О.М. Назаренко

А.М. Назаренко. Об эконометрико-игровом методе построения и идентификации математических
моделей макроэкономических процессов
УДК 330.43
А.М. Назаренко1
Об эконометрико-игровом методе построения и идентификации
математических моделей макроэкономических процессов
В статье описывается процедура построения и идентификации динамических
математических моделей макроэкономических процессов в форме дифференциальных уравнений.
Модели строятся на базе основных понятий дифференциальной теории игр и опираются на
принцип максимизации в экономическом анализе. Эволюция изучаемого явления трактуется как
движение вдоль градиентных кривых потенциала системы – эмпирической функции,
выражающей изучаемый показатель через величины влияющих на него рассматриваемых
факторов.
В последнее время в теории математического моделирования экономических
процессов и систем нашли активное применение методы дифференциальной теории
игр, в рамках которых представление экономической системы сводится к ситуации
конфликта или кооперации, представленных системой дифференциальных уравнений,
где участвующие стороны осуществляют выбор стратегии во времени. При этом
построение игровой модели начинается с описания её в нормальной форме, в которой
рассматриваются все возможные стратегии каждого игрока, т.е. варианты поведения,
предпринимаемых действий или принимаемых решений, и определяются платежи,
выигрыши или проигрыши участников, соответствующие любой существующей
комбинации стратегий всех игроков [1]. В дифференциальных играх стратегии игроков
выбираются из некоторых замкнутых и ограниченных множеств, а платежи
представляются в виде платежной функции нескольких аргументов.
В экономике конфликтные ситуации или сводящиеся к ним, которые могут быть
представлены игровыми моделями, – довольно частое явление. Ярким примером
игровой ситуации может служить проблема рыночного равновесия на чисто
конкурентном рынке, в которой игроками, или конфликтующими сторонами, являются
покупатель, контролирующий спрос и пытающийся купить необходимый товар
дешевле, и продавец, управляющий предложением, цель которого – продать свой товар
дороже. Результатом разрешения конфликта, или платежной функцией, является чисто
рыночная (равновесная) цена товара [2]. Другим примером системы, которая может
быть описана с помощью аппарата дифференциальной теории игр, может служить
система «затраты-доход» [3, 4]. Здесь в качестве платежной функции может быть
выбрана чистая прибыль, получаемая производителем, тогда первый игрок – это,
собственно, сам производитель, который стремится максимизировать свою прибыль, а
вторым может быть, например, поставщик материальных ресурсов, который, стремясь
увеличить собственный доход, пытается продать сырье, необходимое для производства,
как можно дороже, минимизирует платежную функцию. Под чистой прибылью
Назаренко Александр Максимович, кандидат физико-математических
моделирования сложных систем Сумского государственного университета.
© А.М. Назаренко, 2006
178
Механізм регулювання економіки, 2006, № 1
наук,
доцент
кафедры
Розділ 4 Макроекономічні механізми
понимается количество денег, которое остается у производителя после оплаты расходов
(расходов на производство и реализацию продукции, выплаты по налогам и кредитам
и т. д.), которые считаются прибылью второго игрока.
Эти примеры иллюстрируют чисто идеологическую применимость игровых методов
в экономике, практические же приложения сталкиваются с рядом трудностей, которые
связаны как с особенностями самой экономической науки, например, невозможностью
