явления бифуркации решений. Исследование поведения решений вблизи точки
бифуркации. Наблюдение циклов, аттракторов, репеллеров, предельных циклов.
Лабораторная работа №6. Первый интеграл.
Цель работы: Исследование первого интеграла (закона сохранения) нелинейных и линеаризованных систем дифференциальных уравнений второго порядка.
Содержание работы.
Программная реализация функций, выражающих первые интегралы уравнения Лотки–
Вольтерры и линеаризованного уравнения Холлинга–Тэннера. Наблюдение поверхностей
этих функций и проекций их горизонтальных сечений (линий фиксированного уровня) на
фазовую плоскость. Наложение на линии уровня фазовых траекторий, соответствующих выбранным (интерактивно) начальным условиям. Наблюдение совпадения или подобия кривых. Вычисление первого интеграла на интегральной кривой. Наблюдение постоянства первого интеграла во времени. Интерпретация наблюдаемых законов сохранения.
Лабораторная работа №7. Устойчивость и второй метод Ляпунова.
Цель работы: Исследование устойчивости решений нелинейных и линеаризованных систем дифференциальных уравнений второго порядка.
Содержание работы.
Исследование орбитальной устойчивости решений нелинейных и линеаризованных дифференциальных уравнений. Решение матричного уравнения Ляпунова для линеаризованных
уравнений. Исследование устойчивости решений этих уравнений вторым методом Ляпунова
(по поведению квадратичной функции Ляпунова и ее производной Ли – производной в силу
системы – на решениях задачи Коши при начальных условиях вблизи точек покоя). Графическое представление функции Ляпунова и ее полной производной по времени на траектории
системы. Сравнение результатов исследования устойчивости вторым методом Ляпунова с
результатами, полученными по критерию Рауса-Гурвица.
Примечание: лабораторные занятия проводятся в компьютерном классе с использованием системы программирования MATLAB и её мощной библиотеки функций. Студенты
осваивают основы программирования в системе MATLAB и выполняют задания по программной реализации и исследованию численных методов решения систем дифференциальных и разностных уравнений, качественному анализу решений обыкновенных дифференциальных уравнений, теории устойчивости решений. Лабораторные работы выполняются на
примере моделей “хищник – жертва”, описываемых дифференциальными уравнениями Лотки–Вольтерры и Холлинга–Тэннера.
5. Образовательные технологии
В ходе преподавания дисциплины используются следующие образовательные технологии:
- компьютерные симуляции;
- самостоятельная внеаудиторная работа студентов по аналитическому решению дифференциальных уравнений и программированию алгоритмов реализации разностных схем на
компьютере;
- разбор конкретных ситуаций, связанных с практикой аналитического и численного решения дифференциальных и разностных уравнений;
.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
Самостоятельная работа студентов по дисциплине организуется в следующих формах:
1) самостоятельное изучение основного теоретического материала, ознакомление с дополнительной литературой и Интернет-ресурсами;
2) индивидуальное внеаудиторное выполнение лабораторных работ с самостоятельной
разработкой и отладкой программ на языке MatLab и последующей демонстрацией и сдачей
преподавателю результатов компьютерного исследования в компьютерном классе.
В процессе демонстрации и сдачи студентом лабораторных работ преподаватель осуществляет текущий контроль усвоения материала курса, знаний и умений студента.
В качестве учебно-методического обеспечения самостоятельной работы используется
основная и дополнительная литература по предмету, Интернет-ресурсы, материал лекций,
указания, выданные преподавателем при проведении лабораторных работ.
Промежуточная аттестация студентов по итогам освоения частей (разделов) дисциплины
«Дифференциальные и разностные уравнения» осуществляется ежемесячно во время трёх
контрольных сессий по результатам письменных контрольных работ по соответствующим
частям курса. Для итоговой аттестации предусмотрен экзамен.
Перечень контрольных вопросов по первой части курса:
1. Определение дифференциального уравнения (ДУ). Кто из ученых ввел термин «дифференциальное уравнение»? Независимая и зависимая переменные. Обыкновенные ДУ и
уравнения в частных производных. Порядок и степень ДУ. Привести примеры.
2. Понятие решения дифференциального уравнения (ДУ). График решения, интегральная
кривая. Семейство решений, общее решение. Частное решение. Понятие интегрирования
ДУ. Неявный вид решения, общий интеграл ДУ.
3. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ДУ) первого порядка. Уравнения, разрешенные относительно производной. Поле направлений касательных и поле скоростей.
