МИНИСТЕРСТВА ЗДРАВООХРАНЕНИЯ И СОЦИАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ И СОЦИАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.И.ПИРОГОВА»
МИНИСТЕРСТВА ЗДРАВООХРАНЕНИЯ И СОЦИАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
(ГБОУ ВПО РНИМУ им. Н.И.Пирогова Минздравсоцразвития России)
УТВЕРЖДАЮ
Декан Медико-биологического факультета
___________________________
профессор Ю.В.Балякин
«____» _______________20__г
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Направление подготовки (специальность) 060602
МЕДИЦИНСКАЯ БИОФИЗИКА
Форма обучения
очная
Срок освоения ООП
6 лет,
Кафедра
Высшей математики МБФ
1
Методические указания к разработке рабочей программы
При разработке рабочей программы учебной дисциплины в основу положены:
1) ФГОС ВПО по направлению подготовки (специальности) 060602 «Медицинская
биофизика» утвержденный Министерством образования и науки РФ «_08_» __11___ 2010г.
2) Учебный план по специальности «Медицинская биофизика» одобрен Ученым советом
ГБОУ ВПО РНИМУ им. Н.И.Пирогова Минздравсоцразвития России
от «_16____» _мая___________2011___г. Протокол № 10_
Рабочая программа учебной дисциплины «Высшая математика» одобрена на заседании
кафедры __ Высшей математики МБФ ГОУ ВПО РГМУ Росздрава
от «_26____»
мая______2011___г. Протокол № 6_____
Заведующий кафедрой Высшей математики МБФ ГБОУ ВПО РНИМУ
им. Н.И.Пирогова
профессор В.Н.Акимов
_________________________
Рабочая программа учебной дисциплины одобрена Ученым
биологического факультета ГБОУ ВПО РНИМУ им. Н.И.Пирогова от
«_30 » ___08____2011___г. Протокол № _1_
советом
Медико-
Председатель Ученого совета Медико-биологического факультета
профессор Ю.В.Балякин__
_______________________
Разработчики:
Зав. кафедрой Высшей математики МБФ, профессор
В.Н.Акимов
____________________
подпись
Профессор кафедры Высшей математики МБФ
В.Я.Попов
_______________________
подпись
Рецензенты:
Доцент каф. ЭТФ МБФ___
(занимаемая должность)
_________________
( подпись)
2
А.К.Курек_
(ФИО)
2. ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
2.1. ЦЕЛЬ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
Целью освоения учебной дисциплины «Высшая математика» является подготовка
высокопрофессионального специалиста медицинского биофизика владеющего математическими
знаниями, умениями и навыками применять математику как инструмент логического анализа,
численных расчетов и оценок, построения математических моделей физико-химического,
биологического и медицинского содержания, обработки экспериментальных данных в своей
профессиональной деятельности.
При этом задачами дисциплины являются:
- Изучение фундаментальных понятий, свойств, методов и принципов построения основных
разделов высшей математики - математического анализа, аналитической геометрии, линейной
алгебры, дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики.
- Приобретение студентами знаний о методах построения математических моделей и
использования математики для изучения естественнонаучных дисциплин.
- Формирование базовых навыков применения математики для решения медико-биологических
задач.
- Формирование навыков изучения научной литературы и использования справочной литературы
при математической обработке данных.
- Формирование у студентов навыков общения с коллективом.
2.2. МЕСТО
УНИВЕРСИТЕТА
УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ
(МОДУЛЯ)
В
СТРУКТУРЕ
ООП
2.2.1. Учебная дисциплина «Высшая
математика»
относится
к
математическому,
естественнонаучному циклу С.2., изучается в первом и втором семестрах. Программа
предназначена для подготовки специалистов по специальности 060602 «Медицинская
биофизика» с квалификацией врач.
2.2.2. Для изучения данной учебной дисциплины (модуля) необходимы следующие знания,
умения и навыки, формируемые предшествующими дисциплинами:
Основой для изучения дисциплины в ВУЗе являются знания полученные студентами в рамках
школьной программы по алгебре, геометрии , тригонометрии и оцененные положительно по ЕГЭ.
Для эффективного изучения дисциплины необходимы следующие знания, умения и навыки:
Знания: основные понятия, определения, свойства и теоремы входящие в школьные курсы
алгебры, геометрии и тригонометрии, математического анализа.
Умения: понимать формулировки математических задач, обосновывать действия и строить
доказательства, исследовать и строить графики основных элементарных функций, производить
вычисления без применения и с использованием вычислительной техники.
Навыки: составлять, осуществлять преобразования и решать алгебраические и
тригонометрические уравнения , системы уравнений и неравенств, анализировать получаемые
решения.
3
2.3. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
(МОДУЛЯ)
2.3.1. Виды профессиональной деятельности , которые лежат в основе преподавания данной
дисциплины:



