О разрешении парадокса Гиббса

F Y Y J N F W B Z
cnfnmb F=>= Kb,thvfyf "О разрешении порадокса Гиббса"
Разрешение парадокса Гиббса осуществляется принятием
правильной трактовки понятия "объект".
ABSTRACT
of A.J. Liberman's article "Some ideas about solution of the Gibbs'es
paradox"
The Gibbs'es paradox is solved by the right treatment of the concept
"object".
J hfphtitybb gfhfljrcf Ub,,cf
D lfyyjq hf,jnt cltkfyf gjgsnrf hfphtitybz gfhfljrcf
Ub,,cf= Cenm tuj cjcnjbn d njv- xnj gjckt cvtitybz lde[ gjhwbq
jlbyfrjds[ bltfkmys[ ufpjd bpvtytybt ∋ynhjgbb cvtcb ,jkmit
yekz= Cjdhtvtyyjt ;t abpbxtcrjt ghtlcnfdktybt ujdjhbn j njvxnj bpvtytybt ∋ynhjgbb cvtcb jlbyfrjds[ bltfkmys[ ufpjd hfdyj
yek.- n=r= d ckexft jlbyfrjds[ ufpjd ytkmpz lf;t ujdjhbnm j
cvtitybb rfr nfrjdjv= Gjcnfhftvcz hfpj,hfnmcz d lfyyjv djghjct=
Обратимся к понятиям "смешение" и "смесь". Смешение – это
процесс проникновения одного вещества в область занимаемую до
этого другим веществом. Смесь – это состояние, при котором
наблюдается равномерное распределение в пространстве и времени
различных веществ (с точностью до флуктуаций). Т.е., смесь
является конечным состоянием смешения. Процесс смешения
одинаково присущ веществам в любом агрегатном состоянии. Он
является проявлением дискретности их строения. Рассмотрим
известный эксперимент с золотом и свинцом: брусок золота и
брусок свинца соединили друг с другом, подвергли давлению (к
сожалению, неизвестно его численное значение), и по прошествии
пяти лет произошло взаимопроникновение атомов золота и свинца,
причём оно было настолько глубоким, что бруски как бы сплавились
друг с другом, хотя ни о каком плавлении не могло быть и речи –
температура эксперимента была ~ 293к. Но была получена золотосвинцовая смесь. На этом примере объясняется явление смешения
твёрдых веществ. Смешение жидких веществ демонстрируется
смешением воды и чернил. Для газов нет столь наглядных
экспериментов. Но всем известна наиболее распространённая в
природе смесь воздух. Во всех приведённых примерах
смешивались друг с другом различные вещества.
Но они были
взяты для наглядности. Например, можно было бы взять два бруска
свинца и добиться того же эффекта. С уверенностью можно было бы
сказать, что атомы свинца одного бруска проникли в расположение
атомов свинца другого бруска. И несмотря на то, что бруски состоят
из одного и того же вещества их соединение произошло бы
благодаря смешению. Так что же, смешение присуще и одинаковым
веществам?
Заметим, что, описывая данный эксперимент, мы изначально
определяем бруски как разные : один из них – Один, а другой –
Другой. Значит и атомы Одного можно отличть от атомов Другого.
Значит, мы в принципе не можем утверждать, что существуют
одинаковые объекты. Таким образом, предпосылкой разрешения
-2парадокса Гиббса может служить принцип отказа от самого понятия
"одинаковых объектов". Попробуем доказать это на примере
смешения двух порций идеального газа, но dyfxfkt jnvtnbv, что
парадокс был сформулирован тогда, когда в физике господствовало
классическое приближение. После создания квантовой теории
djpybrkf ytj,[jlbvjcnm tuj hfphtitybz b d rdfynjdjv
ghb,kb;tybb. Причём в квантовом приближении он должен быть
разрешён как относительно вещества так и относительно излучения.
Естественно, что эти два разрешения должны стыковаться друг с
другом и – оба – с классическим. В релятивистском приближении
парадокс рассматривать не следует, т.к. энтропия инвариантна
относительно
преобразований
Лоренца
и,
следовательно,
разрешение парадокса в классическом приближении можно
распространить и на релятивистское. Рассмотрим вначале
классическое приближение и в случае успеха обобщим его выводы
на квантовое.
