Задачи и упражнения по курсу с решениями

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО КУРСУ
(с решениями)
№1 Какое предельное разрешение можно получить на электронном микроскопе с
ускоряющим напряжением 100kV, 400kV если все ошибки за исключением
дифракционной равны нулю. Угловая апертура объективной линзы 610-3 рад.
Решение

rD 
0.61

12, 26
 12, 26 / 105  0,039Å
E
  12, 26 / 4 105  0,0193Å


12, 26

E 1  09788 106 E


0.039

3.965
A
6 103

0.019
0.61 

1.932
A
6 103
0.61 
Å
№2 Определить длину волны электронов с учетом релятивистских поправок и без них в
электронном микроскопе с ускоряющими напряжениями 100kV, 400kV. Какую ошибку
вносит отсутствие релятивистских поправок.
Решение
h
;
2meE



h

2meE 1  eE 2mc 2
12.26
= 0.039
100000
12.26
5.
10
1
= 0.037
0.9788. 10
6.
5
10
E - в вольтах,  - в ангстремах
E (kV)
E=100kV
E=400kV
E=600kV
 (Å)
=0.039Å
=0,019Å
=0,016Å
релятив (Å)
релятив=0.037Å
релятив=0,016Å
релятив=0,0159Å
№3 Рассчитать необходимую ширину щели коллиматора для выделения К1 линии в
методе Ланга. Исследуемый кристалл - кремний, а=5,4306Å; отражение (220); расстояние
от источника до выходной щели коллиматора 450мм; источник - точечный. Длины волн
K1=0,70926Å; K2=0,71354Å
Решение
2d sin 1  1
2d sin  2  2
2d cos   

tg

     2  1
   D
sin 
tg 

cos
 
0.711 2

5.4306 1  0.711 2 / 5.4306


2
 0.188
(0.71354  0.709926)
0.188 450  0.509mm
0.711
№4 Определить экстинкционную длину для отражения (220) кремния для излучения
MoK1 и CuK1 . Фурье-компанента поляризуемости для этого случая для MoK
(220)=(2.04+i0.017)10-6. Фурье-компанента поляризуемости для этого случая для CuK
(220)=(9.74+i0.340)10-6. Параметр решетки для кремния а=5,4306Å, длины волн
соответственно равны MoK1=0.70926Å, CuK1=1.54051Å
Решение

2
 cos

K c  H  H
2d sin   
sin  
1
d2


2d
cos  1  sin 2  
 1
,
2
4d
h k l
2
2
2
 1

 2 h2  k 2  l 2
4a

2
2
a2
Для MoK
0.7112 8
 0.902
4 5.4306
0.902
  0.711
 3.144 105 Å = 3.144 10-5 м  31, 44 мкм
2.04 106
cos  1 
Для CuK
1.542 8
 0.355
4 5.4306
0.355
  1.54
 5.615 103 Å = 5.615 10-7 м  0.5615 мкм
9.74 106
cos  1 
№5 Определить количество экстинкционных полос которое будет наблюдаться на
топограмме кристалла кремния с клиновидным срезом на краю. Толщина кристалла
450мкм, поверхность кристалла перпендикулярна вектору [111], топограмма снята на
отражении (220) перпендикулярном поверхности кристалла на излучении MoK1
(=0,70926Å). Фурье-компанента поляризуемости кристалла для этого случая
(220)=(2.04+i0.017)10-6. Параметр решетки для кремния а=5,4306Å.
Решение
0.7112 8
 0.902
4 5.4306
0.902
  0.711
 3.144 105 Å = 3.144 10-5 м  31, 44 мкм
6
2.04 10
t
450
n 
 14.3
 31.44
cos  1 
№6 Оценить пространственное разрешение на рентгеновской топограмме снятой по
методу Ланга. Излучение MoK1 (=0,70926Å), расстояние образец - фотопластинка
l=10мм, размеры источника x=30мкм, расстояние источник - щелб L=450мм,
используемое отражение (220), фурье-компанента поляризуемости кристалла для этого
случая (220)=(2.04+i0.017)10-6.
Решение
 x   xg   xD   f
 x  l   D ,  D  tg
 xD   tg ,  
f 
 cos 
 дифракционное. уширение
c H
l
 x  геометрическое. уширение.( уширение.за.счет.фокального.пятна)
L
2d  sin   
sin  
tg 

