ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Конспект лекций по высшей математике для студентов
Гуманитарного факультета
Неопределенный интеграл
Лектор: Кондакова Э.М., доцент кафедры ВМ ЕНМФ
Неопределенный интеграл
Определение 1. Пусть функция f  x  определена на некотором
интервале a, b  и для всех x  a, b  существует такая функция F x  ,
что F  x   f  x  . Тогда F x  называется первообразной для f (x) на
a, b  .
Например, одной из первообразных функций для функции cos x
будет
Первообразная
не
единственна,
т. к.
sin x .


cos x  2) = cos x  + 2  = sin x , cos x  3 = sin x , а поэтому cos x  2 ,
cos x  3 также являются первообразными для sin x .
Теорема. Две различные первообразные одной и той же функции, определенной на интервале a, b  , отличаются друг от друга в этом
промежутке на постоянное слагаемое, т.е. если F1 x  и F2 x  – некоторые первообразные, т. е. F  x  = f (x) и F  x  = f (x) то F x  – F x 
C.
1
2
1
2
Следствие. Прибавляя к какой-либо первообразной F x  для
данной функции f (x) , определенной на промежутке a, b  , всевозможные постоянные C , мы получим все первообразные для функции f (x) .
Определение 2. Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции f (x) называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом  f ( x)dx .
При этом f (x) называется подынтегральной функцией, f  x dx –
подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования.
Согласно определению неопределенного интеграла можно написать:
 f ( x)dx  F x   C , где F x   f x  , постоянная C может принимать
любое значение и называется произвольной постоянной.
2
Основные свойства неопределенного интеграла
1. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно
дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до
постоянного слагаемого
 dF x   F x   C .
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна
подынтегральной функции.
d  f  x dx  f x dx,
 f x dx  f x .
 d  x   x   C
(1)
(2)
Замечание. В формулах (1) и (2) знаки d и  уничтожают друга. В
этом смысле интегрирование и дифференцирование являются взаимно
обратными математическими операциями.
Свойства линейности неопределенного интеграла.
3.  Af x dx  A f x dx , где постоянная A  0 .
4.   f  x    x   dx   f  x  dx     x  dx .
5. Свойство инвариантности формул интегрирования.
Если  f x dx  F x   C , u    x  , то
 f x dx   f  x   x  dx  f u du  F u   C ,
(3)
т. е. любая формула интегрирования не изменяет свой вид, если вместо
независимой переменной подставить любую дифференцируемую функцию u    x  . Поэтому таблицу интегралов от сложной функции запишем в виде:
Таблица интегралов
u n1
1.  u du 
 C, n  1
n 1
n
2.

du
 ln u  C 3. eu du  еи  C
u
au
4. a du 
 C 5. sin udu   cos u  C 6. cos udu  sin u  C
ln a
du
du
7.
 tgu  C 8.
 ctgu  C 9. tgudu   ln cos u  C
cos2 u
sin 2 u
u
3
1
u
du
u
 arctg  C 12.
 arcsin  C
a
a
u 2  a2 a
a2  u 2
du
1
ua
du
13.

ln
 C 14.
 ln u  u 2  a 2  C 15. chudu  shu  C
2
2 2a
ua
a u
u 2  a2
10. ctgudu  ln sin u  C 11.
16. shudu  chu  C
17.
du
du
2
18.
 cthu  C
sh u
du
ch 2u
thu  C
Полезно помнить таблицу дифференциалов:
u n 1
1) d
 u n du
n 1
u
2) d (ln u ) 
u
3) d (e )  e du
5) d  sin u   cos udu
7)d  tgu  
du
cos u
11) d  arctgu  
 au  u
4) d 
  a du
 ln a 


6) d  cos u    sin udu
8) d  ctgu  
2
9)d  arcsin u  
du
u
du
1  u2
du
1  u2
1
sin 2 u
10) d  arccos u   
12) d  arcctgu   
du.
du
1  u2
du
1  u2
Отметим несколько преобразований, полезных для отыскания
первообразных:
1. dx  d x  b  , где b  const ;
1
2. dx  d ax , a  0 ;
a
1
3. dx  d  ax  b  ;
a
1
4. xdx  dx 2 ;
2
5. sin xdx  d cos x  ;
6. cos xdx  d sin x .
4
и вообще:   x  dx  d   x  . Эту формулу называют подведением множителя   x  под знак дифференциала. Используя таблицу интегралов и
эти формулы, найдем некоторые интегралы.
Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование заключается в том, чтобы преобразовать подынтегральное выражение, если это возможно, так чтобы получился дифференциал f  x  dx, а затем в таблице интегралов найти
первообразную.
sin3 x
Пример 1.
 sin x cos xdx   sin xd  sin x   3  C .
Выражение cos xdx заменили на d  sin x  . Получили интеграл
2
2
u3
 u du  3  C, который можно отыскать в таблице интегралов, где
ux   sin x.
Пример 2.
dx
1 2dx 1 d  2 x  1 1
 2 x  1  2  2 x  1  2  2 x  1  2 ln 2 x  1  C .
Здесь мы умножили подынтегральную функцию и разделили на 2,
затем внесли 2 под знак дифференциала. Заменим 2dx  d  2 x  1 и по1 du 1
лучим табличный интеграл
  ln u  C .
2 u 2
Проверим
результат
дифференцированием:
1
1

d  ln  2 x  1  C  dx 
dx .
2
2x  1
d 1  sin x 
cos xdx
1


C .
Пример 3.

2
2
1

sin
x
1  sin x 
1  sin x 
2
В данном примере мы применили прием подведения под знак
дифференциала cos x и постоянной 1. cos xdx  d 1  sin x  .
Пример 4.
1  x2
1  x2
1  x2
 x2
2


xe
dx


e

2
x
dx


e
d

x


e
 C , т. к.



2
2
2

 x 2  2 x , умножим и разделим подынтегральное выражение на –2.
 
 
5
 
Здесь выражение  2 xdx  d  x 2 и получили табличный интеграл
e
u
 eu  C .
2
2
2
1
 1

Проверка:   e  x  C    e  x  2 x   e  x x .
2
 2

Метод подстановки
Пусть f (x) имеет первообразную, а x    t  непрерывна и дифференцируема, тогда
 f t   t  dt   f  x  dx .
Пример 5.
Найти
dx

1 e
x
(4)
dx .
Чтобы избавиться от корня, полагаем 1  e x  t 2 , отсюда
t  1  e x . Найдем dx . Для этого продифференцируем равенство
2tdt 2tdt
. Подста
d 1  e x  d t 2 , получим e x dx  2tdt ; тогда dx 
ex t 2 1
вим dx в подынтегральное выражение; получим интеграл вида:
du
 2 2.
u a

  
Итак,
dx

1 e
x

1 t 1
1  e x 1
 2
 2 ln
 C  ln
C.
x
2 t 1
t 2 1 t
t 2 1
1 e 1
2tdt
dt
 
Пример 6.
Найти

1 x2
dx .
x2
Здесь удобно применить тригонометрическую подстановку
x  sin t , с помощью которой мы избавимся от корня. Отсюда
dx  costdt .
Тогда


6
1  x2
x2
dt
sin 2 t
dx  
1  sin 2 t
sin 2 t
cos tdt  
cos 2 t
sin 2 t
dt  
1  sin 2 t
sin 2 t
dt 
  dt  ctgt  t  C  ctg  arcsin x   arcsin x  C.
Метод интегрирования по частям
Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции от x . На
основании
формулы
дифференциала
произведения
имеем
d uv  udv  vdu .
Интегрируя, получим  udv   d uv  vdu или  udv  uv   vdu . (5)
Полученная формула интегрирования по частям позволяет сводить интеграл  udv к более простому  vdu .
Рекомендации по применению формулы интегрирования по частям приведены в таблице:
7
Вид
подынтегральной
функции
Ожидаемое
Рекомендации
упрощение
подынтегрального
выражения
Под интегралом стеu  Pu  x 
пень многочлена
du  e x dx
уменьшится на единицу
du  cos xdx
du  tgxdx
Под интегралом вместо
dv  Pu  x dx
трансцендентной функu  arcsin x
ции появится алгебраиu  arctgx
ческая функция
u  ln x
1.
Произведение многочлена
Pu  x  на показательную или
тригонометрическую функцию
2.
Произведение многочлена
Pu  x  на логарифмическую
или обратную тригонометрическую функцию
Пример 7.
u  arctgx; du 
 xarctgxdx =
dx
1  x2
xdx  dv; v   xdx 
2
= подставляя в формулу (5) получим
x
2
=


2
x2
1
x2
x 2 dx
x2
1 x 1 1
arctgx   dx 
= arctgx  
=
 arctgx  
dx
2
2
2
2 1  x2 2
2
1  x2
1 dx
x2
1
1
 
 arctgx  x  arctgx  C .
2 1  x2 2
2
2
Иногда формула интегрирования по частям применяется несколько раз. Рассмотрим пример такого интеграла.
Пример 8.
x
2
sin 2 xdx 
x 2  u;2 xdx  du
=
1
sin 2 xdx  dv; v   sin 2 xdx   cos 2 x
2
1
1
1
=  x 2 cos 2 x    cos 2 x2 xdx   x 2 cos 2 x   x cos 2 xdx =
2
2
2
x  u; dx  du
=
=
1
cos 2 xdx  dv; v   cos 2 xdx  sin 2 x
2
8

1 2
x
1
1
1
1
x cos 2 x  sin 2 x   sin 2 xdx   x 2 cos 2 x  x sin 2 x  cos 2 x  C
2
2
2
2
2
4
Здесь формулу интегрирования по частям мы применили к полученному
интегралу  x cos 2 xdx еще раз.
Замечание. Иногда применение формулы интегрирования по частям приводит к исходному интегралу, который в таком случае называется циклическим или круговым.
Пример 9.
ax
 e cos nxdx 
Найти интеграл I =  e ax cos nxdx .
u  eax ; du  aeaxdx
1
dv  cos nx; v   cos nxdx  sin nx
n
 eax
sin nx a ax
  e sin nxdx
n
n
Получили интеграл, в котором cos nx заменился на sin nx .
Проинтегрируем еще раз по частям, обозначим:
e ax  u; du  ae ax dx
cos nx
n
sin nx a  ax cos nx a ax

I  e ax
  e
  e cos nxdx =
n
n
n
n

dv  sin nxdx; v   sin nxdx  
Тогда
1 ax
a ax
a 2 ax
 e sin nx 
e cos nx 
 e cos nxdx , т.е. пришли к искомому
n
n2
n2
интегралу I .
e ax sin nx a ax
a2
Таким образом, I 

e cos nx 
I.
n
n2
n2
Найдем I .
 a 2  1 ax
a ax
I 1    e sin nx 
e cos nx  C.
2
 n2  n
n


e ax
n sin nx  a cos nx  C.
n2  a2
Это пример циклического интеграла.
Упрощая, получим: I 
Интегрирование рациональных дробей
9
Pm  x 
, где Pm  x  и
Qn  x 
Qn  x  – многочлены степени m и n соответственно. Рациональная дробь
называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя ( m < n ), в противном случае дробь называется неправильной.
Простейшими элементарными дробями называются дроби следующего вида:
A
I.
;
xa
A
II.
, m >1, целое;
m
x  a 
Рациональной дробью называется дробь вида
p2
III.
, где
 q < 0, т. е. квадратный трехчлен не
2
u
x  px  q
имеет действительных корней;
Ax  B
Ax  B
p2
, где
 q < 0, т. е. квадратный трехчлен не
k
u
x 2  px  q
IV.
имеет действительных корней.
Пример 10.
3
d 2  x 
 2  x dx  3  2  x  3 ln 2  x  C , здесь d 2  x  d  x .
Пример 11.

