спецкурс Введение в теорию эллиптических операторов

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Введение в теорию эллиптических операторов» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины спецкурс
«Введение в теорию эллиптических операторов»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
для направления 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
Авторы программы: Шевчишин В., PhD, shevchishin@googlemail.com
Горинов А.Г., к.ф.-м.н., gorinov@mccme.ru
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2014 г.
Председатель С.М. Хорошкин ____________________
Утверждена УС факультета математики
«___»_____________ 2014 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман _____________________
Москва, 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Введение в теорию эллиптических операторов» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра

Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления
010100.68 «Математика» подготовки магистра
Программа разработана в соответствии с:
 ОС НИУ ВШЭ;
 Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки
магистра, специализации Математика, утвержденным в 2014 г

Цели освоения дисциплины
•
•
•
•

Целями освоения дисциплины «Введение в теорию эллиптических операторов» являются:
Формирование у слушателей ясного представления о базисных понятиях и основных
методах теории эллиптических операторов и их применении, и в особенности, теоремы
Атии-Зингера об индексе;
Знакомство с феноменами отличающими теорию эллиптических операторов от общей
теории дифференциальных уравнений в частных производных;
Углублённое изучение некоторых конкретных тем и методов, в частности, когомологии
Дольбо и теорема Римана-Роха,
теорема
Тома-Хирцебруха о сигнатуре, другие
специальные случаи применения теоремы Атии-Зингера об индексе;
Изучение общих принципов применения теории эллиптических операторов и теоремы
Атии-Зингера об индексе в алгебраической геометрии, дифференциальной геометрии и
топологии; рассмотрение конкретных примеров.
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
•
•
•
•
В результате освоения дисциплины студент должен:
Получить общее представление о предмете «Теория эллиптических операторов», изучить
базисные понятия и основные методы;
Изучить основные методы, принципы и математические структуры, используемые в теории
эллиптических дифференциальных операторов, и в частности, общую теорию дифф.
операторов в частных производных, символ дифф. оператора в частных производных,
эллиптичность, комплексы дифф. операторов и их эллиптичность, теорему Атии-Зингера об
индексе для операторов и комплексов, основные примеры применения теоремы
Атии-Зингера;
Ознакомиться с применением теории эллиптических операторов и теоремы Атии-Зингера в
других разделах математики, в частности, в алгебраической и в комплексной
дифференциальной геометрии, в топологии и теории особенностей;
Быть готовым использовать основные принципы и методы теории эллиптических операторов
и теоремы Атии-Зингера в последующей профессиональной деятельности в качестве научных
сотрудников, преподавателей вузов.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Введение в теорию эллиптических операторов» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
умение
формулировать
результат
Код по
ФГОС/
НИУ
ПК-3
умение строго
ПК-4
доказать утверждение
умение грамотно
ПК-7
пользоваться языком
предметной области
понимание
корректности
постановок задач
ПК-10
выделение главных ПК-16
смысловых аспектов
в доказательствах
Дескрипторы – основные признаки
Формы и методы обучения,
освоения (показатели достижения
способствующие формированию и
результата)
развитию компетенции
Правильно воспроизводит чужие
Компетенция формируется в любом
результаты
сегменте учебного процесса
Правильно формулирует
собственные результаты
Воспроизводит доказательства
стандартных результатов,
услышанных на лекциях
Оценивает строгость и корректность
научных текстов по теории
эллиптических операторов
Владеет профессиональной
лексикой используемой в теории
эллиптических операторов
Формируется в процессе активных
занятий (участие в семинарах,
выполнение курсовых и дипломных
работ).
Изучение базового курса
За счет повышения обще-физической
и математической культуры в
процессе обучения
Продумывание и повторение
услышанного на семинарах и
лекциях. Беседы с преподавателями
во время консультаций.
Распознает и воспроизводит
названия основных математических Компетенция достигается в процессе
структур, возникающих при
накопления опыта работы по данной
изучении данной дисциплины, умеет теме и общения с преподавателями.
корректно формулировать
утверждения и их доказательства
Понимает постановки проблем
Продумывание базовых понятий курса
Адекватно оценивает корректность
использования тех или иных
математических методов,
применяемых при формулировке и
решении задач
Понимает и воспроизводит
ключевые идеи, методы и
геометрические конструкции
теории эллиптических операторов
Вырабатывается в процессе решения
задач, самостоятельного чтения,
работы над курсовыми заданиями
Продумывание ключевых моментов
лекций
Вырабатывается путем активного
Обосновывает и оценивает
решения задач, самообразования,
мотивировки и логические ходы
общения с преподавателем
доказательств основных результатов
многомерного комплексного анализа
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Введение в теорию эллиптических операторов» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра

Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественно научных
дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра и магистра направления
подготовки «Математика»
●
●
●
●
●
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
базовые курсы алгебры, математического анализа и динамических систем (1 и 2 годы
бакалавриата);
базовый курс теории функций комплексного переменного (2 год бакалавриата);
базовый курс топологии (1 и 2 годы бакалавриата);
базовый курс дифференциальной геометрии (3-4 годы бакалавриата): определение и
основные свойства гладких многообразий, касательного и кокасательного расслоений,
дифференциальных форм и метрик
базовые сведения функционального анализа (3-4 годы бакалавриата): определение и
основные свойства гильбертовых, банаховых и L^p-пространств, непрерывных операторов
между банаховыми пространствами;.
Желательно, но не необходимо также знакомство с некоторыми основными понятиями и
результатами из курсов:
● пучки и гомологическая алгебра (I-II модули, 3, 4 год бакалавриата);
● дифференциальная геометрия (I-IV модули, 3, 4 год бакалавриата);
● алгебраическая геометрия (I-IV модули, 3, 4 год бакалавриата);
● теория особенностей (Singularity Theory) (I-IV модули, 3-4 год бакалавриата);
● функциональный анализ (I-IV модули, 3-4 год бакалавриата);
● теория функций многих комплексных переменных (I-IV модули, 3-4 год бакалавриата).
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
- свободное владение основными понятиями линейной алгебры
- решение дифференциальных уравнений стандартных типов
- дифференцирование и интегрирование функций одной и нескольких переменных
- дифференцирование и интегрирование дифференциальных форм
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении
следующих дисциплин:
- Алгебраическая геометрия;
- Теория функций многих комплексных переменных и комплексная дифференциальная
геометрия;
- Дополнительные главы математической физики, в особенности, квантовая теория поля и
зеркальная симметрия;
- Теория групп и алгебр Ли и комплексных однородных пространств;
- Теория особенностей.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Введение в теорию эллиптических операторов» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра

Тематический план учебной дисциплины
№
Название раздела
Всего
часов
Аудиторные часы
Самостояте
льная
работа
Лекции Семинары Практичес
кие
занятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Формулировка теоремы об индексе.
Дифференциальные операторы и их символы.
Основные факты и важнейшие примеры
(операторы эйлеровой характеристики и
сигнатуры). Эллиптические комплексы и их
основные примеры (де Рам, Дольбо).
Оператор Дирака.
Индекс фредгольмова оператора и его основные
свойства.
Обзор К-теории.
Теорема периодичности Ботта.
Индекс кососимметрических фредгольмовых
операторов. Теорема Ботта в вещественной
К-теории.
Теоремы Соболева и Реллиха. Соболевские
пополнения пространств сечений.
Псевдодифференциальные операторы и их
символы (обзор).
Основные теоремы об эллиптических
операторах (существование параметрикса,
эллиптическая регулярность). Приложение:
теорема Ходжа о разложении.
Итого:
180
8
8
12
12
6
8
12
1
8
8
6
10
12
10
6
10
6
10
8
10
72
108
Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Форма контроля
Параметры **
1 2 3 4
Текущий
(неделя)
Решение
домашнего
задания
Промежу_ Зачет
точный
6 письменных домашних заданий
1 контрольная работа
Письменное задание, выдаваемое студентам на дом. Срок сдачи
задания – от 7 до 14 дней (в зависимости от его объема). Срок
проверки заданий – в течение недели со дня сдачи.
Письменная работа + беседа с преподавателем (всего 1,5-2 часа)
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Введение в теорию эллиптических операторов» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
 Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Основная форма текущего контроля – решение задач из домашних заданий (3-5 задач по
каждой теме). Задачи подбираются так, чтобы их решение потребовало от студента свободного
владения основными понятиями и умения пользоваться техническими (вычислительными)
приемами, которые изучаются в соответствующем разделе курса. Часть задач повышенной
сложности носят исследовательский характер и предполагают самостоятельное изучение
студентами материала, не излагавшегося на лекциях. Обсуждение подходов к решению этих задач
происходит на семинарах и во время консультаций. Решение некоторых (но не обязательно всех)
задач повышенной сложности является необходимым условием получения отличной оценки за
домашнее задание (8-10 баллов).
Экзамен (зачет) включает в себя письменную подготовку, состоящую из одной-двух
распространенных задач, решение которых требует от студента владения как понятийным, так и
техническим аппаратом по изучавшимся в течение модуля темам, а также из одного теоретического
вопроса. На письменную подготовку отводится 1 час во время зачета и 1,5 часа во время экзамена.
Затем студент в очной беседе с преподавателем излагает результаты своей письменной работы и,
при необходимости, отвечает на 1-2 дополнительных вопроса. Время, отводимое на беседу: Ѕ - 1
час во время зачета, и Ѕ - 1Ѕ часа во время экзамена.
 Порядок формирования оценок по дисциплине
Промежуточная оценка за первый модуль Опромежуточная 1и накопленная оценка за 2
модуль Онакопленная 2 рассчитываются аналогично:
Опромежуточная 1 (Онакопленная 2) = 0.5*Отекущий + 0.5*Осам.работа ,
где Отекущий и Осам.работа --- оценки текущего контроля и самостоятельной работы студентов в
соответствующих модулях.
Здесь оценка текущего контроля Отекущий рассчитывается как взвешенная сумма трех
форм текущего контроля, предусмотренных в РУП
Отекущий = 0.3* Од/з + 0.2* Ок/р + 0.5* Окол/зачет ,
Оценки за домашнее задание Од/з , контрольную работу Ок/р , и коллоквиум/зачет Окол/зачет
выставляются по 10-балльной шкале. Способ округления накопленной оценки текущего контроля: в
пользу студента.
Студент, получивший низкие оценки текущего контроля, имеет возможность их однократной
пересдачи.
Самостоятельная работа студентов, а именно:изучение по поручению преподавателя
дополнительных материалов, подготовка на их основе сообщений и выступление с ними на
семинарах, а также разбор у доски задач повышенной сложности на семинарских занятиях --оценивается по 10-бальной шкале оценкой Осам.работа. Оценки за самостоятельную работу
студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам.
работаокончательно определяется перед промежуточным (итоговым) контролем.
Накопленная итоговая оценка за весь период изучения дисциплины определяется как среднее
арифметическое оценкок за 1 и 2 модули:
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Введение в теорию эллиптических операторов» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
Онакопленная итоговая = 0.5*(Опромежут 1+ Онакопленная 2)
Результирующая итоговая оценка за дисциплину учитывает также оценку за экзамен
Оитог.контроль, выставляемую по 10-бальной шкале, и определяется по формуле
Орезультирующая итог = 0,4*Онакопленная итоговая + 0,6*Оитог.контроль
Способ округления накопленной и результирующей итоговых оценок: в пользу студента.
На экзамене(зачете) студент может получить дополнительный вопрос (дополнительную
задачу), ответ на который оценивается в 1 балл.
Оценка за итоговый контроль - блокирующая, при неудовлетворительной итоговой оценке
она равна результирующей.
В диплом ставится результирующая итоговая оценка по учебной дисциплине.

