Лекция №2_Производная и дифференциал функции

Производная и дифференциал функции.
Опред: Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения
функции в этой точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
f
f ( x )  lim
.
x  0 x
Физический смысл производной: Производная – это скорость изменения функции в
фиксированной точке.
S – путь, V – скорость.
а – ускорение.
Геометрический смысл производной: производная - это угловой коэффициент наклона
касательной к графику функции в фиксированной точке.
Основные правила дифференцирования:
1)
2)
3)
4)
5)
с = 0
(сu) =сu
(u  v) = u  v
(uv) = uv + uv

u  u v  v u
, если v  0

v
v2
Таблица производных основных элементарных функций.
 

n 1
1. x n  nx
 x   2 1 x
2.


4. e x  e x
 
 1
6. ln x  
x
1 
1

x
x2

5. a x  a x ln a
3.
 
1

7. log a x 
x ln a



8. sin x   cos x

9. cos x    sin x

10 . tgx  

11 . ctgx  
1
cos 2 x
1

12 . arcsin x  
1 x 2
1

14 . arctgx 
1 x 2
1
sin 2 x
1

13 . arccos x   
1 x 2
1

15 . arcctgx  
1 x 2
Производная сложной функции.
Теорема: Пусть y = f(u) и u = φ(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная
функция y= f(φ(x)) есть также дифференцируемая функция, причем
y   f ( (x))  ( x ) , т.е.
Производная сложной функции равна произведению производной внутренней функции на
производную внешней функции.
Дифференциал функции.
Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:
f ( x ) 
y
 f ( x ) ,
x
y  f ( x ) x   x .
Тогда можно записать:
y
lim
x  0 x
где 0, при х0.
Следовательно:
Величина x- бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x)x, т.е. f(x)x- главная
часть приращения у.
Опред: Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть
приращения функции.
Обозначается dy или df(x). Итак,
dy = f(x)dx.
Можно также записать: f ( x )
dy
dx
Свойства дифференциала.
Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из
определения дифференциала следуют следующие свойства:
1) d(u  v) = (u  v)dx = udx  vdx = du  dv
2) d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv
3) d(Cu) = Cdu
 u  vdu  udv
4) d   
v2
v
Применение производной:
1. Для вычисления пределов.
Правило Лопиталя: Пусть lim f ( x)  lim g ( x)  0čëč  . И пусть существуют f(x) и g(x)
x a
x a
. Тогда
lim
x a
f ( x)
f ( x)
 lim
g ( x) xa g ( x)
Замечание: Правило Лопиталя можно применять повторно для вычисления одного и того
же предела.
2. Для составления уравнения касательной к графику функции.
Уравнение касательной:
3. Для исследования функций и построения их графиков.
Схема исследования функции:
1) Найти область определения функции, область значения функции.
2) Проверить симметрию функции: четность, нечетность.
3) Найти точки пересечения графика с осями координат. Для этого решить уравнения:
х=0; у=0.
4) Найти интервалы монотонности функции, её экстремумы. Для этого решить
уравнение
. Полученные корни уравнения являются точками возможного
5)
6)
7)
a)
экстремума и разбивают область определения на интервалы. Находим знак
производной на каждом интервале
– функция возрастает,
–
убывает.
Найти точки максимума и минимума, максимальное и минимальное значение
функции на ее области определения.
Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба графика
функции. Для этого решаем уравнение
. Полученные корни уравнения
разбивают область определения на интервалы. Находим знак второй производной
на каждом интервале
– функция вогнута,
– выпукла.
Найти асимптоты графика – прямые, к которым неограниченно приближается
график функции, но никогда их не пересекает.
Вертикальная асимптота – это прямая х=а, где а – точка разрыва функции
b) Наклонная асимптота y  kx  b, где k  lim
x 
f ( x)
, b  lim  f ( x)  kx.
x 
ő
c) Горизонтальная асимптота – это прямая y  kx  b при k  0 .
8) Построить график функции, используя полученные результаты исследования.
Решение типовых заданий.
1. Найдите производные следующих функций:
a) y  11x  2 x 
3
3
2
3
x
 0,95
2
y  11x  2 x  3 x
3
Запишем данную функцию следующим образом:
y  (11x  2 x  3 x

2
3
 0,95) 