dx
x  43

d x  4
x  43

dt
t3
 t
3
t 2
1
dt 
C  
 C.
2
2 x  42
Интегралы, содержащие в знаменателе квадратный трехчлен,
можно вычислить, применяя прием выделения полного квадрата разности или суммы. Рассмотрим пример такого интеграла.
Пример 12.
x2
x2
x2
dx  

dx =
 2
2
49  49
 2 27
x  7 x  12
7
1

x 
 12
x 
x  

2
4
4


2
4

10
x
7
 t,
2
3
dt
2 dt  1 2tdt  3
=

7 =


dx  dt, x  t 
2
2 1
2 1 2 2  1 2
t 
t 
2
t  
2
4
2
t
1
1 3 2t  1
C ;
= ln t 2   ln
2
4 2 2t  1
Возвращаясь к старой переменной, получим:
1
3 x4
I  ln x 2  7 x  12  ln
 C.
2
2 x3
Алгоритм интегрирования рациональной дроби
1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления
многочлена
на
многочлен,
т.е.
представить
в
виде:
Pk  x 
P x 
P x 
 M x   m
 правильная ра, где M  x   многочлен, а m
Qn  x 
Qn  x 
Qn  x 
циональная дробь.
2. Знаменатель Qn  x  разложим на простейшие сомножители:

 

x 2  px  q, x 2  cx  d  не имеют действительных корней.
l
s
Qn x   x  a k x  br x 2  px  q  x 2  px  q , где многочлены
Pm  x 
в виде суммы простейших дробей с
Qn  x 
неопределенными коэффициентами.
Pm  x 
Ak
A
A2
B
B2
Br
 1 

 1 


Qn  x  x  a  x  a 2
x  a k x  b x  b 2
x  b r
M l x  Nl
M x  N1
M 2x  N2
C x  D1
 1


 1

2
2
2
l
2
2
x  px  q x  px  q
x  px  q
x  cx  d
C s x  Ds
C 2 x  D2


2
s
x 2  cx  d
x 2  cx  d
где A1 , A2' .B1' B2 , , M 1 , M 2 , , C s , Ds - неопределенные коэффициенты, которые надо найти.
4. Приведем все дроби в разложении к общему знаменателю и
приравняем числители в обеих частях равенства.
3. Представим дробь








11
5. Составим систему уравнений, используя равенство многочленов, стоящих в числителе, приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях x .
6. Решим систему уравнений, находя некоторые коэффициенты
методом частных значений, полагая x равным действительным корням знаменателя.
7. Подставим найденные коэффициенты A1 , A2 ,  , C s , D s в разложение дроби.
8. Проинтегрируем простейшие дроби.
Примеры интегрирования рациональных функций
I =
Пример 13.
4
x 1
3
2
x4 1
3
2
x  x  x 1
dx ;
− это неправильная рациональная дробь. Сначала выде-
x  x  x 1
лим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель.
-
x4 1
x 4  x3  x 2  x
-
x3  x 2  x  1
x3  x 2  x  1
2
x4 1
Тогда
x3  x 2  x  1
дроби,
2
3
x3  x 2  x  1
x 1
2
 x 1
2
x3  x 2  x  1
,
где x  1 - целая часть
- правильная рациональная дробь, знаменатель которой
x  x  x 1
разлагается на множители: x 3  x 2  x  1  x  1 x 2  1 .


Корни знаменателя: x  1, а x 2  1  0 не имеет действительных корней.
Тогда разложение для данной дроби имеет вид:
2
A
Bx  C


.
2
2
x

1
x  1 x  1
x 1


Приводя полученные дроби к общему знаменателю, получим тождество:
12
2
x  1x
2

1



A x 2  1  Bx  C x  1
x  1x
2

1

.Приравнивая числители обеих

дробей, получим уравнение: 2= A x 2  1  Bx  C x  1 .
Пусть x  1, тогда 2=2 A, A  1 . Коэффициенты B, C найдем из системы:
x2 0  A  B
x1 0  C  D
x0 2  A  C
Откуда B  1, C  1.
Тогда
x2
dx
 x 1
 x  ln x  1 

dx =
dx =  x  1dx  
 3 2
2
2
x

1
x

1
x  x  x 1
x4 1


x2
1
 x  ln x  1  ln x 2  1  arctgx  C.
=


2
x2 1
x2 1 2
xdx
dx
I 
Пример 14.
2

1
2
x x 4


dx
x2 x2  4
.
– правильная дробь. Разложим знаменатель на простейшие
сомножители, получим:

1


1
.
x 2 x 2  4 x 2 x  2x  2
Корни знаменателя: x  0 - кратности 2 и x  2, x  2 – простые корни.
Запишем разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших:
1
A B
C
D
.
 


x 2 x  2x  2 x x 2 x  2 x  2
Приведем дроби к общему знаменателю, затем приравняем числители обеих дробей. Получим тождество:

 

1  Ax x 2  4  B x 2  4  Cx 2 x  2  Dx 2 x  2 .
Вычислим коэффициенты разложения, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях. Так как знаменатель имеет три действительных различных корня, то три коэффициента найдем методом частных значений.
13
x  0 1  B 4 
1
1
1
Откуда B   , C  , D  .
x  2 1  C 2 2 2  2 
16
16
4
x  2 1  D 2 2  2  2 
Чтобы найти коэффициент A составим уравнение, приравнивая
коэффициенты при x 3 слева и справа в тождестве.
1
Получим уравнение:
0  A  C  D. Откуда A   .
8
Подставим найденные коэффициенты в разложение и проинтегрируем дроби.
dx
1 dx 1 dx 1
dx
1
dx
   
 
 

 2
8 x 4 x 2 16 x  2 16 x  2
x  x  2  x  2 
1
1
1
1
  ln x 
 ln x  2  ln x  2  C.
8
4 x 16
16
Интегрирование тригонометрических функций
Рассмотрим несколько видов интегралов от тригонометрических
функций.
I.  Rsin x, cos x dx.
Rsin x, cos x  − рациональная функция от sin x и cos x . Это означает,
что над аргументами производятся только рациональные операции:
сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целые степени
(положительные и отрицательные). Интегралы этого вида приводятся к
рациональной функции от x универсальной тригонометрической подстановкой:
2t
2dt
x
1 t2
, x  2arctgt .
, cos x 
tg  t , sin x 
, dx 
2
2
2
2
1 t
1 t
1 t
Следует заметить, что, применяя эту подстановку можно привести
любую подынтегральную функцию Rsin x, cos x  к рациональной дроби, но иногда получаются громоздкие дроби, которые трудно проинтегрировать.
Рассмотрим частные случаи, когда можно избежать универсальной подстановки.
II.  sin m x cosn xdx .
Где m и n – целые положительные числа. Если m и n – четные,
то используется тригонометрические формулы понижения степени,
14
1  cos 2 x
1  cos 2 x
, cos2 x 
.
2
2
Пример 15.
sin 2 x 

2

1
 1  cos 2 x 
2
 sin xdx    2  dx  4  1  2 cos 2 x  cos 2 x dx 
1
1  cos 4 x  1
1 sin 2 x 1
1 sin 4 x
=   dx  2 cos 2 xdx  
 x
C 
 x
4
2
2 2
8
8 2
 4
3
1
1
= x  sin 2 x  sin 4 x  C.
8
4
16
4
III. Если одно из чисел m или n – нечетное, или m и n – нечетные, то отделяем от нечетной степени один множитель и делаем замену
cos x  t (или sin x  t ) – sin xdx  dt .
Пример 16.
 
t3 t5
 sin x cos xdt =  sin x cos x cos xdx =  t 1  t dt = 3  5  C .
2
3
2
2
2
2
1  sin x
dx .
cos x
Применим универсальную тригонометрическую подстановку:
2
2t
2dt
x
, cos x  1  t , dx 
.
tg  t , sin x 
2
2
2
2
1 t
1 t
1 t
2t
1
2
1  t 2 dt
1  sin x
1  t 2 2dt  2 1  t  2t dt  2

dx



 cos x
1 t 2 1 t 2
1  t 2 1  t 1  t 
1 t2 1 t2
Пример 17.



1 t





1 t2
1  t 2 1  t  dt ;
1 t
1 t
A
Bt  C


Разложим дробь
на простейшие
;
2
2
2
1

t
1  t 1  t 
1  t 1  t 
1 t
Откуда 1  t  A1  t 2   Bt  C 1  t .
 2
Найдем коэффициенты разложения из системы:
15
t2 0  A  B 
A 1

t1  1  B  C   B  1 .

C 0
t0 1  A  C 
Проинтегрируем:
2
1 t
1  t 2 1  t 
dt  2
 2 ln 1  t  ln 1  t 2  C   2ln 1  arctg
1
tdt
=
dt  2
1 t
1 t2
x
x

 ln 1  arctg 2   C .
2
2

IV. Если n и m – дробные либо целые (отрицательные) числа и
m  n – целое отрицательное число, тогда рекомендуется подстановка
1
t
dt
, sin x 
, cos x 
tgx  t dx 
1 t2
1 t2
1 t2
1
t
dt
cos x 
или ctgx  t
, sin x 
,
.
dx  
2
2
2
1 t
1 t
1 t
dx
Пример 18.
  sin 3 4 x cos5 4 dx ;
4 3
sin x cos5 x
3 5
8
т.к. m  n       2 четное отрицательное число.
4 4
4
t
dt
Используем подстановку tgx  t , dx 
, sin x 
,
2
2
1 t
1 t
1
cos x 
;
2
1 t
dt
1 t2
3 4
5 4
 sin x cos xdx  
t
4
3

1
3
2 
5
2
 1 t   1 t 

 

1  t 2  dt

t1 4

 C  4tg1 4 x  C
=
2
34
1  t   t 14
V. Интегралы вида  tgm xdx ,  ctg n xdx , где m > 0 , n >0
16
вычисляются при помощи подстановки tgx  t , dx 
dx  
dt
1 t2
dt
1 t2
и ctg x  t ,
.
Пример 19.
tgx  t

t5
t 
5
tg
xdx


dt    t 3  t 
dt =
dt


2
2
dx 
1 t
1 t 

1 t2


tg 4 x tg 2 x 1
t4 t2
1

 ln 1  tg 2 x  C ;
 

C 
4
2
2
4
2 2 ln 1  t 2

-
1 t2
t5
5
t t
3
3
t t

.
 t3
 t3  t
t
VI. Интегралы
вид
 sin kx cos lxdx,  cos kx cos lxdx,  sin kx sin lxdx,
где k , l – действительные числа.
Напомним известные тригонометрические формулы:
1
sin kx cos lx   sin  k  l  x  sin  k  l  x  ;
2
1
cos kx cos lx  cosk  l x  cosk  l x ;
2
1
sin kx sin lx  cosk  l x  cosk  l x .
2
Заменив подынтегральные функции по этим формулам, получим интегралы, которые вычисляются просто.
1
Пример 20.
sin
2
x
sin
5
xdx


 cos 3x   cos 7 x dx =
2
1 sin 3x 1 sin 7 x
1
1

C
  cos 3xdx   cos 7 xdx = 
2 3
2 7
2
2
1
1
 sin 3x  sin 7 x  C .
6
14
17
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Определение 3. Функция называется алгебраической иррациональной, если над аргументом производится только четыре арифметических действия и действие возведения в рациональную степень.
Метод интегрирования алгебраических иррациональностей состоит в выборе подстановки, которая привела бы подынтегральную функцию к рациональной.
Наиболее часто встречаются иррациональности вида:
I.
m
r
1)  R x, x m n , , x r s dx ;
, , – несократимые дроби.
n
s
Рекомендуется подстановка: x  t l , где l – наименьшее общее
кратное знаменателей дробей (н.о.к.) n, , s  .