организационно-управленческая;
научно-исследовательская;
научно-методическая,
2.3.2.Изучение данной учебной дисциплины направлено на формирование у обучающихся
следующих общекультурных (ОК) и профессиональных (ПК) компетенций:
№
п\
п
Номер /
индекс
компете
нции
1
ОК-1
2
3
ПК-1
ПК-2
Содержание компетенции (или
ее части)
-способен
анализировать
социально-значимые проблемы и
процессы,
использовать
на
практике методы гуманитарных,
социальных,
экономических,
естественнонаучных,
медикобиологических и клинических
наук
в
различных
видах
профессиональной и социальной
деятельности);
- способен анализировать
результаты естественнонаучных,
медико-биологических, клиникодиагностических исследований,
использовать знания основ
психологии человека и методов
педагогики в своей
профессиональной деятельности,
совершенствовать свои
профессиональные знания и
навыки, осознавая при этом
ответственность дисциплинарную,
административную, гражданскоправовую, уголовную;
-готов
использовать
полученные
теоретические,
методические знания и умения по
фундаментальным
естественнонаучным,
медикобиологическим, клиническим и
4
В результате изучения учебной
дисциплины обучающиеся
должны:
Знать
Уметь
Владеть
-Основы
Применять Методами
высшей
необходим математи
математи ые методы ческого
ки:
математиче аппарата,
математи ского
биометри
ческий
анализа
ческими
анализ и обработки методами
аналитиче эксперимен обработк
ская
тальных
и
геометрия данных,
эксперим
,
выбрать
ентальны
линейная соответств х медикоалгебра,
ующий
биологич
теория
математиче еских и
вероятнос ский
клиничес
ти
и аппарат
ких
математи для
данных;
ческая
решения и
статистик контроля
а, теория правильнос
дифферен ти
циальных решения;
уравнени
й
и
уравнени
й
в
частных
производ
ных,
элементы
прикладн
ой
математи
ки,
Оцено
чные
средст
ва
Экзаме
н
Контро
льные
работы
Тестир
ование
Защита
индиви
дуальн
ой
самост
оятель
ной
работы
специальным,
в
том
числе
биофизическим, дисциплинам в
научно-исследовательской,
научно-методической
педагогической,
в
диагностической и др. видах
работ;
4
ПК-28
- способен и готов работать
на персональных компьютерах,
использовать основные пакеты
программ, в том числе и по
обработке
экспериментальных
данных
биофизического
исследования… ;
5
ПК-32
- - способен к созданию
учебно-методических пособий и
разработок по профессиональной
деятельности с указанием роли
отечественных
ученых
–
биофизиков, врачей и других
выдающихся деятелей
5
математи
ческое
моделиро
вание и
обработка
результат
ов
измерени
я
3. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
3.1. ОБЪЕМ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» И ВИДЫ
УЧЕБНОЙ РАБОТЫ
Всего
часов.
Вид учебной работы
1
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Промежуточная аттестация
Самостоятельная работа студента (СРС) (всего)
В том числе:
Самостоятельные индивидуальные задания
Подготовка к занятиям
Подготовка к экзамену(промежуточная аттестация)
зачет (З)
Вид промежуточной
аттестации
экзамен (Э)
часов
ИТОГО: Общая
трудоемкость
зач. ед.
2
288
Семестры
№1
№2
часов
часов
3
4
168
120
56
228
4
144
40
128
54
85
5
34
50
9
432
12
84
252
7
16
100
4
60
20
35
5
9
180
5
3.2. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
3.2.1. Разделы учебной дисциплины и компетенции, которые должны быть освоены при
их изучении.
№
п/
п
1.
№
компе
тенци
и
ОК1
ПК1
ПК2
ПК28
ПК32
Наименование раздела
учебной дисциплины
Элементы высшей,
векторной, линейной
алгебры и аналитической
геометрии.
Содержание раздела в дидактических единицах
(темы разделов)
1.Комплексные числа и действия над ними.
Алгебраическая и тригонометрическая формы
комплексного числа. Формула Муавра.
Показательная форма комплексного числа.
Формула Эйлера.
2.Многочлены. Основные теоремы высшей
алгебры. Разложение многочлена на множители.
Теорема Безу. Разложение дробно-рациональной
функции на сумму простых дробей.
3.Векторы и действия над ними. Декартовы
координаты векторов и точек. Свойства векторов.
6
Линейные операции над векторами. Проекция
векторов на ось. Ортонормированный базис.
Операции над векторами в координатном
пространстве: скалярное, векторное и смешанное
произведения векторов, их основные свойства и
геометрический смысл. Условие ортогональности
и коллинеарности векторов.
4.Элементы линейной алгебры. Матрицы,
действия над ними. Понятие обратной матрицы
Определители второго и третьего порядков,
вычисление, свойства. Алгебраические
дополнения и миноры. Собственные вектора и
собственные значения.
Системы двух и трех линейных уравнений.
Матричная запись системы линейных уравнений.
Решение системы по методу Крамера.
2.
Введение в математический
анализ Теория пределов,
непрерывные функции.
5.Аналитическая геометрия на плоскости и в
пространстве.
Уравнения прямой на плоскости. Угол между
прямыми. Расстояние от точки до прямой.
Кривые второго порядка: окружность, эллипс,
гипербола, парабола. Их геометрический смысл и
канонические
уравнения
в
координатном
пространстве.
Уравнения прямой и плоскости в пространстве.
Параметрическое уравнение прямой. Угол между
прямыми. Направляющие косинусы.
Угол
между плоскостями.
Угол между прямой и
плоскостью.
Условия
параллельности
и
перпендикулярности прямых и плоскостей.
Цилиндрические поверхности.
Поверхности
второго порядка. Поверхности вращения. Сфера.
Трехосный
эллипсоид.
Однополостный
гиперболоид.
Двуполостный гиперболоид.
Эллиптический параболоид. Гиперболический
параболоид.
Конус
второго
порядка.
Геометрические
свойства
поверхностей
и
исследование формы поверхности методом
сечений.
Полярные координаты на плоскости. Кривые в
полярных координатах.
Цилиндрическая
и
сферическая
системы
координат.
6.Элементы
математической
логики:
необходимые и достаточные условия. Символы
математической логики и их использование.
7.Основные
понятия
теории
множеств.
Числовые множества определения, свойства и
операции над ними. Множество вещественных
чисел.
7
8.Числовые последовательности.Ограниченные
и неограниченные последовательности. Предел
числовой последовательности. Арифметические
свойства пределов. Переход к пределу в
неравенствах. Теоремы о свойствах пределов и
существовании предела монотонной ограниченной
последовательности. Число е.
3.
Дифференциальное и
интегральное исчисление
функций одной переменной.
9.Функция.
Предел
функции
в
точке.
Непрерывная функция. Область ее определения.
Способы задания. Основные элементарные
функции, их свойства и графики. Сложные и
обратные функции.
Определения. Односторонние пределы. Предел
функции
при
стремлении
аргумента
к
бесконечности. Основные теоремы о пределах.
Ограниченные функции. Пределы монотонных
функций.
Замечательные
пределы.
Неопределенности и приемы их раскрытия.
Бесконечно малые функции, их свойства.
Бесконечно большие функции и их связь с
бесконечно малыми. Сравнение бесконечно малых
функций. Символы О и о.Свойства эквивалентных
бесконечно
малых
функций.
Некоторые
замечательные пределы.
Непрерывность функции в точке. Свойства
непрерывных функций. Непрерывность некоторых
элементарных функций. Точки разрыва и их
классификация.
10.Производная функции: ее геометрический и
физический смысл. Односторонние производные
функции
в
точке.
Основные
правила
дифференцирования.
Производные
основных
элементарных
функций,
сложной функции,
показательно – степенной , обратной и функции
заданной параметрически. Уравнение касательной
и нормали к графику функции . Производная
функций заданных неявно.
11.Определение и свойства дифференцируемых
функций. Дифференциал функции. формула
Тейлора.Исследование функций и построение
графиков.: определение, геометрический
смысл,свойства. Применение дифференциала к
приближенным вычислениям.
Основные
теоремы
о
свойствах
дифференцируемых функций Теоремы Ферма,
Роля, Лагранжа, Коши и их применение.
Правило Лопиталя.
Формула Тейлора и формула Маклорена с
остаточным членом в форме Пеано и в форме
8
Лагранжа. Разложение основных элементарных
функций по формуле Тейлора. Применение
формулы Тейлора в вычислительной математике.
Условие
монотонности
функции.
Точки
экстремума. Критические точки. Достаточные
условия экстремума.
Выпуклость
и
