Лекции. Часть II - Санкт–Петербургский государственный

Министерство образования и науки Российской Федерации
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный университет технологии и дизайна»
Г. П. МЕЩЕРЯКОВА
МАТЕМАТИКА
Часть 2
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Санкт-Петербург
2013
1
УДК 512.64 + 514.74 +517(075.8)
ББК 22.143.+ 22.151+ 22.161я73
М 56
Рецензенты
доктор физико-математических наук профессор Санкт-Петербургского
государственного университета В. В. Максимов и доктор технических наук
профессор ФГБОУВПО «Санкт-Петербургский государственный университет
технологии и дизайна» В. И. Пименов
М 56
Мещерякова Г.П.
Математика . Ч. 2: курс лекций: учеб. пособие – СПб.:
ФГБОУВПО «СПГУТД»,2013. – 76 с.
ISBN 978-5-7973-0834-0
ISBN 978-5-7973-0836-7
Во второй части пособия приведены необходимые
теоретические сведения и формулы по следующим разделам курса
математики: интегральное исчисление, функции двух переменных,
ряды.
Даны решения типовых задач,
Предназначено для студентов вузов.
УДК 512.64 + 514.74 +517(075.8)
ББК 22.143.+ 22.151+ 22.161я73
ISBN 978-5-7973-0834-0
ISBN 978-5-7973-0836-7
© ФГБОУВПО «СПГУТД», 2013
© Мещерякова Г. П., 2013
2
Введение
Учебное пособие содержит теоретический материал и примеры по следующим
разделам курса математики:
Часть 1. Линейная и векторная алгебра. Геометрия на плоскости и в пространстве.
Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
Часть 2.интегральное исчисление. Основные понятия теории функций двух
переменных. Дифференциальные уравнения. Последовательности и ряды.
Такое деление на части соответствует делению на семестры двух семестрового курса
математики. В некоторых программах предусматривается несколько иное расположение
разделов – «Теория функций двух переменных» предшествует разделу «Интегралы». Такая
перестановка вполне допустима и не мешает изучению курса.
Пособие содержит большое число примеров, что облегчает понимание теоретического
материала и удобно при выполнении контрольных работ студентами безотрывных форм
обучения.
Пособие может быть использовано и при самостоятельной работе студентов и при
работе с преподавателем в аудитории.
3
Раздел 5. Первообразная и неопределенный интеграл
Глава 1. Определение первообразной. Свойства первообразной.
Операция нахождение производной от функции называется дифференцированием.
Обратная дифференцированию операция - отыскание функции по ее производной называется
интегрированием.
Функция F(x), производная которой равна функции f(x), т.е.
F(x) = f(x)
(1.1)
называется первообразной для f(x).
Так, например, если f(x) = xn, то ее первообразная есть F(x) =
x n1
, так как
n1
'
 x n 1 
xn
F '( x)  

(
n

1)
 xn .

n 1
 n 1 
Tсли же f(x) = sin (2x), то ее первообразная
F(x) = - 0.5 cos(2x),
так как
F '( x)   0.5cos(2 x)   0.5( sin(2 x))  2  sin(2 x) .
'
Теорема. Пусть F1(x) и F2(x) две первообразные одной и той же функции f(x) на
промежутке [a,b]. Тогда разность между ними есть постоянная величина С.
Доказательство. Обозначим за Ф(х) разность между F2(x) и F1(x), т.е. Ф(х) = F2(x) - F1(x) и
возьмем производную от функции Ф(х)
 '( x)  ( F2 ( x)  F1 ( x)) '  F2 '( x)  F1 '( x)  f ( x)  f ( x)  0
(1.2)
Единственной функцией, производная которой при любом значении х равна нулю,
есть постоянная величина, следовательно Ф(х) = const ≡ C и
F2(x) = F1(x) + С.
(1.3)
Константа С называется постоянной интегрирования.
Пример. Функция F(x) = – 0.5 cos(2x) является первообразной не только для f(x) =
sin(2x), но и для f(x) = sin(2x) + 4, и для f(x) = sin(2x) - 3 , и вообще для любой функции
вида sin(2x) + C
Следствие. Функция f(x) имеет бесконечное множество первообразных {F(x)}вида
F(x) + C, отличающихся на постоянную величину.
4
Глава 2. Определение неопределенного интеграла. Свойства неопределенного
интеграла.
Множество всех первообразных функции
интегралом от этой функции и обозначается так
f(x)
называется
 f ( x)dx  F ( x)  C ,
где  - знак интеграла, читается “интеграл”,
f(x) - подынтегральная функция от переменной интегрирования х,
f(x)dx - подынтегральное выражение,
C - постоянная интегрирования.
Часто вместо слов "вычислить неопределенный интеграл"
неопределенный интеграл".
неопределенным
(2.1)
говорят
"взять
Из определения интеграла следует, что
1. Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции.
Действительно
(  f ( x) dx ) = (F(x) + C) = F (x) + 0 = f(x).
(2.2)
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению.
Действительно, так как dF = F (x)dx, получим
d(  f ( x) dx ) = (  f ( x) dx )dx = f(x)dx.
(2.3)
3. Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной.
Действительно, пусть F(x) - первообразная для функции f(x) ( т.е. F(x) = f(x)). Тогда

F(x)dx =
 f ( x)dx = F(x) + C
(2.4)
или
 dF  x  = F(x) + C
(2.5)
Формулы (2.2 – 2.5) наглядно иллюстрируют то обстоятельство, что операции
дифференцирования и интегрирования взаимно обратны с точностью до постоянной. В этой
связи по аналогии с таблицей формул дифференцирования элементарных функций можно
построить таблицу основных интегралов.
Справедливость этих формул проверяется по формуле (1.1) непосредственным
дифференцированием.
Линейные свойства неопределенного интеграла.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.
5
 cf ( x)dx  c  f ( x)dx
(2.6)
Действительно, возьмем производную от левой и правой частей равенства по формуле
(2.2) и проверим, что они совпадают, а это означает, что оба выражения есть первообразные
одной и той же функции (1.2).
  cf ( x)dx  '  cf ( x)
 c f ( x)dx  '  c( f ( x)dx) '  cf ( x) .
Таблица основных интегралов
 dx  x  C
a
 x dx 

x a 1
C
a 1
 e dx  e
x
a  1
dx
 ln x  C
x
 sin( x)dx   cos( x)  C
 cos( x)dx  sin( x)  C
ax
 a dx  ln a  C
x
x
C
1
1
x
dx  arctg    C
2
x
a
a
1
 x
 a2  x2 dx  arcsin  a   C
1
1
xa
 a 2  x 2 dx  2a ln x  a  C
1
 cos2 x dx  tgx  C
1
 sin 2 x dx  ctgx  C
a
2
2. Неопределенный интеграл от суммы
неопределенных интегралов от этих функций.
 ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx
функций
равен
сумме
(2.7)
Доказательство аналогично.Действительно, возьмем производные от левой и правой части и
проверим, что они совпадают. По формуле (2.2)
  ( f ( x)  g ( x))dx  '  f ( x)  g ( x)
  f ( x)dx   g ( x)dx  '  ( f ( x)dx) ' ( g ( x)dx) '  f ( x)  g( x)
Замечание. Если каждый из суммируемых неопределенных интегралов содержит свою
постоянную интегрирования, то для всей суммы записывается одна постоянная
интегрирования.
6
Пример. Найти
 sin
2
1
dx .
( x) cos 2 ( x)
Решение.Запишем стоящую в числителе единицу в тригонометрическом виде (1 = sin 2x +
cos2x) и разделим почленно числитель на знаменатель, получим табличные интегралы:
1 
dx
dx
1
sin 2 x  cos 2 x
 1
dx

 sin 2 x  cos2 x  sin 2 x  cos2 x dx     cos2 x  sin 2 x dx   cos 2 x   sin 2 x 
 tgx  C1  ctgx  C2  tgx  ctgx  C.
Глава 3. Методы интегрирования
Для вычисления неопределенных интегралов часто используют так называемые
стандартные методы интегрирования. Перечислим основные из них.
Метод замены переменной. Добиться упрощения подынтегрального выражения
можно при помощи метода замены переменной интегрирования. Суть этого метода
заключается в замене переменной интегрирования х на некоторую непрерывную функцию х
= (t), имеющую непрерывную производную φ’(t) и обратную функцию t  1 ( x) , с тем,
чтобы преобразовать исходный интеграл к более простому виду. Тогда
dx   '(t )dt
и
 f ( x)dx   f ( (t )) ' (t )dt
(3.1)
Формула (3.1) называется формулой замены переменной под знаком
неопределенного интеграла. Априорных рекомендаций по эффективному применению этой
формулы не существует и все зависит от интуиции и опыта исследователя.
Для доказательства, как мы это делали ранее, возмем производные по переменной х от левой
и правой части и проверим, что они совпадают (формулы 2.2, 2.3)
  f ( x)dx  '  f ( x)
Для вычисления производной от правой части вспомним, что f '( x) 
df ( x)
. Тогда
dx
d  f ((t )) '(t )dt  f ((t )) '(t )dt

 f ((t ))  f ( x)
  f ((t )) '(t )dt  '   dx
 '(t )dt
x
Алгоритм метода замены переменной следующий. Вначале необходимо найти замену
переменной интегрирования x = (t), записать интеграл с новой переменной интегрирования
t, вычислить его, а затем вновь вернуться к исходной переменной интегрирования,
использовав обратную функцию t  1 ( x) .
7
Простейшие замены. К простейшим относятся линейная замена и замена типа
«подведение под знак дифференциала».
Линейная замена основана на следующем соотношении. Пусть интеграл
 f ( x)dx  F ( x)  C
является табличным. Тогда можно вычислить интеграл от функции f (ax+b)
1
 f (ax  b)dx  a F (ax  b)  C .
(3.2)
Для доказательства возьмем производные от левой и правой части равенства (3.2)
  f (ax  b)dx  '  f (ax  b)
1
1
1
 1

 F (ax  b)  C  '   F (ax  b)  ' C '  F '(ax  b)  0  f (ax  b)  a  f (ax  b)
a
a
a
 a

Пример 1. Вычислить
1
 2 x  1 dx .
Решение. За базовый возьмем табличный интеграл

dx
 ln x  C .
x
Тогда
1
a  2
1
 2 x  1 dx  b  1   2 ln 2 x  1  C
Пример 2. Вычислить  cos(5  3 x)dx .
Решение. За базовый возьмем табличный интеграл
 cos( x)dx  sin( x)  C
Тогда
 a  3
1
   3 sin(5  3x)  C .

 cos(5  3x)dx  b  5
Замена типа подведение под знак дифференциала основана на формуле
 f ( x)  t

F
(
f
(
x
))
f
'(
x
)
dx

 f '( x)dx  dt    F (t )dt  C



8
(3.3)
т.е. в данном случае сделав замену f ( x)  t , x = f – 1(t) мы проверяем, есть ли под знаком
интеграла dt, а не находим dx.
e arctg( x )
 1  x 2 dx .
Решение. Особенностью данного интеграла является то обстоятельство, что его
dx
,
подынтегральное выражение содержит сомножитель
который является
1  x2
дифференциалом функции arctg x. Поэтому в данном интеграле целесообразно ввести
замену переменной:
Пример 3. Найти
t = arctg x.
Отсюда
dt = d(arctg(x)) =
1
dx и
1  x2
earctg x = et.
Подставляя в исходный интеграл, имеем
e arctg( x )
t
t
 1  x 2 dx =  e dt  e  C  earctg x + C.
Пример 4. Найти  sin 3 x  cos 2 dx .
Решение. Здесь уместна замена
t = cos x,
т.к. dt = - sin x dx, и sin3x dx = sin2x sinx dx = (1 – cos2(x)) sinx dx.
Поэтому
 sin x  cos
3

2
x  dx   (1  cos 2 x)  cos 2 x  (sin x  dx)    (1  t 2 )  t 2  dt   (t 4  t 2 )  dt 
t5 t3
cos5 x sin 3 x
 C 

 C.
5 3
5
3
Метод интегрирования по частям. Пусть u(x) и v(x) две дифференцируемые функции.
Метод интегрирования по частям позволяет вычислять интегралы от произведений функций
и основан на формуле
 u ( x)dv( x)  u ( x)v( x)   v( x)du ( x)
(3.4)
или, в развернутом виде ,
9
 u( x)v '( x)dx  u( x)v( x)   v( x)u '( x)dx
(3.5)
Эта формула носит название формулы интегрирования по частям. Ее применение
полезно в тех случаях, когда подынтегральное выражение можно представить в виде
произведения двух функций f ( x)  u ( x)  v( x) и выражение v( x)  du  v( x)  u ( x)dx для взятия
интеграла проще, чем подынтегральное выражение u ( x)  dv( x)  u ( x)  v( x)dx .
Доказательство. По правилу дифференцирования произведения функций u(x) и v(x) ,
имеем
d (u ( x)  v( x))  (u ( x)  v( x)) ' dx  u '( x)v( x)dx  u ( x)v '( x)dx  du ( x)  v( x)  u ( x)  dv( x)
Проинтегрируем это равенство, учитывая, что (2.5)
 d (u ( x)  v( x))  u( x)  v( x)
Тогда
u ( x)  v( x)   du ( x)  v( x)   u ( x)  dv( x)   u '( x)  v( x)dx   u ( x)  v '( x)dx .
Из этого соотношения легко получить формулы (3.4), (3.5).
Пример 5. Найти
 x sin( x)dx .
Решение. Использование формулы интегрирования по частям позволяет вместо исходного
не табличного интеграла вычислить только интеграл от sinx. Покажем это, приведя схему
записи удобную при использовании метода интегрирования по частям.
dv  sin xdx
 ux

x
sin(
x
)
dx


 = - x∙cos(x) +  cos( x) dx =

 du  dx v   dv   sin xdx   cos x 


= - x ∙ cos(x) + sin(x)+ C.
Обычно в интегралах за u(x) берут следующие функции:
ln(x), arсsin(x), arсcos(x), arсtg(x), arсctg(x)
а за v’(x) берут функции
ех, sin(x), cos(x).
Функцию хn , где n натуральное число, можно относить и к первой и ко второй группе.
Метод разложения на простейшие.Правильной рациональной дробью R(x) называется
отношение двух полиномов (многочленов)
10
R( x) 
Pn ( x) an x n  an 1 x n 1  .....  a1 x  a0

Qm ( x) bm x m  bm 1 x m1  .....  b1 x  b0
(3. 6)
где ai , i  1,...n; b j , j  1,...m коэффициенты многочленов an  0, bm  0 и n  m .
Если n  m дробь называется неправильной, такие дроби необходимо упростить, выделив
целую часть и остаток в виде правильной дроби.
Знаменатель рациональной дроби имеет ровно n корней, среди которых есть
действительные корни (кратные, т.е. повторяющиеся, и некратные) и комплексные корни,
также кратные и некратные (комплексные корни являются корнями квадратного трехчлена с
отрицательным дискриминантом).
Простейшими дробями или просто простейшими называются дроби вида
1.
A
,
xa
соответствует действительному некратному корню знаменателя а,
2.
A
, k  2 , k – целое положительное число,
( x  a)k
соответствует действительному кратному корню знаменателя а, число k называется
кратностью корня,
3.
Ax  b
2
, где знаменатель x  px  q имеет только комплексней корни, т.е.
x  px  q
D  p 2  4q  0 ,
2
соответствует двум комплексным некратным корням,
4.
x
Ax  b
2
 px  q 
k
, k  2 , k – целое положительное число,
соответствует двум комплексным кратным корням, число k кратность корня.
Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы
элементарных дробей, поэтому приведем интегралы от первых трех видов простейших
1.
A
 x  a dx  A ln x  a  C .
A
( x  a)1k
k
2. 
dx  A ( x  a) dx  A
C.
( x  a) k
1 k
Ax  B
A
2 B  Ap
2x  p
dx  ln( x 2  px  q) 
arctg
C .
3.  2
2
x  px  q
2
4q  p
4 p  q2
(3. 7)
(3. 8)
(3. 9)
11
Пример 6. Вычислить
4
 x  3 dx .
Решение. Используем формулу (3. 7)
4
 x  3 dx  4 ln x  3  C .
Пример 7. Вычислить
5
 ( x  2)
3
dx .
Решение. Используем формулу (3. 8)
5
( x  2)2
3
dx