Изоклины. Обратные (эквивалентные) уравнения.
4. Дифференциальные уравнения (ДУ) с разделенными и разделяющимися переменными.
Общий интеграл. Частное решение. Лишние и потерянные решения. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными. Привести примеры.
5. Дифференциальные уравнения (ДУ), приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными. ДУ с правой частью, зависящей от линейной комбинации зависимой и независимой переменных.
6. Дифференциальные уравнения (ДУ), приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными. Однородные функции и ДУ с однородными функциями в правой части.
7. Дифференциальные уравнения (ДУ), приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными. ДУ с правой частью, зависящей от отношения линейных комбинаций зависимой и независимой переменных.
8. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Однородные уравнения. Построение общего решения однородного уравнения. Неоднородные уравнения. Построение
общего решения неоднородного уравнения методом вариации постоянной. Кто из ученых
предложил метод вариации постоянной? Частные решения однородного и неоднородного
уравнений.
9. Нелинейные дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к линейным.
Уравнение Бернулли y' p( x) y  f ( x) y n , n  1 , и построение его общего решения.
10. Нелинейные дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к линейным.
Уравнение Риккати y' p( x) y  q( x) y 2  f ( x) и построение его общего решения.
11. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Условие Эйлера (с выводом).
Интегрирующий множитель. Нахождение общего решения дифференциального уравнения в полных дифференциалах.
.
Перечень контрольных вопросов по второй части курса:
12. Формулировка теоремы существования решения дифференциального уравнения первого
порядка, разрешенного относительно производной.
13. Формулировка теоремы единственности решения дифференциального уравнения первого
порядка, разрешенного относительно производной. Условие Липшица и усиленное условие.
14. Формулировка теоремы о непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от параметров и начальных условий.
15. Формулировка теоремы о дифференцируемости (гладкости) решения дифференциального
уравнения.
16. Формулировка теоремы о дифференцируемости решения дифференциального уравнения
по параметру.
17. Особые точки дифференциального уравнения. Условия их существования. Узел и фокус.
Что общего в этих точках и в чем их различие? Привести примеры узла и фокуса.
18. Особые точки дифференциального уравнения. Условия их существования. Седловая точка и центр. Что общего в этих точках и в чем их различие? Привести примеры седловой
точки и центра.
19. Особые решения дифференциального уравнения. Условия их существования. Привести
пример особого решения.
20. Задача Коши (начальная задача) для дифференциального уравнения (ДУ) первого порядка, разрешенного относительно производной. Интегральное уравнение, эквивалентное
дифференциальному. Точное рекуррентное соотношение, определяющее решение задачи
Коши в дискретном наборе точек разбиения интервала интегрирования. Идея построения
алгоритмов приближенного решения ДУ в этих точках.
21. Метод ломаных Эйлера. Вывод вычислительной схемы метода из исходного дифференциального уравнения. Геометрическая интерпретация вычислительного алгоритма. Как
обеспечить желаемую точность решения?
22. Метод Эйлера с уравниванием (метод Эйлера-Коши). Вывод вычислительной схемы метода из исходного дифференциального уравнения. Геометрическая интерпретация вычислительного алгоритма. Метод Хьюна, его отличие от метода Эйлера-Коши. Как обеспечить желаемую точность решения?
23. Метод Рунге-Кутты 2-го порядка точности. Вычислительная схема метода. Частные случаи. При каких значениях параметров этот метод совпадает с методом ломаных Эйлера, с
методом Хьюна? Как обеспечить желаемую точность решения? Что значит «2-й порядок
точности»?
24. Метод Рунге-Кутты 4-го порядка точности. Вычислительная схема метода. Как обеспечить желаемую точность решения? Что значит «4-й порядок точности»?
25. Общий вид вычислительной схемы численного метода решения дифференциального
уравнения (ДУ). Почему выражающее её соотношение называется разностным уравнением? Невязка численного метода решения ДУ (определение). Порядок точности (порядок
аппроксимации) численного метода решения ДУ (определение).
26. Вывод порядка точности метода ломаных Эйлера.
27. Вывод порядка точности метода Эйлера с уравниванием.
28. Вывод порядка точности метода Рунге-Кутты 2-го порядка точности. Частные случаи метода и их порядок точности.
29. Вывод порядка точности метода Хьюна (самостоятельно, записав его в одношаговой
форме, по аналогии с методом Эйлера).
Перечень контрольных вопросов по третьей части курса:
1. Дифференциальное уравнение более высокого порядка, чем первый. Каноническая (нормальная) форма системы дифференциальных уравнений. Векторная запись системы дифференциальных уравнений.