2)
R
 x, ax  b

mn
,
 ax  b m n
 dx ;
Подстановка: ax  b  t l , где l  н.о.к. n,, s  .
r s
  ax  b m n
 ax  b  
, ,
3)  R  x, 
  dx .
  cx  d 
cx  d  



ax  b l
Подстановка:
 t , где l  н.о.к. n, , s  приводит подынcx  d
тегральную функцию к рациональному виду.
II.
1)  R x, a 2  x 2 dx ;
Подстановка: x  a sin t ,


dx  a cos tdt .
adt
2)  R x, a 2  x 2 dx ;
Подстановка: x  atgx , dx 
.
2


cos t
3)  R x, x2  a 2 dx ;
Подстановка: x  a sec t ,


a sin t
dx 
dt .
2
cos t
Рекомендуется подстановка: x  t l , где l – наименьшее общее
кратное знаменателей дробей (н.о.к.) n, , s  .
1)
R
 x, ax  b
mn
,
 ax  b r s
 dx ;
Подстановка: ax  b  t l , где l  н.о.к. n,, s  .
18
r s
  ax  b m n
 ax  b  

2)  R x, 
, ,
  dx .
  cx  d 
cx

d

 

ax  b l
Подстановка:
 t , где l  н.о.к. n, , s  приводит подынтеcx  d
гральную функцию к рациональному виду.
III.
1)  R  x, ax 2  bx  c  dx приводится к одному из видов в п. II ме

тодом выделения полного квадрата трехчлена, стоящего под корнем квадратным.
I 
Пример 21.
dx
5
x x  x 2 



dx

12
x x
x
25
Наименьшее общее кратное знаменателей дробей

;
1 2
, равно 10.
2 5
Сделаем подстановку x  t 10 , dx  10t 9 dt ;
Тогда I  
10t 9 dt
t
t
10 5
t
4

 10 
dt
t t  1
5
.
1
– правильная рациональная дробь. Разложим ее на простейшие
t 5 t  1
рациональные дроби, что рекомендуется проделать самостоятельно.
 dt
dt
dt
dt
dt
dt 
Получим: I  10           
=
t
t  1 
t4
t3
t2
 t5

 10 
1
 4t 4
=
5
2t
4


10
3t
3
1
dt 
 
  ln t  
3
2 t
t

1
3t
2t

 1

1
1
1


  ln t  ln t  1   C 
=10 
 4t 4 3t 3 2t 2 t

1


5
t
2

Пример 22.
1
10
t
 10 ln
C,
t
t 1
I 
где t  10 x .
12
1  x dx
1 x 
 

1 x x
1 x 
dx
;
x
19
Сделаем подстановку, которая приводит подынтегральную функ1 x 2
цию к рациональному виду:
t ;
1 x
Найдем из этого уравнения x и dx :
dx 

x
 2t 1  t dt   4t dt .
1  t 2 2
1  t 2 2
 2t 1  t
Тогда I  
1  x  t 1  x  ;
2
2
1 t
;
2
2
t  4t dt
1 t2
1 t
1 t2
2
1  t 2 
 4
t 2dt
t2
1  t 2 1  t 2   4 1  t 1  t 1  t 2  dt .
Проинтегрируем правильную рациональную дробь
t2
1  t 1  t 
2
2
, раз-
ложив ее на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов.
Представим интеграл в виде суммы:
 1 dt 1 dt 1 dt 
I  4 
 
 

2
4
1

t
4
1

t
2
1 t 

1
1
1 t
 1

 4   ln 1  t  ln 1  t  arctgt   C  ln
 2arctg t  C .
4
4
2
1

t


Возвращаясь к старой переменной по формуле t 
1 x
,
1 x
1 x  1 x
1 x
 2arctg
C.
1 x
1 x  1 x
dx
Пример 23.
; Это интеграл типа II.
I 
2
2
x x 9
3dt
Применим подстановку x  3tg t ; dx 
;
cos2 t
3
9
;
тогда x 2  9 
;
x2  9  9tg 2t  9  9 tg 2t  1 
2
cos
t
cos t
3dt
1
dt
1 cos t
1 1
I 
 
 
dt  
;
2
2
9
9
9
sin
t
2 3
2
sin
t
sin
t
9tg t
cos t
cos t
cos t
2
cos t
получим I  ln

20

Чтобы вернуться к первоначальной переменной, выразим sin t через
tgt ;
tg t
x3
x
;
sin t  tg t  cos t 


2
2
2
tg t  1
x 9 1
x 9
1
x2  9
C  
C;
Получим I  
9 sin t
9x
x  2dx ;
Пример 24.
Это интеграл типа III.
I 
2
x  2x  2
Алгоритм вычисления интеграла такого типа аналогичен алгоритму интегрирования рациональной дроби типа III:
Ax  B
dx , а именно:
 2
x  px  q
1) Выделение полного квадрата трехчлена, стоящего в знаменателе;
2) Введение новой переменной.
x  2dx  x  2dx 
I 

2
x  2x  1  1
x  12  1
x  1  t;
t  1dt  tdt
dt
 замена x  t  1;  



2
2
2
t 1
t 1
t 1
dx  dt ;


1
 2 t 2  1  ln t  t 2  1  C  x 2  2 x  2  ln x  1  x 2  2 x  2  C
2
.

p
IV. Интеграл от дифференциального бинома:  x m a  bx n dx ,
может быть вычислен в конечном виде только в следующих случаях:
1) p – целое число, тогда применима подстановка x  t s , где s –
общий знаменатель дробей m и n . Или разлагают на сумму по формуле
бинома Ньютона.
m 1
2)
– целое число, подстановка a  bx s  t , где s – знаменаn
тель дроби p .
21
m 1
 p – целое число, подстановка a  bxn  t s x n , где s –
n
знаменатель дроби p .
3)
Эти подстановки называются подстановками Чебышева, который
доказал, что только в этих случаях дифференциальный бином может
быть приведен к рациональному виду и вычислен при помощи элементарных функций.
I 
Пример 25.
3 1
x
x
dx ;

Запишем интеграл в виде I   x 1 1  x1 2
где m  1, n 
p

13
dx ,
1
1
, p  , s  3.
3
2
1
m  1 1  1

 0 – целое число.
– не целое число;
n
12
3
В этом случае применима подстановка: 1  x1 2  t 3 ;
1
x 2  t 3  1;
I 
 
t 3  12
t 6t 2 t 3  1 dt
 
2
x  t 3 1 ;
 6
t3
 

t 3  1 1
dt  6
dt  6 dt  6
t 3 1
 
dx  2 t 3  1  3t 2dt  6t 2 t 3  1 dt ;
t 3 1
Проинтегрируем рациональную дробь:

t  1t
ddt
t  1t 2  t  1
dt
2

,
;
раз-
 t 1
1
A
Bt  C
ложив ее на простейшие:
.


t  1 t 2  t  1 t  1 t 2  t  1
2
1
1
Найдя коэффициенты разложения, получим: А= , B=  , C=  .
3
3
3
Подставим их в разложение и проинтегрируем дроби:
t 1
 1 dt 1 t  2dt 
2t  1
 2 3arctg
C,
I  6t  6 
 
 = 6t  2ln
2
3
 3 t 1 3 t2  t 1
t  t 1

где t = 3 1  x .
22

Определенный интеграл
Изучение определенного интеграла
начинаем со следующей задачи. Пусть
функция y  f ( x) определена на  a, b ,
a  b . Попробуем отыскать метод вычисления площади S фигуры (криволинейной
трапеции), ограниченной осью Ox , прямыми x  a , x  b и графиком функции
y  f ( x) , рис. 1.
у
у = f(x)
0
a
b
Рис. 1.
Рассмотрим частные случаи
1. Функция y  f (x) постоянна на a, b . В таком случае рассматриваемая фигура является прямоугольником, а его площадь равна
длине основания ( a  b) , умноженной на высоту f ( x)
S  f ( x)  (b  a) .
2. Пусть f (x) непрерывна на a, b . Разделим отрезок a, b на n
произвольных частей точками a  x0 , x1 , x2 ,..., xn  b . Выберем на
каждом элементарном отрезке xi 1 , xi  произвольную точку ci  xi 1 , xi 
и вычислим значение функции в ней, т.е. величину f (ci ) .
Умножим найденные значения f (ci ) на длину xi  xi  xi 1 , т.е.
f (ci )  xi .
Составим сумму S n всех таких произведений
n
Sn  f ( x1)x1  f ( x2 )x2  ....  f ( xn )xn   f ( xi )xi .
(1)
i 1
Сумма вида (1) называется интегральной суммой функции
y  f (x) на отрезке a, b .
Обозначим   max xi (i  1, 2, 3, ....., n) .
Найдем предел интегральной суммы (1), когда n   так, что
  0.
Если при этом интегральная сумма S n имеет предел, который не
зависит ни от способа разбиения отрезка a, b на частичные отрезки, ни
от выбора точек в них, то число под определенным интегралом от
функции f (x) на отрезке a, b и обозначается
23
x
b

n
 f (ci )xi
f ( x)dx  lim
n i 1
(0)
a
Числа a и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, f (x)  подынтегральной функцией, f ( x)dx 
подынтегральным выражением, x  переменной интегрирования,
a, b  областью интегрирования.
Теорема существования определенного интеграла
Если функция y  f (x) непрерывна на a, b , то определенный
b
интеграл
 f ( x)dx
существует.
a
Укажем на некоторые свойства определенного интеграла:
1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной
b
интегрирования
b

 f ( x)dx   f (t )dt  
a
a
f d 
.

a
2.
 f ( x)dx  0
a
b
 cdx  c(b  a) .
3. Для любого с,
a
Теорема. Если функция f ( x) непрерывна на a, b , то опредеx
ленный интеграл F ( x)   f ( x)dx с переменным верхним пределом явa
ляется первообразной для функции f ( x) , то есть
x

F ( x)    f ( x)dx   f ( x).


a

Формула Ньютона  Лейбница
Если F ( x)  первообразная для непрерывной на a, b функции
f ( x) , то имеет место равенство:
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
24
Формула Ньютона  Лейбница дает удобный способ вычисления
определенного интеграла.
Примеры.
1
x3
2
1)  x dx 
3
0
1
2)

xdx
2
dx
0 1 x
2
b
a
b 3 a 3 b3  a 3



3
3
3
 1  x2
1
 2 1
0
2
1
x
1
1      
3) 
 arctg
  arctg1  arctg(1)         
2 2
2 2 2
2  4  4  4
2 4  x



1  cos 2 x
2
4) 
dx   cos x dx   cos x dx 
2
0
0
0

2


2
 cos x dx   ( cos x)dx  sin x  sin x   1  1  2

0
0
2
2

Формула Ньютона  Лейбница лежит в основе следующих методов, полезных при вычислении определенных интегралов.
1. Замена переменных в определенном интеграле
Пусть f ( x)  непрерывна на  a, b . Введем новую переменную t
по формуле x  (t ) . Пусть (a)   , (b)   , функции (t ) , (t ) и
f [(t )] непрерывны на  a, b  . Тогда
b

a

 f ( x)dx  
f [(t )]  (t )dt .
2
Пример.  x 2 4  x 2 dx 
0
Положим
x  2sin t , тогда dx  2cos t  dt.

Если x  0, то t  0; x  2, то t   2.
25

2

2

21
  4sin 2 t 4  4sin 2 t  2cos t dt  16  sin 2 t cos 2 t dt  16  sin 2 2t dt 
4
0
0
0

21

 
1


 4  (1  cos 4t ) dt  2   t 2  sin 4t 2   2   0   .


