Документ 524467

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждения
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
кафедра алгебры и математической логики
Бердюгина О.Н.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 01.03.03 «Механика и
математическое моделирование»,
профиль подготовки «Механика жидкости, газа и плазмы»,
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2014
2
Бердюгина О.Н. Дифференциальная геометрия и топология. Рабочая программа для студентов направления 01.03.03 «Механика и математическое
моделирование», профиль подготовки «Механика жидкости, газа и плазмы»
очной формы обучения. Тюмень, 2014, 25 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВО с учетом рекомендаций и ПрОП ВО по направлению «Механика и
математическое моделирование», профиль подготовки «Механика жидкости,
газа и плазмы».
Рабочая программа «Дифференциальная геометрия и топология»
опубликована на сайте ТюмГУ: « Дифференциальная геометрия и
топология»
[электронный
ресурс]
/
Режим
доступа:
http://www.umk3plus.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики.
Утверждено директором Института математики и компьютерных наук
Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: В.Н. Кутрунов, д. ф.-м. н., профессор, зав
кафедрой алгебры и математической логики.
© Тюменский государственный университет, 2014
© Бердюгина О.Н., 2014
3
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины
Цель курса – изучение кривых и поверхностей, а также семейств кривых
и поверхностей методами математического анализа и овладение методами и
навыками применения аппарата векторного анализа к геометрии.
Цели дисциплины:
- формирование математической культуры студента в области геометрии
и топологии;
- начальная подготовка в области алгебраического и теоретикомножественного анализа простейших геометрических и топологических объектов;
- овладение классическим математическим аппаратом дифференциальной геометрии и топологии для дальнейшего использования в приложениях.
Задачи изучения дисциплины:
- изучить материал дисциплины;
- усвоить основные понятия и методы, изучаемые в процессе освоения
материала дисциплины;
- приобрести навыки самостоятельного решения задач различной степени сложности;
- выработать умение проводить анализ полученных в процессе решения
фактов и результатов;
- обобщить и систематизировать полученные знания, умения и навыки.
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина «Дифференциальная геометрия и топология» входит в базовую часть Федерального государственного образовательного стандарта
высшего образования (ФГОС ВО) по направлению «Механика и математическое моделирование».
Базой для изучения дифференциальной геометрии и топологии являются
начальные курсы математического анализа (дифференциальное исчисление
функций одной и нескольких переменных, интегрирование, основы теории
множеств), аналитической геометрии (векторная алгебра, прямые и плоскости, кривые и поверхности второго порядка) и алгебры (векторные пространства, квадратичные формы, линейные операторы).
Курс «Дифференциальная геометрия и топология» является классическим математическим курсом, который имеет широкие приложения в различных разделах математики, механики, физики, современной компьютерной
геометрии.
Дифференциальная геометрия и топология служит основой для дальнейшего изучения различных современных физико-математических курсов,
таких как риманова геометрия, тензорный анализ, теория относительности,
функциональный анализ и многих других.
Таблица 1
4
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами.
2.2.
2.3.
3.1.
3.2.
2.
3.
2.1.
Математические модели в механике
сплошной среды
Общая физика
Физикомеханический практикум и вычислительный эксперимент
1.3.
1.
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.2.
Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.1.
№
п/п
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
данной образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими
компетенциями:
способностью к определению общих форм и закономерностей отдельной
предметной области (ПК-1);
готовностью использовать фундаментальные знания в области теоретической и прикладной механики, механики сплошной среды, математического
анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической
геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных
уравнений, численных методов, теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов в будущей профессиональной деятельности