 спектральное. уширение


2

h2  k 2  l 2
a
sin 
1  sin 2 
0.711. 2
= 0.185
5.4306
0.185
1
= 0.188
2
0.185
0.71354
0.70926
= 0.003
0.711. 2
0.188. 0.003 = 5.64 10
4
4
5.64. 10 . 10 = 0.006
31.44. 0.188 = 5.911
0.564
5.911 = 6.475
№7 Оценить толщину кристалла кремния при которой соотношение амплитуд нормальной
и аномальной волн для симметричного отражения (220) на излучении MoK будет
составлять 1/10. Фурье-компанента поляризуемости кристалла для этого случая
(220)=(2.04+i0.017)10-6. Фурье-компанента поляризуемости кристалла для этого случая
0=(3.156+i0.0162)10-6. Параметр решетки для кремния составляет, а=5,4306Å.
Решение
1,2 
0 
0 
 ih 
1  c

cos 
i 0 
2

i0
I1  I 0 exp   1t 
I 2  I 0 exp    2t 
ln  I1 / I 2     2  1  t
2  1 

2i 0 
 ih
 
 1  c ih  
1  c
 cos 
i0
i0 
4 c
ih
 cos
ln( 10 ) . 0.711. 1
4. . 0.017. 10
2
0.185
6
6
= 7.531 10
в Å или 7,53110-4м=7.531102мкм
№8 Какой контраст (экстинкционный или бормановский) будет наблюдаться на
топограмме монокристалла кремния толщиной 900мкм на отражении (220) на излучении
а)-MoK1 oi  0,0162 , б)-CuK1 oi  0,351 .
Решение
0 
2

i 0
2  0, 0162  106
 9 107  1, 432 107  9 107  12,888MoK
0, 711
2  0,351 106
 9 107  1, 432 106  9 107  128,88CuK
1,54
№9 Рассчитать структурную амплитуду для гранецентрированной кубической решетки.
Определить закон погасания рефлексов для этой структуры.
Решение
11 1 1 11
Базис  000, 0, 0 ,0 

22
2 2
2 2
f1=f2=f3=f4=f
F (hkl ) 
N
f j exp2 i u j h  v j k  w j l 

j 0
F (hkl )  f 1 exp  i  h  k   exp  i  k  l   exp  i l  h  


 f 1 cos   h  k   cos   k  l   cos  l  h 


четные
если hkl одновремнно
F=4f
нечетные
если hkl
смешанные
F=0
№10 Рассчитать структурную амплитуду для объемоцентрированной кубической
решетки. Определить закон погасания рефлексов для этой структуры.
Решение
1 1 1
Базис  000,


2 2 2
f1=f2=f
F  hkl   f 1  exp  i  h  k  l   
 f 1  cos   h  k  l  
если h+k+l
если h+k+l
четное число
нечетное число
F=2f
F=0
№11 Какое оптимальное разрешение можно получить на электронном микроскопе с
ускоряющим напряжением 100kV, если учесть дифракционную ошибку и сферическую
аберрацию. Угловая апертура объективной линзы
610-3 рад. Коэффициент сферической аберрации Cs=0,17мм.
Решение
r  rd  rs
rd 

0.61



h
2meE 1  eE 2mc 2

rs  Cs  3
r  rd  rs 
0, 61
0.61

  Cs  3 
0.61


h
2meE 1  eE 2mc
2

 Cs  3
0, 039
6
2 3

1,
7

10

2

10

  3,965  13, 6 Å
6 103
12. На рентгеновской топограмме кристалла с поверхностью (111), полученной по методу
Ланга, наблюдаются прямолинейные дислокации. Они лежат в плоскости ( 1 11) вдоль
направления [0 1 1]. Изображение гаснет при отражении от системы плоскостей ( 4 22).
Определить тип этих дислокаций.
 gb   g xbx  g yby  g z bz  0
g  g x  4; g y  2; g z  2
b  bx  0; by  1; bz  1
13. Определить величину ускоряющего напряжения, начиная с которого разница длин
волн с учетом и без учета релятивистской поправки будет составлять 15 процентов.