2. Дифференциальные уравнения (ДУ) более высокого порядка, чем первый. Представление
в форме канонической (нормальной) системы ДУ первого порядка. Векторная запись системы ДУ. Задача Коши для векторного ДУ. Интегральные кривые. Фазовые переменные
и фазовое пространство. Фазовая траектория. Фазовый портрет. Динамическая система.
3. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для векторного дифференциального уравнения (ДУ). Особые точки и особые решения векторного ДУ.
4. Задача Коши для векторного дифференциального уравнения (ВДУ). Методы приближенного численного интегрирования ВДУ (методы ломаных Эйлера, .Эйлера с уравниванием, Рунге-Кутты).
5. Модель «хищник–жертва» Лотки-Вольтерры. Построение системы дифференциальных
уравнений Лотки-Вольтерры. Модификация системы Лотки-Вольтерры, учитывающая
внутривидовую борьбу.
6. Линейные векторные дифференциальные уравнения (ЛВДУ). Задача Коши для ЛВДУ.
Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для ЛВДУ.
7. Линейный дифференциальный оператор и его свойства. Однородные и неоднородные линейные векторные дифференциальные уравнения (ЛВДУ). Их представление через линейный дифференциальный оператор. Линейно независимые решения ЛВДУ. Определитель Вронского. Условие линейной независимости решений. Теорема Лиувилля.
8. Фундаментальная система решений линейного векторного дифференциального уравнения. Теорема существования фундаментальной системы (с доказательством).
9. Теорема о представлении общего решения однородного линейного векторного дифференциального уравнения через фундаментальную систему решений (с доказательством).
10. Фундаментальная матрица решений линейного векторного дифференциального уравнения.(ЛВДУ). Дифференциальное уравнение для фундаментальной матрицы. Представление общего решения однородного ЛВДУ через фундаментальную матрицу.
11. Представление решения задачи Коши для однородного линейного векторного дифференциального уравнения через фундаментальную матрицу. Связь переходной матрицы (матрицы Коши) с фундаментальной матрицей.
12. Теоремы о фундаментальной матрице решений однородного линейного векторного дифференциального уравнения.
13. Представление общего решения неоднородного линейного векторного дифференциального уравнения (ЛВДУ) через фундаментальную матрицу. Метод Лагранжа вариации постоянной для построения общего решения неоднородного ЛВДУ. Частное и общее решения неоднородного ЛВДУ.
14. Принцип суперпозиции решений неоднородного линейного векторного дифференциального уравнения (ЛВДУ).
15. Построение фундаментальной матрицы решений ЛВДУ по системе линейно независимых
начальных условий.
16. Линейные векторные дифференциальные уравнения (ЛВДУ) с постоянными коэффициентами. Решение задачи Коши для однородного ЛВДУ с постоянными коэффициентами
методом последовательных приближений Пикара. Представление решения через матричную экспоненту.
17. Матричная экспонента. Ее представление в виде ряда. Свойства матричной экспоненты.
Представление фундаментальной матрицы решений линейного векторного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами через матричную экспоненту.
18. Лемма о степенях матрицы коэффициентов однородного линейного векторного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Диагонализирующее преобразование (преобразование подобия) матрицы коэффициентов. Приведение матрицы коэффициентов к диагональному виду. Структура диагонализирующей матрицы. Представление матрицы коэффициентов через ее собственные числа и собственные вектора.
19. Теорема о возможности диагонализации матрицы коэффициентов однородного линейного векторного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Роль собственных векторов и собственных значений матрицы коэффициентов в диагонализирующем преобразовании матрицы коэффициентов.
20. Представление матричной экспоненты через собственные числа и собственные вектора
матрицы коэффициентов однородного линейного векторного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое (вековое) уравнение.
21. Теорема о представлении общего решения однородного линейного векторного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами через собственные числа и
собственные вектора матрицы коэффициентов. Представление фундаментальной матрицы решений через собственные числа и собственные вектора матрицы коэффициентов.
Жесткие системы.
22. Однородные линейные дифференциальные уравнения (ОЛДУ) n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристический полином и характеристическое уравнение.
Представление общего решения ОЛДУ n-го порядка с помощью корней характеристического полинома. Частный случай: построение общего решения ОЛДУ второго порядка.
Перечень контрольных вопросов по четвёртой части курса:
1. Операционное исчисление Хевисайда. Оригиналы и их свойства. Преобразование Лапласа. Изображение оригинала по Лапласу. Условие сходимости преобразования Лапласа.