2
4
2

0
0
0


Интегрирование по частям
Для любых непрерывно дифференцируемых на
f ( x) и g (t ) имеет место равенство:
b
a, b
b
b
 f ( x) g( x)dx   f ( x) g ( x)  a   g ( x)  f ( x) dx .
a
a
b
b
b

f
(
x
)
g
(
x
)
dx

f
(
x
)
g
(
x
)


 a  g ( x)  f ( x) dx .

a
a
Или в обозначениях
u  f ( x)
du  f ( x)dx
b
dv  g ( x)dx
v  g ( x)
b
b
 udv  uv a   v du .
a
a
26
функций
Примеры. Вычислить:
e
u  lnx

1
dv  xdx 
du 
dx
x
1)  x  lnx dx 
e 2
x 1
e2
1 e x 2dx e2 1 2
   dx  lne  
  x
2
x
2
2
x
2 4
1
1

2)
u x

dv  sin xdx 
 x  sin x dx 
0

e
x2

lnx 
2
x2
1
v
2
e
1
e2 e2 1 e2 1

  
 .
2
4 4 4 4
du  dx

v   cos x


  x  cos x 0   cos xdx   cos   0  cos0  sin x 0  .
0
Несобственные интегралы
Пусть теперь функция f ( x) определена и непрерывна на бесконечном интервале [a, ) . Тогда для любого b  a значение интеграла
b
 f ( x)dx
определено и зависит от b .
a
b
f ( x)dx ,

b 
Если существует конечный предел lim
то этот предел
a
называется несобственным интегралом от f ( x) на [a, ) и обозначает
ся через


a

f ( x)dx .
a
f ( x)dx  lim
b
 f ( x)dx
b  a
В этом случае говорят, что


f ( x)dx сходится.
a
27


В противном случае, т.е. когда конечного предела для интеграла
f ( x)dx при b  
a
не существует, говорят о расходимости несоб

ственного интеграла
f ( x)dx
.
a
Аналогично, определяются следующие несобственные интегралы
для других бесконечных пределов
b

f ( x)dx  lim

 f ( x)dx ,
a   a


b
c

f ( x)dx 

f ( x)dx 

где с  произвольное число.


f ( x)dx ,
c
Примеры.
1) Вычислить:


dx
0 1 x
b
dx

b 
 lim
2
01  x
b
2
 lim arctgx 0 
b 

 lim arctgb  lim arctg0  .
2
b 
b 
2) Установить, при каких  интеграл
Пусть   1 . Тогда
b
Таким образом,

dx
1x

Значит, если   1 , то
Если   1, то
28



1x

dx

1 x
сходится?
x1
1
1
   1   1  b 1 .
1x
1
b1  1
 lim
.
b 1  
b


dx
dx
1x
dx
b





1
, т. е. интеграл сходится.
1 
  , т. е. интеграл расходится.
При =1,


dx
1x
0
3)

a

 ln x 1   , т. е. интеграл расходится.
0
lim sin x a  0  lim sin a.
 cos x dx  a
a  

a 
cos x dx  lim

0
a
Интеграл расходится, т. к. предел не существует.
Пусть теперь функция f ( x) непрерывна на интервале [a, b)
lim f ( x )   . Если существует конечный предел lim
b 

 0 a
x b0
и
f ( x)dx , то
его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают
b
 f ( x)dx .
a
Таким образом, по определению
b 
b
 f ( x)dx  lim

 0
a
f ( x)dx .
a
Если предел в правой части существует, то несобственный интеb
грал
 f ( x)dx
сходится.
a
Если же указанный предел не существует или бесконечен, то гоb
ворят, что несобственный интеграл
 f ( x)dx
расходится.
a
Аналогично, если функция f ( x) терпит разрыв в точке x  a , то
полагают
b
b
 f ( x)dx  lim

0
f ( x)dx .
a 
a
Если же функция f ( x) терпит разрыв во внутренней точке
x  c отрезка a, b , то несобственный интеграл определяется формулой
b
 f ( x)dx
a

c
 f ( x)dx
a

b
 f ( x)dx.
c
29
В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.
Пример. Вычислить, если он сходится, несобственный интеграл
1
lnx
dx .
x
0

lnx
lnx
определена на (0, 1] , и lim
  , то есть мы
x
x  00 x
имеем дело с несобственным интегралом от функции с бесконечным
разрывом.
Таким образом,
Функция
1
1
1
lnx
(lnx)2
(ln)2
 lim 
 ,
 x dx  lim
 lnx dlnx  lim
2
2
0
0

0
0


1
lnx
dx
x
0

т.е.
расходится.
Важную роль в решении вопроса о сходимости (расходимости)
несобственного интеграла играет теорема сравнения:
Если функции f ( x) и g ( x) определены на интервале [a, ) , и
x  [a,  ), справедливо
для
некоторого
неравенство
0  f ( x)  g ( x), то из сходимости интеграла

a
мость
 g ( x)dx
a

сти

f ( x)dx ) следует сходимость интеграла


f ( x)dx
(расходи-
a

 g ( x)dx
(из расходимо-
).
a
Аналогия утверждений справедлива и для других несобственных
интегралов.
Пример. Вычислить, сходится или не сходится интеграл


dx
3
1 x  2x  3
30
.
Здесь x  [1,  ) ; для всех x  [1,  ) , справедливо неравенство
0
1
x3  2 x  3

1
x3

,а

dx
3
1x
сходится, таким образом, по теореме
сравнения, будет сходиться интеграл


dx
3
1 x  2x  3
.
31
Некоторые приложения определенного интеграла
1. Вычисление площади плоской
фигуры
у
Известно, что площадь криволинейной трапеции (рис. 2) вычисляется
как
0
a
b
b
x
S   f ( x)dx .
Рис. 2.
(2)
a
Отметим, что если криволинейная трапеция расположена ниже
оси 0х,  f ( x)  0  , то площадь может быть найдена по формуле
b
S    f ( x)dx .
(3)
a
Формулы (2) и (3) можно объединить в одну S 
b
 f ( x)dx .
a
Площадь фигуры, ограниченной кривыми y  f1( x) и y 
x  a, x  b  f 2 ( x ) 
прямыми
у
можно найти по формуле
у = f2(x)
f 2 ( x) ,
f1( x) 
b
S    f 2 ( x)  f1( x) dx .
a
у = f1(x)
0
a
b
Рис. 3.
x
Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то её следует разбить на части по прямым, параллельным оси Oy ;
чтобы можно было применить известные
формулы.
Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной
 x  x(t )
t  [, ] , прямыми x  a, x  b и осью
параметрически 
y

y
(
t
)

Ox , то площадь находится по формуле
 =  ()
S

 y (t )  x(t )dt

32
0
 
x
Рис. 4.
.
Если уравнение линии задано в полярных координатах
  (),      (см. рис. 4), то площадь криволинейного сектора
определяется по формуле

1
S   2 ()d  .
2
Примеры.
1) Вычислить площадь
S
фигуры, ограниченной кривыми
x и y  x3 (см. рис. 5).
y
Находим точки пересечения кривых:
x  x3 , x  x6 и, значит, x1  0, x2  1 .
3
у =x
у
у= x
Следовательно
0
1
S
0
1
x

x  x3 dx 
1
Рис. 5.
у
b
S/4
0
x
a
Рис. 6.
1
2 3/ 2
x4
2 1 5
 x

   .
3
4
3 4 12
0
0
Вычислить площадь S фигуры, ограниченной эллипсом
 x  a  cos t
t  [0;2].

y

b

sin
t

Сначала найдем площадь 1 4 части эллипса
(см. рис. 6).
Здесь х изменяется от 0 до  , следовательно, t изменяется от  2
до 0.
Находим, что
0
1
S   b sin t  a sin t  dt 
4
2
0
2
ab 0
ab  1
ab

  ab  sin t dt 
(1  cos 2t ) dt 

.
 t  sin 2t 

2
2
2
4


0
2
2
2
33
Таким образом, S  ab .
2) Вычислить площадь S фигуры,
ограниченной «трехлепестковой розой»:
r  a cos3.
Найдем вначале площадь половины
одного лепестка «розы» (см. рис. 7).
/6
0

6
Рис. 7.
1
1
S   a 2 cos 2 3 d 
6
2 0
6
6
1
1
1
1
S   a 2 cos2 3 d  a 2  1  cos6  d 
6
2 0
2
2
0
6
2
a2 
sin 6 
a2  
 a
   0 
.
 

4 
6 0
4 6
 24
Следовательно, S  6 
a 2 a 2

.
24
4
2. Длина дуги кривой
Длина L дуги АВ кривой, заданной уравнением y  f (x) , где точка А соответствует значению x  a , точка В соответствует значению
xb
(см. рис. 8) находится по формуле:
b
у
L   1   f ( x)  dx .
В
a
Длина дуги АВ кривой L, заданной
параметрическими уравнениями
А
0
2
a
b
 x  t 

 y   t 
x
Рис. 8.
находится по формуле L 



   
t'
2
 t'
2
t  [; ]
dt .
Если плоская линия задана уравнением   (),     , в полярных координатах, то
34
L
2
2
 ()  () d .

Примеры.
1) Найти длину окружности
x 2  y 2  r 2 (см. рис. 9).
Вычислим длину окружности.
Вначале найдем L/4.
у
L/4
b

x
0
r
y 
y  r 2  x2 ,
Рис. 9.
1  2 x
2
2 r x
2
.
r
r
L r
x2
r
x
r
  1
dx  
dx  r  arcsin
 .
2
2
4 0
r0 2
r 2  x2
0 r x
r
 2R.
2
2) Вычислить
длину
дуги
винтовой
x  a  cos t , y  a  sin t , z  b  t между точками t  0, и t  .
Поскольку x  a  sin t , y  a  cos t , z  b , то
Длина окружности L  4 
     
xt'
2
 yt'
2
 zt'
2
линии
 a 2  b2 .

  a 2  b2 dt  a 2  b2  . Найти длину кардиоиды r  a  (1  cos).
0
Кардиоида имеет вид (см. рис. 10). Она симметрична относительно полярной оси  .
Найдем половину длины кардиоиды
L/2:
L/2
0
2а

Рис. 10.
Длина кардиоиды

1
2
2
   a  1  cos     a    sin   d 
2
0



 a  2  2cos  d   a  2  2cos 2 d  
2
0
0




 2a  cos d  4a  sin
 4a .
2
2
0
0
 2  4a  8a.
35
3. Объем тела
Пусть требуется найти объем V тела, причем известна площадь
сечения тела, плоскостями, перпендикулярными к оси
S ( x)
Ox : S  S ( x), a  x  b, то
b
S   S ( x)dx .
a
x2
y2
z2


 1.
a 2 b2 c2
Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости Oyz и
на расстоянии x от неё a  x  a получим эллипс
Пример. Найти объем эллипсоида
y2

2 
b 1 x 

a 2 

2

x2
2
 1.

2 
c 1 x 

a 2 


x2 
Площадь этого эллипса равна S ( x)  bc 1 
,
 a2 


a 
x2 
4
поэтому V  bc  1 
 dx  abc .
2
 a 
3

a 
4. Объем тела вращения
Объем тела, полученного вращением кривой вокруг оси ох
(см. рис. 11), определяется интегралом
у
b
d
Vx    y 2dx .
a
Аналогично, вокруг оси 0у.
с
0
d
a
b
Рис. 11.
x
Vy    x 2dy .
c
Пример. Найти объем тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
36
x2
y
, x  0, y  2 2 , вокруг оси Oy .
2
Находим
у
y2 2
b
y 
r
x2
2
x
0
Рис. 12.
d
V y    x 2dy 
c
2 2