 2 
 11( x 3 )  2( x 2 )  3 x 3   (0,95) 




3
2
5
 2 
 11  3 x  2  2 x  3   x 3  0 
 3
2
 33 x 2  4 x 
3 5
x
3
b) y  ( x  1) sin x

y  ( x 3  1) sin x  ( x 3  1) sin x  ( x 3  1) sin  x 
2




 ( x 3 )  (1) sin x  ( x 3  1) sin  x 
 (3x 2  0) sin x  ( x 3  1) cos x 
 3x 2 sin x  ( x 3  1) cos x
2

2
3
 0,95
c) y 
2x  3
3x  7

 2 x  3  (2 x  3)(3x  7)  (2 x  3)(3x  7)
y  

 
(3x  7) 2
 3x  7 
2( x)  (3)(3x  7)  (2 x  3)3( x)  (7) 

(3x  7) 2
2(3x  7)  (2 x  3)3 6 x  14  6 x  9



(3x  7) 2
(3x  7) 2
5

(3x  7) 2
2. Найдите производные сложных функций:
a) y  (1  5 x)
3
Здесь внешней функцией является степенная функция, а внутренней функцией
(1  5 x)
– выражение



y  (1  5 x)3  3(1  5 x) 2  (1  5 x) 
 3(1  5 x) 2  5  15(1  5 x) 2
b) y  sin 3x
Здесь внешней функцией является функция sin, а внутренней функцией –
выражение 3х.
y  (sin 3x)  cos 3x  (3x)  3 cos 3x
3. Решите задачу:
В результате значительной потери крови содержание железа в ней уменьшилось на
210 мг. Недостаток железа вследствие его восстановления с течением времени t
уменьшается по закону
мг/сут. Найти зависимость скорости
восстановления железа в крови от времени. Вычислить эту скорость в момент t=0 и
через 7 суток.
Решение:
Вычислим скорость восстановления железа. Для этого воспользуемся физическим
смыслом производной:
.
Знак «-» показывает на
уменьшение недостачи железа.
При t=0
При t=7
4. Вычислите
дифференциал
функции
.
5. Вычислите предел функции, используя правило Лопиталя.
a)
1  cos x  0 
(1  cos x)
lim
    lim


0
 x  0 (2 ő2 )
x  0 2 ő2
.
sin x 1
 lim

4
x
4
x0
e x  e x  2x 0 
(e x  e  x  2 x)
b) lim
    lim

x 0
x  sin x
 0  x 0 ( x  sin x)
e x  e x  2 0 
(e x  e  x  2)
 lim
    lim

x  0 1  cos x
 0  x  0 (1  cos x)
e x  e x 0 
(e x  e  x )
 lim
    lim

x  0 sin x
 0  x  0 (sin x)
e x  e x 2
lim
 2
x  0 cos x
1
6. Составьте уравнение касательной к графику функции
точке
Запишем общий вид уравнения касательной:
.
в
7. Исследуйте функции методом дифференциального исчисления, постройте их
графики.
a)
.
1) Областью определения данной функции являются все действительные значения
аргумента х, то есть
.
2)
Функция общего вида.
3) Точки пересечения с осями координат:
С осью ОХ:
,
,
,
С осью OY:
.
4) Исследуем функцию на экстремум и интервалы монотонности. С этой целью
найдем ее производную и приравняем к нулю:
. Решая данное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что
функция имеет две критические точки
. Разбиваем область
определения этими точками на части и по изменению знака производной в них
выделяем промежутки монотонности и наличие экстремума:
x
-5
0
max
+
-
-1
0
min
+
5)
;
.
6) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и
вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и
приравняем ее к нулю:
Итак, функция имеет одну критическую точку
Разобьем область определения
полученной точкой на части, на каждой из которых установим знак второй производной.
x
Значение
точки
-3
0
т.п.
является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой
7) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для
определения параметров уравнения асимптоты y  kx  b воспользуемся
формулами k  lim
x 
Имеем
f ( x)
, b  lim  f ( x)  kx.
x 
ő
1 3
( x  9 x 2  15 x  9)
1
9
k  lim 4
 lim ( x 2  9 x  15  )  
x 
x  4
ő
x
Таким образом, у
графика заданной функции наклонных асимптот нет.
8) Построим график функции.