5
(
x

2)
dx

5
C .
 ( x  2)3

2
2x  3
dx .
 x2
Решение. Так как D  p 2  4q  12  4  2  0 , то используем формулу (1.19)
Пример 8. Вычислить
x
x
2
2x  3
2
2  3  2 1
2x 1
4
2x 1
dx  ln( x 2  x  2) 
arctg
 C  ln( x 2  x  2) 
arctg
C
x2
2
7
7
4  2  12
4  2  12
2
Приведем примеры разложения правильной рациональной дроби на простейшие слагаемые,
исходя из следующего правила:
каждому некратному корню соответствует простейшая первого вида,
каждому кратному корню кратности k соответствует k-1 простейшая второго вида с
убывающими степенями знаменателя и одна простейшая первого вида,
каждым двум некратным комплексным корням соответствует простейшая третьего
вида.
Пример 9. Разложить на простейшие рациональную дробь
3x  1
.
( x  1) x 2
Решение. Корни знаменателя: х1 = -1 действительный некратный корень, и х2 = 0
действительный кратный корень кратности 2. Следовательно
B B
3x  1
A

 21  2 .
2
( x  1) x
x 1 x
x
Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты А, В1 и В2 приведем правую часть
выражения к общему знаменателю, раскроем скобки и приведем подобные члены в
числителе
B1 B2 Ax 2  B1 ( x  1)  B2 x( x  1) ( A  B2 ) x 2  ( B1  B2 ) x  B1
3x  1
A

 


( x  1) x 2 x  1 x 2 x
( x  1) x 2
( x  1) x 2
Приравняем числители исходного и конечного выражений
12
3x  1  ( A  B2 ) x 2  ( B1  B2 ) x  B1 .
Такое сооотношение возможно тогда и только тогда когда совпадают коэффициенты
при одинаковых степенях х (если какая-то степень х отсутствует, то это значит, что
коэффициент при ней равен нулю). Получим систему
0  A  B2

3  B1  B2  B1  1, B2  4, A  4
1  B
1

Окончательно
3x  1
4 1 4

 
2
( x  1) x
x  1 x2 x
Пример 10. Разложить на простейшие рациональную дробь
2x 1
.
( x 2  1) x
Решение. Корни знаменателя: х1=0 действительный некратный корень, и два комплексных
корня квадратного трехчлена x 2  1 с отрицательным дискриминантом
2x 1
Ax  B D
 2
 .
2
( x  1) x
x 1 x
Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты А, В и D приведем правую часть
выражения к общему знаменателю, раскроем скобки и приведем подобные члены
2x 1
Ax  B D ( Ax  B) x  D( x 2  1) ( A  D) x 2  Bx  D

 

( x 2  1) x x 2  1 x
( x 2  1) x
( x 2  1) x
Приравняем числители и коэффициенты при одинаковых степенях х
2 x  1  ( A  D) x 2  Bx  D .
Получим систему
0  A  D

2  B
1  D

 D  1, B  2, A  1
Окончательно
2x 1
x  2 1
 2
 .
2
( x  1) x x  1 x
Вычислим интегралы от рациональных дробей примеров 9 и 10, используя формулы
(1.15-1.19).
13
3x  1
x 1
 4 1 4 
dx



dx


4ln
x

1

1
 4ln x  C
 ( x  1) x2   x  1 x2 x 
1
2x 1
1
 x  2 1 
dx    2
 dx  ln( x 2  1)  2arctg ( x)  ln x  C
2
 1) x
2
 x 1 x 
 (x
Замечание. Существует большое количество интегралов, которые методом
замены переменной можно свести к интегралам от рациональных дробей. К
таким интегралам относятся интегралы от иррациональных функций вида
 R  x, (ax  b)
m
n

k
, (ax  b) s ,.... dx
В этом случае надо сделать замену переменной вида t  (ax  b)r , где r – общий знаменатель
дробей m/n, k/s…
x 1
dx .
x 1
имеют общий знаменатель 12. Следовательно, замена
4
Пример. Вычислить интеграл
Решение. Степени корней ¼ и
 1
1
3
3
x 1 = t 12
 x  1  t12 
4 12


x 1
t
t14
t14
12
11
dx

x

t

1

12
t
dt

12
dt


12
 
 1  3 x 1 
 1 t4
 t 4  1 dt 
3 12
1

t
 dx  12t11dt 


4
Получили неправильную рациональную дробь (1.15). Разделим числитель на
знаменатель
t 4 1
t 14
 ( t 14  t 10 )
t 10  t 6  t 2

t 10
 (t 10  t 6 )

t6
 (t 6  t 2 )

t2
Следовательно
t14
t2
10
6
2

t

t

t

.
t 4 1
t 4 1
Продолжим вычисление интеграла
14
 10 6 2
t2 
t11 t 7 t 3
t2
   t  t  t  4  dt     
dt 
t 1 
11 7 3
(t  1)(t  1)(t 2  1)

Вычислим отдельно интеграл от правильной рациональной дроби методом разложения на
простейшие. Знаменатель имеет корни: t1= 1, t2= -1 и два комплексных корня,
соответствующих множителю t2+ 1.
t2
A
B D1t  D2 A(t  1)(t 2  1)  B(t  1)(t 2  1)  ( D1t  D2 )(t 2  1)


 2

(t  1)(t  1)(t 2  1) t  1 t  1
t 1
(t  1)(t  1)(t 2  1)
Раскрыв скобки и приведя подобные члены получим
t 2  ( A  B  D1 )t 3  ( A  B  D2 )t 2  ( A  B  D1 )t  ( A  B  D2 )
0  A  B  D1
1  A  B  D
1
1
1

2
 A  , B   , D1  0, D2 

4
4
2
0  A  B  D1
0  A  B  D2
Подставим полученное разложение рациональной дроби в интеграл
1
1 
 1
t11 t 7 t 3
t2
t11 t 7 t 3
4
4

   
dt     

 2 2 dt 
2
 t 1 t  1 t  1 
11 7 3
(t  1)(t  1)(t  1)
11 7 3


11
7
3
1
t
t
t 1
1
1
    ln t  1  ln t  1  arctgt  C  t  12 x  x 12 
11 7 3 4
4
2

11
7

3
1
1
1
x 12 x 12 x 12 1
1
1



 ln x 12  1  ln x 12  1  arctg ( x 12 )  C
11
7
3
4
4
2
15
Раздел 6. Определенный интеграл
Глава 1. Площадь криволинейной трапеции.
Пусть на отрезке [a,b] задана неотрицательная непрерывная функция f(x). На
плоскости XOY, как показано на рис.1.1, график этой функции, отрезок оси абсцисс и
прямые x = a и y = b образуют криволинейную трапецию, площадь такой криволинейной
трапеции равна S.
Разделим отрезок [a,b] на произвольные n частей, при этом координаты точек деления
удовлетворяют соотношению
x0 = a < x1 < x2 < ... < xi -1< xi <... < xn = b.
В точках деления проведем прямые, перпендикулярные оси ОХ. Криволинейная
трапеция разделилась на n узких криволинейных трапеций (элементарных трапеций)
шириной Δxi = xi - xi-1 (i = 1, 2…n). Площадь каждой такой элементарной трапеции
обозначим как Δ Si.
На каждом промежутке [xi-1, xi] выберем произвольную точку xi* , xi*  [ xi1 , xi ] ,
вычислим в точке xi* функцию f ( xi* ) . Каждую i-ю полоску заменим на соответствующий
прямоугольник, высота которого равна f ( xi* ) . Тогда площадь Si  f  x *i  x i ,
Рис. 1.1. Криволинейная трапеция.
Сумма площадей полученных прямоугольников приближенно равна площади
исходной криволинейной трапеции.
S   f  xi* xi .
n
(1.1)
i 1
Увеличим число разбиений n. При этом каждый раз обязательно должна уменьшатся
длина наибольшего из разбиений Δxi. Эту длину называют рангом дробления и обозначают r
, т.е. r = max Δxi  0 при n  . При этом погрешность при вычислении площади будет
стремиться к нулю и в пределе мы получим площадь криволинейной трапеции, т.е.
16
lim
 f  xi* xi = S
n,r0 i1
n
(1.2)
Сумму, стоящую в выражении (2.2) называют интегральной суммой.
Глава 2. Определение определенного интеграла. Свойства определенного
интеграла.
Пусть на интервале [a,b] задана непрерывная функция f(x). Разделим отрезок [a,b] на
произвольные n частей, при этом координаты точек деления удовлетворяют соотношению
x0 = a < x1 < x2 < ... < xi -1 < xi<... < xn = b.
На каждом промежутке [xi-1, xi] (i = 1, 2…n) выберем произвольную точку
x , x  [ xi1 , xi ] , вычислим в точке xi* функцию f ( xi* ) и умножим на длину интервала Δxi =
*
i
*
i
xi - xi-1, получим f  x *i  x i . Просуммируем по всем i , получим интегральную сумму
 f  x  x
n
*
i
i
i1
Увеличим число разбиений n. При этом каждый раз обязательно должна уменьшатся
длина наибольшего из разбиений Δxi, т.е. ранг дробления должен стремится к нулю. Если
независимо от способа разбиения отрезка [a,b] на части, для функции f(x) существует
конечный предел интегральной суммы при
n   и r  0, то этот предел называется
определенным интегралом от функции f(x) на интервале [a,b], а сама функция f(x) интегрируемой на [a,b].
Для обозначения предельного значения суммы Лейбниц ввел символ "  ", как
стилизацию начертания буквы S - начальной буквы латинского слова Summa.
n
b
lim
 f  xi   xi   f  x  dx.
n,r0 i1
a
(2.1)
Читается: "Интеграл от a до b от функции f(x)". Числа а и b называются
соответственно нижним и верхним пределами интеграла. Интеграл существует для всех
непрерывных и кусочно непрерывных функци (т.е. имеющих на интервале [a, b] только
конечное число разрывов первого рода).
Определенный интеграл - есть число! Его значение зависит только от вида функции
f(x) и пределов интегрирования, но не от переменной интегрирования, которую можно
обозначить любой буквой.
b

a
b
f x dx   f t dt
a
Определенный интеграл имеет следующий свойства, вытекающие из определения.
17
a
1.
 f  x  dx  0.
(2.2)
a
b
2.  0 dx  0.
(2.3)
a
3.
b
a
a
b
 f  x  dx   f  x  dx
(2.5)
b
4.
 dx  b  a
(2.6)
a
Свойство аддитивности. Если функция f(x) интегрируема на интервалах [a,c] и [c,b],
a < c < b, то она интегрируема и на интервале [a,b], при этом выполняется равенство
c
b
b
a
c
a
 f(x) dx +  f(x) dx =  f x dx
(2.7)
Свойство аддитивности имеет наглядный геометрический смысл: оно выражает
свойство аддитивности площади, например, плоских фигур (см. рис.2.1).
Рис. 2.1. Аддитивность определенного интеграла.
a
Следствие. Если f(x) - нечетная функция, т.е. f(-x) = - f(x), то
 f(x) dx = 0
(2.8)
a
Если f(x) - четная функция, т.е. f(-x) = f(x), то
a
a
a
0
 f(x) dx = 2 f(x) dx.
(2.9)
Линейные свойства определенного интеграла .
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла,
b
b
 c  f xdx  c f xdx.
a
a
Действительно, по определению
18
(2.10)
b
 cf  x  dx 
a
b
lim
cf  x*i   xi  c
lim
f  x*i   xi c  f  x  dx


n,r0 i1
n,r0 i1
a
n
n
2. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен
алгебраической сумме интегралов от слагаемых. Для суммы двух функций имеем
b
b
b
 (f(x) + g(x)) dx =  f(x) dx +  g(x) dx.
a
a
(2.11)
a
Доказательство также основано на определении определенного интеграла
b
( f x  g ( x ))  x
 (f(x) + g(x)) dx = nlim
   
n
r 0
a
*
i
i 1
*
i
i
b
 lim  f  xi*   xi  lim  g ( xi* )  xi  c  f(x) dx +
n i 1
n i 1
a
r 0
r 0
n
n
b
 g(x) dx.
a
Интегрирование неравенств.
1.
Пусть на интервале [a,b] функции f(x) и g(x) связаны соотношением
f ( x)  g ( x) (рис. 2.2).Тогда и для интегралов выполняется то же соотношение
b
b
a
a
 f ( x)dx   g ( x)dx
Действительно
b

a
n
n
b
i 1
i 1
a
f ( x)dx   f ( xi* )xi   g ( xi* )xi   g ( x)dx
Рис. 2.2. Интегрирование неравенств. Зеленым обозначена разность площадей
криволинейных трапеций.
2.
По теореме Вейерштрасса функция непрерывная на замкнутом
интервале достигает на нем своих наибольшего M и наименьшего m значений
m  f ( x)  M . Тогда (рис. 2.3)
19
b
b
b
a
a
a
m  b  a    m dx   f ( x)dx   M dx  M (b  a )
Рис. 2.3.
3. Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на интервале [a,b], то на этом отрезке
найдется такая точка с, что справедливо равенство (рис.2.4)
b
 f xdx  f cb  a 
(2.12)
a
Рис. 5. Геометрическая интерпретация теоремы о среднем
Эта формула имеет ясный геометрический смысл (рис.5): площадь криволинейной
трапеции численно равна площади прямоугольника с тем же основанием, что и трапеция,
причем высота прямоугольника равна значению функции f(с) в некоторой точке с, лежащей
между а и b. Значение f(c) называется средним значением функции на интервале [a,b] и
имеет обозначение f ( x )
b
f (c ) 
 f ( x)dx
a
ba
 f ( x)
Глава 3. Вычисление определенного интеграла
20
(2.13)
Теорема. Первообразная как интеграл с переменным верхним пределом. Если
x
функция f(x) непрерывна на интервале [a,b], то функция Ф(х) =
 f(t)dt
, где x  [a, b] ,
a
дифференцируема в любой внутренней точке х этого интервала, причем Ф(x) = f(x), то есть
функция Ф(х) является первообразной функции f(x). Функция Ф(х) называется интегралом с
переменным верхним пределом.
Доказательство. Найдем производную функции Ф(x). Для этого вначале выберем
приращение аргумента х столь малым, чтобы точка х + х лежала внутри отрезка [a,b], и
найдем приращение функции Ф(х) (рис. 3.1), приращение обозначено зеленым цветом).
x  x
Ф(х) = Ф(х + х) - Ф(х) =

a
x
x
f t dt   f t dt =  f(t) dt +
a
a
x+x

x
f(t) dt -
x
x + x
a
x
 f(t) dt 
 f(t) dt
Здесь мы использовали свойство аддитивности. К полученному интегралу применим теорему
о среднем
x  x
Ф(x) =
 f(t) dt
= f(с)x, где с  [x, x+x].
x
Рис. 3.1. Интеграл с переменным верхним пределом.

