Инвариантность уравнений Максвелла

К дню Великой Победы – 9 Мая
Инвариантность уравнений Максвелла
Корнева М.В., Кулигин В.А., Кулигина Г.А.
(Исследовательская группа АНАЛИЗ, http://kuligin.mylivepage.ru)
Аннотация. Показано, что уравнения Максвелла инвариантны относительно
преобразования Галилея, но не преобразования Лоренца.
Введение
Напомним различие между полным дифференциалом и частным дифференциалом. Пусть
имеется система
x  f1 (u; v);
y  f 2 (u; v)
Запишем полные дифференциалы для x и y
dx 
f1
f
du  1 dv;
u
v
dy 
f 2
f
du  2 dv
u
v
Теперь запишем частные дифференциалы x и y .
f1
u v const ;
u
f
y u  dy u  1 u v const ;
u
xu  dxu 
f1
v u const ;
v
f
y v  dy v  1 v u const
v
xv  dxv 
Чтобы придать выражениям определенность, мы поставили индексы при частных
дифференциалах. Обычно такие индексы не ставятся.
Величина x отыскивается при условии, что dy  0 .
Но, как следует из полного дифференциала для dy выражение dy  0 выполняется при
условии, что
dy 
f 2
f
f / u
du
du  2 dv  0 или dv   2
f 2 / v
u
v
Учитывая это обстоятельство, мы получим окончательное выражение
x 
f1
f
f
f f / u
f f f / u
du  1 dv  1 du  1 2
du  ( 1  1 2
)u
u
u
u
u f 2 / v
u u f 2 / v
Напомним, что в данном случае частный дифференциал u и полный дифференциал du
здесь совпадают du  u . Аналогично можно получить выражение и для y .
Исследование
1. Рассмотрим следующий пример. Пусть имеется некий неподвижный источник, который
создает вокруг себя в свободном пространстве (x’; y’; z’; ct’) поле, описываемое
уравнением
d 2U d 2U d 2U 1 d 2U



0
dx' 2 dy ' 2 dz ' 2 c 2 dt ' 2
(1)
Покажем, что это уравнение инвариантно относительно преобразования Лоренца
x'  ( x  vt) / 1  (v / c) 2 ;
y '  y;
z '  z;
ct '  (ct  xv / c) / 1  (v / c) 2
(2)
Преобразование (2) переводит процесс из системы отсчета (x’; y’; z’; ct’) в новую систему
отсчета (x; y; z; ct), которая движется со скоростью v относительно исходной вдоль оси х.
Запишем уравнение (1) в новой системе отсчета. Для этой цели вычислим сначала первую
производную, учитывая, что мы имеем дело с полным дифференциалом.
dU U dx U dct
1
U
v
U




2
2
dx'
x dx' ct dx'
1  (v / c) x c 1  (v / c) ct
В новой системе отсчета частная производная U / x превращается в полную
производную dU / dx , поскольку дифференцирование идет только по координате х при
постоянных значениях (y; z; ct), которые не зависят от х. Аналогичное явление имеет
место и для ct. Следовательно, мы можем записать
dU
1
dU
v
dU


dx'
1  (v / c) 2 dx c 1  (v / c) 2 dct
dU
1
dU
v
dU


dct '
1  (v / c) 2 dct c 1  (v / c) 2 dx
Проводя таким способом вычисления всех остальных производных второго порядка, мы
получим
d 2U d 2U d 2U 1 d 2U

 2  2
 0 (3)
dx 2
dy 2
dz
c dt 2
Таким образом, уравнение в полных производных (1) оказывается инвариантным
относительно преобразования Лоренца (2).
*
2. Рассмотрим теперь проблему инвариантности волнового уравнения (= уравнений
Максвелла) в свободном пространстве относительно преобразования Галилея. Не
ограничивая общности, будем считать, что источник потенциала U покоится в этой
системе отсчета. Запишем волновое уравнение для скалярного потенциала в свободном
пространстве.
 2  2  2
 2



0
x' 2 y ' 2 z ' 2  (ct ' ) 2
(4)
Пусть относительная скорость v инерциальных систем отсчета ориентирована вдоль оси х.
x'  x  vt;
y '  y;
z '  z;
t'  t
(5)
Время в этом преобразовании сохраняется единым для всех инерциальных систем отсчета,
поэтому преобразование времени мы рассматривать не будем. Так же поступим и с
поперечными координатами (y’; z’). Запишем для них
dy  y  y ' ;
dz  z  y ' ;
dct  ct  ct ' ; (6)
Частная производная вычисляется x' при условии, что остальные координаты (y’; z’; ct’)
постоянны. Запишем полный дифференциал для х’, используя (5)
dx'  dx  vdt
В силу того, что время t для всех инерциальных систем отсчета едино и фиксировано,
частный дифференциал находится достаточно легко: x'  x .
Учитывая это обстоятельство и соотношение (4) можно без труда записать
 2  2  2
 2



0
x 2 y 2 z 2  (ct ) 2
(6)
Таким образом, уравнения Максвелла в калибровке Лоренца инвариантны относительно
преобразования Галилея.
**
3. Рассмотрим теперь, что произойдет с волновым уравнением, если к нему применить
преобразование Лоренца (4).
Запишем, как и прежде, полные дифференциалы dx’ и dct’
dx'  (dx  vdt) / 1  (v / c) 2
(7)
v
dct '  (dct  dx) / 1  (v / c) 2
c
(8)
Частный дифференциал x' вычисляется при условии, что (y’; z’; ct’) постоянны. Это
будет соблюдаться (как следует из (8)), если dct = (dx)v/c. Таким образом, имеем
следующее выражение для частного дифференциала
x'  1  (v / c) 2 x
(9)
Совершенно аналогично можно получить выражение для частного дифференциала ct '
ct '  1  (v / c) 2 ct
(10)
Учитывая соотношения (9) и (10), можно переписать волновое уравнение в новой системе
отсчета в следующем виде
1
 2  2  2
1
 2



0
(1  v 2 / c 2 ) x 2 y 2 z 2 (1  v 2 / c 2 ) (ct ) 2
(11)
Как мы видим, волновое уравнение не инвариантно относительно преобразования
Лоренца. Этот вывод относится и к уравнениям Максвелла.
Заключение
Итак, можно сделать следующий вывод.
Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразования
Галилея, но не инвариантны относительно преобразования Лоренца.
Поскольку следствия имеют большое и принципиальное значение для физики, анализ
следствий, вытекающих из работы, целесообразно изложить только после проверки и
обсуждения полученных результатов.