2. Основные формулы операционного исчисления: линейность преобразования Лапласа,
изображение производных, теорема запаздывания (с выводом).
3. Общая схема решения задачи Коши для неоднородного дифференциального уравнения с
постоянными коэффициентами с помощью операционного исчисления. Теорема единственности преобразования Лапласа (без доказательства).
4. Автономные (консервативные) системы дифференциальных уравнений. Точка покоя
(равновесия). Свойства фазовых траекторий автономных систем. Сведение неавтономной
системы к автономной.
5. Теорема о типах фазовых траекторий автономной системы (без доказательства). Примеры
автономных систем: модель «хищник-жертва» Лотки-Вольтерры и ее модификации. Точки покоя этих моделей.
6. Поля скоростей и поля направлений автономных систем дифференциальных уравнений в
фазовом пространстве. Качественная теория дифференциальных уравнений.
7. Автономные линейные системы второго порядка. Характеристическое уравнение. Представление собственных чисел матрицы коэффициентов через след и определитель этой
матрицы.
8. Поведение решений автономной линейной системы дифференциальных уравнений второго порядка при действительных различных корнях характеристического уравнения (3
случая). Характер точек покоя.
9. Поведение решений автономной линейной системы дифференциальных уравнений второго порядка при кратных корнях характеристического уравнения (3 случая). Характер
точек покоя.
10. Поведение решений автономной линейной системы дифференциальных уравнений второго порядка при комплексно-сопряженных корнях характеристического уравнения (3
случая). Теорема о комплексных решениях. Бифуркация решения и точка бифуркации.
Характер точек покоя.
11. Аналитическое представление решения задачи Коши для автономной линейной системы
дифференциальных уравнений n-го порядка через собственные числа и собственные вектора матрицы коэффициентов.
12. Первые интегралы автономных систем дифференциальных уравнений (законы сохранения). Определение. Теорема о необходимом и достаточном условии для первого интеграла. Производная в силу системы (производная Ли) и ее значение для первого интеграла.
Объяснение названия этой производной.
13. Теорема о количестве независимых первых интегралов автономной системы n-го порядка. Первый интеграл системы дифференциальных уравнений Лотки-Вольтерры. Как проверить, является ли некоторая функция фазовых переменных первым интегралом?
14. Первый интеграл автономной линейной системы дифференциальных уравнений второго
порядка. Почему первый интеграл выражает закон сохранения?
15. Строгое определение устойчивости (по Ляпунову) решения задачи Коши для векторного
дифференциального уравнения n-го порядка. Орбитальная устойчивость. Асимптотическая устойчивость. Неустойчивость.
16. Сведение исследования на устойчивость некоторого решения дифференциального уравнения к исследованию на устойчивость тривиальной точки покоя. Строгое определение
устойчивости тривиальной точки покоя.
17. Второй метод Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости тривиальной точки покоя
(без доказательства). Функция Ляпунова и ее производная в силу системы (производная
Ли).
18. Устойчивость положения равновесия однородной автономной линейной системы. Теорема об асимптотической устойчивости и ее следствие. Матричное уравнение Ляпунова.
19. Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия для автономной однородной линейной системы дифференциальных уравнений.
20. Признак отрицательности вещественных частей всех собственных чисел матрицы. Критерий Рауса-Гурвица. Его связь с устойчивостью тривиальной точки покоя автономной
системы линейных однородных дифференциальных уравнений.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Федорюк М.В.Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1980. – 352
с.
2. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7.. – СПб.: БХВ-Петербург,
2005. – 1104 с. (Есть электронная версия.)
б) дополнительная литература:
1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Наука, ГИФМЛ, 1959. – 468
с.
2. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная
теория с приложениями. – М.: Мир, 1986. – 244 с.
3. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1986. – 288 с.
4. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию). – М.: Наука,
ГИФМЛ, 1973. – 440 с.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
Пакет прикладных программ для компьютерного моделирования и вычислений
MATLAB for Windows (лицензионный).
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Компьютерные классы, оборудованные компьютерной техникой с соответствующим лицензионным программным обеспечением (MATLAB for Windows), средствами проведения
презентаций и выходом в Интернет.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки 230700 Прикладная информатика.
Автор: д.т.н., профессор Поддубный Василий Васильевич
Рецензент: профессор Гладких Борис Афанасьевич
Программа одобрена на заседании Ученого Совета Факультета информатики
от «___»_________201__г., протокол № ___.
.