0
2 ydy y 2
2 2
0
 8
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Соотношения, в которых неизвестные переменные
и их функции находятся под знаком производной или дифференциала,
называются дифференциальными уравнениями.
Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка
называется уравнение, связывающее независимую переменную x , искомую функцию y  f (x) и её производную первого порядка y или
дифференциалы dx и dy .
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
F  x, y, y   0
(1)
вид
Если это уравнение можно разрешить относительно у', то оно примет
y  f  x, y .
(2)
Основной задачей теории дифференциальных уравнений является
нахождение неизвестных функций, определяемых дифференциальными
уравнениями
Определение. Решением дифференциального уравнения (1) называется функция y  ( x) , обращающая уравнение в тождество.
37
Определение. Общим решением дифференциального уравнения
первого порядка называется функция
(3)
y  ( x, c) ,
которая зависит от произвольной постоянной с и обращает дифференциальное уравнение (1) в тождество.
Определение. Общее решение
(4)
Ф( x, y, c)  0,
заданное в неявном виде, называется общим интегралом этого уравнения.
Определение. Частным решением дифференциального уравнения
(1) называется функция y  ( x, c0 ) , которая получается из общего решения (3) при определенном числовом значении c  c0 .
Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.
Пусть в уравнении (2) функция f ( x, y) и её частная производная
f
непрерывны в некоторой области D на плоскости Oxy . Тогда, каy
кова бы ни была точка M 0 ( x0 , y0 ) D , всегда существует (и при том
только одно) такое решение этого уравнения y0  ( x0 ) , которое равно
y0 при x  x0 , т. к. y0  ( x0 ) .
Условие, что y0  ( x0 ) при x  x0 , называется начальным условием.
Оно записывается в виде
(5)
y x  x  y0 или y ( x0 )  y0 .
0
Поставим задачу. Найти решение y  y ( x) уравнения (2), удовлетворяющее предыдущей теореме.
Такая задача называется задачей Коши.
Определение. Решение, в каждой точке которого нарушается
единственность решения задачи Коши, называется особым.
Замечание. В некоторых случаях выгодно за искомую функцию
считать переменную x и записывать уравнение (2) в виде
1
g  x, y  
.
x  g  x, y  ,
где
(6)
f  x, y 
dy
dx
Учитывая, что y 
и x  , дифференциальные уравнения
dx
dy
(1), (2) и (6) можно записать в форме
P  x, y  dx  Q  x, y  dy  0,
(7)
38
где P  x, y  и Q  x, y   известные функции.
Пример 1. Найти общее решение уравнения y  3x 2 .
dy
dy
Решение. Так как y 
, то получим
 3x 2 .
dx
dx
Тогда dy  3x 2dx. Интегрируя обе части уравнения, окончательно получим y  x3  c.
Общее решение данного уравнения образует семейство кубических парабол, т.к. c может принимать любое числовое значение.
у
М
0
1
x
Рассмотрим частное решение.
Пусть наша кривая проходит через
точку М(1,0), см. рис. Подставим координаты точки М в общее решение. Получим
0  13  c , откуда c  1.
Тогда частное решение имеет вид
y  x3  1.
Геометрическое толкование дифференциального уравнения первого порядка заключается в том, что общее решение (общий интеграл)
(4) представляет собой семейство кривых на координатной плоскости,
зависящее от одной произвольной постоянной c .
Эти кривые называются интегральными кривыми уравнениями
(1), (2).
Частному решению (задачи Коши) соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через данную точку плоскости.
Решить дифференциальное уравнение (1)  значит:
1) найти его общее решение (если начальные условия не заданы);
2) найти частное решение уравнения (1), которое удовлетворяет
начальным условиям или, другими словами, решить задачу Коши.
Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка.
1. Уравнения с разделяющимися переменными
Определение. Дифференциальное уравнение вида
M  x  dx  N  y  dy  0,
(8)
39
в котором коэффициент при dx является функцией только от x , а коэффициент при dy  функцией только от y , называется уравнением с
разделенными переменными.
Функции M  x  и N  y  должны быть непрерывными для всех
значений x и y .
Уравнение с разделенными переменными решается следующим образом:
Перенесем слагаемое M  x  dx в правую сторону равенства (8) с
противоположным знаком.
M  x  dx   N  y  dy .
Проинтегрируем правую часть уравнения по y , а левую по х.
(9)
 N  y  dy   M  x  dx  c .
Полученное равенство (9) является общим интегралом уравнения
с разделенными переменными (8).
Пример 2. Решить уравнение
ydy  xdx  0.
Решение. Переменные уравнения разделены.
Тогда
ydy  xdx.
Интегрируя, получим
 ydy   xdx
или
y 2 x2
  c.
2
2
y 2 x2

 c . или y 2  x 2  c1  семейство гипербол.
Тогда
2
2
Замечание. Дифференциалы dx и dy должны всегда стоять в
числителе.
Определение. Дифференциальное уравнение вида
M1  x  N1  y  dy  M 2  x  N2  y  dx  0,
(10)
в котором коэффициенты при дифференциалах можно разложить на
множители, зависящие только от x и только от y , называется уравнением с разделяющимися переменными.
M1  x  N2  y  ,
Разделим
уравнение
(10)
на
 M1  x   0,
Далее
40
N2  y   0 получим
N1  y 
M  x
dy  2
dx  0.
N2  y 
M1  x 
N1  y 
M  x
(11)
dy   2
dx .
N2  y 
M1  x 
Проинтегрировав обе части уравнения (11), получим общий интеграл уравнения (10):
N1  y 
M2  x
 N  y  dy    M  x  dx  c .
2
1
Замечание 1. При делении обеих частей уравнения (10) на произведение M1  x  N 2  y  могут быть потеряны частные решения, обращающие в нуль произведение M1  x  N 2  y  .
Замечание 2. Уравнение с разделенными переменными (8) является частным случаем уравнения с разделяющимися переменными.
x
Пример 3. Решить уравнение y   .
y
dx
Решение. Так как y 
, то получим
dy
dx
x
  , ( x  0).
dy
y
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Разделив это уравнение на y ( y  0) и умножив его на dx , получим
dy
dx

.
y
x
Интегрируя, получим
dy
dx
 y    x  lny   lnx  c1  lny   lnx  lnc2 ( c2  0, c1  ln c2 ) 
c dx
x
 ln y  ln 2 .   , ( x  0).
x dy
y
c
Откуда y  2 , ( c2  0)  общее решение нашего уравнения в обx
щем виде.
При делении обеих частей уравнения на y можно потерять решение
y  0 . Оно также является особым (или частным) решением уравнения.
Заметим, что это решение можно получить из общего при c2  0 . Поc
этому в ответе достаточно указать y  2 .
x
41
Пример 4. Решить уравнение
 y  x2 y  y  xy 2  x  0.
Решение. Представим уравнение в виде

 

y  x 2 y dy  xy 2  x dx  0,
т.к.
y 
dy
.
dx
Вынесем общие множители за скобки




y 1  x 2 dy  x y 2  1 dx  0.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Перенесем второе слагаемое в правую сторону




y 1  x 2 dy   x y 2  1 dx .
Разделим обе части уравнения на произведение
 y2  1  1  x2  ,
ydy

( x  1).
 x dx
 y  1 1  x 
2
2
.
Интегрируя обе части уравнения, найдем общее решение


ydy
 y2  1
 
x dx
1  x2 





2
2
1 d y 1 1 d 1 x
 
.
 2
2
2 1  x2
y 1
Умножим обе части уравнения на 2
  d 1  x2   ln y2  1  ln 1  x2  ln c (c  0) 
   
 2

y 1
1  x2
 ln  y 2  1  ln c 1  x 2   y 2  1  c 1  x 2   общее
d y2  1
(общий интеграл) уравнения в неявном виде.
При делении обеих частей уравнения
на
решение
произведение
 y  1  1  x  могли потерять решение x  1 , которое находится из
равенства  y 2  1  1  x 2   0 Функции x  1 не являются решением
2
2
нашего уравнения, т.к. при подстановке в уравнение не обращают его в
тождество.
42
2. Уравнения, приводящиеся к уравнениям
с разделяющимися переменными
Уравнения вида
(12)
y  f  ax  by  c  ,
где a, b и с  постоянные числа  a  0, b  0  , приводятся к уравнениям
с разделяющимися переменными с помощью подстановки
dt
t  ax  by  c, t   a  by, где t  
.
dx
Замечание 1. Если с = 0, получим уравнение
y  f  ax  by  ,
(13)
которое решается с помощью замены
t  ax  by, t   a  by.
Замечание 2. Если а = 0 или b = 0, то получим уравнение с разделяющимися переменными.
Пример 5. Решить уравнение
y  cos  y  x  .
Решение. Введем новую переменную t  t ( x) по формуле
t  y  x,
t   y  1  y  t   1.
Подставим t и y в первоначальное уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными относительно x и t .
dt
t   1  cos t  t   cos t  1 
 1  cos t 
dx
dt
dx

 dx  
  dx , т.к. 1  cos t 2
1  cos t
2t
2sin
2
Интегрируя обе части равенства, получим общий интеграл уравнения
t
t
yx
ctg  x  c  ctg    x  c   ctg
   x  c   общее ре2
2
2
шение уравнения.
Замечание. В примерах частные и особые решения дифференциальных уравнений рассматривать не будем.
3. Однородные уравнения
Определение. Функция F ( x, y) называется однородной функцией степени m , если для m 0 выполняется тождество
43
F  tx, ty   t m F  x, y  .
Пример 6. Рассмотрим функцию
(14)
F  x, y   x 2  xy  y 2 .
Решение. Данная функция однородная степени m  2 .
Покажем это.
Вычислим


F  tx, ty   t 2 x 2  t 2 xy  t 2 y 2  t 2 x 2  xy  y 2  t 2 F  x, y  , т.е. m  2.
Пример 7. Проверить, является ли данная функция
F  x, y   x 2  y 2
однородной?
Решение.


F  tx, ty   t 2 x 2  t 2 y 2  t 2 x2  y 2  t x2  y 2  t  F  x, y .
Данная функция является однородной степени m = 1.
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка
P  x, y  dx  Q  x, y  dy  0
(15)
называется однородным, если P  x, y  и Q  x, y   однородные функции одной и той же степени.
Замечание. Всякая однородная функция нулевой степени является
функцией отношения её аргументов:
 y
F  x, y      .
(16)
x
 
Тогда любое однородное дифференциальное уравнение может
быть записано в следующем виде:
 y
y  f   .
(17)
x
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки
y
 t , где
t  t ( x),
(18)
x
dt
y  xt ,
y  t  xt , где t   .
тогда
(19)
dx
44
Подставляя (18) и (19) в уравнение (17), получим уравнение с разделяющимися переменными относительно t и x .
Пример 8. Решить уравнение
xdy  ydx  ydy .
Решение. Разделив данное уравнение на произведение x  dx , получим
y y
y   y,
( x  0).
x x
Выразим у'
y
y
y  y 
x
x

y y

y  1   
x x


y 
y x
.
1 y x
Получили однородное уравнение. Сделаем замену:
y
dt
 t , y  xt , y  t  xt , где t  
.
x
dx
t
Тогда
t  t x 
.
1 t
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
Далее
t
t  t  t2
t2
dt
t2
1 t
dx
t x 
 t  t x 
 t x 
x 

dt 
.
1 t
1 t
1 t
dx 1  t
x
t2
Интегрируя последнее равенство, получим
1 t
dx
dt
dt
dx
1
dt






 ln t  c  ln x .
 2
x
 2 t x
t
t
t
Умножим последнее равенство на (1)
1
1
1
 ln t  c  ln x   ln t  ln x   ln tx  c .
t
t
t
Подставив вместо t  y x , получим общее решение уравнения
x
 ln y  c .
y
Пример 9. Решить уравнение
45
xy  x  e y x  y .
Решение. Учитывая, что x  0, разделим данное уравнение на х:
y
y  e y x  .
x
y
y
 t , y  xt ,
y  e
 .
x
x
Подставим в преобразованное уравнение
y
 t , y  xt , y  t  t x .
x
dt
dt
Учитывая, что t  
, тогда x  et .
dx
dx
dx
Разделим переменные et dt  .
x
Интегрируя, получим
y x
y  t  t x .
et +ln c  ln x   e t  ln x  ln c 
 et =ln c  ln x  et  ln
Вернемся к старым переменным
y
 c
 c
  ln  ln   y  x  ln  ln 
x
 x
 x
c
 c
  t  ln  ln  .
x
 x
 общий интеграл уравнения.
4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Линейными дифференциальными уравнениями
первого порядка называются уравнения, линейные относительно неизвестной функции и её производной.
Линейное дифференциальное уравнение имеет вид:
y  P  x  y  Q  x  ,
(20)
где P  x  и Q  x   непрерывные функции от x .
Замечание 1. y и y  входят в уравнение (20) только в первой
степени.
Замечание 2. P  x  или Q  x  могут быть постоянными числами,
если же они одновременно являются константами, то уравнение (20)
будет уравнением с разделяющимися переменными.
Пример 10. Рассмотрим дифференциальное уравнение
46
 xy  e x  dx  xdy  0.
Решение. Полагая, что х  0, разделим обе части равнения на
x  dx , получим
y
ex
 y  0.
x
ex
Перенесем слагаемое
в правую сторону, тогда
x
ex
y  y   .
x
Данное уравнение является линейным, так как содержит у и у'
ex
только в первой степени, P  x   1, Q  x    .
x
Замечание. В отдельных случаях дифференциальное уравнение
нелинейное относительно y и y x является линейным относительно x и
xy . Такое уравнение имеет вид:
x  P  y  x  Q  y  ,
(21)
где P  x  и Q  y   непрерывные функции от x или могут быть константами.
Пример 11. Определить тип уравнения
1
y 
.
2x  y2
Решение. Это уравнение нелинейное относительно у и у'. Пред1
ставим его в другом виде, воспользовавшись тем, что y  . тогда
x
1
1