наполнения разработанных моделей конкретной и качественной информацией [5], так и
с выполнением формальных требований игровой науки. Так, зачастую выбрать все
возможные стратегии игроков и представить их в виде множества практически
невозможно, а если это и удается, то в силу изменчивости условий хозяйствования,
конъюнктуры рынка и др. факторов само множество не является статичным, как того
требует классическая наука. Как следствие, практическое решение задач
осуществляется с помощью частичного упрощения условий поставленной задачи и
поиском возможностей для ее решения в совмещении нескольких методологических
подходов к её решению, чтобы компенсировать результаты упрощений.
Учитывая вышеописанные трудности, в данной работе предлагается новая методика
построения динамических математических моделей, базирующаяся на совмещении
методов современной теории позиционных дифференциальных игр, эконометрики и
принципе максимизации прибыли в экономическом анализе. Построенные с помощью
нее модели могут служить для описания эволюции макроэкономических процессов,
анализа текущих состояний изучаемых систем и для краткосрочного прогнозирования
их развития.
Руководствуясь предложенной методикой, построим модель, основанную на
антоганистической игре, которая позволяет описать динамику развития предприятия
или другого субъекта хозяйствования, результатом деятельности которого является
выпуск на рынок готовой продукции, в процессе производства которой задействуется
некоторая совокупность затрат материальных ресурсов, затрат труда и денежных
средств. В качестве игроков и платежной функции можно использовать показатели,
аналогичные модели «затраты-выпуск», которая описана выше. Тогда в качестве
исходных данных мы можем использовать статистические данные об основных
фондах p, материальных затратах q и чистой прибыли h в некоторые моменты времени
t = 0, ..., N.
Для того чтобы решать поставленную задачу известными методами
дифференциальной теории игр, следует описать множество стратегий игроков и
выбрать критерии оптимальности. На основании имеющихся статистических данных и
отсутствии дополнительной информации о любом из игроков мы не можем этого
сделать. Однако следует заметить, что конструируемая модель носит дескриптивный, а
не оптимизационный характер, поэтому этими вопросами можно пренебречь, если
ввести некоторую платежную функцию G(p, q), аппроксимирующую зависимость
чистой прибыли предприятия от величины основных фондов и материальных затрат, и
рассматривать ее как результат уже разрешившегося конфликта между описанными
игроками.
Систему, описывающую взаимодействие между конфликтующими сторонами,
можно было бы описывать в рамках широко используемого эмпирического метода
построения дифференциальных уравнений в экономике [6], в котором исследователь,
опираясь на собственный опыт и знание общих принципов функционирования
экономики, выделяет факторы, влияющие на рассматриваемые показатели, и
Механізм регулювання економіки, 2006, № 1
179
А.М. Назаренко. Об эконометрико-игровом методе построения и идентификации математических
моделей макроэкономических процессов
конструирует необходимые уравнения, характеризующие общую динамику изучаемого
процесса. При этом не существует общего подхода к построению этих зависимостей и
зачастую в них нет универсальности. Поэтому в данной работе воспользуемся одной из
дифференциальных систем градиентного типа [7], которые являются новым и активно
развивающимся направлением в теории дифференциальных игр. Тогда можем записать
следующую систему, связывающую изучаемые показатели:
G ( p, q )