(ОПК-2).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине:
Знать: основные понятия дифференциальной геометрии и топологии,
определения и свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений, в том числе в компьютерном моделировании геометрических и топологических объектов и явлений.
Уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в
области дифференциальной геометрии и топологии, доказывать утверждения.
Владеть: математическим аппаратом дифференциальной геометрии и
топологии, дифференциально-геометрическими методами исследования гео5
метрических объектов и теоретико-множественными методами исследования
объектов топологии.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 3. Форма промежуточной аттестации зачет.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы. 108
академических часов, из них 74,6 часов, выделенных на контактную работу с
преподавателем, 33,4 часов, выделенных на самостоятельную работу.
Всего часов
Вид учебной работы
Контактная работа:
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные занятия (ЛЗ)
Иные виды работ:
Самостоятельная работа (всего)
Общая трудоемкость
74,6
72
36
36
2,6
33,4
3
108
зач. ед.
час
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Таблица 2.
семестр
3
74,6
72
36
36
2,6
33,4
3
108
зачет
3. Тематический план
1
2
3
4
5
Семестр 1
Самостоятельная
работа*
Тема
Семинарские
(практические) занятия*
№
недели
семестра
Лекции*
Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.
6
Из них
Итого
в инчасов
теракпо теме тивной
форме
7
8
Итого
количество
баллов
9
Модуль 1
6
1.1.
1.2.
1.3.
2.1.
2.2.
2.3.
3.1.
3.2
Определение топологического
пространства
1
2
2
3,4
7,4
1
0-10
База топологии
Свойства топологических пространств
ВСЕГО
Модуль 2
Предмет курса
дифференциальной геометрии
Вектор-функции.
Параметризованные кривые на
плоскости и в
пространстве
2-3
4
4
3,4
11,4
1
0-10
4-6
6
6
3,5
15,5
4
0-10
12
12
10,3
34,3
6
0-30
2
2
3,4
7,4
2
0-10
4
4
3,4
11,4
2
0-10
Пространственные кривые
10-12
6
6
3,5
15,5
4
0-10
12
12
10,3
34,3
8
0-30
13-16
8
6
8,4
22,4
4
0-20
17-18
4
6
4,4
14,4
2
0-20
12
12
0-40
36
36,8
2,6
108
6
36
12,8
2,6
36
20
0-100
6
14
ВСЕГО
Модуль 3
Параметризованные поверхности
Главные кривизны и главные
направления поверхности
ВСЕГО
Иные виды рабоИтого
ты
Из них часов в
интерактивной
форме
7
8-9
20
*-с учетом иных видов работ
7
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 4.
Устный опрос
№ темы
Модуль 1
1.1.
1.2.
1.3
Всего
Модуль 2
2.1.
2.2.
2.3.
Всего
Модуль 3
3.1.
3.2.
Всего
Итого
Письменные работы
Итого
количество
баллов
коллоквиумы
ответ на
семинаре
контрольная
работа
Самостоятельная работа
0-5
0-5
-
0 -4
0-4
0-4
0 -12
0-5
0-5
0 -10
0 -1
0-1
0 -1
0-3
0-10
0-10
0-10
-
0-1
0-1
0-1
0-3
0-8
0-8
0-16
0-8
0-8
0-1
0-1
0-1
0-3
0-10
0-10
0-10
0-30
0-5
0-1
0-1
0-2
0-5
0-9
0-9
0-18
0-46
0-9
0-9
0-18
0-36
0-1
0-1
0-2
0-8
0-20
0-20
0-40
Решение
задач
0-30
0-100
5. Содержание дисциплины.
Семестр 1.
Модуль 1.
Тема 1.1. Определение топологического пространства. Примеры. Сравнение топологий. Замкнутые множества, их свойства. Подпространства. Замыкание, внутренность и граница множества в топологическом пространстве.
Тема 1.2. База топологии. Примеры баз. Вес пространства. Соотношения
между весом и плотностью. Задание топологии при помощи базы. Непрерывные отображения. Гомеоморфизмы.
Тема 1.3. Свойства топологических пространств. Связность. Компоненты связности. Непрерывные отображения связных пространств. Линейно
связные пространства. Аксиомы отделимости. Нормальность метризуемых
пространств. Функциональная отделимость. Большая лемма Урысона. Теорема о продолжении непрерывных функций. Компактные пространства.
Свойства непрерывных отображений компактных пространств.
Модуль 2.
Тема 2.1. Предмет курса дифференциальной геометрии. Краткий исторический обзор. Вектор-функции: предел, непрерывность, дифференцируемость.
8
Тема 2.2. Параметризованные кривые на плоскости и в пространстве.
Длина кривой. Натуральный параметр. Неявное задание кривых. Плоские
кривые. Кривизна.
Тема 2.3. Пространственные кривые. Репер Френе. Кручение.
Натуральные уравнения. Огибающая семейства кривых.
Модуль 3.
Тема 3.1. Параметризованные поверхности. Касательные векторы и касательная плоскость к поверхности. Неявное задание поверхности. Первая
квадратичная форма поверхности и ее применения. Изометрические отображения поверхностей. Вторая квадратичная форма поверхности и ее применения.