h
2meE
rel 

h
2meE 1  eE
rel 
2mc 
2
12, 26
E 1  0,9788 106 E 
  rel
1


100  1 
 100
6

 1  0,978 10  E 
14. На щель шириной a падает плоская волна. Рассчитать распределение излучения за этой
щелью. (Дифракция на узкой щели).
Решение
0
f  x  
1
x  a/2
x  a/2
Вспоминая, что
a / 2

e 2 iux dx 
a / 2
e
ax
F u  


f  x  e
2 iux
a / 2
dx 


e 2 iux dx 
a / 2
1
dx  eax и обозначая a  2 iu можно записать
a
a
2 iu  
1  2 iu a2
2
 e
e

2 iu 

1
 cos  ua   i sin  ua   cos  ua   i sin  ua   
2 iu 
sin  ua 
1

  2i sin  ua   
2 iu
 u 
0
f  x  
1
g  x 
x  a/2
x  a/2
f  x     x  a / 2    x  a / 2
d
f  x     x  a / 2    x  a / 2
dx
G u   e
a
2 i u
2
e
a
2 i u
2
 2i sin  2 ua 
sin  au 
u
d

G  u   F  f  x    2 iu  F  u 
 dx

F u  
2i sin  au  sin  au 

2 iu
u
15. Определить коротковолновую границу тормозного спектра рентгеновского излучения
для ускоряющего напряжения 20kV, 40kV, 60kV.
Решение
hc
12394
h max 
 eV min 
V (в вольтах) λ (в
V
min
V=20000v
λ=0,620Å
ангстремах)
V=40000v
λ=0,309Å
V=60000
λ=0,206Å
16. Рассчитать структурную амплитуду, структурный фактор и определить законы
погасаний для решетки алмаза. Координаты базиса [[000,1/4,1/4,1/4]].

 i  h  k  l    1  exp i h  k  exp i h  l  exp i k  l
F  hkl   f 1  exp 
 

  
   
 

2


Решение т.е.
F  hkl   fF1 F2
Если hkl – числа разной четности, то F2=0. Если hkl – числа одинаковой четности, то F2=4.
2
2
2
Тогда для h+k+l=4n F  64 f 2 ; для h+k+l=2n+1 F  32 f 2 ; для h+k+l=4n+2 F  0 ;
Погасания наблюдаются для hkl разной четности и при h+k+l=4n+2.
17. При съемке на дифрактометре в медном излучении в качестве селективного фильтра
используется никель. Определить, насколько уменьшится интенсивность K и K  излучений. Толщина фильтра 0,0021см, NI=8,9*103 кг/м3.
Решение
В области длин волн =1,5Å в никеле наблюдается резкий скачек коэффициента


 275 . Используя значение Ni
поглощения. В связи с этим  
 45,9 и  
  CuK 
  CuK
определяем  для CuK и CuK излучений. Из закона поглощения I  I 0 e   d найдем
 I 
I 
I
 0, 42 ;    0, 0058 .
 e   d . Подставив значения  и d получим  
I0
 I 0 CuK
 I0 
18. Длина волны K-серии меди K=1,540Å. Определить длину волны K-серии молибдена,
если zCu=29, zMo=42.
Решение
B
Запишем закон Мозли   c  z    или в виде  
здесь C, B и  константы,
2
 z  
причем   1 . Тогда приближенно можно записать
MoK  CuK 
 zCuK  1
 zMoK  1
MoK  zCuK  1

или
CuK  zMoK  1
19. Определить число атомов в элементарной ячейке железа кристаллизующегося в
кубической системе; ребро куба, а=2,87Å, атомный вес железа 55,84; плотность =7,8
Решение
Применяя формулу плотности к элементарной ячейке находим
7,8   2,87  1024
N

 2 т.е. на элементарную ячейку приходится 2 атома.
A  mH 55,84 1, 65 1024
A – атомный вес
mH – масса атома водорода
  a3
3
20. Показать, что вектор обратной решетки Hhkl перпендикулярен плоскости прямой
решетки с индексами (hkl).
Решение (см. приложение 1).
21. Показать, что модуль вектора обратной решетки равен обратной величине
1
межплоскостного расстояния для плоскосей с индексами (hkl) т.е. H  .
d
Решение (см. приложение 1).