= f(с). Поскольку f(x) непрерывна и с  x , если х  0, то
x
lim f(c) = f(x). Поэтому производная функции Ф(х) равна f(x)
x0

 '  x  = lim
= lim f  c  = f(x) .
(3.1)
c x
x0 x
Следовательно,
А так как производная функции Ф(х) равна f(x), то, по определению первообразной,
Ф(х) первообразная. Следовательно, интеграл от функции f(x) с постоянным нижним и
переменным верхним пределом х, есть одна из первообразных функции f(x) ( x)  F ( x)  C .
Этот факт показывает, что дифференциальное и интегральное исчисление
представляет собой нечто единое и известен, как основная теорема математического анализа.
Теорема. Формула Ньютона – Лейбница.
Если функция f(x) непрерывна на интервале [a,b], то определенный интеграл равен
разности значений первообразной F ( x) на концах промежутка
21
b
 f(x) dx = F(b) - F(a),
(3.2)
a
Доказательство. В силу непрерывности на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и,
на основании предыдущей теоремы, имеет первообразную
x
Ф(x) =  f(t) dt = F(x) + C.
(3.3)
a
Константу С легко выразить через значение первообразной F(х) в точке а.
Действительно принимая во внимание, что
a
Ф(а) =  f(t) dt  F (a)  C = 0
(3.4)
a
из (3.4) получим:
- F(a) = C.
(3.5)
Поскольку
b
Ф(b) =  f  t  dt  F (b)  C ,
(3.6)
a
то, подставив (3.5) и (3.6) в (3.3) получим основную формул математического анализа формулу Ньютона – Лейбница
b
 f(x) dx = F(b) - F(a)=
b
F ( x) a
(3.7)
a
b
где F(x) - первообразная для функции f(x), а a - знак подстановки Ньютона. Этот знак
означает, что сперва в функцию F(x) подставляем верхний предел и вычитаем функцию
вычисленную в точке нижнего предела.
Формула (3.5) дает следующее правило: для вычисления определенного интеграла
необходимо найти первообразную подынтегральной функции, т.е. вычислить
неопределенный интеграл, а затем вычислить разность значений первообразной на верхнем
и нижнем пределе.
5
Пример 1. Вычислить интеграл
 x dx .
3
2
Решение.
 x dx 
3
4
x
 C . Следовательно, по формуле (3.7)
4
 5   2   625  16  609 .
x4
x
dx


2
4 2
4
4
4
4
4
5
5
3
22
4
4
При вычислении определенного интеграла используются те же основные приемы, что
и при вычислении неопределенного интеграла.
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
b
 u(x)v'(x) dx
= u  х  v  х a b
b
 v(x)u'(x) dx
(3.8)
a
a
1
Пример 2. Вычислить  xe - x dx.
0
Решение. Прямому вычислению данного интеграла препятствует наличие
сомножителя х в подынтегральном выражении. Поскольку производная от х’=1, то
целесообразно, используя (3.8) положить u = x. Тогда
1
 xe
0
x
dx 
dv  e x dx
ux
du  dx
v  e
x
  xe
x 1
0
1
  e x dx = e1  e x 10  2e1  1 
0
e2
.
e
Замена переменной в определенном интеграле. Во многих случаях
подынтегральное выражение можно упростить, если заметить, что его часть является
дифференциалом некоторой функции. Тогда по аналогии с формулой (3.1) раздела 5 можно
записать
b

a

 f(x) dx =  f   t   ' t  dt  F (t )


 F ()  F ()
(3.9)
где x = (t), () = a, =-1(a) ; () = b,  = -1( b).
e
ln 2 x
1 x dx. .
Решение. Положив ln(х) = t, имеем dx/x = dt.
Пример 3. Вычислить
Если х = 1, то t = ln 1 = 0, если х = е, то t = ln е = 1. Тогда
e
1
ln 2 x
1 3
2
1 x dx  0 t dt  3 t
t 1
t 0



1 3 3 1
1 0  .
3
3
Глава 5. Приложения определенного интеграла
1. Вычисление площади плоских фигур. Как уже отмечалось, если f(x)  0 на отрезке
[a,b], то определенный интеграл от функции численно равен площади криволинейной
трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью абсцисс и прямыми x = a, и x = b.
23
b
S   f ( x )dx
(5.1)
a
Если на [a,b] функция, как показано на рис.5.1, меняет знак, то необходимо вычислить
интеграл от модуля подинтегральной функции.
b
S   f ( x ) dx
(5.2)
a
Это означает, что если на отрезке [а,с]  [a,b] функция f(x) < 0, то на этом отрезке
берется отрицательное значение функции
b
c
b
a
a
c
S   f ( x) dx   ( f ( x)dx   f ( x )dx
Рис. 5.1. Вычисление площади при помощи определенного интеграла
Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную осью абсцисс и синусоидой на отрезке [0,2].
Решение. Поскольку sin(x)  0 на отрезке [0, ] и sin(x)  0 на [,2], то искомая площадь S
равна
S=
-
2

2
0
0


2
 sinx dx =  sinx dx +  (-sinx) dx = - cosx 0  cos x   - (cos - cos0) + (cos2 -
cos) = -(-1 -1) +( 1 + 1) = 4.
В более общем, случае требуется вычислить площадь плоской фигуры ограниченной
несколькими кривыми линиями. В этом случае искомая площадь есть алгебраическая сумма
площадей нескольких криволинейных трапеций. Например, как показано на рис.5.2
24
b
c
b
a
a
c
S A1 ABB1  SaABb  S aA1c  ScB1b   g ( x) dx   f ( x) dx   f ( x)dx
Рис. 5.2. Вычисление площади плоской фигуры.
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной функциями y1=x - 2 и y2 =
(рис. 5.3).
x
Рис. 5.3.
Решение. Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение
y1(х) = y2(х)
Возведем в квадрат левую и правую часть
x  x  2  x  ( x  2)2 или x 2  5 x  4  0 ; x1  1, x2  4 .
 x  2, x  2
Учтем, что x  2  
.
( x  2), x  2
Следовательно
25
4
4
4
2
4
1
1
1
1
2
S   xdx   x  2 dx   xdx   (2  x)dx   ( x  2)dx 
x
3
3
4
2
2
1
2
4


x2   x2
  2x      2x  
2 1  2

2

4 
1     16   2 2
1
 2 8 1   

     4     2        8     4    5   2  2.5
2 
2   2
2
 3 3  
  2

Вычисление длины дуги. Пусть некоторая гладкая плоская кривая описывается
функцией f(x) и отрезку [a,b] оси абсцисс отвечает дуга AB. Произвольным образом разобьем
эту дугу, как показано на рис.5.4 на n частей точками M 0, M1, ..., Mn. Получим элементарные
дуги. Соединив каждые две соседние точки прямой, получим вписанную в дугу AB ломаную
линию. Длину звена ломанной li , лежащую между точками Мi Mi+1 , где Мi(xi, f(xi)),
Мi+1(xi+1, f(xi+1)) находим по формуле
li  ( f ( xi1 )  f ( xi ))2  ( xi1  xi )2  (f ( xi )2  (xi ) 2
Длина элементарной дуги Мi Mi+1 примерно равна li
М i Mi 1  li  (f ( xi ))2  (x i )2 .
(5.3)
Просуммируем (5.3) по всем элементарным дугам, тогда длина L дуги АВ равна
Рис. 5.4. Длина дуги.
n
n
n
i 1
i 1
i 1
L   М i M i 1   li   (f ( xi )) 2  (x i ) 2
Выражение, стоящее в правой части равенства является интегральной суммой. При
бесконечном увеличении числа точек разбиения
n   , проводимого произвольным
образом, если каждый раз длина самой большой элементарной дуги r будет стремится к
нулю r  0 ,то длина ломаной будет неограниченно приближаться к длине дуги. Тогда длина
дуги L плоской кривой
26
n
n
n
L  lim li  lim (f ( xi ))  (x i )  lim
2
n , i 1
r 0
2
n , i 1
r 0
n , i 1
r 0
2
b
 f ( xi ) 
2
1 

x

dx 1   f '( x) 

i


x
i 

a
(5.4)
Если кривая задана в параметрическом виде: х = (t), y = (t) ( t ), то длина
кривой вычисляется по формуле

L   dt ( x '(t )) 2   y '( x) 
2
(5.5)

Пример 1. Найти длину дуги кривой y2 = x3 , заданной на отрезке от x = 0 до x = 1 (y  0).
3
3 1
Решение. y   x 2  y '  x 2 . Подставляя затем этот результат в (5.4), получим
2
9
 9 
L   dx 1  x   dx 1  x 
4
 4 
0
0
1
1
1
2
4 2  9  1 8  13  2
  1  x  3/2 
  1 
9 3  4  0 27  4
 3
Пример 2. Найти длину дуги кривой x = a cos3t, y = a sin3t, если t изменяется 0 до /2.
Решение. Вначале находим производные по t
x(t) = -3a cos2tּsint, y(t) = 3a sin2tּcost
Подставляя в формулу (5.5), имеем
 /2
L

 /2
9a (cos t sin t  sin t cos t )dt 
2
4
2
4
2
0
 /2

 3a
sin 2 t cos 2 tdt 
0
3
 /2
3
 3a sin t cos tdt  4 a  sin 2td (2t )  4 a( cos 2t )
0
0
 /2
0
3
3
  a(cos   cos 0)  a
4
2
Вычисление объемов тел. Пусть дано тело переменного сечения, расположенной над осью
ОХ (рис.5.5), ограниченное плоскостями х = а и х = b. Объем тела обозначим за V. Разделим
отрезок [a,b] на произвольные n частей, при этом координаты точек деления удовлетворяют
соотношению
x0 = a < x1 < x2 < ... < xi -1< xi <... < xn = b.
В точках деления проведем плоскости, перпендикулярные оси ОХ. Тело разделится
на n узких слоев (элементарных объемов) шириной Δxi = xi - xi-1 (i = 1, 2…n). Объем каждого
такого слоя обозначим как Δ Vi. На каждом промежутке [xi-1, xi] выберем произвольную
точку xi* , xi*  [ xi1 , xi ] . Обозначим за S(x*i) площадь поперечного сечения тела в этой точке.
Тогда
Vi  S ( xi* )  xi
(5.6)
27
Рис. 5.5. Объем тела переменного сечения.
Просуммируем (5.6) по всем i , получим интегральную сумму
V   Vi  S  x *i  x i
n
n
i 1
i 1
(5.7)
Увеличим число разбиений n. При этом каждый раз обязательно должна уменьшатся
длина наибольшего из разбиений Δxi, т.е. ранг дробления r должен стремится к нулю. Тогда
объемтела переменного сечения V,будет равен пределу интегральной суммы при n   и
r 0
n
b
n
V   V  lim  S ( x )  xi   S ( x)dx
i 1
n  ,
r 0 i 1
*
i
(5.8)
a
Если тело получено при вращении криволинейной трапеции вокруг оси ОХ (рис. 5.6),
то S ( x)  f 2 ( x) . В этом случае объем тела V вычисляется по формуле
Рис. 5.6. Объем тела вращения.
b
b
a
a
V   f 2 ( x)dx    f 2 ( x)dx
28
(5.9)
Пример. Вычислить объем тела, полученного при вращении кривой y = sin(x) вокруг оси ОХ
x  [0, ] .
Решение.



 
1  cos 2 x

sin 2 x  2
V   sin ( x)dx  
dx    dx   cos 2 xdx     


2
20
2 0  2
0
0
0
 2


2
Глава 6. Несобственные интегралы
Для существования определенного интеграла необходимо, чтобы промежуток
интегрирования был конечен и подынтегральная функция ограничена. Когда не выполняется
одно или оба эти условия, приходят к понятию несобственного интеграла.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами.Пусть функция f(x) определена и
непрерывна для всех х удовлетворяющих условию а х <+.
b
Рассмотрим интеграл
 f(x) dx , который имеет смысл при всех b > a. При изменении
a
величины b этот интеграл будет вести себя как непрерывная функция от b. Если при
b
бесконечном возрастании величины b существует конечный предел lim  f x dx , то он
b a
называется несобственным интегралом от функции f(x) с бесконечным верхним
пределом. Таким образом, по определению

b
a
a
f x dx
 f x dx  blim
 
(6.1)
Если предел в (6.1) бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный
интеграл не существует или расходится.
Аналогичным образом определяются несобственные интегралы с бесконечным
нижним пределом
b
b

a
lim  f x dx
 f xdx  a

(6.2)
и несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами



b
f  x  dx  lim  f ( x)dx
b 
b
Из определений несобственных интегралов непосредственно следует схема их
вычисления: вначале находится первообразная F(x) для подынтегральной функции f(x), затем
29
рассматривается разность пределов первообразных в точках верхнего и нижнего пределов
интегрирования, т.е.

lim  F  b   F  b  
 f  x  dx  b
(6.3)

Пример. Установить, при каких значениях р сходится и при каких расходится интеграл

dx
I  p
x
1
Решение

1. если p  1,

dx
x
I
1
b
I  lim
2. если p = 1,
b

1 1 p b
1
 lim
x
 lim
b1 p  1 ,
1
b 1  p
b 1  p
p
dx
x
p
 lim (ln x 1 )   ,
b
b
1
Вывод: сходимость интеграла I зависит от значения параметра р:

если р > 1, то
dx
x
p
1

если р < 1, то
dx
x
p

1
, т.е. интеграл сходится,
1 p
  , т.е. интеграл расходится,
1

если р = 1, то
dx
x
p

 ln x 1   интеграл расходится.
1
Несобственные интегралы от разрывных функций. Пусть функция f(x) определена и
непрерывна на [a,b] за исключением точки с  [a,b] . Рассмотрим три случая.
1. Функция терпит разрыв в точке b. Интеграл от функции f(x) с точкой разрыва на
верхнем пределе определяется так
b
b 
a
a
lim  f  x  dx
 f  x dx  
0
1
Пример. Вычислить интеграл

0
dx
1  x2
dx .
Решение.
1

0


1
 lim arcsin x 0   0  .
0
2
2
1 x
dx
2
2. Функция терпит разрыв в точке а. Тогда по аналогии с предыдущим случаем
интеграл с точкой разрыва на нижнем пределе определяется так
30
b
b
a
a
f x dx
 f xdx  lim
0 
1
Пример. Исследовать интеграл I  
0
1
dx
не существует в
. Здесь подынтегральная функция
x
x
точке х = 0, поэтому
1
1
dx
dx
1
lim 
 lim | ln x 0  lim  ln1  ln    
0 x  
0 0 x 0
0
Таким образом, данный интеграл расходится (не существует).
3. Функция имеет разрыв во внутренней точке отрезка [a,b], т.е. a < c < b.
b
c 
b
a
a
c 
lim  f  x  dx  lim  f  x  dx
 f  x  dx  
0
0
1
Пример. Вычислить интеграл
dx
x
1
1
.
3
Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке 0. Поэтому
1
dx
x
1
1
3
2
x 3
 lim
0 2
3
0 
1
2
x 3
 lim
0 2
3
1
0 
3 3
  0
2 2
Примеры решения для практики
Пример 1.
 f ( x)dx   (6 
x )dx .
Решение. Используем теорему: интеграл от разности функций равен разности интегралов.
 (6 

3
2
x
x
 C  6 x 2  C
3
3
f ( x)dx   sin 2 xdx .
x )dx   6dx   xdx  6 dx  2
Пример 2. Вычислить
3
2
Решение. Сравним наш интеграл с табличным
 sin xdx   cos x  C
У нас f ( x)  sin 2 x , формально интеграл не табличный. Используем теорему о линейной
замене переменной:
1
если  f ( x)dx  F ( x)  C , то  f (ax  b)dx  F (ax  b)  C .
a
В интеграле ax  b  2x , т.е. а = 2, следовательно
 sin 2 xdx  
cos 2 x
C
2
31
.
Проверим полученный результат дифференцированием