Тема 3.2. Главные кривизны и главные направления поверхности. Полная и средняя кривизны поверхности. Деривационные формулы поверхности.
Инвариантность гауссовой кривизны.
6. Планы семинарских занятий.
Семестр 3.
Модуль 1
Тема 1.1. Определение топологического пространства
Занятие 1. Определение топологического пространства.
Тема 1.2. База топологии
Занятие 2. База топологии.
Занятие 3. Непрерывные отображения. Гомеоморфизмы.
Тема 1.3. Свойства топологических пространств
Занятие.4. Связность. Компоненты связности.
Занятие.5. Отделимость и компактность.
Занятие 6. Контрольная работа № 1
Модуль 2
Тема 2.1. Предмет курса дифференциальной геометрии Вектор-функции.
Занятие1. Вектор-функции: предел, непрерывность, дифференцируемость.
Тема 2.2. Параметризованные кривые на плоскости и в пространстве.
Занятие 2. Параметризованные кривые на плоскости и в пространстве.
Занятие 3. Длина кривой. Натуральный параметр. Кривизна
Тема 2.3. Пространственные кривые.
Занятие 4. Репер Френе.
Занятие 5. Кручение. Натуральные уравнения
Занятие 6. Контрольная работа № 2
Модуль 3
Тема 3.1. Параметризованные поверхности
Занятие 1. Касательные векторы и касательная плоскость к поверхности
Занятие 2. Первая квадратичная форма поверхности и ее применения.
Занятие 3. Вторая квадратичная форма поверхности и ее применения.
Тема 3.2. Главные кривизны и главные направления поверхности
Занятие 4. Главные кривизны и главные направления поверхности.
9
Занятие 5. Деривационные формулы поверхности.
Занятие 6. Контрольная работа № 3.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной
работы студентов.
Таблица 5.
№
Модули и темы
Виды СРС
Неде- Объем Колля сечасов
во
обязательные
дополниместбалтельные
ра
лов
Модуль 1
Определение
Проработка
Самостоя1.1.
топологического лекций, до- тельное изу1
3,4
0-3
пространства
машние за- чение задандания
ного матери1.2.
2-3
3,4
0-3
База топологии
ала, Чтение
Свойства топодополни1.3.
4-6
4,5
0-3
логических
тельной липространств
тературы
Всего по модулю 1:
11,3
0-9
Модуль 2
Самостоя0-4
Предмет курса Проработка
лекций, до- тельное изудифференци2.1.
машние за- чение задан- 7-10
3,4
альной геометдания
ного материрии Векторала, Чтение
функции.
дополни0-4
Параметризотельной
ли11
ванные кривые
2.2.
3,4
тературы;
на плоскости и
Знакомство с
в пространстве
содержанием
0-4
Простран11-12
электронных
2.3.
4,5
ственные криисточников
вые
Всего по модулю 2:
11,3
0-12
Модуль 3
Проработка
Самостоя0-2
Параметризо3.1.
лекций, до- тельное изу- 13-15
8,4
ванные помашние за- чение заданверхности
10
3.2
Главные кривизны и главные направления поверхности
дания.
Всего по модулю 3:
Итого за семестр
ного материала, Чтение
дополнительной литературы
.
0-2
15-18
5
13,4
36
0-4
0-25
* - с учетом иных видов работы
11
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
(модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы (выдержка из
матрицы компетенций):
Таблица 9.
Б.1. Дисциплины (модули)
*- дисциплина базовой части
+
+
+
+
+
+
Векторный и тензорный анализ
+
Теоретическая и прикладная
механика*
Общая физика*
Основы механики сплошной
среды*
+
Математический анализ*
+
4 семестр
Дифференциальные уравнения
Математический анализ*
+
Общая физика*
Алгебра *
+
Математический анализ*
Математический анализ*
+
3 семестр
Дифференциальные уравнения
Алгебра *
ОПК-2
ПК-1
Избранные вопросы математики
Индекс
компетенции
2 семестр
1 семестр
Общая физика*
Циклы, дисциплины (модули)
учебного плана ОП бакалавриата
+
+
+
Индекс
компетенции
ОПК-2
ПК-1
Теоретическая и прикладная механика*
+
+
+
+
+
+
+
Механика деформируемого твердого тела
Механика нефтяных пластов
5 семестр
Асимптотические методы нелинейной механики
Комплексный анализ*
+
Теоретическая и прикладная механика*
Основы численных методов*
Динамические системы
Математические модели в механике
сплошной среды*
+
Основы численных методов*
Теоретическая и прикладная механика*
Циклы, дисциплины (модули)
учебного плана ОП бакалавриата
Б.1. Дисциплины (модули)
6 семестр
+
+
*- дисциплина базовой части
13
ОПК-2
ПК-1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Гидродинамика
Вариационное исчисление и оптимальное управление
Гидродинамика
7 семестр
Физико-механический практикум и вычислительный эксперимент*
Основы численных методов
+
Математические методы в механике
+
Физико-механический практикум и вычислительный эксперимент*
Подземная гидродинамика
Теоретическая и прикладная механика*