вогнутость кривой. Точки перегиба. Асимптоты.
Общая схема исследования функции и построения
ее графика.
Векторная функция скалярного аргумента.
Понятие кривой, гладкая кривая. Уравнение
касательной к кривой. Свойства производной
векторной и дифференциала функции скалярного
аргумента. Параметрическое задание функции.
Параметрическое уравнение линии.
12.Неопределенный интеграл и его свойства.
Первообразная функция. Таблица
основных
интегралов. Непосредственное интегрирование.
Методы интегрирования. Замена переменной.
Интегрирование по частям. Интегрирование
рациональных
дробей.
Универсальная
тригонометрическая подстановка. Интегрирование
иррациональных функций.
13.Определенный интеграл и его свойства.
Задачи, приводящие к определенному интегралу
Интегральная сумма.
Интегрируемая
функция. Свойства определенного интеграла.
Теорема о среднем.
Вычисление определенного интеграла. Интеграл с
переменным верхним пределом и его свойства.
Формула Ньютона – Лейбница и ее применение
для вычисления определенного интеграла.
Методы
приближенного
вычисления
определенного
интеграла
по
формулам
прямоугольников, трапеции , парабол (Симпсона).
14Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода с
бесконечными пределами и от неограниченных
функций , определения, их основные свойства .
Условия сходимости несобственных интегралов и
способы исследования сходимости..
Приложение интегрального исчисления в задачах
физики и геометрии.
9
4.
Дифференциальное и
интегральное исчисление
функций нескольких
переменных.
Элементы теории
скалярных и векторных
полей.
15.Функции нескольких переменных.
Скалярное поле. Предел. Непрерывность.
Частная производная. Дифференцируемость,
дифференциал. Геометрический смысл полного
дифференциала. Приближенные вычисления с
помощью полного дифференциала.
Частные производные и дифференциалы высших
порядков. Формула Тейлора.
16. Локальный и условный экстремум.
функции нескольких переменных. Необходимые
условия экстремума. Достаточные условия
экстремума.
Условный экстремум. Функция Лагранжа.
Производная по направлению. Градиент. Связь
градиента с производной по направлению.
17.Двойные и тройные интегралы, их свойства.
Сведение кратного интеграла к повторному.
Замена переменных в двойных и тройных
интегралах.
Геометрические и физические приложения
кратных интегралов.
18.Криволинейные и поверхностные интегралы
1-го и 2-го типов. Скалярные и векторные
поля, дифференциальные операторы.
Физические задачи, приводящие к криволинейным
и поверхностным интегралам 1-го и 2-го типов.
Определения, свойства, вычисление. Элементы
теории скалярных и векторных полей. Основные
понятия: поток, циркуляция, градиент,
дивергенция, ротор.
Формула Грина. Формулы ОстроградскогоГаусса, Стокса.
Условия потенциальности и соленоидальности
векторного поля.
5
Дифференциальные
уравнения
19.Элементы теории криволинейных
координат. Дифференциальные операторы в
криволинейных координатах. Базис в
криволинейных координатах. Коэффициенты
Ламэ. Цилиндрические и сферические
координаты
Инвариантное, дивергенции и ротора векторного
поля. Дифференциальные операции 2-го порядка.
Дифференциальные выражения для дивергенции ,
ротора и лапласиана в ортогональных
криволинейных координатах.
.
20.Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Задачи физики, биологии, медицины, приводящие
к дифференциальным уравнениям .
10
Общее решение, частное решение. Задача Коши.
Теорема Коши.. Основные классы уравнений,
интегрируемых в квадратурах.
21.Линейные дифференциальные уравнения nого порядка. Понятие фундаментальной системы
решений. Вид общего и частного решений для
однородных
и
неоднородных
линейных
дифференциальных уравнений.
Построение частного решения для специального
класса неоднородного члена дифференциального
уравнения
n-го
порядка
с
постоянными
коэффициентами(комбинации
полиномов,
экспоненциальных
и
тригонометрических
функций).
Метод импульсной функции построения частного
решения линейного неоднородного уравнения.
Метод вариации постоянных построения частного
решения неоднородного уравнения.
Построение
решения
линейного
дифференциального уравнения с переменными
коэффициентами в виде степенного ряда (на
частном примере уравнения и познакомить с
какой-либо спецфукцией)
22. Системы линейных дифференциальных
уравнений первого порядка. Методы решения.
Прикладные задачи физического и медикобиологического содержания.
23. Некоторые задачи дифференциальных
уравнений в частных производных.
. Вывод уравнения малых поперечных колебаний
струны. Постановка краевой задачи.
Метод разделения переменных решения
уравнения в частных производных на примере
уравнения колебаний струны. Квантование частот
колебаний. Понятие ряда Фурье. Задача на
собственные значения – задача Штурма-Лиувилля.
Одномерное уравнение Шредингера и задача о
связанном состоянии (квантование уровней
энергии системы) – как еще одна иллюстрация
задачи Штурма-Лиувилля.
Неоднородная краевая задача. Функция Грина
краевой задачи для случая, когда соответствующая
однородная задача имеет лишь тривиальное
решение.
Возможный набор задач прикладного характера:
Дифференциальные уравнения и математические
модели. в биофизике: пассивный ионный
транспорт. Стационарное уравнение
электродиффузии(один проникающий через
мембрану сорт ионов). Постановка краевой
11
задачи.. Приближение постоянного поля.
Приближение электронейтральности
Дифференциальные уравнения и математические
модели в биофизике: Потенциал и напряженность
электрического поля, создаваемого заряженной
сферической везикулой в бинарном электролите –
нелинейное уравнение Пуассона-Больцмана.
Решение линеаризованного уравнения в
сферической системе координат. Длина
экранирования Дэбая. Физический смысл длины
Дэбая и зависимость длины от концентрации
6.
Теория
вероятностей
и 24.Эмпирические основы теории вероятности.
математическая статистика Основные понятия и задачи математической
статистики.
1.1 Понятие статистического эксперимента.
Элементарные исходы (элементарные события).
Сложные события. Частота события. События
невозможные, случайные, достоверные.
1.2 Операции над событиями.
Объединение, пересечение дополнение. Свойства
операций
над
событиями.
Принцип
двойственности.
1.3 Свойства частот. Частота объединения и
пересечения событий. Понятие условной частоты
события. Независимые события (интуитивное
определение).
Явление
статистической
устойчивости
частот.
Введение
понятия
вероятности события как идеализированной
"неслучайной" частоты события.
1.4 Основные понятия математической статистики:
генеральная совокупность, выборка, случайный
выбор. Задача индуктивного статистического
вывода
–
формулирование
суждений
о
генеральной совокупности на основе выборки,
извлеченной из нее случайным образом.
25.Классическое
определение
вероятности
события (конечное число равновероятных
элементарных исходов).
2.1 Определение вероятности события для
конечного числа равновозможных (симметричных)
элементарных исходов. Условная вероятность.
Примеры подсчета общего числа элементарных
исходов и "благоприятного" числа элементарных
исходов.
2.2 Простейшие понятия комбинаторики. Принцип
сложения и принцип умножения. Сочетания и
размещения. Перестановки. Выбор объектов с
возвращением и без. Подсчет числа сочетаний и
размещений для выбора с возвращением и без
возвращения.
12
26. Общее определение вероятности события
3.1 Структура вероятностного пространства –
элементарные
исходы,
алгебра
событий,
вероятность – как функция, заданная для каждого
события. Свойства вероятности. Примеры:
конечное число не равновозможных элементарных
исходов, бесконечное число элементарных
исходов
при
геометрическом
определении
вероятности.
27.Основные вычислительные формулы теории
вероятности.
4.1 Вероятность объединения событий в общем
случае. Частные случаи: несовместные события,
независимые события.
4.2 Вероятность произведения событий.
Частные случаи – независимые события, события
образующие Марковскую цепь.
4.3 Формула полной вероятности.
4.4.Формула Байеса.
28.Одномерная случайная величина
5.1 Три основных вида случайных величин –
дискретные, непрерывные, смешанные. Индикатор
события. Аналогия с распределением единичной