Образовательные технологии
На лекции обсуждаются ключевые понятия и технические выкладки разбираемой темы,
даются необходимые определения, разбираются поучительные примеры. Студентам на дом даются
задачи для самостоятельного разбора, содержащие как упражнения для усвоения пройденного
материала, так и нестандартные задачи, позволяющие проверить уровень общего понимания
предмета и требующие изучения дополнительного материала. Некоторые задачи предваряют
(продолжают) тематику лекций. Студент сдает задачи как в виде письменных домашних работ, так
и в виде устной беседы с преподавателем.

Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
 Тематика заданий текущего контроля
Примерный список задач по теме “Введение в теорию эллиптических операторов”.
1. Описать комплекс де Рама на гладком многообразии и показать его эллиптичность.
2. Описать комплекс Дольбо на комплексном многообразии и показать его
эллиптичность. Тоже самое для комплекса Дольбо со значениями в голоморфном
векторном расслонии.
3. Найти выражение индекса заданного эллиптического оператора или комплекса через
характеристические классы.
4. Сформулировать основные свойства фредгольмовых и компактных операторов. Дать
простейшие нетривиальные примеры и контрпримеры фредгольмовых и компактных
операторов.
5. Сформулировать теорему периодичности Ботта в комплексной и вещественной Ктеории, а также в терминах алгебр Клиффорда. Доказать эквивалентность обоих
подходов.
1
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к зачету.
1. Теорема Рохлина о сигнатуре: сигнатура гладкого 4-мерного спин-многообразия
делится на 16.
2. Докажите, что на S^4 и HP^2 (кватернионная проективная плоскость) нет
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Введение в теорию эллиптических операторов» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра 01.04.01 «Математика» подготовки магистра
комплексной структуры.
3. Докажите формулу сложения для класса Эйлера: $e(E_1 + E_2)=e(E_1)\smile e(E_2)$.
4. Теорема Римана-Роха в характеристике 0: формулировка, какой оператор между
какими расслоениями используется, почему его индекс равен эйлеровой
характеристике расслоения.
5. Вычислите целочисленные когомологии полного пересечения данной мультистепени
в CP^n.
6. Докажите, что структурная группа ориентируемого $2n$-мерного вещественного
векторного расслоения редуцируется к $Spin^C$ тогда и только тогда, когда 2-й класс
Штифеля-Уитни целочисленный.
7. С помощью изоморфизма Ботта докажите, что класс Черна комплексного расслоения
на S^2n делится на (n-1)!. Выведите отсюда, что на S^2n не может быть комплексной
структуры при n>3.

Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
 Основная литература

B. Booss, D. D. Bleecker, Topology and Analysis. The Atiyah-Singer Index Formula and
Gauge-theoretic Physis. Springer, Universitext, 75 figs. xvi+451 pages, ISBN
978-1-4684-0627-6
 Дополнительная литература

H. B. Lawson, M.-L. Michelsohn, Spin geometry. xii+427 pp. Princeton University Press,
Princeton Mathematical Series. 1989.

Р. Пале, Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе, 360 стр., М.: «Мир», 1970.

А. С. Мищенко Векторные расслоения и их применения. 208 стр., М.: Наука, 1984.

Дж. Милнор, Дж. Сташеф. Характеристические классы. 374 стр., М., Мир, 1979.