Теоретическая и прикладная механика
Комплексный анализ*
Индекс
компетенции
Теория вероятностей, математическая статистика, случайные процессы*
Циклы, дисциплины (модули)
учебного плана ОП бакалавриата
Б.1. Дисциплины (модули)
8 семестр
+
*- дисциплина базовой части
14
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных
этапах их формирования, описание шкал оценивания
ПК-1
Код компетенции
Таблица 7.
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
Виды занятий (лекции, семипороговый
базовый (хор.)
повышенный
нар
(удовл.)
76-90 баллов
(отл.)
ские, прак61-75 баллов
91-100 баллов
тические,
лабораторные)
Лекции,
Знает:
Знает:
Знает:
практичеПриемы и мео применении о применении
ские занятия
тоды определения общих
форм и закономерностей
дифференциальной геометрии и топологии
общих форм и
закономерностей дифференциальной
геометрии в
различных областях будущей профессиональной
деятельности
Умеет:
применять знания по дифференциальной
геометрии и
топологии в
профессиональной деятельности с
внешней помощью, строить простейшие математические модели
при решении
конкретных
задач
Умеет:
применять
знания по
дифференциальной геометрии и топологии в
профессиональной деятельности в
стандартной
ситуации
общих форм и
закономерностей дифференциальной геометрии в различных областях будущей
профессиональной деятельности и смежных
видах деятельности
Умеет:
применять знания по дифференциальной
геометрии и топологии в профессиональной
деятельности
самостоятельно
в любой ситуации
Оценочные
средства (тесты, творческие работы,
проекты и
др.)
Тестовые задания, контрольные работы, коллоквиумы, домашние задания
ОПК - 2
Владеет:
методами дифференциальной
геометрии и
топологии при
решении задачи по образцу
Знает:
приемы и методы решения
простейших
задач по образцу
Умеет:
правильно и
полно объяснить ход решения простейших задач; восстанавливает
частные приемы; выполняет
чертеж к задаче
Владеет:
приемами и
методами решения простейших задач
по образцу
Владеет:
методами
дифференциальной геометрии и топологии при
решении стандартной задачи
Знает:
приемы и методы решения
стандартных
задач
Владеет:
методами дифференциальной
геометрии и топологии при
решении любой
задачи
Умеет:
пояснять ход
решения стандартных задач; поясняет
выполнение
чертежа по
решению задачи
Умеет:
находить общие
моменты решения профессиональных задач
Владеет:
приемами и
методами решения стандартных задач
Владеет:
приемами и методами решения
не стандартных
задач по
Знает:
приемы и методы решения не
стандартных
задач
Лекции,
практические занятия
Тестовые
задания,
контрольные работы,
коллоквиумы, домашние задания
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для
оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей
этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной
программы.
Контрольные работы
Контрольная работа № 1
1. Каким условиям удовлетворяет пара (Х,Ф) – топология?
2. Верно ли, что внутренняя точка является внешней точкой его дополнения? Почему?
3. Докажите теорему «Для любого множества Н множество внутренних
точек открыто».
16
4. Что является окрестностью точки в тривиальной топологии? Почему?
5.Что является базисом в дискретной топологии? Пояснить.
6. Определите множество внутренних, внешних и граничных точек в
естественной топологии
М= {(х,у)/ х2+у2<4}
7. Связен ли отрезок на прямой? Почему?
8. Является ли пространство с тривиальной топологией хаусдорфовым?
Почему?
9. Что является компонентой точки в дискретной топологии? Почему?
10. Дайте определение точки прикосновения
11. Докажите теорему «Компактное множество хаусдорфова пространства замкнуто».
12. Постройте топологию для множества, состоящего из 5 элементов.
13.Определите эйлерову характеристику сферы с одной дыркой.
14. Гомеоморфны ли гиперболоид и пара параллельных плоскостей? Почему?
Контрольная работа № 2
1. Построить линию
2. Написать уравнение нормали и касательной плоскости к поверхности
3.
4.
Найти кривизну и кручение линии
Вычислить длину дуги кривой
при t=-2/
y = ln cos x
между точками
5. Определить первую квадратичную форму поверхности и вычислить
площадь области поверхности, ограниченной линиями u = 0, u = 3, v =
0, v = 1: x = u cos v, y = u sin v, z = 3 v .
Итоговый тест по разделу геометрии «Дифференциальная геометрия»
(каждый правильный ответ – 3 балла)
1. Вставить пропущенное слово (словосочетание, цифру, букву), чтобы
предложение было истинным:
«Вектор-функция
r(t) дифференцируема в точке t, если существует