массы
по
вещественной
прямой.
Атом
вероятности. Способы задания одномерной
случайной величины: ряд распределения (для
дискретной с.в.), функция распределения (для
любой с.в.), плотность вероятности (для
непрерывной с.в.). Связь плотности вероятности и
функции
распределения
("накопленной
вероятности"). Их свойства. Эмпирические
аналоги функции распределения ("накопленная
частота") и плотности вероятности (гистограмма).
5.2 Среднее значение случайной величины и
функции от нее – математическое ожидание.
5.3 Моменты одномерной случайной величины –
начальные и центральные. Связи между ними.
Дисперсия (вариация). Безразмерные величины –
коэффициенты вариации, асимметрии, эксцесса.
5.4.
Квантили.
Медиана,
квартили.
Межквартильный разброс.
5.5 Характеристики положения и рассеяния.
Преимущества и недостатки использования пар математического
ожидания
и
среднегоквадратичного отклонения по сравнению с
медианой и межквартильным разбросом.
5.6 Производящая и характеристические функции.
29.Основные
одномерные
распределения
случайных величин и связи между ними
6.1 Схема независимых испытаний Бернулли и
13
связанные с ней распределения: биномиальное,
геометрическое, отрицательное биномиальное.
6.2 Пуассоновское распределение как предельный
случай биномиального распределения.
6.3 Нормальное распределение. Локальная и
интегральная
формулы
Муавра-Лапласа
–
аппроксимация биномиального распределения с
помощью нормального.
6.4 Связи между биномиальным, пуассоновским и
нормальным распределением.
6.5
Связи
между
геометрическим
и
экспоненциальным,
отрицательным
биномиальным и гамма, экспоненциальным,
равномерным и пуассоновским распределениями.
30.Определение вероятности события по
частоте его появления (определение доли
объектов в генеральной совокупности по их
доле в выборке)
7.1 Оценка вероятности по частоте появления
события, или оценка доли объектов в генеральной
совокупности по их доле в выборке, или оценка
параметра
биномиального
распределения.
Интервал рассеяния и доверительный интервал.
Приближенные и точные формулы для границ
доверительного интервала.
7.2 Планирование объема выборки для оценки
вероятности
при заданных значениях точности и надежности.
7.3 Понятие о принципе максимального
правдоподобия на примере оценки параметра
биномиального распределения.
31.Многомерная случайная величина.
8.1 Функция распределения и плотность
вероятности системы двух и более случайных
величин (случайного вектора).
8.2 Числовые характеристики случайных векторов:
вектор математических ожиданий и матрица
ковариаций.
8.3 Теоремы о математическом ожидании и
дисперсии.
8.4 Полиномиальное распределние.
8.5 Нормальное распределение для случайного
вектора (на примере двумерного нормального
распределения). Эллипсы рассеяния, расстояние
Махаланобиса, условные плотность вероятности,
математическое ожидание и дисперсия.
32.Предельные теоремы теории вероятности.
9.1 Неравенство Чебышева.
9.2 Закон больших чисел.
14
9.3 Центральная предельная теорема Ляпунова
(для частного случая: одинаково распределенных
слагаемых).
33.Основные распределения, используемые в
статистике.
10.1 Распределение хи-квадрат для разных чисел
степеней свободы.
10.2 Распределение Стьюдента.
10.3 Распределение Фишера.
34.Точечные и интервальные оценки
параметров распределений. Проверка гипотез о
значении параметров распределений.
11.1 Основные методы построения точечных
оценок – метод моментов, метод максимального
правдоподобия.
11.2 Примеры построения оценок параметров для
биномиального, пуассоновского,
экспоненциального распределений. Интервалы
рассеяния и доверительные интервалы. Понятие
опорной случайной величины и метод
"стьюдентизации".
11.3Точные методы оценок параметров для
нормального распределения ("теория малых
выборок Стьюдента").
11.4 Примеры проверки гипотез о параметрах
распределений. Сравнение средних и дисперсий
для параметров нормального распределения.
35.Элементы теории проверки статистических
гипотез
12.1 Простые и сложные гипотезы.
12.2 Расстояние Пирсона и критерий хи-квадрат
для проверки простых и сложных гипотез.
12.3 Критерий Колмогорова для проверки простой
гипотезы о виде распределения одномерной
непрерывной случайной величины.
12.4 Выбор между двумя альтернативными
гипотезами. Ошибки первого и второго рода.
Мощность критерия. Случай простых гипотез –
лемма Неймана-Пирсона. Критерий отношения
правдоподобия.
15
3.2.2. Разделы учебной дисциплины (модуля), виды учебной деятельности и
формы контроля
№
п/п
№
семе
стра
1
2
1
1
Наименование раздела учебной
дисциплины (модуля)
3
Элементы высшей, векторной,
линейной алгебры и
аналитической геометрии.
Введение в математический
анализ Теория пределов,
непрерывные функции.
2
1
Дифференциальное и
интегральное исчисление
функций одной переменной.
3
1
4
1
Дифференциальное и
интегральное исчисление
функций нескольких
переменных.
Элементы теории скалярных и
векторных полей
Виды учебной деятельности,
включая самостоятельную работу
студентов (в часах)
Л
ЛР
ПЗ
СРС
всего
4
5
6
7
8
34
20
60
6
Формы
текущего
контроля
успеваемости
(по неделям
семестра)
9
1н.- ВК
3н- ТК
4н- ТК
4
10
7
21
5н- ТК
10
30
20
60
7н- ТК
9н- ТК
11н- ТК
20
54
37
111
13н- ТК
14н- ТК
17н- ТК
5
1-2
19н- ТК
Дифференциальные уравнения
20н- ТК
8
22
15
45
2н- ТК
3н- ТК
6
2
4н- ТК
Теория вероятностей и
математическая статистика
6н- ТК
8
74
45
127
8н- ТК
10н- ТК
12н- ТК
7
2
Экзамен
ИТОГО:
56
16
4
5
9
232
144
432
Э
3.2.3. Название тем лекций и количество часов по семестрам изучения учебной
дисциплины (модуля)
п/№
Название тем лекций учебной дисциплины (модуля)
1
2
Семестры
1
2
3
4
1.
1.Комплексные числа и действия над ними.
2
2.
2.Многочлены. Основные теоремы высшей алгебры.
0
3.
3.Векторы и действия над ними.
0
4.
2
5.
4. Элементы линейной алгебры.
5.Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
6.
6.Элементы математической логики:
1
7.
7.Основные понятия теории множеств.
1
8.
8.Числовые последовательности.
0
9.
9.Функция. Предел функции в точке. Непрерывная функция
2
10.
10.Производная функции.
2
11.
11.Определение и свойства дифференцируемых функций.
Дифференциал функции. формула Тейлора.Исследование
функций и построение графиков.
2
12.
12.Неопределенный интеграл и его свойства.
2
13.
13.Определенный интеграл и его свойства.
2
14.
15.
16.
17.
18.
19.
14.Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода с бесконечными
пределами и от неограниченных функций.
15.Функции нескольких переменных. Скалярное поле. Предел.
Непрерывность. Частная производная. Дифференцируемость,
дифференциал.
16. Локальный и условный экстремум. функции нескольких
переменных.
17.Двойные и тройные интегралы, их свойства.
18.Криволинейные и поверхностные интегралы 1-го и 2-го
типов. Скалярные и векторные поля, дифференциальные
операторы.
19.Элементы теории криволинейных координат.
Дифференциальные операторы в криволинейных координатах.
2
2
4
0
4
6
6
20.
20.Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
0
21.
21.Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка.
0
22.
23.
24.
22. Системы линейных дифференциальных уравнений первого
порядка.
23. Некоторые задачи дифференциальных уравнений в частных
производных.
24.Эмпирические основы теории вероятности. Основные
17
4
4
1
понятия и задачи математической статистики.
25.Классическое определение вероятности события (конечное
число равновероятных элементарных исходов).
26. Общее определение вероятности события.
25.
26.
1
1
27.Основные вычислительные формулы теории вероятности.
28.Одномерная случайная величина
27.
28.
1
2
29.Основные одномерные распределения случайных величин и
связи между ними
30.Определение вероятности события по частоте его появления
(определение доли объектов в генеральной совокупности по их
доле в выборке)
29.
30.
2
0
31.
31.Многомерная случайная величина
0
32.
32.Предельные теоремы теории вероятности.
33.Основные распределения, используемые в статистике.
0
33.
0
34.Точечные и интервальные оценки параметров
распределений. Проверка гипотез о значении параметров
распределений.
35.Элементы теории проверки статистических гипотез
34.
35.
Итого
0
0
40
16