,
 p  u (t )  p

(1)

q  v(t )  G ( p, q ) ,

q
где p – стоимость основных фондов (ОФ); q – размер материальных затрат; G(p, q) –
зависимость, аппроксимирующая чистую прибыль указанными показателями, –
результат разрешения рыночного конфликта.
Функцию u(t) можно трактовать как скорость капитальных вложений в развитие
основных фондов. В качестве нее может выступать экспертная оценка о
целесообразности вложений в развитие основных фондов на основании эффективности
вложения капитала, анализа общих тенденций рынка и т.д. Количественно она может
выражаться в объеме инвестиций в единицу времени, которые будут направлены на
развитие ОФ. Аналогичный смысл имеет и функция v(t).
По смыслу материальные затраты уменьшают прибыль, но это не означает, что их
надо стремится свести к нулю. В процессе производственной деятельности необходимо
добиваться наибольшей эффективности использования ресурсов, необходимых для
производства, и даже повышать их в случае подтверждения экономическим анализом
целесообразности этого. Поскольку в силу правила насыщения [2] бесконечно
наращивать величину основных фондов при неизменных материальных затратах не
имеет смысла, то следует стремиться к балансу между двумя изучаемыми величинами,
найти который и позволяют игровые модели.
Рассмотрим первое уравнение системы (1). Оно представляет скорость роста
основных фондов ( p ) как произведение скорости капитальных вложений u(t) в данный
момент времени на эффективность расширения объема основных фондов для роста
G ( p, q )
чистой прибыли
, что полностью согласуется с экономической теорией [2] и
p
подтверждает экономическую адекватность построенной модели. Аналогично
трактуется и второе уравнение системы.
Построим теперь аналогичную модель для связи основных макроэкономических
показателей страны, опишем на ней процедуру идентификации функций u(t) и v(t),
затем проведем численный эксперимент, что было бы трудно сделать на примере
модели предприятия, прежде всего в силу отсутствия достоверных статистических
данных о необходимых показателях.
Конечной целью любого государства является повышение благосостояния её
жителей, что достигается за счет роста валового национального дохода (ВНД) [2],
поэтому на нем мы сосредоточим своё внимание, выбрав его в качестве платежной
функции G(p, q) конструируемой модели. Тогда в качестве первого игрока можно
выбрать обобщенного производителя, т. е. совокупность владельцев, как частных, так и
государственных субъектов хозяйствования, производящих товары и услуги. В качестве
180
Механізм регулювання економіки, 2006, № 1
Розділ 4 Макроекономічні механізми
стратегии первого игрока можно выбрать его возможность управлять объемом
основных фондов как основным производственным фактором, находящимся в
непосредственной зависимости от него. Выбрать второго игрока, который бы стремился
минимизировать ВНД, не так легко.
В данном случае является логичным рассмотрение не конфликтной, а кооперативной
игры, в которой игроки помогают друг другу в достижении общей цели в силу
обоюдной заинтересованности в максимизации выигрыша (платежной функции). Тогда
в качестве второго игрока можно выбрать трудовые ресурсы страны, которые могут
быть выражены в виде количества рабочей силы (можно также использовать фонд
заработной платы, чтобы у оценок игроков была одинаковая размерность, но это
оставляется на усмотрение исследователя).
Пусть в некоторые моменты времени t = 0, …, N имеются статистические данные об
основных фондах p, общей численности работающего населения q и объеме
произведенного ВНД h. Связи между исследуемыми показателями будем строить в виде
градиентной системы дифференциальных уравнений, только, в отличие от (1) из-за
того, что рассматривается кооперативная игра, в последнем уравнении будет
отсутствовать знак минус. Тогда можем записать:
G ( p, q )

 p  u (t )  p ,


q  v(t )  G ( p, q ) .

q
(2)
Содержательный смысл функций u(t) и v(t) следующий: функция u(t) характеризует
скорость, с которой производитель инвестирует средства в развитие основных фондов, а
функция v(t) характеризует скорость, с которой стимулируется прирост рабочей силы,
например, с помощью социальных гарантий и дотаций в зависимости от необходимости
вложений труда в рост ВНД. Как уже было сказано ранее, эти функции могут
выбираться, исходя только из экспертных оценок, т. е. зависеть только от времени;
тогда это будет модель с чистым управлением. Но логично было бы предположить, что
скорость капитальных вложений будет зависеть от существующей стоимости основных
фондов и от скорости их прироста, и чем выше последняя, тем больше
целесообразность инвестировать средства в их развитие при данной норме
эффективности вложений. Поэтому можно выбирать функции u и v, исходя из
экономических соображений, например, строить их в виде u (t , p, q, p , q ) и
v(t , p, q, p , q ) , тогда это будет более сложное, но эффективное управление с обратной
связью.
Так как в данной работе строится дескриптивная модель, которая базируется на
анализе статистических данных предыдущих периодов, то можно выбрать вариант
чистого управления, и функции u(t) и v(t) можно аппроксимировать многочленами
некоторой степени с неизвестными коэффициентами вида
u (t )  b0  b1t  b2 t 2    bk t k ,
v(t )  c0  c1t  c2 t 2    cm t m ,
Механізм регулювання економіки, 2006, № 1
(3)
181
А.М. Назаренко. Об эконометрико-игровом методе построения и идентификации математических
моделей макроэкономических процессов
где степени k и m устанавливаются экспериментально. Это позволит, если необходимо,
при выборе достаточно больших степеней полиномов приблизить истинные функции
управления с необходимой точностью, но объяснить с экономической точки зрения,
почему в данный момент времени выбрано именно такое управление, будет
невозможно.
Задача оценивания неизвестных коэффициентов (задача идентификации модели)
может быть теоретически решена несколькими способами [3], но процедуры численной
их реализации требуют настолько много вычислений, что проведение полной
процедуры идентификации модели (2) затруднительно. Поэтому в работе предложен
другой подход к ее решению, который базируется на эконометрическом аппарате и
позволяет не только провести регрессионный и корреляционный анализ модели, но и
оценить качество приближения с помощью коэффициента детерминации R2 [8].
Для этого заменим в системе (2) u(t) и v(t) функциями вида (3) и перепишем ее,
заменив операцию дифференцирования разностным аналогом:



