Решения дистанционной олимпиады по математике 11

Решения дистанционной олимпиады по математике 11 класс
1. Найти действительные решения уравнения (x+2)4+x4=82
Решение:
Ответ : х1=1, х2=-3
2. Если a  b  c делится на 6, то
числа).
Решение:
a 3  b3  c3 делится на 6 (a, b, c – целые
3. Найти все действительные решения уравнения
x 2  2 x sin( xy)  1  0 .
Решение:
4. Найти четырехзначное число, которые в 4 раза меньше числа, записанного теми
же цифрами, но в обратном порядке.
Решение:
Ответ: 8712.
5. Доказать, что сечение параллелепипеда плоскостью не может быть правильным
пятиугольником.
Решение: Среди сторон многоугольника в сечении параллелепипеда плоскостью
найдутся параллельные, а у правильного пятиугольника никакие две стороны не
параллельны.
6. Вычислить:
Решение: методом подстановки, при прибавлении получится 4, а
=2.
Ответ: 2.
7. Доказать,
что
4n  15n  1
при
любом
натуральном
значении
делится на 9.
Решение:
D=
n1,2=
Ответ:
n1=
n1=
, n2=
8. Решить систему уравнений:
Решение:
9. Найдите максимум
Решение:
a  b , если a  2b  1 .
, n2=
n( n  1) число
Ответ:
10. Найти скорость и длину поезда, если известно, что он проходил мимо неподвижного
наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с, чтобы проехать вдоль платформы длиной в
378 м.
Решение: Пусть х – длина поезда, тогда скорость поезда мимо неподвижного
пассажира будет
м/с, а скорость поезда мимо платформы будет
Согласно условию задачи эти скорости равны, т. е. имеем уравнение:
или
18х = 2646
Х=2646
Х = 147(м),
Ответ: 21м/с, длина поезда 147 м.
м/с.