3.2.4. Название тем практических занятий и количество часов по семестрам изучения
учебной дисциплины (модуля)
п/№
Название тем практических занятий базовой части дисциплины по
ФГОС и формы контроля
1
2
Объем по семестрам
1
2
3
4
1.
1.Комплексные числа и действия над ними.
4
2.
2.Многочлены. Основные теоремы высшей алгебры.
2
3.
3.Векторы и действия над ними.
4
4.
12
5.
4.Матрицы, действия над ними.
5.Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
6.
6.Элементы математической логики:
1
7.
7.Основные понятия теории множеств.
1
8.
8.Числовые последовательности.
4
9.
9.Функция. Предел функции в точке. Непрерывная функция
4
10.
10.Производная функции.
6
11.
11.Определение и свойства дифференцируемых функций.
Дифференциал функции. формула Тейлора.Исследование
функций и построение графиков.
8
18
12
12.
12.Неопределенный интеграл и его свойства.
6
13.
13.Определенный интеграл и его свойства.
6
14.
15.
16.
17.
18.
19.
14.Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода с бесконечными
пределами и от неограниченных функций.
15.Функции нескольких переменных. Скалярное поле.
Предел. Непрерывность. Частная производная.
Дифференцируемость, дифференциал.
16. Локальный и условный экстремум. функции нескольких
переменных.
17.Двойные и тройные интегралы, их свойства.
18.Криволинейные и поверхностные интегралы 1-го и 2-го
типов. Скалярные и векторные поля, дифференциальные
операторы.
19.Элементы теории криволинейных координат.
Дифференциальные операторы в криволинейных
координатах.
4
8
4
8
12
22
20.
20.Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
4
21.
21.Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка.
6
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
22. Системы линейных дифференциальных уравнений
первого порядка.
23. Некоторые задачи дифференциальных уравнений в
частных производных.
24.Эмпирические основы теории вероятности. Основные
понятия и задачи математической статистики.
25.Классическое определение вероятности события (конечное
число равновероятных элементарных исходов).
26. Общее определение вероятности события.
27.Основные вычислительные формулы теории вероятности.
28.Одномерная случайная величина
29.Основные одномерные распределения случайных величин
и связи между ними
30.Определение вероятности события по частоте его
появления (определение доли объектов в генеральной
совокупности по их доле в выборке)
6
6
2
1
1
6
6
6
4
31.
31.Многомерная случайная величина
8
32.
32.Предельные теоремы теории вероятности.
33.Основные распределения, используемые в статистике.
4
33.
35.
34.Точечные и интервальные оценки параметров
распределений. Проверка гипотез о значении параметров
распределений.
35.Элементы теории проверки статистических гипотез
36.
Подготовка к экзамену
34.
4
16
16
4
19
37.
Итого
232
128
104
3.3. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТА
3.3.1. Виды СРС
№
№
семест
п
ра
/
п
1 2
Наименование раздела
дисциплины (модуля)
3
Элементы высшей,
векторной, линейной
алгебры и
аналитической геометрии.
1 1
Введение в математический
анализ Теория пределов,
непрерывные функции.
1
2
Дифференциальное и
интегральное исчисление
функций одной переменной.
1
3
Дифференциальное и
интегральное исчисление
функций нескольких
переменных.
Элементы теории
скалярных и векторных
полей
ИТОГО часов в 1-ом семестре
4 1
5
6
2
Дифференциальные
уравнения.
Виды СРС
Всего часов
4
5
1.Еженедельное
домашнее задание к
практическим занятиям.
2. Индивидуальное домашнее
задание
1.Еженедельное
домашнее задание к
практическим занятиям.
2. Индивидуальное домашнее
задание
20
7
1.Еженедельное
домашнее задание к
практическим занятиям.
2. Индивидуальное домашнее
задание
20
1.Еженедельное
домашнее задание к
практическим занятиям.
2. Индивидуальное домашнее
задание
37
84
1.Еженедельное
домашнее задание к
практическим занятиям.
2. Индивидуальное домашнее
15
задание
6
7
2
2
Теория вероятностей и
математическая статистика
1.Еженедельное
домашнее задание к
практическим занятиям.
2. Курсовая работа по
математической статистике
Подготовка к экзамену
40
5
ИТОГО часов в 2-ом семестре
60
Итого
144
20
3.3.2. Примерная тематика курсовых работ , контрольных вопросов .
Семестр №1 Курсовые работы проводятся в виде индивидуальных домашних заданий
выполняемых студентами самостоятельно вне аудитории (ИДЗ) , включающих в себя
задачи раздела, при решении которых студент должен использовать теоретические
положения материала знания которых должны быть отражены в решении задачи.
Элементы векторной , высшей, линейной алгебры и . аналитической геометрии.
Теория пределов и непрерывность функций.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Интегральное исчисление функции одной переменной.
Семестр №2
5. Функции нескольких переменных- дифференциальное исчисление.
6.
Функции нескольких переменных –интегральное исчисление. Элементы теории
скалярных и векторных полей.
7. Дифференциальные уравнения.
1.
2.
3.
4.
3.4. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОТИ И РЕЗУЛЬТАТОВ
ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
3.4.1. Виды контроля и аттестации, формы оценочных средств
№
п/п
1
1.
№
семест
ра
Виды
контроля
2
3
1
ТК
2.
1
ВК
3.
1
ТК
4.
1
ТК
Наименование
раздела учебной
дисциплины
(модуля)
4
Элементы высшей,
векторной,
линейной алгебры и
аналитической
геометрии
Форма
5
ТСп
Кнр
ИДЗ
Оценочные средства
Количество
Количество
вопросов в
независимых
задании
вариантов
6
7
6
5
3
4
7
20
Введение в
математический
анализ.
(Теория пределов и
непрерывность
функций)
ТСп
Кнр
ИДЗ
6
3
7
Дифференциальное
и
интегральное
исчисление функций
одной переменной
Дифференциальное
и интегральное
исчисление функций
нескольких
переменных.
Элементы теории
скалярных и
векторных полей
21
ТСп
Кнр
ИДЗ
6
3
7
5
4
20
ТСп
Кнр
ИДЗ
6
3
7
5
4
20
5
4
20
5.
2
ТК
6.
2
ТК
7.
ПАт
Дифференциальные
уравнения.
Теория
вероятностей и
математическая
статистика
Вся дисциплина
ТСп
Кнр
ИДЗ
ТСп
Кнр
ИДЗ
6
3
7
6
3
7
5
4
20
5
4
20
Э
4
25
3.4.2.Примеры оценочных средств*:
Для
входного
контроля
(ВК)
1-ый
семестр
ТСп- письменное тестирование –
1.Графиком линейной функции является:
1)прямая, 2)парабола, 3)гипербола, 4)окружность, 5)эллипс.
[1]
2.Графиком квадратичной функции является:
1)прямая, 2)парабола, 3)гипербола, 4)окружность, 5)эллипс.
[2]
3). Какая из данных функций является экспоненциальной.
[3]
1
1) y  x 2 ; 2) y  2 x ; 3) y  e x ; 4) y  .; 5) y=lnx.
x
4.Число независимых параметров при задании линейной функции y  ax  b равно:
1) 1, 2) 2, 3) 3, 4) 4, 5)0.
[2]
5. Число независимых параметров при задании квадратичной функции
y  ax 2  bx  c равно:
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5)0 ;
[3]
6.График квадратичной функции может пересекаться с прямой
1)только в одной точке,
2)в трех точках,
3)не более чем в двух точках,
4)в пяти точках,
5)в шести точках.
[3]
7.График однозначной функции y=f(x)
1)пересекается с вертикальной прямой только в одной точке,
2)не пересекается ни с одной вертикальной прямой,
3)пересекается с вертикальной прямой в трех точках,
4)пересекается с вертикальной прямой в четырех точках,
5)пересекается с горизонтальной прямой всегда в двух точках.
[1]
8.График функции y=x-1 проходит через точку
1) (1;0); 2) (-1;0); 3) (-3;0); 4) (0;0); 5) (10; 0);
[1]
9.График функции y=x2-1 проходит через точку
1) (0;0) ; 2) (0;5); 3) (0;10); 4) (0;20); 5) (0; -1);
[5]
10.Область определения функции y  x  1
22
1) (-5; 0); 2) [-4,0) ;
3) [1,∞); 4) (-3; 1); 5) (-5,5);
11.Область значений функции y  x  1
1) (-5; 0); 2) [-4,0); 3) [10,∞); 4) [1,∞);
[3]
5) (-5,5);
[4]
12.Область определения функции y  x 2
1) (-5; 0); 2) (-∞,∞); 3) (-1;4); 4) (-3; 1) ; 5) (-5,5) ;
[2]
13.Область значений функции y  x 2
1) (-5; -3) 2)[-2;3] 3) [0,∞) 4) (-1;4) 5) (-5,5).
[3]
14.График функции y  ( x  1)( x  4) пересекает ось абсцисс в точках
1) {x=1; x=4} 2) {x=-1; x=0} 3) {x=3; x=7} 4) {x=5; x=6} 5) {x=6; x=7}
[1]
15.График функции y  x 2  4 пересекает ось абсцисс в точках
1){x=1; x=4} 2) {x=-2; x=2} 3) {x=4; x=7} 4) {x=5; x=6} 5) {x=7; x=8}
[2]
x2
имеет точку разрыва для
x 1
1)x=5; 2)x=6; 3)x=7; 4)x=1; 5)x=10;
16.График функции y 
[4]
172. Укажите множество значений функции y  log 1 x .
2
1