lim
t  0
_________  r (t )
 lim
.
t  0 t
t
2. Для кривой найти векторы, прямые и плоскости трехгранника Френе:

r (t )  2e t ;2e  t ;2 2t  при t=0
17
3. Выберите из предложенных
вариантов правильную запись разложения



  


r (t )   x(t )i  y (t ) j  z (t )k
вектора r (t ) по базисам i , j , k :
а)




б) r (t )  z (t )i  y (t ) j  x(t )k




в) r (t )  x(t )i  y (t ) j  z (t )k
г) _____________________
(указать свой вариант)
 



4. В равенстве rt (t )  x(t )i  y(t ) j  z(t )k , rt  определяет:
а) вторую производную вектор-функции;
б) вторую квадратичную
форму;
в) первую квадратичную форму
г) ____________________
(указать свой вариант).
5. Из предложенных вариантов найти значение выражения


r (t  t )  r (t )
lim
:
t 0
t

а) r (t )


б) r (t )
в) r (t )
6. Для кривой найти уравнение касательной линии и нормальной плоскости
х
1 2 1 4
1
1
t  t ; y  t 2  t3
2
4
2
3
в точке t=1.
7. Найдите ошибку в определении и исправьте её:
а) Если длина дуги кривой бесконечна, то дуга называется спрямляющей.
б) Длиной дуги кривой называется точная нижняя граница длин всевозможных правильно вписанных в неё ломаных.

8. Запишите равенства соответствующие формулам Френе: а)

db

ds

dn

в)
ds
dt

ds
б)
x  x
9. Определить кривизну и кручение кривой: 
 y  2 x3  x 2  6
10. Сколько векторов, прямых и плоскостей образуют трехгранник Френе:
а) (2, 3, 3);
б) (3, 3, 3)
в) (3, 2, 3)
г) (3, 3, 2)
11. Найти первую квадратичную форму поверхности:
x  sin u  2v;
y  cosu  3v;
z  12v
12. Исключите из предложенных свойств первой квадратичной формы неверные:
а) первая квадратичная форма поверхности является положительной;
б) первые квадратичная форма не зависит от выбора параметризации поверхности;
в) первая квадратичная форма поверхности является отрицательно определённой;
г) первая квадратичная зависит от выбора параметризации поверхности.
18

 
r r
ru  rv
13. В каком случае вектор m  u v является нормалью к поверхности:

а) если r (u, v) - некоторая параметризация поверхности;
б)

r (u, v) - вектор-функция;