1
 cos 2 x



C

   ( sin 2 x)  2  0  sin 2 x.
2
2


Интеграл взят правильно.
Пример 3.
 f ( x)dx   sin
2
x cos xdx , т.е. f ( x)  sin 2 x cos x .
Решение. Так как (sin x) '  cos x , то используем теорему о «замене типа подведение под
знак дифференциала»
 F ( g ( x)) g `( x)dx   F ( g ( x))dg ( x)   F (t )dt , где t = g(x)
У нас sin x  t . Тогда dt  d sin x  cos xdx
t3
(sin x)3
2
2
sin
x
cos
xdx

t
dt


C

C


3
3
x2
x2
dx , т.е. f ( x) 
Пример 4.  f ( x)dx  
.
x3  7
x3  7
Решение. Так как ( x3  7) '  3x 2 , то то используем теорему о «замене типа подведение под
знак дифференциала», x 3  7  t . Тогда dt  d ( x3  7)  3x 2 dx . Домножим в числителе на 3,
при этом надо и знаменатель умножить на 3.
x2
3x 2 dx
1 dt 1
1
3
dx

 x3  7  3( x3  7)  3  t  3 ln t  C  3 ln( x  7)  C .
Проверим дифференцированием
(ln( x  7)) 
3
1
x3  7
2
 (3 x  0) 
3x 2
x3  7
.
e arctg( x )
 1  x 2 dx .
Решение. Используем теорему о замене переменной
Пример 5. Найти
 f ( x)dx   f (u (t ))u ' (t )dt .
Особенностью данного интеграла является то обстоятельство, что его подынтегральное
dx
, который является дифференциалом функции arctg x.
выражение содержит множитель
1  x2
Поэтому в данном интеграле целесообразно ввести замену переменной: t = arctg x. Отсюда
e arctg( x )
1
arctg x
t
dx
dt = d(arctg(x)) =
и
e
=
e
.
Подставляя
в
исходный
интеграл,
имеем
 1  x 2 dx
1  x2
=  et dt  et  C  earctg x + C.
Пример 6. Найти  sin 3 x  cos 2 dx .
Решение. Здесь уместна замена t = cos x, т.к. dt = - sin x dx, и sin3x dx = sin2x sinx dx.
Поэтому
32
 sin
3
x  cos 2 x  dx   (1  cos 2 )  cos 2 x  (sin x  dx)    (1  t 2 )  t 2  dt   (t 4  t 2 )  dt 
t5 t3
cos 5 x sin 3 x
 C 

 C.
5 3
5
3
Пример 7. Найти  x sin( x)dx .

Решение. Используем метод интегрирования по частям
 u( x)v '( x)dx  u( x)v( x)   v( x)u '( x)dx
Так как производная от х равна 1, то возьмем u = x. Используем формулу, приведя схему
записи удобную при использовании метода интегрирования по частям.
 x sin( x)dx 
ux
dv  sin xdx
= - x cosx +  cos( x) dx = -x cosx + sinx + C.
v   cos x
x 1
Пример 8. Найти 
dx .
x( x  1)
Используем метод разложения на простейшие. Знаменатель имеет два различных
действительных корня, разложим подинтегральную функцию на простейшие слагаемые
du  dx
x 1
A
B
A( x  1)  Bx ( A  B) x  A
 


x( x  1) x x  1
x( x  1)
x( x  1)
Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях х, стоящие
слева и справа должны совпадать
x  1  ( A  B) x  A  A  1, A  B  1  B  2
x 1
1
2


x( x  1) x x  1
Следовательно
x 1
2 
 1

dx   ln x  2 ln x  1  C
x x 1 
 x( x  1) dx   
Пример 9. Найти
2x 1
 x( x  1)
2
dx .
Используем метод разложения на простейшие. Знаменатель имеет действительные корни,
причем корень -1 имеет кратность два. Разложим подинтегральную функцию на простейшие
слагаемые
2x  1
A
B
D
A( x  1)2  Bx( x  1)  Dx
 


x( x  1) 2 x x  1  x  12
x( x  1)
Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях х, стоящие
слева и справа должны совпадать
33
2 x  1  A( x  1)2  Bx( x  1)  Dx  ( A  B) x 2  (2 A  B  D) x  A
A  B  0

2 A  B  D  2  A  1, B  1, D  3
A 1

2x  1
1 1
3
 

2
x( x  1)
x x  1  x  12
Следовательно
1
2x 1
1
3 
( x  1) 1
dx



dx

ln
x

ln
x

1

3
C
 x( x  1)2
  x x  1 ( x  1)2 
1
xdx
Пример 10. Найти 
.
( x  1)( x 2  1)
Решение. Используем метод разложения на простейшие, разложим подинтегральную
функцию на простейшие слагаемые
x
A
Bx  D A( x 2  1)  ( Bx  D)( x  1)



( x  1)( x 2  1) x  1 x 2  1
( x  1)( x 2  1)
Приравняем числители
x  A( x 2  1)  ( Bx  D)( x  1)  ( A  B) x 2  ( B  D) x  D
Так как коэффициенты при одинаковых степенях х, стоящие слева и справа должны
совпадать, то D  0, B  D  1  B  1, A  B  0  A   B  1 .
x
1
x
.

 2
2
( x  1)( x  1) x  1 x  1
Следовательно
xdx
x 
dx
xdx
1
 1
2
 ( x  1)( x 2  1)    x  1  x 2  1 dx   x  1   x 2  1   ln x  1  2 ln( x  1)  C
Здесь использовано
dx
 x  1  ln x  1  C ,
x2  1  t
xdx
1 2 xdx 1 dt 1
1
2
 x2  1  dt  2xdx  2  x2  1  2  t  2 ln t  C  2 ln( x  1)  C
x2
dx .
x2 3
Сделаем замену переменной, позволяющую избавится от иррациональности
Пример 11. Найти

x  2  t6  3 x  2  t2,
34
3
x  2  t 3 , dx  d (t 6  2)  6t 5dt
x2
t 3  6t 5 dt
t 8 dt
dx   2
 6 2

t 3
t 3
x2 3
3

Под интегралом стоит неправильная дробь, поэтому разделим числитель на знаменатель и
вычислим получившиеся интегралы
t8
81
 t 6  3t 4  9t 2  27  2
2
t 3
t 3
Под интегралом стоит неправильная дробь, поэтому разделим числитель на знаменатель и
вычислим получившиеся интегралы
t8
81 

 2
dt    t 6  3t 4  9t 2  27  2
dt 
t 3
t  3

t 7 3t 5 9t 3
81
t
 

 27t 
arctg
C 
7
5
3
3
3


6
x2
7

7

36 x2

5

5


3


 3 6 x  2  27 6 x  2 
81
3

6
arctg
x2
3
C
5
и x  y  6.
x
Решение. Построим в системе координат xOy эти линии. Найдем точки пересечения
этих линий
 x0  1  x2  5
5
 6  x  x2  6 x  5  0  
,

x
 y1  5  y2  1
Пример 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y 
Рис.1.
Обозначим эти точки через A и В. Итак, А(1; 5), В(5; 1). Искомая площадь S равна
разности площадей фигур, ограниченных линиями x  1 , x  5 , y  0 , y  6  x (обозначим
5
эту площадь через S1) и линиями x  1 , x  5 , y  0 , y  (эту площадь обозначим через
x
S2). Таким образом
b
b
a
a
S = S1 – S2   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx
Площадь S2 может быть вычислена с применением определенного интеграла
35
S1 
5
5
1
1
5
dx
5
 x dx  5 x  5 ln x 1  5(ln 5  ln 1)  5 ln 5 ед2.
Площадь S1 можно, конечно, вычислить как сумму площадей прямоугольного
треугольника и прямоугольника, но удобнее все-таки вычислить S1 как интеграл
5
5
5
S1   (6  x)dx   6dx   xdx 
1
1
6 x 15
1
x2

2
5
1
1
 6(5  1)  (52  12 )  24  12  12 ед2 .
2
Теперь можно вычислить и искомую площадь
S = S1 – S2 = 12 – 5 ln5
Ответ: S =12 – 5 ln5 ед2.
Пример 13. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси О x фигуры,
ограниченной прямой y  x и параболой y  3 x .
x  3 x . Получим
Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение
x1  0, x2  1.
Рис. 2.
b
b
a
a
Объем тела может быть вычислен по формуле V  V1  V2    f12 ( x)dx   f 22 ( x)dx , где
f1 ( x)  x , f 2 ( x)  x .
3
1
1
V  V1  V2   ( x ) dx  x dx  
3
0
Ответ: V  
36
4
.
15
2
2
0
x
5
5
1
3
3
1
x3
4
3 1

      .
3 0
15
5 3
0
Раздел 7. Функции многих переменных. Ряды.
Глава 1. Функции двух переменных. Основные определения. Приращения функции.
Пусть на плоскости ХY задана область D. Каждой точке М этой области соответсвует
упорядоченная пара чисел (х, у) - ее координаты.
Если каждой упорядоченной паре чисел (х, у) поставлено в соответствие по закону f число z,
то говорят, что задана функция двух переменных
z = f (x, у)
(1.1)
Область D называется областью определения функции. Множество Z ={z} образует область
значений функции. График функции f(x,y) - поверхность в пространстве (рис 1.1), эту
поверхность часто обозначают σ. Проекция поверхности σ на плоскость XOY и есть область
D.
Рис.1.1. Функция двух переменных.
Функция двух переменных может быть также задана в виде таблиц.
Аналогично задается функция трех и более переменных. Физически, например, функцию
трех переменных u = f(x,y,z,) можно интерпретировать как плотность вещества в объемной
области D.
Следует заметить, что функции двух переменных являются самым простым и наглядным
случаем среди всех функций многих переменных и поэтому обычно подробно
рассматриваются. Полученные при этом свойства остаются верными и для функций
произвольного числа переменных.
Если на оси Z нанести масштаб, и провести через точки деления плоскости,
перпендикулярные оси Z, то поверхность σ разделится на части. На каждой линии
сеченияповерхности σ плоскостью функция z = f (x, у) будет постоянной величиной. Линии
сечения проектируют на плоскость ХY и называют линиями уровня (рис. 1.2).
37
Рис. 1.2. Линии уровня.
Функция z = f (x, у) называется непрерывной в точке М0(x0, y0), если имеет место равенство
f ( x0 , y0 )  lim f ( x, y )
x  x0
y  y0
и точка М(x, y) стремится к М0(x0, y0) оставаясь все время в области определения функции.
Функция непрерывная в каждой точке области называется непрерывной во всей области.
Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она достигает там своего
наименьшего m и наибольшего M значений.
Приращения функции двух переменных.Выберем в области определения функции точку М0 с
координатами x0 и y0 т.е. М0(x0, y0) и точку М1 с координатами x1 и y1 М1(x1, y1) (рис.3).
вычислим в этих точках значения функции z0 = f(x0, у0) и z1 = f(x1, у1) .
Рис. 1.3. Приращения функции двух переменных
Полным приращением функции двух переменных Δz называется разность ее значений в
точках М1 и М0
z  f ( x1 , y1 )  f ( x0 , y0 )
38
.
(1.2)
Сделаем дополнительное построение. Построим точку М2(x1, y0) и М3(x0, y1). Частным
приращением по аргументу х Δхz называется разность значений функции в точках М2 и М0
 x z  f ( x1 , y0 )  f ( x0 , y0 ) ,
(1.3)
а частным приращением по аргументу у Δуz называется разность значений функции в точках
М 3 и М0
 y z  f ( x0 , y1 )  f ( x0 , y0 )
.
(1.4)
Сумма частных приращений, в общем случае, не совпадает с полным приращением.
 x z   y z  z
Глава 2. Частные производные
z
 f x '( x, y )
x
Частной производной
от функции двух переменных f(x,y) по
переменной х при y = y0 называется предел, при Δх стремящемся к нулю, отношения
 z
частного по х приращения функци x к вызвавшему его приращению аргумента Δх (если
этот предел существует и конечен). Так как y0 любое фиксированное число из области
допустимых значений, то его можно заменить на просто у. Тогда
zx ' 
lim
x0
f  x  x, y   f  x, y 
 x z f  x, y 
 lim

 f x '  x, y  .
x0 x
x
x
Частная производная от функции f(x,y) по переменной y
обозначается аналогичным образом
zy ' 
z
 f y '( x, y )
y
определяется и
f  x, y  y   f  x, y  f ( x, y )
lim

 f y ' ( x, y )
y 0
y
y
То есть, при вычислении частной производной от функции двух переменных f(x,y) по х
второй аргумент y выступает как величина постоянная. Если же вычисляется частная
производная по y, то х принимается постоянной величиной.
Пример 1. Вычислить частные производные zx и zy от функции
f(x,y) = x3y2 + sin x - 4y.
Решение. В соответствии с определением, имеем
fx(x,y) = 3x2y2 + cos x
и
fy(x,y) = 2x3y - 4.
39
Частная производная от f(x,y) тоже является функцией двух переменных и от нее вновь
можно вычислять частные производные и так далее.
Функция двух переменных имеет следующие вторые производные:
- вторая производная от f(x,y) по х дважды
z xx ''  f xx ( x, y ) 
 2 f  x, y 
x
2

 f  x, y 
;
x x
вторая производная от f(x,y) по y дважды
-
z yy ''  f yy ( x, y ) 
 2 f  x, y   f  x, y 

y 2
y y
вторая смешанная производная от f(x,y) по x и по y
-
 2 f  x, y   f  x, y 

z xy ''  f xy ( x, y ) 

yx
y
x
- вторая смешанная производная от f(x,y) по y и по х.
z yx ''  f yx ''( x, y ) 
 2 f  x, y 
xy

 f  x, y 
x y
для функций, имеющих непрерывные частные производные второго порядка, смешанные
производные второго порядка совпадают
z xy ''  z yx ''
Пример 2 (продолжение примера 1). Вычислить вторые производные для функции
f(x,y) = x3y2 + sin x - 4y.
Решение. Применяя правила дифференцирования, получим
zxx = (3x2y2 + cos x)х’ = 6xy2 - sin x,
zyy = (2x3y – 4)y’ = 2x3,
zxy = (3x2y2 + cos x)y’ = 6x2y = zyx.
Теперь не представляет труда решение задачи о вычислении производных любого порядка.
Пример 3. Вычислить четвертую производную, причем одну по х и три по y для функции
f(x,y) = 2x4 ּ lny - cos(x + y3) + x3
В соответствии и правилами дифференцирования сложных функций и функций многих
переменных имеем:
40
f ( x, y )
 ((2 x 4 ln y  cos( x  y 3 )  x 3 )x )yyy  (8 x 3 ln y  sin( x  y 3 )  3x 2 )yyy 
 3 yx