k G ( p i , q i )
,
 p t  p t 1  b0  b1i  ...  bk i
p

i t 1

q  q  c  c i  ...  c i m G ( p i , q i )
.
t 1
0
1
m
 t
p
i t 1



(4)
Раскрыв скобки в (4), заметим, что выражения, стоящие при неизвестных
коэффициентах, можно вычислить при заданной G(p, q), расписав соотношения (4) для
всех N известных статистических данных. Далее можно оценить неизвестные
коэффициенты методом наименьших квадратов [8]. Так как в записи (4) значения
величин p и q в момент времени t зависят только от их значений в предыдущие
моменты времени, это позволяет дать краткосрочный прогноз динамики развития
изучаемых величин [3].
Функция G(p, q) может быть любой гладкой производственной функцией,
связывающей показатели в системе (2). Условие гладкости будет гарантировать
существование производной в любой точке этой функции. Например, функция
Леонтьева [9] является производственной, но она, в силу того, что является кусочногладкой, не может быть использована в модели (2). Применение в качестве G(p, q)
мультипликативной производственной функции типа Кобба-Дугласа
(5)
G( p, q)  a0  p  q 
позволяет не только замкнуть модель, но и давать качественное экономическое
обоснование полученным результатам. Например, показатели  и  являются
коэффициентами эластичности выпуска (ВНД) по затратам основного капитала (p) и
труда (q):