1)  ;  ; 2)  ;  ; 3)  ; 2; 4) 0; ; 5) (0;4)2

[1]
18.Функция y  x 2 возрастает для
1)x<0 2)x>0 3) -10 < x < -3 4) x < -10 5) x < -15 [2]
19.Функция y  2 x  1 пересекает ось ординат в точке с координатами
1)(0;-1) 2)(0;0) 3) (-1;5) 4) (-1;1) 5) (0;1)
[5]
20.График функции y  x 2  x  1
1)не пересекается с осью абсцисс,
2)пересекается с осью абсцисс в одной точке,
3)пересекается с осью абсцисс в трех точках,
4)пересекается с осью абсцисс в четырех точках,
5)не пересекается с осью ординат.
[1]
21.Функция y  sin x
1)пересекает ось абсцисс в точках x 
2) пересекает ось абсцисс в точках
3) пересекает ось абсцисс в точках
4) пересекает ось абсцисс в точках
5) пересекает ось абсцисс в точках
где n  0, 1, 2,...

2
 2 n
x  n
xn
x  2n
x  3n
23
[2]
22.Функция y  sin x
1)является нечетной
2)является четной
3)имеет точки разрыва
4)определена только для положительных значений x
5)определена только для отрицательных значений х
Текущий
контроль
1-ый
семестр
[1]
23.Функция y  cos x
1)является нечетной
2)является четной
3)имеет точки разрыва
4)определена только для положительных значений x
5)определена только для отрицательных значений х
[2]
24. Функция y  ln x
1)является нечетной
2)является четной
3)определена для всех значений x
4)определена только для положительных значений x
5)определена только для отрицательных значений х
[4]
25. Функция y  e x
1)является нечетной
2)является четной
3)определена для всех значений x и является возрастающей
4)определена только для положительных значений x
5)определена только для отрицательных значений х
[3]
ИДЗ- Самостоятельное индивидуальное домашнее задание
Раздел: Теория пределов и дифференциальное исчисление функции одной
переменной.
1. Используя логическую символику и определение предела записать
следующее утверждение
=
2. В следующих задачах найти пределы не применяя правило Лопиталя :
a)
b)
с)
c)
;
3. Найти односторонние пределы , если они существуют
4. Определить порядок малости бесконечно-малой функции α(x) =124
в окрестности точки xo=0 по отношению к функции β (x)=x .
5. С помощью эквивалентных бесконечно-малых функций найти предел
b)
6. Исследовать функцию на непрерывность. При наличии точек разрыва
выяснить их характер.
a) f(x)=
b) f(x)=
7. Пользуясь определением найти производную функции
8. Найти производные функций:
a) y = ln cos
;
b) y = t – arctg t ,
f(x)=x2-5x.
x=ln(1+ t2)
9. Исследовать дифференцируемость функции
y=
10. С помощью дифференциала вычислить приближенно
arctg 1,02.
11. Написать первые три члена формулы Маклорена для функции
y= sin 3x.
12. Исследовать функцию и построить график :
Текущий
контроль
у=
ТСп – Тестирование письменное, 1-ый семестр
Тесты первого уровня дисциплина «Высшая математика»,
Тема : «Неопределенный интеграл»
1. Найти интеграл от функции на отрезке это:
1)найти производную;
2) найти дифференциал;
3) найти первообразную;
2. Первообразная для f(x) на отрезке [a,b] это:
1) любая функция непрерывная на этом отрезке;
2) некоторая функция дифференцируемая на [a,b] ;
3) функция , производная от которой равна f(x)
3. Первообразные для f(x) на отрезке [a,b]
1) должны быть равны между собой;
2) отличаться на постоянный множитель;
3) отличаться на некоторое постоянное число;
25
[3]
[3]
[3]
4. Неопределенный интеграл для f(x) на отрезке [a,b] это :
1) первообразная;
2) совокупность первообразных;
[2]
3) некоторое конечное число дифференцируемых функций;
5. Необходимым условием существования неопределенного интеграла на
некотором отрезке является:
1) непрерывность подынтегральной функции;
2)дифференцируемость подынтегральной функции;
3)ограниченность подынтегральной функции;
[3]
6. Неопределенный интеграл от дифференциала функции
равен:
1) самой функции F(x) ;
2)совокупности F(x);
3) производной от F(x);
[2]
7. Дифференциал от интеграла
) равен:
1)
;
2)
;
3)
;
[2]
8. Производная от неопределенного интеграла
ʹ равна:
1) F(x) ;
2) f(x) ;
3)
;
[2]
9. Таблица неопределенных интегралов получается из таблицы :
1) умножения;
2) производных ;
3) с помощью преобразования функций;
[2]
10.Укажите правильную первообразную
dx
1) (1+x2) +c ;
2) ln (1+x2) +c
3)
ln (1+x2) +c;
4) верный ответ отсутствует ;
[3]
5) 2ln(1+x2)
11. Если F΄(x)=f(x), то
1) f(x) - первообразная для F(x);
2) f(x) - дифференциал функции F(x);;
3) F(x) - производная f(x) ;
4) F(x) - первообразная f(x);
5) верный ответ отсутствует ;
Текущий
контроль
[4]
ИДЗ. Индивидуальное домашнее задание.
1-ый семестр Раздел:
«Интегрирование функции одной переменной. Неопределенный интеграл»
26
(ТК)
Варианты индивидуальных заданий по разделу
«Неопределенный интеграл»
Вариант № 1
Найти неопределенный интеграл:
1)

x
4  x2

dx ,
5)

2)  x  2e 3 dx ,
dx
x2 1
5
,
6)  sin 3x cos5 x dx .
3) 
arctg 2 x dx
,
1  4x 2
4)
 ( x  1 ) lnx dx ,

x

7) 
xdx
,
1 x4

dx
8)
,
1  x 
2 3
Вариант № 2
Найти неопределенный интеграл:
dx
1)  x
,
e 3x  e  x


2)  x cosx dx ,
5)

6)
 cosx  .
7)
x2  7
 ( x  2 )( x 2  1 ) dx ,
1
e x dx
3)  2 .
x
4) 
x  2dx
x
2
dx
8) 
 4 x  1
6  x 2 dx ,
cos3x dx
6
1  sin 3x 5
Вариант № 3 (18)
Найти неопределенный интеграл
x 3 dx
1)  sin x cos 3 x dx
5)

2)  x  3e 2 x dx
6)
 32 cos 4 x   16dx
4 dx
,
x 1  ln 2 x 
7)
 1 x
3) 
27
x2  9
,
2
1 х
x
dx ,
4) 
ТК
2 ой
семестр
sin 2 x dx
7
cos 2  x 
,
8)
dx