в) если r (u, v) - частная производная;
г)
__________________ (указать свой вариант).
15. Уравнением какой плоскости, является следующее равенство:
x  x(u, v)
xu (u, v)
xv (u, v)
y  y(u, v)
yu (u, v)
yv (u, v)
если
z  z (u, v)
zu (u, v)  0
zv (u, v)
а) псевдоевклидовой плоскости;
б) проективной плоскости;
в) ____________________ (указать свой вариант)
Темы коллоквиумов
3 семестр
Студент должен знать:
формулы
1. Кривизны
2. Кручения
3. Бинормали
4. Касательной
5. Главной нормали
6. Соприкасающейся плоскости
7. Нормальной плоскости
8. Спрямляющей плоскости
9. Дины дуги
10.Кривизны в естественной параметризации
11.Кручения в естественной параметризации
12.Кривизны в координатном виде
13.Вектора касательной к линии
14.Вектора кривизны линии
15.Вектора главной нормали
16.Первая формула Френе
17.Вторая формула Френе
18.Третья формула Френе
19.Винтовой линии
20.Нормали поверхности в точке Х
21.Касательной плоскости к поверхности в точке Х
22.Первой квадратичной формы
23.Длины дуги кривой на поверхности
24.Угла между кривыми на поверхности
25.Площади области
26.Второй квадратичной формы
19
27.Коэффициентов второй квадратичной формы
28.Уравнения циклоиды
29.Коэффициентов Кристоффеля
определения
1. Регулярной кривой
2. Касательной
3. Соприкасающейся плоскости
4. Единичного вектора касательной
5. Длины дуги
Вывод формул
1. Касательной к плоской кривой
2. Кривизны
3. Кручения
4. 1-й формулы Френе
5. 3-й формулы Френе
6. 2-й формулы Френе
7. Коэффициентов второй квадратичной формы.
Вопросы к зачету
1. Способы задания плоской кривой. Касательная.
2. Пространственная линия. Репер Френе.
3. Кривизна и кручение линии. Натуральные уравнения.
4. Эволюта и эвольвента линии.
5. Гладкая поверхность. Касательная плоскость и нормаль.
6. Первая квадратичная форма поверхности и её роль.
7. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна линии на поверхности.
8. Полная и средняя кривизны поверхности.
9. Деривационные формулы поверхности.
10.Символы Кристоффеля и их вычисление.
11. Метрические пространства. Примеры.
12. Топологические пространства. Примеры.
13. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы.
14. Компактность и связность топологического пространства.
15. Гладкие многообразия. Примеры.
10.4. Методические
материалы,
определяющие
процедуры
оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности
характеризующих этапы формирования компетенций.
Текущая аттестация:
Контрольные работы;
Коллоквиум;
Тестирование (письменное) по разделам дисциплины.
20
Промежуточная аттестация:
Тестирование по дисциплине;
Зачет (письменно-устная форма). Зачет оценивается по системе: незачтено, зачтено.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой (100-балльной) и традиционной
(4-балльной) систем оценок.
Оценка студента в рамках рейтинговой системы оценок является интегрированной оценкой выполнения студентом заданий во время практических занятий, индивидуальных домашних заданий, контрольной работы, сдачи коллоквиумов и результатов тестирования. Эта оценка характеризует уровень сформированности практических умений и навыков, приобретенных студентом в
ходе изучения дисциплины.
11. Образовательные технологии.
При организации самостоятельной работы применяются технологии проблемного обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при
самостоятельном изучении теоретического материала), дифференцированного
обучения, репродуктивного обучения, проектная технология, а также современные информационные технологии обучения.
В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные и интерактивные методы и формы обучения: проблемное практическое
занятие, работа в малых группах, дискуссия, самостоятельная работа с учебными материалами, представленными в электронной форме, защита проектов.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля).
12.1 Основная литература:
1. Асташова, И.В. Геометрия и топология [Электронный ресурс] учебнометодический комплекс / И.В. Асташова, В.А. Никишкин. - 4-е изд., испр. и
доп. - М.: Евразийский открытый институт, 2011. - 258 с. – Режим доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=90953 (дата обращения 1.10.2014)
2. Бурова, Н. А. Дифференциальная геометрия [Электронный ресурс]:
учебно-методическое пособие / Н. А. Бурова, Ю. Н. Ковшова, Л. В. Лапина:
учебно-методическое пособие/ Н. А. Бурова, Ю. Н. Ковшова, Л. В. Лапина; Новосиб. гос. пед. ин-т. - Новосибирск: НГПУ, 2013. - 132 с. – Режим доступа:
http://icdlib.nspu.ru/catalog/details/icdlib/644444/ (дата обращения 1.10.2014)
3. Львова, Л. В. Дифференциальная геометрия [Электронный ресурс] :
учебное пособие для мат. специальностей пед. вузов / Л. В. Львова, К. О. Кизбикенов: учебное пособие для мат. специальностей пед. вузов/ Л. В. Львова;
науч. ред. К. О. Кизбикенов ; Алтайская гос. пед. акад.. - Барнаул: [б. и.], 2011. -
21
107 с. – Режим доступа: http://icdlib.nspu.ru/catalog/details/icdlib/645021/ (дата
обращения 1.10.2014)
Дополнительная литература:
1. Мищенко, А. С. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии : учеб. пособие / А. С. Мищенко, Ю. П. Соловьев, А. Т. Фоменко. - 2-е
изд., перераб. и доп. - Москва : Физматлит, 2004. - 412 с.
2. Сборник задач по геометрии: учебное пособие для вузов по направлению 050100 "Педагогическое образование"/ С. А. Франгулов [и др.]. - 2-е изд.,
доп. - Санкт-Петербург: Лань, 2014. - 256 с.
3. Шаров, Г.С. Сборник задач по дифференциальной геометрии [Электронный ресурс]/ Г.С. Шаров, А.М. Шелехов, М.А. Шестакова. - М.: МЦНМО,
2005. - 112 с. - ISBN 5-94057-207-3. – Режим доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=63244. (дата обращения 1.10.2014)
12.3 Интернет-ресурсы:
1. Федеральный портал «Российское образование»: http://www.edu.ru /.
2. Федеральное хранилище «Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов»: http://school-collection.edu.ru /.
3. Научная электронная библиотека eLIBRARY.RU: http://elibrary.ru /.
13. Перечень информационных технологий, используемых при
осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая
перечень программного обеспечения и информационных справочных систем
(при необходимости).
1. Microsoft Word.
2. Microsoft Excel.
3. Microsoft PowerPoint.
14. Технические средства
дисциплины (модуля).
и
материально-техническое обеспечение
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических
занятий, в частности, оснащенные интерактивной доской и/или
проектором.
15. Методические указания для обучающихся по освоению
дисциплины (модуля).
Методические указания при решении домашних работ
Домашняя работа к плану № 7
22
(номер варианта задания соответствует последней цифре зачетной книжки)
Для кривой найти уравнение касательной линии и нормальной плоскости.
Кривая задана как вектор функция:
1
1
1
1
0 в.) х  t 2  t 4; y  t 2  t 3 в точке t=1.
2
4
2
3
 