p G
q G

,  
.
G p
G q
Показатели  и  должны быть больше нуля, так как увеличение затрат ресурсов p и
q вызывает рост ВНД. С другой стороны,  и  должны быть меньше единицы, так как
182
Механізм регулювання економіки, 2006, № 1
Розділ 4 Макроекономічні механізми
разумно предположить, что увеличение затрат p и q приводит к более медленному росту
ВНД в силу правила насыщения [2]. Если по отдельности показатели эластичности  и
 указывают на процентное увеличение (или уменьшение) ВНД при однопроцентных
колебаниях величин капитала p и труда q, то их сумма  +  отражает уже общую
реакцию производства на указанные изменения показателей. Она характеризует эффект
от масштаба производства. При  +  = 1 имеем постоянный эффект от масштаба
производства (ВНД увеличивается в той же пропорции, что p и q), наблюдается
постоянная отдача факторов. Если  +  > 1, ВНД растет в большей пропорции и
наблюдается возрастающий эффект от масштаба производства. Если же  +  < 1,
налицо убывающий эффект от масштаба производства (ВНД растет в меньшей
пропорции, чем p и q), наращивание затрат ресурсов оборачивается снижением их
продуктивности [8]. В подобных ситуациях говорят об экономическом спаде
(неэффективном использовании ресурсов) страны [10].
Продемонстрируем практическую применимость предложенной модели на примере
динамики развития Украины в период 1970-1987 гг. [9].
Таблица 1 – Макроэкономические показатели Украины в период 1970-1987 гг.
t
Год
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
Основные фонды p,
млрд руб
102.11
109.25
116.40
124.57
133.76
140.91
151.12
161.33
170.52
179.71
194.00
205.23
217.48
229.74
243.01
255.00
265.20
277.95
Трудовые ресурсы
q, млн чел.
16.13
16.61
17.10
17.42
17.90
18.23
18.71
19.03
19.35
19.68
20.00
20.16
20.32
20.32
20.48
20.70
20.70
20.60
Национальный
доход h, млрд руб.
52.03
55.15
56.71
61.91
63.99
65.55
69.20
72.32
75.44
75.96
77.00
79.08
83.24
87.41
91.57
97.00
94.09
97.97
Будем аппроксимировать зависимость величины валового национального дохода от
объема основных фондов и численности рабочих страны функцией вида (5). После
оценивания неизвестных коэффициентов методом наименьших квадратов получим
G(p, q) = 2.035∙p0.545∙q0.265, R2 = 0.98646.
Механізм регулювання економіки, 2006, № 1
183
А.М. Назаренко. Об эконометрико-игровом методе построения и идентификации математических
моделей макроэкономических процессов
Здесь высокое значение коэффициента детерминации R2 указывает на высокую
степень соответствия построенной модели исходным данным, поэтому данная модель
позволяет провести экономический анализ полученных результатов.
Анализ показывает, что коэффициенты эластичности основных фондов и рабочей
силы равны α = 0.545 и  = 0.265 соответственно. В силу того, что их сумма меньше
единицы, то наращивание затрат ресурсов оборачивается снижением их
продуктивности, и можно заключить, что в экономике Украины в рассматриваемый
период имел место экономический спад (неэффективное использование ресурсов).
Вместе с тем так как α > , то можно заключить, что имел место интенсивный рост
экономики, который характеризуется увеличением затрат на развитие основных
фондов, а не повышением эффективности использования трудовых ресурсов
(повышением производительности труда). Можно было бы найти норму замещения
труда фондами, масштаб и эффективность производства, рассчитать другие показатели,
но уже проведенные расчеты в целом согласуются со сложившейся в то время
экономической ситуацией (табл. 1) и подтверждают адекватность применения
мультипликативной производственной функции в целях описания динамики развития
страны.
Рассмотрим визуальное представление построенной зависимости (рис. 1).
Рисунок 1 – Зависимость роста ВНД от основных фондов и трудовых ресурсов
Если принять во внимание, что численность рабочих (q) в количественном
показателе намного меньше величины основных фондов (p), то видим подавляющее
184
Механізм регулювання економіки, 2006, № 1
Розділ 4 Макроекономічні механізми
значение зависимости экономического роста страны, выраженного в виде ВНД, от
основных фондов.
Для того чтобы проследить динамику развития величин p и q, воспользуемся
моделью (4), в которой в качестве функций u(t) и v(t) выберем многочлены четвертой
степени. Проведя необходимые расчеты, получим следующие результаты:
u(t) = 19.566 + 5.987∙t – 1.246∙t2 + 0.150∙t3 – 0.00546∙t4,
v(t) = 0.586 – 0.0518∙t + 0.00789∙t2 – 0.000924∙t3 + 0.0000317∙t4.
Визуально функции управления представлены на рис. 2 и рис. 3.
65
60
55
50
45
40
u(t)
35
30
25
20
15