 8 x3
 8 x3
2
3 
3
4
3 

 3 y cos( x  y )    2  6 y cos( x  y )  9 y sin( x  y )  
 y
 yy  y
y
x3
 16 3  6 cos( x  y 3 )  18 y 3 sin( x  y 3 )  36 y 3 sin( x  y 3 )  27 y 6 cos( x  y 3 ) 
y
x3
 16 3  (6  27 y 6 ) cos( x  y 3 )  54 y 3 sin( x  y 3 )
y
Производные от функций большего числа производных вычисляются по тем же правилам.
Пример 4. Пусть дана функция четырех переменных f(x,y,z,t)
f(x,y,z,t) = xz3t2 + yz2 cos(y3 - t).
Решение. Вычислим вторую смешанную производную по аргументам z и t
 2 f ( x, y , z , t )
 (( xz 3t 2  yz 2 cos( y 3  t ))z )t  ( xt 2 3 z 2  y cos( y 3  t )2 z )t 
t z
 3 xz 2 2t  2 yz ( sin( y 3  t )(1)  6 xtz 2  2 yz sin( y 3  t )
Глава 3. Дифференциалы функции двух переменных
Полным дифференциалом df(x,y) функции f(x,y) называется выражение
df  x, y  
f ( x, y )
f ( x, y )
f  x, y 
f  x, y 
x 
y 
dx 
dy
x
y
x
y
(3.1)
Напомним, что по определению для независимых переменных Δx=dx, Δy=dy.
Частным дифференциалом по переменной х называется следующее выражение
dz x 
f  x, y 
f ( x, y )
x 
dx
x
x
(3,2)
Аналогично определяется частный дифференциал по переменной у
dz y 
f  x, y 
f ( x, y)
y 
dy
y
y
(3.3)
Следовательно
dz  d x z  d y z
(3.4)
41
Полное приращение функции двух переменных, вызванное приращением ее аргументов,
отличается от полного дифференциала на бесконечно малую функцию более высокого
порядка малости, чем приращения аргументов Δх и Δу, т.е.
z = f(x,y) = df(x,y) + (Δx, Δy)
(3.5)
В этой связи на практике при небольших изменениях аргументов приращение функции
заменяют на ее полный дифференциал. Если значение f(x0,y0) известно, но неизвестно f(x1,y1)
= f(x0+x, y0+y), то приближенное значение функции удобно вычислять при помощи
полного дифференциала.
f ( x1 , y1 )  f ( x0 , y0 )  z  f ( x0 , y0 )  dz ( x0 , y0 )  f ( x0 , y0 ) 
z ( x0 , y0 )
z ( x0 , y0 )
x 
x
y
Пример 1. Найдем полный дифференциал функции z  x sin( x
Решение.
2
(3.6)
y) .
z 'x  sin( x 2 y )  x cos( x 2 y )2 x
z ' y  x cos( x 2 y )
1
2 y
 x

dz  sin( x 2 y )  x cos( x 2 y ) dx  
cos( x 2 y dy
 2 y



Пример 2. Найти для функции f(x,y) = xy приращение и соответствующий полный
дифференциал если x0 = 4, y0 = 3, а x1 = 4,2 и y1 = 3,1.
Решение. Δх = x1 - x0 = 0.2 ; Δ y = y1 - y0 =0.1.
f (х,у) = f (х1,у1) - f (х0,у0) = x1 y1 + x0 y0 = 4.2 ּ 3.1 - 12 = 1.02
f ( x0 , y0 )
f ( x0 , y0 )
df ( x, y ) 
x 
y  yx  xy  3  0.2  4  0.12  1.08
x
y
Следовательно, разность (рассогласование) между f и df составит 0.06.
Вторым дифференциалом функции двух переменых d2z называется диференциал от первого
дифференциала
 z
z   2 z
2 z
2 z
2 z
d 2 z  d (dz )  d  x  y   2 (x) 2 
xy 
yx  2 (y ) 2
y  x
xy
yx
y
 x
Опуская скобки и учитывая равенство смешанных производных получим
d 2z 
42
2 z 2
2 z
2 z 2 2 z 2
2 z
2 z 2

x

2

y

x


y

dx

2
dydx

dy
x 2
yx
y 2
x 2
yx
y 2
(3.7)
Глава 4. Градиент и производная по направлению.
Пусть в каждой точке области D задана дифференцируемая функция двух переменных z = f
(x, у). градиентом функции grad z в точке М(х, у) называется вектор, проекциями которого
являются частные производные
gradz 
z
z
i
j  z
x y
.
(4.1)
Аналогично определяется градиент функции трех переменных
gradu 
u u
u
i
j  k  u
x
y
z
(4.2)
Направление вектора градиента указывает направление наискорейшего изменения функции.
Длина вектора gradz равна
 z   z 
gradz      
 x   y 
2
2
(4.4)
Фналогично определяется и длина вектора gradu .
Для функции двух переменных в каждой точке М(х, у) вектор градиента перпендикулярен
линии уровня.
Если задан вектор S  {a, b} . Производной функции по направлению вектора S называется
проекция вектора градиента на направление вектора S
z
gradz  S
 prS gradz 
S
S
.
(4.5)
Т.е. проекция равна скалярному произведению векторов gradz и S делить на длину вектора
S.
z gradz  S


S
S
z
z
a b
x
y
a 2  b2
(4.6)
Аналогично определяется производная по направлению вектора S  {a, b, c} и для функции
трех переменных
43
u gradu  S


S
S
u
u
u
a b c
x
y
z
a 2  b2  c2
(4.7)
2
3
Пример. Вычислить градиент функции u  x y  xyz  yz в точке М(1,2,4) и производную по
направлению S  {1,3,1} .
Решение. Вычислим частные производные и найдем градиент функции
ux '  2 xy  yz
u y '  x 2  xz  z 3
uz '  xy  3 yz 2
gradu  (2 xy  yz )i  ( x 2  xz  z 3 ) j  ( xy  3 yz 2 )k
(4.8)
Если в выражение (4.8) подставить координаты точки М, то получим градиент функции в
точке М
gradu ( M )  12i  69 j  98k
Вычислим производную по направлению вектора S  {1,3,1}
u (2 xy  yz )(1)  ( x 2  xz  z 3 )3  ( xy  3 yz 2 )1  xy  yz  3x 2  3xz  3z 3  3 yz 2


S
11
(1) 2  32  12
В точке М
u 12  (1)  69  3  98 1 293 293 11



S
11
11
(1) 2  32  12
Глава 5. Экстремум функции двух переменных
Формула Тейлора для функции двух переменных
Формула Тейлора для функции одной переменной приведена в разделе 4
f ''  x0 
f  n  x0 
2
n
f ( x)  f  x0   f '  x0    x  x0  
  x  x0   .... 
  x  x0   Rn ( x)
2
n!
f n 1 c 
x  x0 n 1
Rn x  
n  1!
где
остаточный член формулы Тейлора.он определяет
погрешность, возникающую при замене функции на полином степени n.
x  x  x0
f ( x0 )
Преобразуем формулу, обозначив за
и перенесем
налево. Тогда
44
f ( x)  f  x0   f '  x0   x 
f ''  x0 
2
  x   .... 
2
f  n  x0 
n!
  x   Rn ( x)
n
f ( n ) ( x0 )(x) n  d n f ( x0 )
Разность f ( x)  f ( x)  f ( x0 ) есть приращение функции, а
. С учетом
этих значений, получим дифференциальную форму формулы Тейлора
f ( x)  df  x0  
d n f  x0 
d 2 f  x0 
 .... 
 Rn ( x)
2
n!
(5.1)
Дифференциальная форма справедлива для функции любого числа переменных, в частности,
для функции двух переменных,
f ( x, y )  df  x0 , y0  
d 2 f  x0 , y0 
2
 .... 
d n f  x0 , y0 
n!
 Rn ( x, y )
(5.2)
Здесь
df  x, y  
f  x, y 
f  x, y 
f ( x, y )
f ( x, y )
x 
y 
dx 
dy
x
y
x
y
d 2 f  x, y  

 2 f ( x, y ) 2
f ( x, y )
 2 f ( x, y ) 2

x

2

x

y

y 
x 2
xy
y 2
 2 f ( x, y ) 2
f ( x, y )
 2 f ( x, y ) 2
dx

2
dxdy

dy
x 2
xy
y 2
Максимум и минимум функции двух переменных.
Мы говорим, что функция двух переменных z = f (x, у) имеет максимум в точке М0(x0, y0),
если значение функции в этой точке больше чем во всех соседних точках
f(x0, у0) > f(x, у)
Аналогично, в точке минимума М0(x0, y0) значение функции меньше чем во всех соседних
точках
f(x0, у0) < f(x, у)
минимум и максимум функции достигаются только внутри области D.
Минимумы и максимумы называются экстремумами функции (рис. 3.1).
В точке максимума приращение функции отрицательно для любых соседних точек
Δf(x,y) < 0
(5.3)
В точке минимума приращение всегда строго положительно
45
Δf(x,y) > 0
(5.4)
а
б
Рис. 3.1. Максимум (а) и минимум (б) функции двух переменных.
Необходимые условия экстремума. В точке экстремума М0(x0, y0) каждая частная
производная первого порядка или равна нулю или не существует. Действительно, если мы
зафиксируем у = y0, то функция f(x, у0) будет функцией одной переменной х, а для функции
f ( x, y0 )
x
x0
одной переменной в точке экстремума первая производная
или равна нулю или
f ( x0 , y )
y
y0
не существует. Аналогично, если х = x0, то равна нулю или не существует
.
Точки, в которых обе частные производные равны нулю называются стационарными
точками. Для нахождения стационарной точки необходимо решить систему
 z
 x  0
 z
 0
 y
(5.5)
Не все стационарные точку будут точками экстремума. Условие (5.5) является только
необходимым условием, но не является достаточным.
Достаточные условия экстремума.
Теорема. Если в окрестности стационарной точки М0(x0, y0) функция z = f (x, у) имеет
непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, то функция двух
переменных имеет экстремум, если
2 z 2 z 2 z 2 z



0
x 2 y 2 xy yx
46
(5.6)
При этом
2 z
0
2
если x
, то достигается максимум
(5.7)
 z
0
2
если x
, то достигается минимум.
(5.8)
2
2 z 2 z 2 z 2 z
 2

0
2
Если x y xy yx
, то требуется дальнейшее исследование.
Доказательство. Докажем для максимума, для минимума доказательство аналогично.
В стационарной точке обе частные производные равны нулю, следовательно равен нулю
df  x0 , y0 
первый дифференциал
и формула Тейлора начинается со второго слагаемого
f ( x, y ) 
d 2 f  x0 , y0 
2
 .... 
d n f  x0 , y0 
n!
 Rn ( x, y )
В точке максимума приращение Δf(x,y) строго отрицательно Δf(x,y) < 0. Следовательно,
необходимо определить, при каких значениях вторых производных второй дифференциал
сохраняет знак.
d 2 f  x, y  
 2 f ( x, y) 2
f ( x, y)
 2 f ( x, y) 2

x

2

x

y

y  0
x 2
xy
y 2
x
2
y обозначим за t
Вынесем за скобки положительную величину y =(Δу)2, а отношение
x  t
y . Получим квадратный трехчлен по переменной t, который сохраняет знак при
любом значении t только если его дискриминант отрицателен
  2 f ( x, y) 2
f ( x, y)  2 f ( x, y) 
d f  x, y   y 
t 2
t
0
2
xy
y 2 
 x
2
2
2
 f ( x, y ) 
 2 f ( x , y )  2 f ( x, y )
D  2

4

0

x 2
y 2
 xy 
Или, сократив на 4 и переставив члены неравенства, получим
2
 2 f ( x, y )  2 f ( x, y )  f ( x, y ) 


 0
x 2
y 2
 xy 
47
Знак квадратного трехчлена совпадает со знаком коэффициента при t2. Поэтому в точке
2
 2 f ( x, y)
0
x 2
максимума
. Теорема доказана.
2
2
Пример. Исследовать на экстремум функцию z  x  y  xy .
Решение.вычислим первые производные и найдем стационарную точку
zx '  2 x  y
zy '  2 y  x
2 x  y  0
 x0  0, y0  0

2 y  x  0
Вычислим вторые производные
 z xx ''  2

 z yy ''  2

 z xy ''  1
В стационарной точке
zxx’’∙zyy’’-(zxy)2=2∙2-(-1)2 > 0,
следовательно это точка экстремума.
Так как zxx’’ > 0 ,то это точка минимума.
Глава 6. Метод наименьших квадратов.
Пусть функция y  f ( x) задана таблично. Чаще всего это бывает при проведении
экспериментальных исследований, когда значения функции непосредственно измеряются
или вычисляются при проведении эксперимента.
В этом случае результаты записываются в таблицу, где первая строчка – значения
независимой переменной х, а вторая – значения измеряемой переменной у.
Х
Y
x1
y1
x2
y2
…………………..
…………………………….
xn
yn
Требуется найти аналитическое выражение y  f ( x) , наилучшим образом описывающее
имеющиеся экспериментальные данные.
На практике общий вид аналитического выражения обычно известен, а необходимо найти
только неизвестные коэфициенты.
Проще всего эта задача решается для случая линейной зависимости, т.е. в том случае, когда
есть основания считать, что
y  ax  b
48
(6.1)
Во многих случаях линейное приближение является достаточным. Эффективно это означает
следующее: в формуле Тейлора отброшены все члены, кроме первых двух слагаемых
f ( x)  f  x0   f '  x0    x  x0 
(6.2)
Найдем неизвестные коэффициенты в выражении (6.1) методом наименьших квадратов.
Суть метода состоит в следующем: искомая прямая должна проходить так, чтобы было
минимальным суммарное отклонение прямой от экспериментальных точек. Для этого
вводится функция двух переменных S(a,b), задающая сумму квадратов отклонений
экспериментальных точек от точек, лежащих на прямой. На рис. 5 экспериментальные
значения обозначены черным, красным – прямая линия, коэффициенты a, b которой мы
должны найти, отклонения показаны черными линиями. Минимизировать надо именно
квадраты отклонений, так как сами отклонения имеют разные знаки и сумма их равна нулю.
Тем самым, подставив в (6.10) известные значения xi из таблицы, мы вычислим
соответствующие координаты y  axi  b точек, лежащих на прямой (красные точки на рис.
ax  b
6) и вычисляем квадраты разности между yi и i
.
n
S (a, b)   ( yi  (axi  b)) 2
i 1
(6.2)
Функция достигает минимума, если ее частные производные по a и b равны нулю. Вычислим
производные и приравняем их нулю
Рис. 5. Метод наименьших квадратов.
n
 S


2
( yi  (axi  b)) xi  0

 a

i 1

n
 S  2 ( y  (ax  b))  0

i
i
 b
i 1
49
Или, раскрывая скобки, получим систему двух уравнений для нахождения чисел a и b
n
n
 n 2
a
x

b
x

xi yi



i

 i 1 i
i 1
i 1
 n
n
a x  bn 
yi

i
 
i 1
i 1
Аналогично можно искать аппроксимирующую функцию вида
y  ax 2  bx  c
Пример. Даны экспериментально полученые пять значений искомой функции y  f ( x )
при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших
квадратов найти функцию y  f ( x ) в виде y  ax  b.
x
1
4,2
y
2
5,0
3
3.9
4
2,7
5
2,4
Метод наименьших квадратов позволяет найти коэффициенты а и b линейной функции
y  ax  b. Для этого составляется функция S(a, b)
2
5
S (a, b)    yi  (axi  b) 
i 1
и определяется, при каких значениях коэффициентов достигается минимум функции S.
Минимум достигается в стационарной точке, в которой обе частные производные
обращаются в ноль.
5
 S


2
( yi  (axi  b)) xi  0

 a

i 1

5
 S  2 ( y  (ax  b))  0

i
i
 b
i 1
или
5
5
 5 2
a
x

b
x

xi yi



i
i

 i 1
i 1
i 1
 5
5
a x  bn 
yi

i
 
i 1
i 1
Составим расчетную таблицутаблицу
№
1
2
3
4
5
сумма
50
xi
1
2
3
4
5
15
yi
4,2
5,0
3,9
2,7
2,4
18,3
xi2
1
4
9
16
25
55
xi· yi
4,2
10,0
11,7
10,8
12,0
48,7
у=f(xi)
4,9
4,3
3,7
3,0
2,4
Подставим полученные выражения в систему
55a  15b  48.7

15a  5b  18.3
Искомое уравнение
а = - 0,62
b = 5,52
y = - 0,62 x + 5.52
Подставим в это уравнение хi из таблицы, полученные значения занесены в последний
столбец таблицы.
Глава 7. Числовые ряды.
Основные определения теории числовых рядов. Пусть задана бесконечная числовая
последовательность
u1, u2, u3, ..., un ...
(7.1)
Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел, соединенная знаком
плюс т.е. выражение

u
n
u1 + u2 + u3 + ... + un + ... = n1 .
(7.2)
числа u1, u2, u3, ..., un, ... называются членами ряда и являются элементами заданной
последовательности (7.1).
Например, числовой ряд

1
1
1
1
1


 .......... 
 ......  
1 2 2  3 3  4
nn  1
n 1 nn  1
(7.3)
1
n n  1
имеет общий член un =
Сходимость и сумма ряда. Частичной суммой Sn называется сумма первых n членов ряда,
т.е. S = u1 + u2 + u3 ...+ un.
Частичные суммы ряда образуют новую последовательность - последовательность
частичных сумм: S1, S2, S3, ..., Sn, ... . Если существует конечный предел
lim Sn
последовательности частичных сумм n
= S < , то ряд (7.2) называется сходящимся,

u
n
S
а число S - суммой ряда. В этом случае пишут
Если предел последовательности частичных сумм бесконечен или не существует, то ряд (7.2)
называется расходящимся.
Пример. Определить сходимость ряда
1
1
1
1


 .... 
 ....
1 2 2  3 3  4
nn  1
Решение. Вначале запишем частичную сумму заданного ряда
n
k
1
Sn  
 1
,
n1
k  1 k  k  1
Рассмотрим предел частичных сумм
n1
51
1 
1

lim S  lim 1 
1  lim
 lim 1  1.
  nlim
n n n

n

n  1
n  1 n
Следовательно, ряд (7.3) сходится и его сумма равна 1.
Пример. Дан числовой ряд

1
1
1
1
1

......
.......  
,
2
3
n
n
n 1
исследовать сходимость ряда.
Решение.
1
1
1
1
Sn  1 

 ........
n
 n
2
3
n
n
Величина n бесконечно возрастает с ростом n. Поэтому предел последовательности Sn при
n   равен бесконечности и ряд расходится.
Пример. Определить сходимость следующего ряда:
1 - 1 + 1 - 1 + (-1)n+1 + ... .
Решение. Четная частичная сумма этого ряда S2n = 0, а нечетная - S2n+1 = 1. Это означает, что
lim S n
предел n не существует. Следовательно, данный ряд расходится.
Необходимое условие сходимости ряда. Для сходящихся числовых рядов всегда
выполняется одно условие - его общий член стремится к нулю. Дадим строгую
формулировку необходимого условия сходимости ряда.
Теорема о необходимом условии сходимости числового ряда. Если числовой ряд сходится,
то его общий член при n   стремится к нулю, т.е.
lim u  0
n n
(7.4)
Доказательство. Рассмотрим две соседние частичные суммы ряда (7.2)
Sn-1 = u1 + u2 + u3 + ... un-1,
Sn = u1 + u2 + u3 + ... un-1 + un.
Из сходимости ряда следует, что
lim S  lim S  S
n n n n 1
С другой стороны,
lim S  lim S  u n   lim S n1  lim u n ,
n n n n1
n
n
т.е.
lim u n ,
S = S + n
откуда и следует (7.4).
Введенное условие сходимости является лишь необходимым, но не достаточным. Это
lim u n  0
означает, что существуют расходящиеся ряды, у которых n
.
Пример. Покажем, что ряд
1
1
1
1

 ... 
 ...
2
3
n
удовлетворяет необходимому условию сходимости ряда, но является расходящимся.
Действительно, необходимое условие выполняется, так как
52
1
lim u n  lim
 0.
n
n n
Чтобы доказать расходимость ряда, рассмотрим его n-ю частичную сумму:
1
1
1
1
1
1
1
n
Sn  1 

 ... 