 x  2 x  y 2  x  2 x   y 2.
2
x 2 x  y
Получили уравнение линейное относительно x и xy
P  y   2,
Q  y    y 2.
Решение линейного уравнения (20) (метод подстановки)
Решение уравнения (20) будем искать в виде произведения двух
функций от x
y  u  x   v  x   y  u  x   v  x   u  x   v  x .
47
Подставим у и у' в уравнение (20):
u  v  v  u  P  x   u  v  Q  x .
(22)
Собираем слагаемые при v в первой степени (можно при u):
v  u  P  x   u   v  u  Q  x .
Выберем функцию u такой, чтобы множитель при v обращался
в 0.
u  P  x   u  0  v  u  Q  x .
Таким образом, получим систему
u  P  x   u  0

 v  u  Q  x 
Решая первое уравнение системы (уравнение с разделяющимися
переменными относительно x и u , найдем искомую функцию u ( x) .
Так как одна из неизвестных функций u ( x) и v( x) может быть
выбрана произвольно, то в качестве u ( x) возьмем любое частное
(ненулевое) решение уравнения u  P  x   u  0 , а в качестве v( x)
возьмем общее решение второго уравнения системы v  u  Q  x  , в
которое, прежде чем решать его, подставим найденную функцию u ( x) .
Общее решение уравнения (20) запишем в виде y  u  x   v  x  ,
подставив найденные функции.
Замечание. Если в уравнении (22) сначала вынести общий множитель u в первой степени, то искомые функции найдем в обратном порядке, вначале v( x) , а потом u ( x) .
Пример 12. Решить задачу Коши
2
2
y 
y   x  1 ,
x 1
y (0)  1.
Решение. Данное уравнение линейно относительно у и у' .
2
2
P x 
, Q  x    x  1 .
x 1
Решение ищем в виде
y  u  v, y  u  v  u  v, где u  u  x  , v  v  x .
Подставим у и у' в уравнение
2
2
uv  v  u 
 u  v   x  1 .
x 1
48
Вынесем v в первой степени за скобки
2


2
v  u 
 u   v  u   x  1 .
x 1 

2u
2
Полагаем u 
 0 , тогда v  u   x  1 .
x 1
Таким образом, получим систему
  2u
 u  x  1  0,

 v  u   x  12 .

2u
Решаем первое уравнение системы, u 
 0. Это уравнение с
x 1
разделяющимися переменными.
2u
2u
du
2u
du 2dx
u 
 0  u 




.
x 1
x 1
dx x  1
u x 1
Интегрируя полученное уравнение, имеем
ln u  2ln x  1.
(постоянную интегрирования при нахождении u ( x) не вводим, т.к. достаточно найти любое (ненулевое) частное решение уравнения
2u
u 
 0 ).
x 1
Далее ln u  ln  x  1
2
 u  x    x  1 .
Подставим u  x    x  1
2
2
во второе уравнение системы и найдем
v:
2
2
v   x  1   x  1  v  1  dv  dx .
Интегрируя, получим общее решение второго уравнения системы:
 dv   dx  v  x   x  c .
Таким образом, общее решение данного линейного уравнения имеет
вид:
y  u  x   v  x    x  1  x  c .
Найдем частное решение уравнения. Используя начальное условие y(0)  1, найдем с.
Подставив x0  0 и у0  1 в общее решение линейного уравнения,
получим
2
1   0  1  0  c   1  1  c
2

c  1.
49
Тогда частное решение линейного уравнения при
с  1 имеет
вид:
y   x  1
2
 x  1   x  13 .
Пример 13. Решить задачу Коши
y
y 
, y (0)  1.
2 y  ln y  y  x
Решение. Данное уравнение нелинейно относительно y и yx .
1
Преобразуем уравнение, воспользовавшись там, что y  :
x
1
y
2 y  ln y  y  x

 x 

x 2 y  ln y  y  x
y
x
x
 x  2  ln y  1 
 x   2  ln y  1.
y
y
Полученное уравнение линейно относительно x и xy .
Решение будем искать в виде
x  u  v, где u  u  y  , v  v  y .
Тогда x  u  v  v  u .
Подставим x и x в уравнение
x
x   2  ln y  1.
y

uv
u
u  v  v  u 
 2ln y  1  v  u    v  u  2ln y  1 
y
y

u
u   0,
y
v  u  2ln y  1.
Вначале решаем первое уравнение системы
u 

u
0
y

u  
u
du
u


y
dy
y

du
dy


u
y
du
dy
1
1
 
 ln u  ln y  ln u  ln
 u   x  dx
u
y
y
y
 частное решение первого уравнения системы.
50
Подставим
во второе уравнение системы
x  dx u  y   1 y
v  u  2ln y  1:
1
v   2ln y  1  v  2 yln y  y  v    2 yln y  y dy 
y
v  2 yln y dy   y dy .
Вычислим отдельно каждый интеграл:
dy
u  ln y ,
du 
y
a) 2 yln y dy 
v   y dy 
dv  ydy ,
 y2
1
dy
 2
 ln y   y 2
 2
2
y

2

y
2

y2
2
2
 c;
  y  ln y   ydy  y  ln y 

2

y2
 c.
б)  y dy 
2
Подставляя решение этих двух интегралов в v , получим
y2 y2
v  y 2  ln y 

 c  y 2  ln y  c .
2
2
Тогда, общее решение линейного дифференциального уравнения
(23) имеет вид:
1
c
x  u  y   v  y   y 2  ln y  c  y  ln y  .
y
y
Воспользуемся начальными условиями y (0)  1 и найдем c .
c
c
x  y  ln y 
 0 1  ln1   c  0 (ln1  0).
y
1
Тогда частное решение линейного уравнения (23) при c  0 имеет вид:
0
x  y  ln y   y  ln y .
y


5. Уравнение Бернулли
Определение. Уравнение вида
y  P  x  y  Q  x   y n ,
(24)
51
называется уравнением Бернулли, где P  x  и Q  x   непрерывные
функции от x , n  0 , n  1 .
Замечание. При n  0 получается линейное уравнение первого
порядка относительно y и y x , а при n  1 получается уравнение с разделяющимися переменными.
Уравнение Бернулли приводится к линейному следующим образом:
Разделим все члены уравнения (24) на y n  y  0 
y  n  y  y  n 1  P  x   Q  x  .
(25)
Сделаем замену: z  y  n 1 .
Тогда z  1  n  y n  y
Подставим
y n 1 и y n  y:
z и
 y  n  y 
z
1 n
z
.
1 n
в уравнение
(25)
вместо
z
 z  P  x   Q  x .
1 n
Умножим полученное уравнение на (1  n) :
z  1  n   z  P  x   1  n   Q  x .
(26)
Преобразованное уравнение (26) является линейным относитель-
но
z и z .
Решив его, найдем общий интеграл уравнения (26).
1
y  z1n , получим общее решение уравнения
Далее, подставив
Бернулли (24).
Замечание. При интегрировании уравнений Бернулли можно сразу применить подстановку y  u  x   v  x  , не преобразовывая их в линейные.
Пример 14. Решить задачу Коши
xy  y  y 2  ln x, y (1)  1.
Решение. Разделим уравнение на x , x  0.
52
y 
y ln x 2

y .
x
x
Получим уравнение Бернулли, т. к. в правую часть входит у и у',
1
ln x
n  2, (n  0, n  1) .
P x  ,
Q x 
,
x
x
Решение ищем в виде:
y  u  v, где u  u  x  , v  v  x  (см. Замечание),
y  u  v  u  v.
y ln x 2
Подставим y и y в уравнение y  
 y , получим
x
x
u  v ln x
2
u  v  v  u 

  uv  .
x
x
Вынесем за скобки  в первой степени
u
ln x 2 2

v  u    v  u 
u v .
x
x

u
ln x 2 2
Полагая, что u   0 , имеем v  u 
u v .
x
x
Запишем систему уравнений
  u
 u  x  0,

 v  u  ln x  u 2  v 2 .

x
Решая первое уравнение системы, найдем его частное решение.
u
u
du
dx
du
dx
u   0  u   

 
 
x
x
u
x
u
x
1
1
 ln u   ln x  ln u  ln
 u .
x
x
Подставим u  1 x во второе уравнение системы и найдем её общее решение.
ln x 2 2
ln x
ln x 1 2
v  u 
 u  v  v 
 u  v 2  v 
 v 
x
x
x x
dv ln x 2
dv ln x
dv
ln x


v 

dx  

dx .
2
2
2
2
dx x 2
v
x
v
x
Интегрируя левую часть уравнения, получаем
53
1
   c.
v
v2
Интеграл, стоящий в правой части равенства, найдем с помощью
формулы интегрирования по частям  u dv  u  v   vdu .
Вычислим:
dx
u  ln x ,
du 
ln x
x
 2 dx 
dx
dx
1
x
dv  ,
v

x
x2
x2
1
dx
1
1
   ln x  
  ln x  .
x
x
x
x2
Окончательно получим
1
1
1
1
1
1
  c   ln x 
    ln x   c .
v
x
x
v
x
x
Умножим последнее равенство на (1) и выразим из него функцию v .
1 ln x 1
ln x  1  cx
x

 c 
 v
.
v
x
x
x
ln x  1  cx
Тогда общий интеграл уравнения Бернулли имеет вид:
1
x
1
y  u  x  v x  

.
x ln x  1  cx ln x  1  cx
Воспользуемся начальными условиями у(1) = 1 и найдем c .
1
1
1
y
 1
 1
(ln1  0)
ln x  1  cx
ln1  1  c
1 c
 1  c  1  c  0.
Подставив с = 0 в общее решение уравнения, найдем его частное
решение:
1
y
ln x  1
6. Уравнение в полных дифференциалах

да
dv
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка ви-
P  x, y  dx  Q  x, y  dy  0
(27)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть
является полным дифференциалом некоторой функции u  x, y  , то есть
54
u
u
(28)
,
Q  x, y   .
x
y
Для того чтобы уравнение (27) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
P Q
(29)

.
y x
P  x, y  
Нахождение общего решения уравнения
Если выполняется условие (29), то уравнение (27) может быть
записано в виде
u
u
du  x, y   0, где du  x, y   dx  dy
x
y
Тогда общий интеграл этого уравнения имеет вид
u  x, y   c ,
(30)
где c  произвольная постоянная.
Функция u  x, y  может быть найдена, используя уравнения (28).
u
Интегрируя равенство
 P  x, y  по x при фиксированном
x
y и учитывая, что произвольная постоянная в этом случае может зависеть от y , получим
(31)
u  x, y    P  x, y  dx  c  y .
Затем, дифференцируя найденную функцию u  x, y  по y и подu
ставляя её в равенство
 Q  x, y  , найдем c  y  .
y
Подставим функцию c  y  в уравнение (31), получим u  x, y  , которая является общим интегралом уравнения (27) с точностью до произвольной постоянной.
Замечание. Для нахождения общего решения уравнения (27)
u
можно было начать с интегрирования равенства
 Q  x, y  при фиксиy
рованном x . Тогда постоянная интегрирования может зависеть от x .