2 в.) r  a ln t,a2 cost, sin at в любой точке кривой




 
3 в.) r  сost ,2 sin 2 t,2t  sin 2t  в любой точке кривой.




5 в.) r  sin t , cos t , tgt  в точке t  .
4
1
1
6 в.) х  t  ; y  t  в точке (2; 0).
t
t
  2 t
7 в.) r  t , t , e в точке (0; 0; 1).





8 в.) r  tgt 2 , cost,t 2  в любой точке кривой.



9 в.) r  ln t, t 2 , cos t 2  в любой точке кривой


Для кривой на плоскости напишите уравнение касательной и нормали:
1 в.) 2х2 – х2 у2 – 3х + у + 7=0 в точке (1; -2).
4 в.) х2у – х2 + 3х -6 =0 в точке с абсциссой х=3.
Домашняя работа к плану № 8
(номер варианта задания соответствует последней цифре зачетной книжки)
Определить кривизну и кручение кривой:




0 в.) r  2e2t  i  4 2t  j  2e2t  k




1 в.) r  (3t  t3)  i  3t 2  j  (3t  t3)  k




2 в.) r  cost  i  sin t  j  (t3  9t )  k




3 в.) r  2t  i  ln t  j  t 2  k
 x  a(t  sin t )
, где
a  const.
4 в.) 
 y  a(1  cost )
x  x
5 в.) 
3
2
 y  2x  x  6