 ... 

 n
2
3
n
n
n
n
n
n
Очевидно, что ряд расходится, поскольку
lim S  lim n  
n n n
Основные свойства сходящихся числовых рядов.
Свойство 1. Добавление или отбрасывание конечного числа членов не изменяет сходимости
ряда.
Доказательство. Пусть A - сумма отброшенных (добавленных) членов ряда, а Sn - частичная
сумма исходного ряда (4.34). Тогда частичная сумма ряда с отброшенными (добавленными)
членами имеет вид S* = Sn  A.
Поскольку A - конечное число, то
lim S*  lim S n  A  lim S n  A.
n
n
n
lim  S ,
Следовательно, если существует n 
то существует и
lim S*  S  A.
n
Свойство 2. Если ряд
u1 + u2 + u3 + .... + un + ...
(7.5)
сходится и имеет сумму S, то ряд cu1 + cu2 + ... + cun + .., получаемый из предыдущего
умножением всех членов на одно и то же число с, также сходится и имеет сумму сּS.
Доказательство. Рассмотрим частичную сумму ряда (7.5):
n = cu1 + cu2 + cu3 + ... + cun = cּSn.
Поэтому
lim   lim c  S n  c  lim S n  c  S
n n n
n
Свойство 3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.
Доказательство. Пусть
u1 + u2 + u3 + ... + un + ... = S;
v1 + v2 + v3 + ... + vn + ... = Ф,
тогда ряд
(u1  v1) + (u2  v2) + ... + (un  vn) + ...
также сходится и имеет сумму S  Ф, так как
lim S   n   lim S n  lim  n  S  .
n n
n
n
Признаки сходимости числовых рядов c положительными членами
Числовой ряд называется рядом с положительными членами или просто положительным
рядом, если все числа u1, u2, u3, ..., un  0. Рассмотрим некоторые достаточные признаки
сходимости для положительных рядов.
1. Первый признак сравнения. Пусть даны три ряда:
-- ряд, сходимость которого надо определить,
u1 + u2 + u3 + ... + un + ... ;
(7.6)
53
-- сходящийся ряд
v1 + v2 + v3 + ... + vn + ... ;
(7.7)
-- расходящийся ряд
w1 + w2 + w3 + ... + wn + ... ;
(7.8)
Тогда:
а) если начиная с некоторого номера n, выполняется условие
un  vn
(7.9)
то из сходимости ряда (7.7) следует сходимость ряда (7.6);
б) если, начиная с некоторого номера n, выполняется условие
un  wn
(7.10)
то из расходимости ряда (7.8) следует расходимость ряда (7.6).
Доказательство
а).Обозначив частичные суммы
Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un ; Фn = v1 + v2 + v3 + ... + vn ;
в силу (7.9) имеем Sn  Фn.
lim  n
По условию задачи ряд (4.38) сходится, т.е. n
= Ф, следовательно
Ф  Фn  Sn .
Это означает, что последовательность частичных сумм Sn возрастает (в силу
lim S n
положительности ряда ) и ограниченна сверху величиной Ф. Поэтому n существует и
конечен, а ряд (7.6) сходится.
б). Обозначив
Wn = w1 + w2 + w3 + ... + wn + ...,
в силу (7.10) имеем Sn  Wn.
lim Wn
По условию ряд (7.8) расходится, т.е. n
= , следовательно
lim S n  lim Wn  
n
n
и ряд (7.6) расходится.
Второй признак сравнения. Пусть даны два ряда
u1 + u2 + u3 + ... + un + ...
v1 + v2 + v3 + ... + vn + ...
(7.11)
(7.12)
и можно указать такие постоянные числа k1 > 0 и k2 > 0, что, начиная с некоторого
достаточно большого n,
k1 
54
un
 k2
vn
(7.13)
Тогда ряды (7.11) и (7.12) одновременно сходятся или одновременно расходятся.
Доказательство. Из (7.13) следует, что
k1 vn  un  k2 vn.
(7.14)
Если ряд (7.11) сходится, то из левого неравенства (7.12) согласно первому признаку
сравнения вытекает сходимость ряда
k1 v1 + k1 v2 + k1 v3 + ... + k1 vn + ...
Из сходимости же этого ряда в соответствии со свойством 2 вытекает и сходимость ряда
(7.12).
Предположим теперь, что ряд (7.11) расходится. В этом случае расходится и ряд
u1 u 2 u 3
u


...... n ......
k2 k2 k2
k2
Из правой части (7.13) следует, что
un
 vn
k2
Следовательно, согласно первому признаку сравнения, ряд (7.12) также расходится.
Следствие (предельный признак сравнения). Если для рядов (7.11) и (7.12) выполняется
условие
u
lim n
n v n
= r < , где r  0,
(7.15)
то эти ряды сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. Соотношение (7.15) означает, что, начиная с некоторого n, все отношения
вида un/vn будут близки к r. Поэтому будут выполняться, например, неравенства
r un

 2r
2 vn
,
откуда, согласно доказанной выше теореме, и вытекает данное следствие.
Для сравнения обычно используются следующие эталонные ряды.
Геометрический ряд
a + aq + aq2 + ... + aqn-1 + ... .
Геометрический ряд сходится при условии q<1. В противоположном случае (q  1) ряд
расходится. Например, ряд
1 1
1
1   ...... n1 ...
2 4
2
сходится (q = 1/2), а ряд
1 + 2 + 4 + ... + 2n-1 + ...
расходится (q = 2). Можно также сказать, что этот ряд расходится потому, что не выполнено
необходимое условие сходимости ряда.
Обобщенным гармоническим рядом называется ряд
a
a
a
a  p  p ...... p .....
2
3
n
Этот ряд сходится при p > 1 и расходится при p  1.
Например, ряд
1
1
1
1  3  3 ......... 3 ....
2
3
n
- сходится, а ряд
55
1
1

1
......
1
.....
2
3
n
- расходится.
Обобщенный гармонический ряд при p = 1 называют просто гармоническим рядом:

1 1
1
1
1   .... .....   .
2 3
n
n 1 n
Гармонический ряд расходится!
Пример. Исследовать сходимость ряда

1
2
3
n
n



.....


.....

.

2
3
n
n
2 3 33
n  13
43
n 1 n  13

1
3
n
Решение. Сравним общий член этого ряда с геометрическим рядом n1 , который
сходится.
Так как
n
1
 n
n
 n  13 3
то, по первому признаку сравнения исследуемый ряд сходится.
Пример. Исследовать сходимость ряда
1
1
1
1


...
...
ln 2 ln 3 ln 4
ln n
Решение. Сравнивая общий член этого ряда с общим членом гармонического ряда
1
1
 ,
ln n n
заключаем, что этот ряд также расходится (по первому признаку сравнения).
Пример. Исследовать сходимость ряда

1
1
1
1
1


......
.....  
.
2  ln 2 3  ln 3 4  ln 4
n  ln n
n  2 n  ln n
Решение. Воспользуемся следствием из второго признака сравнения, используя
гармонический ряд
1  n  ln n
1
lim
 lim
1
n
n

ln n
1n
1
n
Сравниваемые ряды ведут себя одинаково, поэтому заключаем, что исследуемый ряд
расходится (т.к. гармонический ряд расходится).
Пример. Исследовать сходимость ряда
1
1
1
1
2
1
2 1 
2 
 2  ... 

 ... .
22
3 24
5
2n  1 2  2n
Решение. Рассмотрим отношение членов этого ряда к соответствующим членам
гармонического ряда:
2 1
:  2:
n n
- при нечетном n имеем
1 1 1
:  .
2n n 2
- при четном n имеем
56
Следовательно, отношение un/vn ни к какому пределу не стремится. Однако при всех n оно
заключено между 1/2 и 2. Поэтому согласно второму признаку сравнения исследуемый ряд
ведет себя так же, как и гармонический, т.е. расходится.
Признак Даламбера сходимости числовых рядов с положительными членами. Пусть
дан положительный ряд
u1 + u2 + u3 + ... + un + ... .
(7.16)
Если отношения последующего члена ряда un к предыдущему un-1, начиная с некоторого
значения n = N , удовлетворяет неравенству
un
 q  1,
un 1
n > N,
то ряд (7.16) сходится.
Если же, начиная с некоторого N , имеем
un
 1, n > N
un 1
(7.17)
(7.18)
то ряд (7.16) расходится.
Доказательство. Пусть имеет место соотношение (7.17), которое выполняется для всех n.
Тогда
un  un-1q, un-1  un-2q, ... , u2  u1q.
Отсюда, подводя почленную подстановку, получаем
un  u1qn-1
Это неравенство означает, что общий член ряда (7.16) не превосходит соответствующего
члена сходящегося (q < 1) геометрического ряда. В силу первого признака сравнения ряд
(7.16) сходится.
Пусть имеет место соотношение (7.18). Тогда
u1 < u2 < u3 < ...< un-1 < un <... ,
т.е. члены ряда не убывают по мере возрастания n. Следовательно, не выполнено
необходимое условие сходимости ряда и ряд (7.16) расходится.
На практике удобнее пользоваться предельным признаком Даламбера, формулировку
которого дадим в виде следствия.
Следствие. (Предельный признак Даламбера). Если
un
lim
 p
n un 1
,
то при p < 1 ряд (4.48) сходится, при p > 1 этот ряд расходится.
Пример. Исследовать сходимость ряда

2 4 8
2n
2n
  ........
.......  
1! 2 ! 3!
n!
n1 n !
Решение. Рассмотрим предел отношения
2 n  n  1 !
un
2
lim
 lim
 lim  0  1.
n u n1 n 2 n1 n !
n n
Следовательно, исследуемый ряд сходится.
un
lim
1
n u n 1
Замечание. Если
, то признак Даnамбера не дает ответа на вопрос о
сходимости ряда. В этих случаях надо привлекать другие признаки сходимости ряда.
57
Знакочередующиеся ряды
Знакочередующимися рядами называются ряды вида
u1 - u2 + u3 - u4 + ... ... ,
(7.19)
где все un > 0.
Сходимость таких рядов исследуется по теореме Лейбница: если в знакочередующемся ряде
lim un  0
u1 - u2 + u3 - u4 + ... ... , un > 0 все члены таковы, что u1 > u2 > u3 >u4 ... . и n
, то
ряд ( 4.51) сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда u1.
Доказательство. Возьмем сумму четного числа первых членов S 2m, которая положительна.
S2m = (u1 - u2 ) + (u3 - u4 ) + ... ...+ ( u2m-1 – u2m ) > 0,
так как выражение в каждой скобке больше нуля.
S2m возрастает при росте m, т.к. S2m = S2(m-1) + (u2m-1 – u2m) > S2(m-1) .
С другой стороны
S2m = u1 - (u2 - u3 ) - (u4 – u5)... ...- ( u2m-2 - u2m-1) – u2m < u1 .
т. е. при росте m S2m возрастает и ограничена сверху. Следовательно, имеет предел S=
lim S 2 m
= n 
.
Нечетные суммы будут иметь тот же предел S2m+1 = S2m + u2m+1
lim S
 lim S
lim u
n 2 m 1 n 2 m + n 2 m 1 = S + 0 = S.
.
Четные и нечетные суммы ряда имеют тот же предел, следовательно, ряд сходится. Теорема
доказана.
По знакочередующемуся ряду можно построить соответствующий ему положительный ряд
u1 + u2 + u3 + u4 + un +... . Если такой положительный ряд сходится, то знакочередующийся
ряд называют абсолютно сходящимся, в противном случае ряд называют условно
сходящимся. В абсолютно сходящемся ряде члены ряда можно переставлять без потери
сходимости, в условно сходящемся ряде перестановка членов ряда запрещена, т.к. она может
привести к потере сходимости.
Глава 8. Степенные ряды
Функциональным рядом называется ряд, членами которого являются функции от
аргумента x

 u  x
n
u1(x) + u2(x) + u3(x) + ... + un(x) + ... = n 1
(8.1)
Если в членах ряда (8.1) зафиксировать значение аргумента x=x0, то получим числовой ряд
u1(x0) + u2(x0) + u3(x0) + un(x0) + ... .
(8.2)
Если при x=x0 числовой ряд (8.2) сходится, то x0 называется точкой сходимости ряда (8.1).
58
Областью сходимости функционального ряда называется множество всех точек сходимости
этого ряда. Если значение x0 принадлежит области сходимости ряда (8.1), то можно говорить
о сумме этого ряда в точке x=x0:
u1(x0) + u2(x0) + u3(x0) + un(x0) + ... = S(x0).
Таким образом, значение суммы функционального ряда зависит от значения переменной x,
т.е. сумма функционального ряда сама является функцией переменной x.
Степенным рядом по степеням x называется функциональный ряд вида

а0 + а1x + а2x2 + ... аnxn + ... =
a x
n 0
n
n
(8.3)
где а0, а1, ... аn, ... не зависят от переменной x и называются коэффициентами этого ряда.
Степенной ряд (8.3) всегда сходится, по крайней мере, в точке x=0. При любых конкретных
x=x0 ряд (8.3) превращается в числовой ряд
а0 + а1x0 + а2x02 + ... аn x0n + ...
(8.4)
Степенной ряд (8.3) сходится в точке x0 абсолютно, если сходится ряд образованный из
модулей членов числового ряда (8.4)
а0 + а1x0 + а2x02 + ... аn x0n + ...
.
Нахождение области сходимости степенного ряда. Найдем область сходимости ряда (8.3),
используя признак Даламбера для положительных числовых рядов. По этому признаку ряд
(5.3) сходится, если
an x0n
a
lim
 x0  lim n  1.
n