4
.
1  x 
3 5
Тесты первого уровня дисциплина «Математический анализ»,
раздел «Функции нескольких переменных»
1.
Чему равно zx ́ если функция задана неявно F(x,y,z)=0 ?
–
1)
2.
; 2)
Укажите
1) x 2(
; 3)
если
(1)
f(x,y)=
)-2/3 ; 2) 5x 2(
)-2/3 ; 3)
x 2(
4) верный ответ отсутствует ;
3.
dx + dy ; 2)
dx + dy ; 3)
dx + dy ;
4) верный ответ отсутствует
Для функции z= yln
найти z’x
1)
5.
(3)
Укажите дифференциал dz функции z=
1)
4.
)-2/3 ;
;
2)- ; 3)
; ; 4) верный ответ отсутствует
(2)
(2)
Укажите координаты центра сферы x2 + y2 + z2 -2y +4x +6z -2=0
1)
(2;1;-3) ; 2) (1;2;3); 3) (-2;1;-3) ; 4) верный ответ отсутствует (3)
6. Укажите, какие линии образуются при пересечении поверхности
x2+y2 - z2=0 плоскостью y=0
1) окружности; 2) гиперболы ; 3) параболы ; 4) прямые;
(4)
7. Из канонического уравнения определите координаты вектора
параллельного данной прямой
1) ( 3;-4;2); 2)(3; 4;-2); 3)(3; -4: -2);
[ 3]
8. Из канонического уравнения определите координаты точки , через
которую проходит прямая
28
1) (-2; 3; 4;) 2) (2; -3; 4); 3) ( 2; 3;4);
9. Данная прямая
[3]
параллельна прямой:
1)
2)
3)
[2]
Промежуточ ТСп – Тестирование письменное , итоговое 2 ой семестр
ный
контроль
(ПК)
Вариант 1.
1. Какая из данных функций является экспоненциальной.
1
1) y  x 2 ; 2) y  2 x ; 3) y  e x ; 4) y  .; 5) y=lnx.
x
2. Закончите фразу: «Определитель матрицы – это….»
1) число; 2) функция; 3) выражение; 4) таблица;5) область.
2 x 5  15
3. Найти предел функции lim
x  1  4 x 5
2
15
5
1
1) 0; 2) ; 3)
; 4) ; 5) - ;
5
4
4
2
4. Для функции
[3]
[1]
[ 5]
записать два первых члена разложения по формуле Тейлора в окрестности нуля.
1) 1+ ; 2) 1+
; 3) 1+ ; 4) 2+
; 5) 2+
.
[3]
5. Найти дифференциал
V, рассматриваемый как функция
радиуса .
1)
; 2)
; 3)
; 4)
; 5)
.
[5]
6. Дифференциал функции двух переменных z= f(x,y) записывается в виде
1) dz=
2) dz=
4)dz=
;
7. Для функции z= ln
1)
;
2)- ;
3)
;
3) dz=
5) dz=
найти
;
[4]
[2]
; ;4) -
29
5) верный ответ отсутствует
8. Из канонического уравнения
направляющего вектора
1)
( 3;-4;2);
4)
, параллельного данной прямой
2)
(-3; 4;-2);
определите координаты
(3; 4;-2);
5)
3)
(-3; -4: -2);
(3; 4;-2);
[1]
9. Найти неопределенный интеграл от функции на отрезке это:
[4]
1) найти производную; 2) найти дифференциал;
3) найти первообразную; 4) найти совокупность
первообразных;
5) найти число.
10. Какая из формул определяет среднее значение функции f(x) на отрезке [a,b]
?
1)
; 2)
3) (b-a)
5) верный ответ отсутствует ;
4) f(x)(b-a);
[2]
Вариант 2.
1. Укажите множество значений функции y  log 1 x .
2
1

1)  ;  ; 2)  ;  ; 3)  ; 2; 4) 0; ; 5) (0;4)[1]
2

2.Функция задана в декартовой системе координат равенством у  x 2  1 . Какую
линию она определяет?
1) параболу; 2) гиперболу; 3) окружность; 4) эллипс,5) прямую
[1]
3. Какой из нижеперечисленных определителей равен нулю?
12 3
002
3 11
10 0
500
1) 2 0 2 ; 2) 0 1 0 ; 3) 0 1 2 ; 4) 4 7 0 .5) 4 1 0
6 2 2
0 01
003

213
4. Найти предел функции lim x 3  4 x
x 2
1) 0;
1) 2;

[1]
215
3)–2 ; 4)1; 5) -1.
[1]
5. Вычислить производную функции y  cos 2 x в точке x0 
4 2
4 2
3 2
3
; 2)
; 3) 0; 
;4)  3 ; 5) 
2
2
2
2
6. Для функции
1)

6
.
[4]
записать два первых члена разложения по формуле Тейлора в окрестности нуля.
1) 1+ ;
2) 1+
; 3) 1+
; 4) 3+
5) 3+
.
7. Тело движется вдоль оси под действием силы
В таком случае
есть:
1) дифференциал работы
; 2) не является дифференциалом работы; 3)это
выражение не имеет отношения к понятию работа; 4) производная работы;
30
[1]
5) приращение работы
8. Укажите
1) x 2(
.
если
[1]
f(x,y)=
)-2/3 ;
2) 5x 2(
)-2/3 ; 3)
x 2(
)-2/3 ;
;
[3]
9. Укажите, какие линии образуются при пересечении поверхности x2+y2-z2=1
плоскостью y=0.
1)окружность; 2) гипербола ; 3) парабола ; 4) прямая; 5) точка.
[2]
4) 5yx 2(
)-2/3 ; 5)верный ответ отсутствует
10. Первообразные для f(x) на отрезке [a ,b]
1) должны быть равны между собой;
2) должны отличаться на постоянный множитель;
3)должны отличаться на постоянное число;
4) должна быть единственной;
5) должны быть в количестве не более двух.
Вариант 3.
1. Укажите множество значений функции y  2 cos 3x .
1

1)  2,2 ; 2)  ;  ; 3)  ; 2; 4) 0;  ; 5) (2;3)
2

[3]
[1]
2.Функция задана в декартовой системе координат равенством у 2  x 2  1 . Какую
линию она определяет?
1) параболу; 2) гиперболу; 3) окружность; 4) эллипс,5) прямую
[2]
3
5x  5
3. Найти предел функции lim
x   3x 3  4 x 2
3
5
5
1) 0; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 1.
[3]
5
3
4
4. Найти производную функции y  ln( 2  3x 2 ) .
 6x
6x
x
 6x
 3x
1)
; 2)
; 3)
;4)
; 5)
.
[1]
2
2
2
2
2  3x
2  3x
2  3x
2  3x
2  3x 2
5. Формула Ньютона –Лейбница это:
1)
; 2)
3)
[2]
; 4)
;
5)
6.Укажите правильную первообразную
1) (1+x2) ; 2) ln (1+x2) ; 3)
dx
[3]
ln (1+x2) ; 4) ln(1+x) ;5) верный ответ отсутствует ;
7. Дифференциал объема V прямоугольного параллелепипеда, как функции трех
переменных (длин ребер x,y,z ) , находится по формуле
1)dV= xdx+ydy+zdz; 2) dV= 3yzdx+3yzdy+3xydz; 3) dV= dx+dy+dz;
4) dV= yzdx+xzdy+xydz; 5) dV= (yz)2dx+(yz)2dy+(xy)2dz
[4]
8. Укажите координаты центра сферы x2 + y2 + z2 -2y +4x +6z -2=0
[3]
31
1) (2;1;-3) ;
2) (1;2;3);
3) (-2;1;-3) ;
4) (3;2;2) ;
5) верный ответ отсутствует;
9. Определенный интеграл от функции по отрезку представляет собой :
1) некоторую функцию; 2) интервал; 3) число; 4) формулу;
5) математическое выражение.
[3]
10.
Для функции z= ln
1)
;
2)- ;
3)
найти
; ;4) -
32
[2]
5) верный ответ отсутствует
для
промежуточ
ной
аттестации
(ПрАт)
2 ой
семестр
Экзаменационные билеты по дисциплине «Высшая математика»
Билет № 1.
1. Определенный интеграл - определение, свойства, основные приемы
вычислений.
2. Формула Тейлора. Теорема Тейлора. Примеры формулы Тейлора для
элементарных функций одной переменной. Формула Тейлора для
функции нескольких переменных.
3. Задача 1. – Линии и поверхности в пространстве.
4. Задача 2. – Кратный интеграл.
---------------------------------------------------------------------------------------Билет № 2.
1. Числовые множества - грани, непрерывность множества
вещественных чисел, теорема о существовании точных граней.
2. Интеграл с переменным верхним пределом - определение, свойство
дифференцирования (доказательство).
3. Задача 1.- Линии и поверхности в пространстве.
4. Задача 2.- Дифференциал и приближенные вычисления.
Билет № 3.
1.Числовые
последовательности - определение, свойства,
ограниченность, сходимость, предел.
2. Несобственные интегралы - определение, признак сходимости.
3. Задача 1.- Производная по направлению.
4. Задача 2- Двойной интеграл.
Задачи к экзамену.
2
Задача.1. Найти полный дифференциал функции u  x y z .
Задача.2. Найти полный дифференциал функции z 
y
.
x  y2
2
Задача.3. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
z  x 2  2 xy  y 2  x  2 y
в точке М(1, 1).
Задача.4. Вычислить приближенно значение
1,04 2  ln 1,02 , исходя из значения
функции u  x 2  ln z при x = 1, y = 2.
Задача 5.Вычислить приближенно значение
1,041,99  ln 1,02 , исходя из значения
функции u  x y  ln z при x = 1, y = 2, z = 1.
Задача.6. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:
2x + 3y – 5 = 0
33
Задача.7. Вычислить производную функции
направлению вектора АВ . В (3, 0).
Задача.8. Вычислить интеграл
z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по
 ( x  y)dxdy , если область  ограничена линиями: y