6 в.) r  cos3 t  i  sin 3 t  j  cos2t  k




7 в.) r  (et cos2t )  i  (et sin 2t )  j  et  k
23




8 в.) r  (t  sin t )  i  (1  cos t )  j  sin t  k




9 в.) r  2e2t  i  4 2t  j  2e2t  k
Домашняя работа к плану № 9
(номер варианта задания соответствует последней цифре зачетной книжки)
Для вариантов 0 – 5. Найти вектора, сопровождающие трехгранник Френе
кривой:
 
t
t
0 в.) r  2t;3sin ;3cos 
2
2


1 в.) r  3sin t;3cost;t

2 в.) r  e2t ; e 2t ;2t 2 




t
 t





3 в.) r  3e 3 ;3e 3 ; 2t 







4 в.) r  t sin t; t cos t; tet в начале координат

5 в.) r  cos3 t;sin 3 t; cos2t 


Для вариантов 6 – 7. Составить уравнения бинормали и спрямляющей
плоскости для кривой:

6 в.) r  ctgt, sin 3t 2 ,t 

  t 2 2t 3 t 4 
7 в.) r   ; ; 
2 3 2

Для вариантов 8 – 9. Составить уравнение соприкасающейся плоскости
для кривой:

8 в.) r  ctgt, sin 3t 2,t 



9 в.) r  2t  sin 2t;2sin 2 t; cost 


Домашняя работа к плану № 12
(номер варианта задания соответствует последней цифре зачетной книжки)
Для вариантов 0-3. Определить угол между вектором нормали поверхности:
0 в.) x  sin v  u;
1 в.) x  sin u  2v;
y  cosv  u;
y  cosu  3v;
z  u  a и плоскостью YOZ.
z  12v и плоскостью XOY.
24
2 в.) x  u; y  v; z 
3 в.) x  u cosv;
u 2 v2

где
p  0, q  0 и плоскостью YOZ.
2 p 2q
y  u sin v;
z  u и плоскостью YOZ.
Для вариантов 4 – 6. Найти первую квадратичную форму поверхности:
4 в.) x  sin u  2v;
y  cosu  3v;
z  12v
u 2 v2

где
p  0, q  0 , где a-const.
5 в.) x  u; y  v; z 
2 p 2q
6 в.) x  sin v  u;
y  cosv  u;
z ua
Для вариантов 7 – 9. Вычислить угол между линиями:
7 в.) u+v=0, u-v=0 на поверхности, если I  d 2u  (u 2  a2 )d 2v , где a-const.
1
1
8 в.) u  av2;
u  av2 на поверхности, если I  d 2u  (u 2  a2 )d 2v , a2
2
const.
9 в.) u=v и u – линией на поверхности x  p (u  v),
y  q (u  v),
z  2uv;
где p 0, q 0 .
Домашняя работа к плану № 15
(номер варианта задания соответствует последней цифре зачетной книжки)
Для вариантов 0-4. Определить вторую квадратичную форму поверхностей:
y  a sin v,
z  u , где a-const
0 в.) кругового цилиндра x  a cosv,
y  (a  b cosu) sin v,
z  b sin u , где a, b 1 в.) тора x  (a  b cosu) cosv,
const
y  u sin v,
z  bu , где b - const
2 в.) винтовой поверхности x  u cosv,
3 в.) гиперболического параболоида z  x2  y 2
4 в.) поверхности вращения x  u cosv,
const
y  u sin v,
z  f (u)  av , где a-
Для вариантов 5-9. Определить главные кривизны поверхностей:
y  (a  b cosu) sin v,
z  b sin u , где a, b 5 в.) тора x  (a  b cosu) cosv,
const
y  u sin v,
z  bu , где b - const
6 в.) винтовой поверхности x  u cosv,
y  u sin v,
z  f (u)  av , где a7 в.) поверхности вращения x  u cosv,
const
y  a sin v,
z  u , где a - const
8 в.) кругового цилиндра x  a cosv,
9 в.) гиперболического параболоида z  x2  y 2
25
26