1
n an1 x0
n an1
Следовательно, по признаку Даламбера ряд (8.3) заведомо сходится при
an 1
1
x
 lim
n


an
an
lim
n an 1
x 
и расходится при
1
an
lim
n an 1
a
 lim n 1
n an
.
a n 1
Величина
R  lim
n a n
(8.5)
называется радиусом сходимости ряда (8.3). Ряд заведомо сходится в интервале x < R или
-R < x < R, который называется интервалом сходимости.
Признак Даламбера ничего не говорит о сходимости ряда в точках х =  R. . В этих точках
сходимость ряда исследовать отдельно.
Исследовать степенной ряд на сходимость означает найти его интервал сходимости и
установить сходимость или расходимость ряда в граничных точках интервала, т.е. при x =
R и x = -R.
Пример 1. Исследовать на сходимость степенной ряд
59

x 4 x 2 9 x3
n2 x n
n2 n

 3  ....  n  .....   n x
2 22
2
2
n 0 2
Решение. Используя формулу (8.5), имеем
a
n 12 2n  2.
R  lim n1  lim
n an
n 2 n1 n 2
Интервал сходимости данного ряда характеризуется неравенством x < 2. Исследуем
сходимость ряда в граничных точках x=2. Очевидно, что

n2  2 
n
   1 n2

n
2
n 0
n 0
Оба эти ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости
численных рядов. Следовательно, область сходимости данного степенного ряда совпадает с
интервалом сходимости.
Пример 2. Найти область сходимости следующего ряда
n


n x
n
1 + x + 22x2 + 33x3 + ... + nnxn + ... = 1 +
Решение. По формуле (5.5) найдем
 n  1
n 1
n
n 1
1  n 1 
1  1
1
R  lim
 lim

 lim
 1
 lim
 e1  0
n nn
n (n  1)  n  n (n  1)  n  n (n  1)
Следовательно, ряд сходится только в одной точке x=0.
Пример 3. Найти область сходимости следующего ряда:

x2
xn
xn
1  x   ...   ....  
2!
n!
n 0 n !
Решение. Так как
n!
R  lim
 lim n  
n  n  1! n
то ряд сходится при всех конечных значениях x, т.е. - < x <.
n
n
Основные свойства степенных рядов.
1) Во всех точках, лежащих внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда является
непрерывной функцией переменной x:

a x
n 0
n
n
 S x 
2) Степенной ряд можно почленно интегрировать внутри интервала сходимости:
 x2
x2
  a x dx   S  x  dx.
n
n
n 0 x1
x1
3) Внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать:

 a ( x)  S ( x).
n 0
n
При почленном интегрировании и дифференцировании степенных рядов их интервалы
сходимости не меняются.
Пример 4. Найти сумму ряда
x 2 x3
xn
S  x   x    ....   ....
2 3
n
(8.6)
60
Решение. Найдем сначала интервал сходимости этого ряда n
n
R  lim
1
n n  1
Следовательно, интервал сходимости ряда (-1, +1). Продифференцировав (5.6), имеем
S(x) = 1 + x + x2 + ... + xn + ... .
Правая часть этого выражения - геометрический ряд с q = x, который сходится при x<1.
Поэтому, используя формулу суммы сходящейся геометрической прогрессии, получим
1
S ' x  
1 x
Отсюда сумму исходного ряда найдем интегрированием
dx
S  x  
  ln 1  x   C.
1 x
Найдем C. Из (5.6) следует, что S(0) = 0. Следовательно,
0 = - ln (1-0) + C, C = 0.
1
ln
Таким образом, S(x) = - ln (1-x) = 1  x .
Наряду со степенными рядами относительно переменной х часто рассматривают степенные
ряды по переменной (x-a), т.е. ряды вида
C0 + C1(x-a) + C2(x-a)2 + ... Cn (x-a)n + ...
(8.7)
Очевидно, что этот ряд подстановкой y = (x - a) превращается в ряд типа (5.3). Поэтому, если
степенной ряд (5.3) имеет интервал сходимости - R < x < R, то соответствующий ряд вида
(8.7) имеет интервал сходимости (a - R) < x < (a + R), центр которого расположен в точке x =
a.
Ряд Тейлора. Пусть функция f(x) в точке х = а имеет производные любого порядка.
Предположим, что имеется сходящийся степенной ряд

а0 + а1(x-a) + а2(x-a)2 + ...+ аn (x-a)n + ... =
сумма которого равна функции f(x), т.е.

 a x  a  ,
n 0
n
n
(8.8)
S x    an x  a   f x 
n
n 0
(8.9)
Найдем коэффициенты такого ряда. Очевидно, что f(a) = а0. Продифференцировав (8.8) в
точке х=а, имеем а1=f(a). Продифференцировав (8.8) в точке х=а дважды, получим а2 =
(f(a))/2. Продолжая дифференцирование равенства (8.8) можно убедится, что коэффициенты
ряда (находятся по формуле
f n  a 
an 
.
n!
Степенной ряд вида
f 'a
f ''  a 
f [n]  a 
2
n
f a 
 x  a 
 x  a   ..... 
 x  a   ....
1
2!
n!
называется рядом Тейлора для функции f(x).
В частном случае при a=0 ряд Тейлора имеет вид
61
f ' 0
f ''  0  2
f [n]  0 n
f  0 
x
x  ... 
x  ....
1!
2!
n!
f(x) =
(8.10)
и его называют рядом Маклорена.
Пример 5. Разложить в ряд Тейлора функцию f(x) = ex.
Решение. Поскольку ex =(ex)=(ex) = ...(ex)n, то при x=0 для f(x)= ex имеем
f(0) = 1; f(0) = 1; f(0) = 1; ...; f(n)(0) = 1; ... .
Следовательно, ряд Маклорена функции y = ex имеет вид

x2 x2
xn
xn
1  x    .....   .....  
2! 3!
n!
n 0 n !
ex =
(8.11)
Ряд (8.11) сходится на всей числовой оси к функции y=ex.
Пример 6. Разложить в ряд маклорена функцию f(x) = sinx.
Решение. Для функции f(x) = sin x имеем:


f '  x   cos x  sin  x   ;
2

f ''  x    sin x  sin  x    ;
....................................


f [ n ]  x   sin  x  n 
.
2

Следовательно, ряд Маклорена для sin x:
x3 x5
x 2 n 1
n
sin x  x    ...   1
 ...
3! 5!
 2n  1!
или

x 2 n 1
n
sin x    1
 2n  1!
n 0
Аналогично получается разложение для функции cos x:
2n
x2 x4
n 1 x
cos x  1    ...   1
 ...
2! 4!
 2n  !
или
2n

n x

1



 2n  ! .
cosx= n 0
Подобным образом можно получить разложения в ряд Тейлора или Маклорена и многих
других функций.
62
Раздел 8. Дифференциальные уравнения
Глава 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
Пусть x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция этой переменной. y, y, ..., y(n)
- производные неизвестной функции. Уравнение, связывающее независимую переменную х с
функцией y(x) и ее производными до порядка n включительно, называется обыкновенным
дифференциальным уравнением.
F (x, y, y, y, ... , y(n)) = 0.
(1.1)
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной,
входящей в уравнение.
Дифференциальное уравнение n-го порядка может не содержать некоторые из величин x, y,
y, ... , y(n-1) или даже все эти величины, но оно обязательно содержит n-ю производную y(n).
Пример 1. y + 2y = 0 - уравнение 1-го порядка, так как наивысший порядок производной
равен единице.
Пример 2. y(4) - y = 0 - уравнение 4-го порядка: входят производные 1-го и 4-го порядков,
наивысший порядок производной равен 4.
Решение дифференциального уравнения - это функция y = y0(x), которая, будучи
подставлена в уравнение, обращает его в тождество:
F(x, y0(x), y0, ... , y0(n)(x))  0.
Пример 3. Пусть дано уравнение y + y = 0. Покажем, что функция y = sinx является
решением этого уравнения.
Имеем y= (sin x) = cosx, y= (cosx)= - sinx. Подставим в уравнение вместо y и y функции
sinx и - sinx:
- sin x + sin x  0.
Покажем, что функция y = C1 cosx + C2 sinx, где C1 и C2 - произвольные постоянные, также
является решением данного уравнения. Имеем
y = - C1 sinx + C2 cosx; y = - C1 cosx - C2 sinx.
Подставим в уравнение выражения y и y:
- C1 cos x - C2 sin x + (C1 cos x + C2 sin x)  0.
График решения y = y(x) называется интегральной кривой. Задача нахождения решений
дифференциального уравнения называется задачей интегрирования дифференциального
уравнения.
Рассмотрим уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной:
y(n) = f (x, y, y, ... , y(n-1)).
(1.2)
Такая запись уравнения называется видом разрешенным относительно старшей
производной.
Предполагаем, что функция f определена, однозначна и непрерывна в некоторой области
изменения своих аргументов. Задача нахождения решения y = y(x), удовлетворяющего
заданным начальным условиям: при x = x0
y = y0, y= y0, ..., y0(n-1) = yo(n-1) ,
(1.3)
где x0, y0, y0, ... , y0(n-1) суть заданные числа (начальные данные), называется задачей Коши.
Начальные условия можно записать и так:
63
y x  x  y0 , y  x  x  y1 , ... , y n -1
0
0
x  x0
 y n 1 .
Дадим определения общего и частного решений уравнения n-го порядка y(n) = f(x, y, y, ..., y(n1)
), правая часть которого есть функция определенная и непрерывная в некоторой области G
изменения переменных x, y, y,...,y(n-1). Функция
y = (x,C1,C2, ...,Cn),
(1.4)
зависящая от аргумента x и n произвольных постоянных C1, C2, ..., Cn, называется общим
решением уравнения (1.2) в области G, если она удовлетворяет двум условиям:
1) функция (1.4) является решением уравнения (1.2) при любых значениях произвольных
постоянных C1, C2, ...,Cn;
2) каковы бы ни были начальные условия (1.3), существует единственный набор постоянных
C10, C20, ...,Cn0, такой, что функция y= (x,C10, C20, ..., Cn0) является решением уравнения (1.2)
и удовлетворяет начальным условиям (1.3).
Чтобы найти решение уравнения (1.2) с начальными данными x0, y0, y0, y0(n-1) из области G,
если известно общее решение (1.2) поступают следующим образом:
1) составляют систему уравнений
 y0  ( x0 , C1 , C2 ...Cn )
 y '  ( x , C , C ,...C )
0
1
2
n
 0
....................................
 ( n 1)
 ( x0 , C1 , C2 ,...Cn )
 y0
(1.5)
2) решая систему (1.5), находят C10, C20, ..., Cn0;
3) подставляют найденные значения произвольных постоянных в общее решение(1.4) и
получают искомое решение
y= (x,C10, C20, ..., Cn0),
которое является искомым единственным решением задачи.
Если общее решение уравнения (1.2) задано в неявном виде
Ф(x, y,C1, C2, ..., Cn) = 0
(1.6)
то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Всякое решение, получаемое из общего решения (1.4) при конкретных значениях
постоянных C1 = C10, C2 = C20, ..., Cn = Cn0, называется частным решением уравнения (1.2).
Пример 4. Дано уравнение y + y = 0. Найти его частное решение, удовлетворяющее
y  0, y' x0 =1
начальным условиям: x0
Решение. Выше было показано, что функция y= C1 cos(x) + C2 sin(x), где C1, C2 произвольные постоянные, является решением данного уравнения. Это общее решение. Для
нахождения частного решения используем начальные условия: x0 = 0, y0 = 0. Заметим, что
при этих условиях y = 1.
Составим систему типа (4.65)
 y  C1 cos x  C2 sin x;

 y '  C1 sin x  C2 cos x.
Для заданных начальных условий имеем
64
0
0  C cos  0   C sin  0 

0  C1 ; C 1  0;
1
2

 0

1  C1 sin  0   C2 cos  0  1  C2 ; C 2  1.
Найденные значения C10, C20 подставим в общее решение:
y = C10 cosx + C20 sinx  y = sinx.
Итак, искомое частное решение уравнения y = sin(x).
Глава 2. Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка - это уравнение, в которое входят
независимая переменная, неизвестная функция и первая производная этой функции. Общий
вид дифференциального уравнения первого порядка
F(x, y, y) = 0.
(2.1)
Здесь F - заданная функция трех аргументов. Она может не зависеть от x или y (или от обеих
переменных), но должна содержать y.
Если уравнение (2.1) разрешить относительно y, то получим разрешенный вид
y = f(x,y),
(2.2)
где f - заданная функция от x и y. В дальнейшем мы будем рассматривать только уравнения в
разрешенном виде.
Решение дифференциального уравнения (2.2) - это функция y = y0(x), которая, будучи
подставлена в это уравнение, обращает его в тождество:
y0(x)  f(x,y0).
Пример 1. Дано уравнение y + y ctg x - 2cos x = 0.
Покажем, что функция y = sin x является его решением. Для этого подставим в данное
уравнение вместо y и y функции sinx и (sinx) = cosx. Имеем:
cosx + sinx ctgx - 2cosx = cosx + cosx - 2cosx  0.
Уравнение обратилось в тождество.
Функция
y =  (x,C)
(2.3)
называется общим решением уравнения (2.2), если она является решением этого уравнения
при всех значениях произвольной постоянной C.
Если общее решение задано в неявном виде (x,y,C) = 0, то оно называется общим
интегралом. Частное решение уравнения (2.2) - это решение, которое получается из общего
(2.3) при конкретном значении C.
Для дифференциального уравнения (2.2) задача Коши формулируется так: среди всех
решений уравнения найти решение y = y(x), удовлетворяющее условию
y x  x  y0
0
(2.4)
где x0, y0 - заданные числа.
65
Условие (2.4) называется начальным условием, а числа x0, y0 - начальными значениями.
Уравнения с разделяющимися переменными - это уравнение, правая часть которого f(x,y)
есть произведение двух сомножителей f(x) и g(y), каждый из которых зависит только от
одной переменной
y =f(x)ּg(y).
(2.5)
Уравнения с разделяющимися переменными интегрируются следующим образом: y
dx
dy
g y
заменяется на dx , затем умножаются обе части (2.5) на   .
Получим:
dy
dy
 f  x g  y 
 f  x  dx
dx
g  y
(2.6)
Дифференциалы переменных x и y, и соответствующие функции стоят отдельно, т.е
переменные отделены.
dy
 g  y
f ( x)dx
Если обозначить G(y) =
, F(x) = 
, то уравнение (2.6) можно переписать в виде
dG(y) = dF(x).
Так как из равенства дифференциалов двух функций следует, что сами функции отличаются
на произвольное постоянное слагаемое, то
G(y) = F(x) + C
или
dy
 gy 
=
f(x)dx + C.
(2.7)
Выражение (2.7) представляет собой общий интеграл уравнения (2.5). Вычислив интегралы в
(2.7), получим решение исходного уравнения
Пример 2. Решить уравнение xy+ y = 0.
y
y' 
x
Решение. Разрешим уравнение относительно y:
Здесь f(x) = -1/х, а g(y) = y.
Заменим в этом уравнении y на dy/dx и умножим обе части уравнения на dx/y:
dy
y
dy
dx
 

dx
x
y
x
dy
dx
 y   x  C1
Получили уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, находим
,
где C1 - произвольная постоянная.
Отсюда следует: ln y = - lnx + C1.
В данном случае удобно вместо C1 написать ln C2 (C2 > 0).
Тогда ln y = - ln x + ln C2
или
66
C2
C2
y
x
x
Так как C2 принимает любые значения, то обозначая C2 = C, окончательно получим
C
y
x
где C - произвольная постоянная.
Эта формула и дает общее решение заданного уравнения. Найдем теперь частное решение,
удовлетворяющее начальному условию yx=4 = 1/2. Для этого в равенство y = C/х подставим
вместо x и y значения 4 и 1/2. Получим 1/2 = C/4. Отсюда следует, что C = 2. Таким образом,
искомое частное решение имеет вид y=2/х.
y 
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение,
линейное относительно искомой функции y(x) и ее производной y(x). В общем случае оно
имеет вид
y + p(x)y = f(x).
(2.8)
Если f(x)  0, то уравнение называется линейным уравнением без свободного члена (правой
части) или линейным однородным уравнением. Итак,
y + p(x)y = 0
линейное однородное уравнение (оно же уравнение с разделяющимися переменными).
Если f(x) 0, то уравнение (2.8) называется линейным неоднородным уравнением.
Например, уравнение y - y cos2x = х2 является линейным неоднородным уравнением.
Однородное по отношению к нему будет уравнение y - y cos2x = 0. Уравнение (2.8) можно
интегрировать разными методами. Мы рассмотрим метод Бернулли. Он состоит в
следующем. В уравнении (2.8) делаем замену:
y = u(х) ּ v(х),
(2.9)
Дифференцируя по правилу «производная произведения двух функций», имеем
y = u(х) ּv(х) + u(х) ּv(х)
(2.10)
Подставим в уравнение (2.8) вместо y и y их выражения из (2.9) и (2.10), получим
u(х)v(х) + u(х)v(х) + p(х)u(х)v(х) = f(х)
или
uv + u[v + p(x)v] = f(х).
(2.11)
Так как одну из функций в (2.9) можно выбрать произвольно, то функцию v выберем таким
образом, чтобы коэффициент при u обратился в нуль, т.е.
v + p(x)v = 0.
(2.12)
Уравнение (2.12) относительно функции v(x) является уравнением с разделяющимися
переменными. Поэтому из (2.12) имеем:
67
dv
dv
dv
 pv  0 
  pv 
  pdx
dx
dx
v
Интегрируя, находим

dv
   pdx  C  ln v     pdx  C.
v
Так как функция v - это любая функция, удовлетворяющая (2.8), то полагаем C=0.
Итак,
  pdx
ln(v) = -  pdx  v  e
.
Представляя найденную функцию v(x) в уравнение (2.8), получим
 pdx
ux   e   f x .
Отсюда следует
 pdx
 pdx
u  e   f x   du  e   f x dx.
Интегрируя, получим
 pdx
u   e   f x dx  C,
(2.13)
где C - произвольная постоянная. Для того, чтобы найти y(x), умножим найденную u(x) на
v(x):
 pdx
 pdx
y  e    e   f ( x)dx  C .


