УТВЕРЖДАЮ Директор института математики Имени С.Л. Соболева Сибирского Отделения РАН академик РАН Ю. Л. ЕРШОВ “10” ноября 2008 г. ОТЗЫВ ВЕДУЩЕЙ ОРГАНИЗАЦИИ О диссертации Мартюгина Павла Владимировича «Оценки длины и вычислительной сложности синхронизации конечных автоматов», представленной на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.09 – дискретная математика и математическая кибернетика. Актуальность темы для науки и практики Исследования, выполненные в диссертации, относятся к теории автоматов и оценкам сложности вычислений. Детерминированный конечный автомат называется синхронизируемым, если существует слово, под действием которого все состояния автомата отображаются в одно и то же состояние. Такие автоматы могут использоваться, например, для сортировки деталей на автоматизированном производстве. Вопросы о том, как проверить автомат на синхронизуемость и найти (кратчайшее) слово, синхронизирущее данный автомат, исследуются уже более сорока лет. В частности, до сих пор не доказана и не опровергнута гипотеза Черни о том, что всякий синхронизируемый автомат с n состояниями можно синхронизировать словом длины (n-1)2. Аналогичные вопросы можно ставить также для бережной синхронизации частичных автоматов, в которых действие некоторых символов на данном состоянии может быть не определено. Такая постановка задачи не менее естественна и актуальна, чем исходная. Известно, что длины синхронизующих слов для частичных автоматов растут гораздо быстрее, чем в детерминированном случае. Диссертация содержит серию нижних оценок на длину кратчайшего слова, синхронизирующего автомат, для автоматов из различных классов, а также новые результаты о вычислительной сложности задач синхронизации автоматов. Большая часть результатов получена путем построения автоматов с достаточно длинными кратчайшими синхронизирующими словами (для нижних оценок на длину синхронизирующих слов) либо конструкций, сводящих к задачам синхронизации известные трудно вычислимые проблемы (для результатов о сложности). Анализ и оценка результатов диссертации Диссертация содержит 123 страницы и состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы (46 наименований). Введение (глава 1) Во введении автор определяет классы автоматов, результаты о которых содержатся в дальнейшем тексте, формулирует задачи, связанные с синхронизацией, о решении которых пойдет речь, и приводит таблицу результатов о синхронизации автоматов, известных до него. Глава 2 Эта глава посвящена результатам о детерминированных автоматах. Впервые построена серия автоматов с нулем над двухбуквенным алфавитом, у которых длина кратчайшего синхронизирующего слова растет квадратично: ранее были известны только серии примеров с линейным ростом, либо над алфавитами возрастающей мощности. Описаны новые быстрые алгоритмы проверки автоматов на синхронизируемость. Получены результаты о сложности задач, связанных с синхронизацией автоматов: в частности, доказано, что задача о том, существует ли у данного автомата синхронизирующее его слово длины не больше L, NP-полна, даже если рассматриваются только автоматы над бинарным алфавитом. Исследуется также сложность соответствующей задачи для различных подклассов автоматов: в большинстве случаев она также оказывается NP-трудной или даже NP-полной, для доказательства чего к соответствующим задачам путем построения автоматов-примеров сводится задача ВЫПОЛНИМОСТЬ. Глава 3 Эта глава посвящена результатам о частичных автоматах. О таких автоматах общего вида известно, что длина кратчайшего бережно синхронизирующего слова растет экспоненциально, однако аналогичный результат не был известен для автоматов над фиксированным алфавитом. В работе впервые построены примеры частичных автоматов над двухбуквенным алфавитом, у которых длина кратчайшего бережно синхронизирующего слова растет быстрее, чем любой полином от количества состояний, хотя и медленнее, чем an для любого a. Кроме того, улучшены имеющиеся (экспоненциальные) нижние оценки для автоматов над растущим алфавитом, также с помощью новой серии примеров. Наконец, доказано, что задачи о том, синхронизируем ли данный частичный автомат, и если да, то существует ли для него бережно синхронизирующее слово длины не больше данной, PSPACE-полны, даже если ограничиться рассмотрением автоматов над двухбуквенным алфавитом. Этот результат, самый технически сложный в диссертации, доказывается с помощью сведения к задачам синхронизации известной PSPACE-полной задачи 3ВЫПОЛНИМОСТЬ С КВАНТОРАМИ. В заключении работы приводится удобная таблица полученных результатов. Рекомендации по использованию результатов диссертации Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях, проводимых в Институте математики СО РАН, Московском, Уральском, Новосибирском государственных университетах и в других научных центрах, где изучаются современные проблемы теории автоматов и сложность вычислений, а также для обучения студентов соответствующих специальностей. Заключение Принципиальные недостатки в работе отсутствуют. В качестве замечания можно отметить некоторую небрежность в описании известных результатов: так, в приведенном для полноты картины доказательстве теоремы Черни отсутствует важное для понимания определение длины интервала. Кроме того, в части работы, посвященной оценкам сложности, были бы уместны определение класса PSPACE и обсуждение иерархии упомянутых классов сложности. Отмеченные недостатки изложения не влияют на общую положительную оценку диссертации. Диссертация представляет собой завершенную научно-исследовательскую работу на актуальную тему. Результаты опубликованы в отечественных и зарубежных рецензируемых изданиях, автореферат соответствует содержанию диссертации. Работа отвечает всем требованиям ВАК, предъявляемым к кандидатским диссертациям, а ее автор, Мартюгин Павел Владимирович, заслуживает присуждения ей ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.09 – дискретная математика и математическая кибернетика. Отзыв рассмотрен на заседании семинара отдела Теоретической кибернетики института математики Имени С.Л. Соболева Сибирского Отделения РАН 6 ноября 2008г. Заведующий отделом доктор физ.-мат. наук, профессор В. Т. Дементьев С.н.с. отдела кандидат физ.-мат. наук А. Э. Фрид