2
= 0, y = x , x = 2.
Задача.9. Вычислить интеграл
 ( x
2
 y 2 )dxdy , если область  ограничена линиями

y = x, x = 0, y = 1, y = 2.
Задача.10. Вычислить двойной интеграл
 y ln xdxdy , если область интегрирования

ограничена линиями ху=1, у =
x , х = 2.
Задача. 11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 4x + 4;
x + y – 2 = 0.
Задача. 12.Найти объем области ограниченной поверхностью z=2-4x2 -9y2
плоскостью z=0.
Задача. 13. Найти площадь области ограниченной линиями y=x,
x2+y2=4 переходя к полярной системе координат.
Задача 14. Исследовать уравнения
поверхностями:
x2 +y2 – z2- 4z = 4 и x2 +y2 + z2 = 4.
и
изобразить
область
y= -x,
1) 
03
x  2dx
x
2

 4x  1
4
Задача 16. Найти предел функции в точке, применяя формулу Маклорена
lim
x 0
34
1  x sin x  1 1

2
x2
x2+y2=1,
ограниченную
Задача 15. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:

и
3.5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)
И
ИНФОРМАЦИОННОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ
3.5.1. Основная литература
№
п/
п
Наименование
Год и место
издания
Автор
1
1.
2
Высшая математика
3
В.С.Шипачев
4
Москва, ВШ,
2001г.
Москва,
ВШ,2006г.
2.
Основы высшей
математики
В.С.Шипачев
3.
Высшая математика в
упражнениях и задачах
1и2 ч.
4.
Сборник задач по
математике для втузов1 и
2 ч.
5.
Сборник задач по
дифференциальным
уравнениям
. П.Е.Данко,
Москва, 2006г
А.Г.Попов ,
Т.Я.Кожевник
ова
под ред. А.В. Москва, 2005
Ефимов,
Б.П.Демидови
ч
А.Ф.
Москва, 2005
Филиппов
Количество
экземпляров
в бибна калиотеке
федре
7
8
80
1
65
1
120
1
50
1
74
1
3.5.2. Дополнительная литература
№
п/
п
1
1.
2
3
2.
Год и место
издания
Количество
экземпляров
в бибна калиотек
федре
е
7
8
45
20
Наименование
Автор
2
Комплексные числа.
(учебно-методическое
пособие)
Интегрирование функции
одной переменной.
(учебно-методическое
пособие)
Теоря скалярных и
векторных полей. .
(учебно-методическое
пособие)
Курс математического
анализа.
3
И.Н.Коновало
ва и др.
4
РГМУ, 2007
В.Н.Акимов,
В.Я.Попов
РГМУ 2008
0
20
В.Н.Акимов,
В.Я.Попов
РГМУ 2009
0
20
Тер-Крикоров Москва, Наука,
, А.М.,
2004г.
Шабунин М.И
35
68
1
3.6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Для организации учебного процесса на кафедре имеется 2 (две) стандартно оборудованные
учебные аудитории (классы для проведения интерактивных занятий ) и 2 лекционные аудитории
из общеинститутского фонда..
Лекционные аудитории и классы для практических занятий оборудованы: аудиторные парты
в количестве не менее числа студентов на отделении ( в учебной группе), меловая аудиторная
доска – 1 шт., кафедра- 1 шт., стол преподавателя – 1шт.,переносной мультимедийный комплекс:
видеопроектор), компьютер (переносной), экран настенный, указка.
В компьютере установлен пакет стандартных программ.
3.7. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Используемые образовательные технологии при изучении данной дисциплины до 20 _% интерактивных занятий от объема аудиторных занятий. Примеры интерактивных форм и методов
проведения занятий: решение ситуационных задач
штурма» и без него, компьютерное моделирование.
в виде дискуссий, методом «мозгового
3.8. РАЗДЕЛЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ И МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ СВЯЗИ С
ОБЕСПЕЧИВАЕМЫМИ (ПОСЛЕДУЮЩИМИ) УЧЕБНЫМИ ДИСЦИПЛИНАМИ
№ № разделов данной дисциплины, необходимых для
изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
№
п/п
1.
2.
Наименование
обеспечиваемых
(последующих) учебных
дисциплин
1
2
3
4
5
6
Физика
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Физиологическая
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
кибернетика
3.
Медицинская электроника
4.
Химия
Χ
Х
Χ
Χ
Χ
Χ
5.
Молекулярная фармакология
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
6.
Физиология
Х
Χ
Χ
Χ
Χ
Х
Х
Х
Χ
Χ
Χ
Х
Х
Χ
Х
7.
Информатика, медицинская
информатика
Общая биофизика,
медицинская биофизика,
8.
биофизические основы
функциональной
диагностики.
36
Х
Χ
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ИЗУЧЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ:
Процесс обучения складывается из аудиторных занятий, включающих лекционный курс и
практические занятия, и самостоятельной работы. Основное учебное время выделяется на
практические занятия в аудитории , на которых проходит освоение теоретического материала и
приобретение умения и навыков решения задач.
При изучении дисциплины необходимо обращать внимание студентов на ее прикладной
характер, на то, где и когда изучаемые теоретические положения и практические навыки могут
быть использованы в будущей практической деятельности. Необходимо вести изучение материала
в форме, доступной пониманию студентов, соблюдать преемственность в обучении, единство
терминологии и обозначений в соответствии с действующими государственными стандартами.
При проведении занятий:
- использовать учебные пособия, технические и наглядные средства обучения;
- проводить несложные дедуктивные и индуктивные рассуждения;
- обосновывать шаги решения задач;
- формулировать определения математических понятий;
- пользоваться принятой математической терминологией и символикой;
- письменно оформлять решения задач;
- проводить опрос и обсуждение учебного материала;
- акцентировать внимание на сложные для освоения темы.
С целью систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических
умений рекомендуется организовывать самостоятельную работу студентов при подготовке к
занятиям . Самостоятельная работа студентов должна быть обеспечена предоставлением
методических материалов организационного характера с указанием перечня вопросов по теме
изучаемого раздела, задач, практических рекомендаций по организации работы и графика
выполнения работ. Доступность материалов может быть обеспечена использованием ресурсов
ИНТЕРНЕТ и активной работой с сайтом и электронной почтой кафедры. Основным видом
самостоятельной работы по данной учебной дисциплине должно служить самостоятельное
изучение учебной литературы и решение студентами задач и упражнений.
Для проверки знаний студентов рекомендуется по окончании изучения тем и разделов
проводить текущий
контроль. Форму и сроки проведения контроля по дисциплине
заблаговременно доводить до сведения студентов.
Текущий контроль успеваемости рекомендуется осуществлять регулярной проверкой:
-выполнения домашнего задания и опроса на практических занятиях,
- выполнения индивидуальных расчетных заданий в соответствии с графиком ,
В конце изучения дисциплины проводится промежуточный контроль знаний с использованием
тестового контроля, проверкой практических умений и решением ситуационных задач.
37