(2.14)
Формула (2.14) дает общее решение дифференциального уравнения (2.8).
Задача. Найти общее решение уравнения
2 xy
y ' 2
  x 2  3 cos x
x 3
Решение. Это линейное неоднородное уравнение, где
2x
px    2
, f  x   x 2  3cos x.
x 3
Выполнив замену y = uּv , получаем y = uv + uv.
Заданное дифференциальное уравнение перепишем в виде
2x
u ' v  uv ' 2
uv   x 2  3 cos x
x 3
или
2x 

u ' v  u v ' 2
v    x 2  3 cos x
x 3 

Приравняем выражение в скобках нулю:
2x
v ' 2
v0
x 3
68
Получили уравнение для функции v(x) - уравнение с разделяющимися переменными.
Интегрируем его:
dv
2x
dv
2x
dv
2x
2 xdx
 2
v0 
 2
dx     3 dx  ln v    2

dx x  3
v x 3
v
x 3
x 3
 ln v   ln x 2  3  v  x 2  3.
Подставляя функцию v(x) в уравнение, найдем уравнение для функции u(x):
u(x2 + 3) = (x2 + 3)cosx.
Отсюда следует


u = cos(x) или u =  cos(x) dx + C  u = sin(x) + C.
Теперь находим общее решение заданного уравнения y(x) :
y = uv  y = (sin(x) + C)(x2 + 3).
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальное уравнение второго порядка - это уравнение, в которое входят
независимая переменная, неизвестная функция, первая и вторая производные этой функции.
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка
F (x, y, y',y'')  0.
(3.1)
Здесь F - заданная функция четырех аргументов. Она может не зависеть от x , y и y’(или от
обеих переменных), но должна содержать y’’.
Если уравнение (3.1) разрешить относительно y’’, то получим разрешенный вид
y’’ = f(x,y,y’),
(3.2)
где f - заданная функция от x,y и y’. В дальнейшем мы будем рассматривать только
уравнения в разрешенном виде.
Решение дифференциального уравнения (2.2) - это функция y = y0(x), которая, будучи
подставлена в это уравнение, обращает его в тождество:
y0’’(x)  f(x,y0, y0’).
(3.3)
Определение. Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция
y  y  x,C1 ,C2 
,
(3.4)
которая при любых значениях произвольных постоянных C1 и C2 является решением этого
уравнения.
y x  x  y0 , y x  x  y1
0
0
Если заданы начальные условия (это называется задача Коши)
, то
подставляя начальные условия в общее решение получим частное решение. Конкретные
значения постоянных C1 и C2 находятся из системы
 y0  ( x0 , C1 , C2 )

 y0 '  ( x0 , C1 , C2 )
Определение. Линейным неоднородным уравнением второго порядка называется уравнение
69
y '' p( x) y ' q( x) y  f ( x) ,
(3.5)
где p(x), q(x) – коэффициенты уравнения, а f(x) – правая часть уравнения.
Если f(x) =0, то уравнение называется однородным
y '' p( x) y ' q( x) y  0
(3.6)
Если коэффициенты p(x) и q(x) постоянны, т.е. не зависят от х, то это уравнение называют
уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так:
y '' p y ' q y  0 .
(3.7)
Решением такого уравнения может быть только функция не меняющая свой вид при
дифференцировании, т. е.
y  ekx , y '  kekx , y ''  k 2ekx .
(3.8)
Подставляя функцию и производные в уравнение (3.7), получим
k 2ekx  p kekx  q ekx  0 .
kx
В этом выражении e  0 при любых значениях k и x, поэтому на него можно сократить.
Определение. Уравнение
k2  p k  q  0
(3.9)
которое получается из линейного однородного уравнения, называется характеристическим
уравнением.
2
Известно, что квадратное уравнение k  p k  q  0 имеет решение, зависящее от
2
дискриминанта D  p  4q :
1. Если D  0 , то корни k1 и k2 - действительные различные числа.
p D
k1,2 
y  e k1x y2  e k2 x
2
. Следовательно решениями будут функции 1
и
.
В качестве общего рещения берется их линейная комбинация с произвольными
постоянными C1 и C2
y  C1e k1x  C2e k2 x
.
2. Если D  0 , то k1 = k2 ,
следующее выражение
k1,2
(3.10)
p

k
2
. Тогда в качестве общего решения берется
y  C1e kx  C2 xe kx
3.Если D  0 , то решениями уравнения будут два комплексных числа
70
(3.11)
D
p

2 ,
2 , а i  1 .
, где введены обозначения
В этом случае можно использовать формулу (3.10), подставляя k1    i , а k2    i , но
удобнее сделать преобразование и записать общее решение в виде
k1,2    i

y  ex (C1 sin x  C2 cos x)
(3.12)
Пример 1. Найти общее решение уравнения y  4 y  3 y  0 .
kx
kx
2 kx
Решение. Ищем решение уравнения в виде y  e , тогда y  ke , y  k e и, подставляя
kx
2 kx
kx
kx
в исходное уравнение получим k e  4ke  3e  0. Так как e  0, то на него можно
2
сократить и мы получим k  4k  3  0.
Находим его корни
k1, 2  2  4  3  2  1;
k1  3, k2  1.
Корни характеристического уравнения вещественные, различные, значит, общее решение
дифференциального уравнения имеет вид
y  c1ek1 x  c2ek 2 x
или
y  c1e3 x  c2e x .
Пример 2. Найти общее решение уравнения y  4 y  4 y  0.
Решение. Составляем характеристическое уравнение (см. пример 1)
k 2  4k  4  0.
Решаем его
k1, 2  2  4  4  2.
Корни характеристического уравнения вещественные равные. Общее решение
дифференциального уравнения имеет вид
y  c1  c 2 x  e kx
или
y  e2 x c1  c2 x .
Пример 3. Найти общее решение уравнения y  4 y  13 y  0.
Решение. Составляем характеристическое уравнение (см. пример 1)
k 2  4k  13  0;
k1, 2  2  4  13  2  3i    i .
Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные, значит, общее решение
дифференциального уравнения имеет вид
y  ex (C1 sin x  C2 cos x)  e 2 x (C1 sin 3x  C2 cos 3x)
Пример 4. Найти частные решения однородных линейных дифференциальных уравнений
второго порядка, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
a ) y   5 y   4 y  0, где y x 0  5, y  x 0  8
b) y   4 y  0, где y x 0  0, y  x 0  2.
71
Решение. а) находим общее решение (см. пример 1)
k 2  5k  4  0;
5
25
5 3

4   ;
2
4
2 2
k1  4, k2  1.
4x
x
Общее решение y  c1e  c2e .
k1, 2 
Дальше решаем задачу Коши. Постоянные c1, c2 найдем с помощью начальных условий,
вычислив предварительно производную от общего решения
y  4c1e4 x  c2e x .
Подставляя начальные условия в общее решение и его производную, получим
c1  c2  5
y x 0  5 ;
4c1  c2  8

y

x 0
.
8.
Из этой системы находим c1  1, c2  4.
Подставив значения постоянных в общее решение, получим искомое частное решение
y  e4 x  4e x .
в) решаем второе уравнение. Его характеристическое уравнение имеет вид
k 2  4  0.
k  2i.
Находим корни: 1, 2
Общее решение y  c1 cos 2 x  c2 sin 2 x.
Вычисляем: y  2c1 sin 2x  2c2 cos 2x.
Подставляя начальные условия, получаем
0  c1 cos 0  c2 sin 0; c1  0;
2  2c1 sin 0  2c2 cos 0; c2  1.
Частное решение y  sin 2 x.
Общим решением неодногодного уравнения будет сумма общего решения однородного
уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Укажем способ, позволяющий найти частное решение неоднородного уравнения по виду
правой части. Заметим, что это возможно лишь в случаях, когда правая часть уравнения
является функцией определенного вида.
f ( x)  Ae mx , m  k1.m  k2
1.
Пусть
y
 Be mx
Тогда частное решение ищут в виде част
. Коэффициент В находят непосредственной
подстановкой частного решения в уравнение. Общее решение имеет вид
y  C1e k1x  C2e k2 x  Be mx
f ( x)  an x n  an 1 x n 1  an  2 x n  2  ...a1 x  a0 k1,2  0
2.
,
.
Тогда частное решение ищут в виде
yчаст ( x)  bn x n  bn 1 x n 1  bn  2 x n  2  ...  b1 x  b0
.
f
(
x
)

A
sin
bx

B
cos
bx
,
b
  , то
3.
Если
yчаст ( x)  M sin bx  N cos bx
.
Если справа стоит сумма или произведение двух функциий, то в качестве частного решения
берется соответственно сумма или произведение соответствующих функций.
72
x
Пример 5. Найти общее решение уравнения y  2 y  xe .
Решение. Находим сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
y  2 y  0.
2
k   2.
Характеристическое уравнение k  2  0. Его корни 1, 2
Общее решение однородного уравнения
y  c1e
2x
 c2e
2x
.
Теперь следует найти частное решение yчаст ( x) неоднородного уравнения. Правая часть
x
f x   xe x , значит yчаст ( x) ищем в форме yчаст ( x)   Ax  B  e , т.к. k  1 не является
корнем характеристического уравнения.
Требуется найти неизвестные коэффициенты А и В. Для определения А и В дифференцируем
дважды yчаст ( x)
yчаст ( x)'  Ae x   Ax  B  e x ,
yчаст ( x)''  2 Ae x   Ax  B  e x
и подставляем это в данное неоднородное уравнение:
 2 Ae  x   Ax  B  e  x  2 Ax  B  e  x  xe  x .
x
x
Так как e  0, то сократив e , получим тождественное равенство двух полиномов
2 A  Ax  B  x   Ax   B  2 A  x.
Значения А и В найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и
правой частях
при Х :  A  1  A  1;
при Х°: 2 A  B  0  B  2 A  2.
Подставляем найденные А и В в y
y   x  2  e x    x  2  e x .
Общее решение неоднородного уравнения
y    y  c1e x 2  c2 e  x 2   x  2  e  x .
Пример 6. Найти общее решение уравнения y   y   2 y  8sin 2 x.
Решение. Соответствующее однородное уравнение
y   y   2 y  0.
Составляем характеристическое уравнение и решаем его
1
1
k 2  k  2  0; k1,2   
 2; k1  1; k2  2;
2
4
y  c1e x  c2 e 2 x .
Правая часть данного неоднородного уравнения
f x  8sin 2x.
y ( x)
Следовательно, частное решение част
разыскиваем в виде
yчаст ( x)  A cos 2 x  B sin 2 x
,
т.к. k  2 не является решением характеристического уравнения.
Дифференцируем и подставляем это решение в неоднородное уравнение
yчаст ( x) '  2 A sin 2 x  2 B cos 2 x;
73
yчаст ( x)''  4 A cos 2 x  4 B sin 2 x;
 4 A cos 2 x  4 B sin 2 x  2 A sin 2 x  2 B cos 2 x  2 B sin 2 x  2 A cos 2 x  8 sin 2 x.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях в левой и
правой частях тождества
при sin 2 x :  4 B  2 A  2 В  8;
при cos 2 x :  4 A  2 B  2 A  0.
Из этой системы находим А и В
2
 6 B  2 A  8; 3B  A  4; B  3 A; A   ;
5
6
6 A  2 B  0; 3 A  B  0; B   ;
5
2
6
yчаст ( x)   cos 2 x  sin 2 x.
5
5
Общее решение
2
y  c1e x  c2 e 2 x   cos 2 x  3sin 2 x  .
5
Пример 7. Найти частное решение уравнения y   4 y  sin x, удовлетворяющее начальным
y  1, y x0  1.
условиям x0
Решение. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям,
необходимо получить сначала общее решение данного неоднородного уравнения. Находим
его (см. пример 6)
k 2  4  0, k1,2  2i, y  c1 cos 2 x  c2 sin 2 x;
yчаст ( x)  Asin x  B cos x, yчаст ( x)'  A cos x  B sin x;
yчаст ( x)''   A sin x  B cos x.
y ( x)
Подставляем част
в уравнение
 A sin x  B cos x  4 A sin x  4 B cos x  sin x;
1
 A  4 A  1, 3 A  1, A  ;
3
 B  4 B  0, 3B  0, B  0;
1
yчаст ( x)  sin x.
3
Искомое частное решение будем находить из общего. Общее решение неоднородного
уравнения
1
y  c1 cos 2 x  c2 sin 2 x  sin x;
3
1
y  2c1 sin 2 x  2c2 cos 2 x  cos x.
3
Подставляем начальные условия. При x  0 имеем
1
1
1  c1 , 1  2c2  ; c2  .
3
3
Найденные постоянные подставляем в общее решение неоднородного уравнения
1
1
y  cos 2 x  sin 2 x  sin x
3
3
искомое частное решение.
74
Заключение
Изучение математики в высшем учебном заведении преследует разные цели. Это и
тренировка логического мышления, и возможность решать математическими методами
всевозможные прикладные задачи и изучение универсального символьного языка, который
используется в естественно-научных и технических дисциплинах.
Дальнейшее изучение математики предполагает изучение следующих разделов: Теория
вероятностей и Математическая статистика.
Эти дисциплины носят прикладной характер, но их изучение невозможно без знания
основных сведений, изложенных в нашем курсе математики.
75
Учебное издание
МАТЕМАТИКА
Часть 2
Учебное пособие
Оригинал-макет подготовлен автором
и издан в авторской редакции
Подписано в печать 27.03.2013 г. Формат 60х84 1/16.
Усл. печ. л. 4,3. Тираж 100 экз. заказ 55/13.
Электронный адрес: http://alt-rinpo.sutd/ru
Отпечатано в типографии ФГБОУВПО «СПГУТД»
191028, Санкт-Петербург, ул. Моховая, 26
76