Пример 15. Решить уравнение e y dx  x  e y  2 y dy  0.
Решение. P  x, y   e y ,
Q  x, y   x  e y  2 y.
55
P
Q
 ey,
 e y.
y
x
Следовательно, левая часть уравнения есть полный дифференциал
некоторой функции u  x, y  и решение будет иметь вид:
u  x, y   c.
Воспользуемся условиями (28).
u
u
Тогда
 ey,
 x  ey  2y .
x
y
Проинтегрируем первое соотношение по х:
u  x, y    e y dx  c  y   x  e y  c  y .
Проверим условие (29):


Затем продифференцируем u  x, y   x  e y  c  y  по y :
u
 x  e y  c  y .
y
u
Так как
 Q  x, y  , то получим
y
x  e y  c  y   x  e y  2 y.
Отсюда c  y   2 y  c  y   2 ydy   y 2  c .
Пусть c  y    y 2 .
Тогда u  x, y   x  e y  y 2 и общий интеграл уравнения имеет вид
x  e y  y 2  c.
III. Числовые ряды
Если каждому натуральному числу n  N поставлено в соответствие некоторое вполне определенное число xn  N , то говорят, что задана числовая последовательность.
Числовую последовательность обозначают
 xn nN   x1, x2 , ..... , xn , .....
Число xn xn называют n -м членом последовательности, а формулу xn  f (n)  формулой общего члена последовательности.
Числовую последовательность можно рассматривать как числовую функцию, определенную на множестве натуральных чисел.
Пусть задана числовая последовательность
 an nN  a1, a2 , ..... , an , .... .
Определение. Выражение вида
56
a1  a2  .....  an  .... 

 an .
(32)
n 1
называется числовым рядом, числа a1, a2 , ..... an , ....  членами ряда, а
число an  общим (n-м) членом ряда.
Сумма конечного числа n первых слагаемых числового ряда
называется n -й частичной суммой данного ряда
Sn  a1  a2  .....  an .
Таким образом, с каждым рядом связана последовательность частичных сумм S n
S1  a1; S2  a1  a2 ; S3  a1  a2  a3 ; .... ; S3  a1  a2  a3 ; .... ;
(33)
Если последовательность  Sn nN частичных сумм ряда (32) имеет конечный предел lim Sn  S , то ряд называется сходящимся, а число
n 
S  суммой данного ряда:
S  a1  a2  .....  an  .... .
Если предел последовательности  Sn nN не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.
Выражение вида rn  an 1  an  2  ..... 


k  n 1
ak называется n-м
остатком ряда (32).
Для того чтобы ряд (32) сходился необходимо и достаточно, чтобы остаток ряда стремился к нулю при n   :
(34)
lim rn  0
n 
Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд

 an схо-
n 1
дится, то
lim an  0
(35)
n 
Заметим, что из выполнения условия (35) не обязательно следует
сходимость ряда (32). Но если условие (35) не выполняется, т. е. предел
an
при
n   не равен нулю или не существует, то ряд (32) расходится.
57
Таким образом, можно сформулировать достаточный признак
расходимости ряда: Если предел общего члена ряда не равен нулю или
не существует, то ряд расходится.
Пример 16. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Общий член данного ряда an 

n2  5

2
n 1 3n  2n  1
n2  5
3n 2  2n  1
.
.
Найдем предел an при n   :
n2  5
1  5 / n2
1
  0.
n  3n 2  2n  1 n  3  2 / n  1 / n 2 3
lim
 lim
Следовательно, данный ряд расходится.
Свойства сходящихся числовых рядов сформулируем в виде теорем:
Теорема 1. Перестановка, отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (расходимость.)

Теорема 2. Если ряды
 an
и
n 1
ны
Sa и Sb , соответственно, то ряд

 bn
сходятся, и их суммы рав-
n 1

  an  bn 
также сходится и
n 1

  an  bn   Sa  Sb .
n 1
Теорема 3. Если ряд

 an
также сходится и

 an
n 1

сходятся, и его сумма равна S, то ряд
 an    S
  0,   R ,
n 1
n 1
Пример 17.
Рассмотрим ряд, составленный из элементов
геометрической прогрессии со знаменателем q  1.
Исследовать на сходимость ряд

 aq n1  a  aq  aq 2  aq3  .....  a q n  ...
n 1
Решение. Найдем сумму n первых членов ряда
58
(a  0).
2
3
Sn  a  aq  aq  aq  .....  a q
n 1


a 1  qn
1 q
.

0, q  1,
найдем предел n  ой частlim q n  

,
q

1,
n 


ной суммы при n   :
, q  1,
a 1  q n 

lim Sn  lim
 a
n 
n  1  q
1  q , q  1.

Учитывая, что


Следовательно, данный ряд сходится при q  1 , и его сумма равна
a
.
1 q
При q  1 ряд имеет вид: a  a  a  ...  a  ... 
Sn  a  a  a  ...  a  na .

 a,
а
n 1
n раз
Тогда lim Sn  lim  n  a   , поэтому ряд расходится.
n 
n 
При q  1 получаем ряд:
 a  a  a  ...   1
n 1
a  ... 

 a   1
n 1
.
n 1
Данный ряд расходится, так как последовательность частичных
сумм:  Sn   0, a, 0, a, ... не имеет предела.
Рассмотрим числовой ряд

 an
с неотрицательными членами
n 1
an ,  n  N  и сформулируем достаточные признаки сходимости этого
ряда.
1. Интегральный признак Коши
Если неотрицательная, интегрируемая функция f  x  на промежутке
59
1;  )
монотонно убывает, и члены ряда

 an
имеют вид
n 1
an  f  n  ,

 n  N  , то ряд  an

и несобственный интеграл
n 1
 f  x  dx
1
сходятся или расходятся одновременно.
Пример 18. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд
 1
  ,   R.
n 1 n
Решение. Исследование данного ряда начнем с необходимого
признака сходимости:
1 0,   0,
lim

n  n ,   0.
Таким образом, при   0 данный ряд расходится, т.к. нарушается необходимое условие сходимости.
1
Пусть   0 . Рассмотрим f ( x) 
x
Функция
f ( x) монотонно убывает на промежутке 1;  ) .
Найдем несобственный интеграл.
 1 b 
, 0    1,

b
dx
dx
x
1


 lim 

lim b1 1   1
   blim


1   b 

b     1 
   1 ,   1.
1x
1x
1  1



При   1

b
dx
dx
b
 lim ln x   lim  ln b  ln1   .
 x  blim

1  b 
x

b  
1
1
 1
Следовательно, обобщенный гармонический ряд 
сходится

x
n 1
при   1 и расходится при   1 .
60
2. Признак Даламбера (Д ‘Аламбера)
Пусть для ряда

 an
(an  0) существует предел
n 1
a
lim n 1  ,
n  an
(36)
тогда:
1) при  < 1, ряд
2) при  > 1, ряд

 an
сходится;
 an
расходится;
n 1

n 1
3) при  = 1, вопрос о сходимости данного ряда остается открытым.
Пример 19. Исследовать на сходимость ряд
1 4 9 16
 
  ...... .
3 9 27 81
n2
Решение. Общий член данного ряда имеет вид an  n .
3
Тогда, an 1
2
n  1


.
n 1
Найдем предел
3
n  1  3n
an 1

 n  1 
lim
 lim
 lim
n  an
n  3n 1  n 2
n  3  n 2
2
2
2
2
1
 n 1 1
 1 1
 lim 
  lim 1     1.
3 n   n  3 n   n  3
Следовательно, данный ряд сходится по признаку Д 'Аламбера.
3. Признак сравнения
Если для членов ряда
0  an  bn , n  n0  N , то:

 an
n 1
и

 bn
справедливо неравенство
n 1
61
1) из сходимости ряда

 bn
следует сходимость ряда
n 1
2) из расходимости ряда

 an ;
n 1

 an
следует расходимость ряда
n 1

 bn .
n 1
4. Предельный признак сравнения
Пусть даны знакопеременные ряды

 an
и
n 1

 bn . Если суще-
n 1
a
ствует конечный и отличный от нуля lim n , то оба ряда сходятся или
n  bn
расходятся одновременно.
При использовании признаков сравнения (III, IV) в каждом конкретном случае необходимо найти соответствующий вспомогательный
ряд, про который точно известно, сходится он или нет. В качестве таких
рядов, используемых для сравнения, выбирают обычно:
 1
1) Обобщенный гармонический ряд 
сходится при   1 и

n
n 1
расходится при   1;
2) Ряд, из элементов геометрической прогрессии

 aq n1 ,
a  0,
n 1
сходящийся при q  1 и расходящийся при q  1 .
Пример 20. Исследовать на сходимость ряд


1
.
2
n

n
n 1
1
Решение. Рассмотрим ряд с общим членом bn 
. Этот ряд
n2
сходится, т.к. является обобщенным гармоническим рядом при
  2  1.
Найдем lim
an
n  bn
62
 lim
n2
n  n2  n
 1,
0  1  .
Ряд an 
1
n2  n
сходится, так как сходится ряд bn 
1
n2
.
5. Предельный признак Коши
Пусть для ряда

 an ,
an  0, n  N , существует предел
n 1
lim n an  .
(37)
n 
Тогда
1) при  < 1 ряд
2) при  > 1 ряд

 an
сходится;
 an
расходится;
n 1

n 1
3) при  = 1 вопрос о сходимости данного ряда остается открытым.
Пример 21. Исследовать сходимость ряда
3
 
2
2
  
3
9
4
 n 1


n 

 ... 
3n
n
2
 ...
 n  1 n 
Решение. Общий член данного ряда имеет вид 
3n
Найдем
 n  1 n 
lim n an  lim n 
n 
n 
3n
n
n
2
.
2

 n  1 n 
1
 lim 
 lim
3
3 n 
n 
n
n
e
 1
1     1.
3
 n
Следовательно, ряд сходится.
В этом примере был использован второй замечательный предел
63
n
 1
lim 1    e  2,7.... .
n
n  
Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными. Частным случаем знакопеременных
рядов являются знакочередующиеся ряды, т. е. такие ряды, все члены
которых поочередно меняют знак.
Знакочередующийся ряд может быть записан так

  1
n 1
n 1
 an , an  0.

 un . Тогда ряд, составленный
Пусть дан знакопеременный ряд
из модулей членов данного ряда
(38)
n 1

 un
, является знакоположительным
n 1
Теорема. Если сходится ряд
рядом.

 un
n 1
Для знакочередующегося ряда
, то сходится и ряд

 un
n 1

  1
n 1
n 1
 an , an  0 имеет место
следующая теорема (признак Лейбница):
Если член знакочередующегося ряда (38) удовлетворяет условиям:
1) an  an 1 ,
2) lim an  0,
n  N ;
n 
то ряд сходится, а его сумма S не превосходит первого члена, т.е.
S  a1 .
Определение. Если сходится ряд
ся абсолютно сходящимся. Если ряд
ходится, то ряд

 un
n 1



n 1
 un
un , то ряд

 un
n 1
сходится, а ряд
n 1
называет
 un
рас-
n 1
называется условно сходящимся.
Исследование знакочередующегося ряда на сходимость начинают
с проверки на абсолютную сходимость. Если ряд, составленный из модулей членов ряда, расходится, применяют признак Лейбница.
64

  1
Пример 22. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Составим ряд из модулей


n 1 1
n 1
 1

n
.
un  
.
n
n 1
n 1
Получим гармонический ряд, который расходится. Проверим признак Лейбница:
1 1
1
1) 1   ...   ... ;
2 3
n
1
2) lim un  lim  0.
n 
n  n
Оба условия выполняются, следовательно, ряд сходится условно.
IV. Функциональные ряды
Пусть u1( x), u2 ( x),..., un ( x), ... последовательность
определенных на некотором множестве Х.
Определение. Ряд вида
u1( x)  u2 ( x)  .....  un ( x)  ..... 
функций,

 un ( x),
(39)
n 1
членами которого являются функции un  x  , n  N , называется функциональным.
Каждому значению x0  X соответствует числовой ряд

 un ( x0 ).
n 1
ряд

Он может быть как сходящимся, так и расходящимся. Если
 un ( x0 ).
n 1
сходится, точка x0 называется точкой сходимости
функционального ряда (39).
Множество D всех точек сходимости функционального ряда
называется его областью сходимости. Сходимость функционального
ряда в каждой точке x0  D называется поточечной сходимостью.
Определение. Функциональный ряд (39) называется равномерно
сходящимся в области D к функции S ( x) , если для любого   0 существует номер n0 , не зависящий от x , такой, что
rn ( x)  S ( x)  Sn ( x)   , n  n0 ,  x  D,
где Sn ( x)  u1( x)  u2 ( x)  ...  un ( x)  n-я частичная сумма ряда,
65
S ( x)  lim Sn ( x)  сумма ряда.
n 
Теорема (признак Вейерштрасса). Если члены ряда

 un ( x )
удо-
n 1
влетворяют

 an
n 1
un ( x)  an ,
неравенствам
n  N ,
(an  0) сходится, то функциональный ряд
x  D и

 un ( x )
ряд
сходится
n 1
равномерно в области D .