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Рисунок 2 – График функции u(t)
Анализируя первый график, можно заметить, что тенденция повышения скорости
капитальных вложений, наблюдавшаяся в 1970-1984 гг., в последующем сменилась ее
уменьшением, что способствовало снижению темпов роста стоимости основных фондов
(табл. 1). На втором графике на протяжении всего периода четко видна тенденция к
уменьшению темпа прироста количества рабочей силы, который к 1986 году
практически остановился. Это еще раз подтверждает, что высокие показатели роста
ВНД Украины того периода были обусловлены развитием основных фондов. Также из
этих графиков очевидна тенденция к кризису в экономике, так как наряду со снижением
темпа роста рабочей силы, что может быть вызвано различными социальными
факторами, наблюдается спад скорости капитальных вложений в развитие основных
фондов.
Механізм регулювання економіки, 2006, № 1
185
А.М. Назаренко. Об эконометрико-игровом методе построения и идентификации математических
моделей макроэкономических процессов
0.6
0.5
0.4
0.3
v(t)
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Рисунок 3 – График функции v(t)
Хотелось бы заметить, что по приведенным выше графикам мы можем судить
только о качественном, а не количественном поведении исследуемой системы, так как
на экономику страны действуют и другие факторы, которые не учитываются, но они
могут повлиять на приведенные количественные результаты.
При данных функциях u(t) и v(t) исходные статистические данные об основных
фондах (p) и численности рабочих (q) приближаются к расчетным по модели (4) с
коэффициентами детерминации R2 = 0.99985 и R2 = 0.99877 соответственно, что говорит
об очень высокой степени соответствия модели реальным данным. Естественно, что
прогнозные значения изучаемых величин тоже совпали с высокой точностью.
Рассчитанные по модели (4) прогнозные значения на 1987 г. при построении модели на
данных 1970-1986 гг. дают относительные погрешности, равные 1,70% для стоимости
основных фондов и 1,02% для количества рабочей силы.
Из описанного выше можно сделать вывод, что предложенная модель, которая
является синтезом дифференциально-игрового и эконометрического подходов к
моделированию экономической деятельности, не только адекватно описывает
процессы, протекающие в экономике, но и позволяет давать высокоточные прогнозы.
Таким образом, она может применяться для моделирования реальных экономических
систем с целью анализа их текущих состояний и прогнозирования динамики развития.
1
2
186
Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. – М.:
Прогресс, 1975. – 607 с.
Макконелл К.Р., Брю С.Л. Экономикс: принципы, проблемы, политика/Пер. с 13-го англ. изд.
– М.: ИНФРА-М, 1999. – XXXIV, 974 с.
Механізм регулювання економіки, 2006, № 1
Розділ 4 Макроекономічні механізми
Альбрехт Э.Г., Быстрай Г.П. О динамических моделях эволюции некоторых
макроэкономических процессов//Исследование федерализма в России: междисциплинарный
подход. – Екатеринбург: Институт философии и права УрО РАН, 1999. – С. 214-232.
4 Попов В.А. Постоянная эластичность и информационные характеристики в системе «затратыдоход»//Экономика и математические методы. М., 1998. – Т.34, Вып. 2 – С. 56-67.
5 Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики. – М.: Экономика, 1988. – 487 с.
6 Алексеев Д.А. Экономико-математическая модель трансформационного типа//Кибернетика и
системный анализ. – 2002. – № 6. – С. 30-35.
7 Antipin A. Gradient approach of computing fixed points of equilibrium problems//Journal of Global
Optimization, 2001. Pp. 1-25.
8 Назаренко О.М. Основи економетрики: Підручник. – Київ: Центр навчальної літератури, 2004.
– 392 c.
9 Народное хозяйство Украинской ССР: Стат. ежегодник. – Киев: ЦСУ УССР.
10 Суслов В.И., Ибрагимов Н.М., Талышева Л.П., Цыплаков А.А. Эконометрия. – Новосибирск:
Издательство СО РАН, 2005. – 744с.
3
Получено 06.03.2006 г.
О.М. Назаренко
Про економетрико-ігровий метод побудови та ідентифікації
математичних моделей макроекономічних процесів
У статті описується процедура побудови та ідентифікації динамічних математичних
моделей макроекономічних процесів у формі диференціальних рівнянь. Моделі будуються на
основі базових понять диференціальної теорії ігор і спираються на принцип максимізації в
економічному аналізі. Еволюція досліджуваного явища трактується як рух вздовж градієнтних
кривих потенціалу системи – емпіричної функції, яка виражає досліджуваний показник через
величини факторів, що на нього впливають.
Механізм регулювання економіки, 2006, № 1
187