Числовой ряд D
a
n 1
n
, члены которого удовлетворяют неравен-
ствам теоремы, называется мажорантой (мажорантным рядом) для

функционального ряда D
 u ( x) , а сам функциональный ряд называn 1
n
ется в этом случае мажорируемым на множестве D .
Из признака Вейерштрасса следует, что условие мажорируемости
ряда является достаточным для его равномерной сходимости.
Сформулируем свойства равномерно сходящихся рядов:
1. (О непрерывности суммы функционального ряда)
Если на множестве D функциональный ряд (39) с непрерывными
членами сходится равномерно, то его сумма S ( x) непрерывна на D .
2. (О почленном интегрировании)
Если функциональный ряд (39) с непрерывными членами сходится к функции S ( x) равномерно на отрезке  a, b , то его можно почленно
интегрировать на любом отрезке [ x0 , x]  [a, b] , и справедливо неравенство:
x
x 
 x

 S (t )dt     uk (t )  dt     uk (t )  dt ,
k 1 x0

x0
x0  k 1
причем ряд
 x
   uk (t )  dt сходится равномерно на отрезке  a, b .
k 1 x0
3. (О почленном дифференцировании)
Если функциональный ряд (39) с непрерывно дифференцируемыми на отрезке  a, b членами сходится к функции S ( x) , а ряд
66

 un (t )
n 1
сходится равномерно на  a, b , то ряд (39) сходится равномерно на
его
сумма
 a, b  ,
S ( x)  непрерывно дифференцируемая функция, и справедливо неравенство:
S ' ( x) 

 un' ( x) .
n 1
V. Степенные ряды
Определение. Степенным рядом по степеням  x  x0  называется
ряд вида:
 x  x0   a2  x  x0 
2
 ...  an  x  x0   ... 
n

 an  x  x0 
n
,
(40)
n 1
где x0 , a0 , a1, a2 , ... , an , ...  действительные числа, x пробегает некоторый интервал.
Числа an (n  1,2, ...) называются коэффициентами степенного ряда.
Если x0  0, то получим ряд по степеням х.
2
n
a0  a1x  a2 x  ...  an x  ... 

 an x n .
n 1
(41)
1. Теорема Абеля
Если степенной ряд

 an x n
n 1
сходится в точке x0  0 , то он схо-
дится абсолютно в интервале  х0  х  х0
на отрезке D  q  x  q , где 0  q  х0 .
и сходится равномерно
Следствие. Если в точке x1  0 степенной ряд

 an x n
расхо-
n 1
дится, то он расходится во всех точках x , т. к. х  х1 .
Таким образом, всегда существует число R > 0 т. к. степенной ряд
сходится абсолютно для всех x    R; R  и расходятся для всех
x   ; R   R;   . В точках x   R ряд может как сходиться, так и
расходиться.
67
Число R называется радиусом сходимости, а интервал   R; R 
интервалом сходимости степенного ряда.
Для нахождения интервала сходимости степенного ряда используют достаточные признаки сходимости Даламбера и Коши (см. разделы II, V). Радиус сходимости можно найти по одной из следующих
формул:
an
1
R  lim
;
R  lim
.
n  n an
n  an 1
Пример 23. Найти интервал и радиус сходимости степенного ряда:
а)
 x 2n
 n ;
n 0 3


b)
 x  3n .
n
n 1 n  5
Решение.
 x 2n
x2 x4
 n  1  3  2  ... ;
3
n 0 3
а)
un  x  
x 2n
.
3n
Для нахождения интервала сходимости воспользуемся признаком
Коши и вычислим предел
x 2n
x2 x2
n
lim un  x   lim n
 lim
 .
3
n 
n 
n  3
3n
x2
Ряд сходится, если предел меньше единицы, т.е.
 1.
3
Решая полученное равенство, найдем интервал сходимости ряда:
x2  3  x  3   3  x  3 .

В точках x1,2   3 x1,2   3 получаем расходящийся ряд
1  1  1  ...  1  ... .
Таким образом, область сходимости степенного ряда интервал
3;

3 , радиус сходимости R  3.

b)
 x  3n   x  3   x  32   x  33  ... .

n
n 1 n  5
5
2  52
3  53
Найдем радиус сходимости данного ряда, для этого воспользуемся формулой
an
1
1
R  lim
;
где an 
;
an 1 
.
n
n 1
n  an 1
n5
 n  1  5
68
Тогда R  lim
 n  1  5n1  lim  n  1  5  5.
n
n 
n  5n
Интервал сходимости ряда найдем, решив равенство:
x  3  5   5 x  3  5   2 x  8 .
n 
В точке х1   2 имеем условно сходящийся ряд
в точке х2  8  расходящийся гармонический ряд


n 1
 1
 1n ,
а
n

. Таким обn
n 1
разом, область сходимости данного ряда есть полуинтервал [2; 8) , радиус
сходимости [2; 8) .
Замечание. Из теоремы Абеля и свойств равномерной сходимости рядов следует, что на интервале сходимости степенной ряд можно
рассматривать как обыкновенный многочлен.
2. Ряды Тейлора и Маклорена
Рассмотрим некоторую функцию y  f ( x) , определенную на интервале  a, b  , и пусть x0   a, b  . Допустим также, что функция f ( x)
имеет в окрестности точки x0 производные любого порядка. Поставим
функции y  f ( x) в соответствие степенной ряд, (окрестностью точки
x0
называется любой интервал, содержащий эту точку
 x0  , x0      0. ),
f   x0 
f  x   f  x0   f   x0  x  x0  
 x  x0 2  ...
2!
(42)
n
 f  n  x 
f    x0 
0

 x  x0 n  ...  
 x  x0 n .
n!
n!
n 0
0! = 1, n! = 1234  n,
n  N.
Такой ряд называется рядом Тейлора функции f ( x) в точке x0 .
Если x0  0 , то ряд Тейлор имеет вид:
n
 f  n 0
f  0
f   0  2
f   0 n
f  0 
x
x  .... 
x  ...  
xn
1!
2!
n!
n!
n 0
(43)
и называется рядом Маклорена.
Радиус сходимости ряда Тейлора может быть равен нулю или отличен от нуля. Причем, в последнем случае сумма ряда Тейлора
69
S  x  может не совпадать с функцией f  x  . Если ряд Тейлора сходится
к функции f  x  , для которой он составлен, то говорят, что f  x  разложима в ряд Тейлора в окрестности точки x0 .
Заметим, что частные суммы ряда Тейлора
n
f   x0 
f    x0 
2
Sn  x   f  x0   f   x0  x  x0  
 x  x0   .... 
 x  x0 n
2!
n!
представляют собой многочлены Тейлора функции f  x  в точке x0 .
Если ряд сходится у функции f  x  , справедливо равенство
f  x   Pn  x   Rn  x   Sn  x   Rn  x  ,
k
f    x0 
где Pn  x   
 x  x0 k  многочлен Тейлора, Rn  x   остаk!
k 0
точный член формулы Тейлора.
Напомним, что остаточный член формулы Тейлора может быть
записан в одном из следующих видов:
n
f
n 1
   x  x n1 ,   ( x , x)  форма Лагранжа,
 o
o
 n  1!
n 1
f    x0    x  x0  
Rn  x  
 x  x0 n1 1   n , где 0    1  форма
Rn  x  
n!
Коши.
Имеет место необходимый и достаточный признак разложимости
функции в ряд Тейлора.
Теорема 1. Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в
окрестности точки x0 функция f ( x) разлагается в ряд Тейлора в
окрестности этой точки, необходимо и достаточно, чтобы
lim Rn  x   0
n 
x  ( x0  R; x  R),
где Rn  x   остаточный член формулы Тейлора,
Rn  x  
 f  k 1  x 
0

k n
 k  1!
 x  x0 k 1
, R  0.
Теорема 2. (Достаточный признак разложимости функции в ряд
Тейлора). Если для x  ( x0  R; x  R), все производные функции
70
f  x  , ограничены одной и той же константой М, то ряд Тейлора сходится к функции f  x  в интервале | х  хо |  R.
Теорема 3. Если степенной ряд по степеням ( х  х0 ) сходится к
функции f  x  в окрестности точки x0 , то он является рядом Тейлора
функции f  x  в окрестности этой точки.
Приведем примеры разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций:
ex  1  x 
 xn
x 2 x3
xn

 ... 
 ...  
2! 3!
n!
n 0 n!
x  R .
2n 1
2 n 1

x3 x5
n x
n x
sin x  x 

 ...  (1)
 ...   (1)
3! 5!
 2n  1!
 2n  1!
n 0
cos x  1 

x2 x4
x 2n
x 2n

 ...  (1) n
 ...   (1) n
2! 4!
 2 n !
 2 n !
n 0
n 1
n 1

x 2 x3
nx
nx
ln(1  x)  x 

 ...  (1)
 ...   (1)
,
2
3
n 1
n

1
n 0
1  x   1  x 
x  R.
x  R.
x  (1, 1].
    1 2
    1   2  ...   n  1 n
x  ... 
x  ...,
2!
n!
x   1, 1 .
2n 1
x3 x5 x 7
n 1 x
arctg x  x  

 ...  (1)
 ...
3
5
7
2n  1
x  (1, 1].
3. Методы разложения функций в ряд Тейлора
Если для какой-нибудь функции формально написан ряд Тейлора,
то чтобы доказать, что написанный ряд представляет данную функцию
нужно, либо доказать, что остаточный член стремится к нулю, либо каким-нибудь иным способом убедиться, что данный ряд сходится к данной функции.
Отметим, что для любой элементарной функции существуют числа a, R , такие, что в интервале (a  R, a  R) она разлагается в ряд
Тейлора.
71
Рассмотрим некоторые методы разложения функций в ряд Тейлора на примерах.
Пример 24. f ( x) 
1
,
x0  0.
1  x2
Решение. Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
a
S 1 ,
1 q
где a1  первый член прогрессии, q  знаменатель прогрессии.
Тогда при x  1
1
1 x
2
 1  x 2  x 4  ...  (1)n 1 x 2n  ... 

 (1)n x2n
x  (1, 1).
n 0
3x
, x0  0.
2
Решение. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции
2n
t2 t4
n t
cos t  1    ...  (1)
 ... для t   ,   .
2! 4!
 2n !
3x
Подставим t  , получим
2
2 2
4 4
2n 2n
3x
3 x
3 x
n 3 x
cos  1 

 ...  (1)
 ... для t   ,   .
2
2  2! 24  4!
22n   2n !
Пример 25. cos
Данное разложение имеет место для всех x   ,   .
Литература обязательная
1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т. 1, Т. 2. – М.: Наука, 1985. – 450 с.
2. Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1973. – 436 с.
3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1980. – 432 с.
4. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М: Наука, 1977 (и позднее).
5. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 1. – М:
Высшая школа, 1981. – 687 с.
72
6. Высшая математика в упражнениях и задачах. Части I, II /
П. К. Данко и др. – М.: Высшая школа, 1980.
7. Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в
примерах и задачах. Функции одной переменной. – М.: Наука, 1973.
8. Задачи и упражнения по математическому анализу / под ред.
Б. П. Демидовича. – М.: Наука, 1972.
9. Ефремова О. Н., Столярова Г. П., Некряч Е. Н. Высшая математика. Ч. II: учебное пособие. – Томск: Изд-во ТПУ, 2007. – 200 с.
10. Арефьев К. П. , Глазырина Е. Д., Ефремова О. Н., Столярова
Г. П. Высшая математика. Ч. III.: учебное пособие.  Томск: Изд-во ТПУ,
2006. – 208 с.
11. Кошельская Г. А., Столярова Г. П., Харлова А. Н. Высшая математика. Часть IV. Ряды: учебное пособие.  Томск. Изд. ТПУ, 2001.
12. Нагорнова А. И., Столярова Г. П. Высшая математика. Часть
III: Рабочая тетрадь к типовому расчету «Неопределенный интеграл»
для студентов технических специальностей института дистанционного
образования. – Томск: Изд. ТПУ, 2000.
13. Кан Ен Хи, Пестова Н. Ф., Подскребко Э. Н. Дифференциальное исчисление функций одной переменной: учебное пособие. – Томск:
ТПУ, 1999.
14. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т. 2.  М.: Высшая школа, 1989.
73
74