Классическое приближение
Ghtlgjkj;bv bvt.ncz ldt /vrjcnb (F b <)- rf;lfz bp
rjnjhs[ yfgjkytyf $cdjbv$ bltfkmysv ufpjv (hbc= 1)= Ufps
yf[jlzncz ghb jlbyfrjdjq ntvgthfneht, которая остаётся
постоянной. Ghbvtv lkz elj,cndf- xnj /vrjcnb bvt.n jlbyfrjdsq
j,]/v b- xnj rjkbxtcndf rbkjvjktq ufpjd jlbyfrjdst (∋nj yt
dkbztn yf cenm gfhfljrcf)= Ghb elfktybb gthtujhjlrb ghjbpjql/n
cvtitybt ufpjd b cjplfcncz cvtcm (hbc= 2)= Hfccxbnftv bpvtytybt
∋ynhjgbb 'njq cvtcb=
Bpvtytybt ∋ynhjgbb cvtcb crkflsdftncz bp bpvtytybq
∋ynhjgbq ufpjd gjckt cvtitybz=
Ddtl/v j,jpyfxtybz%
∆S −
∆S A −
∆S Б −
V−
ν−
bpvtytybt ∋ynhjgbb cvtcb+
bpvtytybt ∋ynhjgbb ufpf- yf[jlbditujcz lj
cvtitybz d /vrjcnb F+
bpvtytybt ∋ynhjgbb ufpf- yf[jlbditujcz lj
cvtitybz d /vrjcnb <+
j,]/v rf;ljq /vrjcnb+
rjkbxtcndj rbkjvjktq rf;ljuj ufpf;
-3-
R − универсальная газовая постоянная. (Строго говоря,
по современным представлениям постоянные не являются
таковыми, а меняются со временем, поэтому правильней называть
их коэффициентами, но для данного исследования это не имеет
принципиального значения, поэтому применяется термин
"постоянная")
∆S = ∆ S A + ∆ S Б
V +V
= νR ln 2
V
V +V
∆SБ = νR ln
= νR ln 2
V
∆S A = νR ln
Njulf
∆S = 2νR ln 2
(1)
D ajhvekt ( 1 )- rfr vs dblbv- ytn ybrfrb[ ghbpyfrjd
hfpkbxbz d nbgt ufpjd- n=t= jyf ljk;yf ,snm cghfdtlkbdf b lkz
cvtcb jlbyfrjds[ ufpjd= Yj- rfr ,skj egjhvzyenj dsit- lkz
cvtcb jlbyfrjds[ ufpjd gj cjdhtvtyysv ghtlcnfdktybzv vj;yj
yfgbcfnm njkmrj
∆S = 0
Rfr hfphtibnm lfyyjt ghjnbdjhtxbt*
Lkz ∋njuj yflj j,hfnbnmcz r bltt <jkmwvfyf= Jy dd/k
dthjznyjcnysq gjl[jl ! cnfnbcnbxtcrjt bcnjkrjdfybt ∋ynhjgbb=
<jkmwvfy gjcnekbhjdfk- xnj bpvtytybt ∋ynhjgbb ghjgjhwbjyfkmyj
nthvjlbyfvbxtcrjq dthjznyjcnb cjcnjzybz cbcntvs%
∆S = k ln WT
Pltcm
(2)
-4-
k − gjcnjzyyfz <jkmwvfyf+
WT ! nthvjlbyfvbxtcrfz dthjznyjcnm cjcnjzybz cbc_
ntvs=
Ghjdtl/v ∋rcgthbvtyn=
Ghtlgjkj;bv e yfc bvttncz bpjkbhjdfyyfz /vrjcnmvscktyyj hfpltk/yyfz yf ldf hfdys[ jnctrf K (ktdsq) b G
(ghfdsq)- b bvt.ncz 4 jlbyfrjds[ ifhf (b njkmrj jyb)- rjnjhst
gjlj,yj vjktrekfv ufpf yf[jlzncz d gjcnjzyyjv [fjnbxtcrjv
ldb;tybb (zdkz.otvcz fyfkjujv ntgkjdjuj ldb;tybz vjktrek)+
cevvfhysq j,]/v ifhjd ,tcrjytxyj vfk gj chfdytyb. c j,]/vjv
/vrjcnb= Z jghtltkbk ifhs rfr $jlbyfrjdst$= F xnj ∋nj nfrjt*
E dct[ ifhjd bvt.ncz jlyb b nt ;t ytbpvtyyst
cdjqcndf b njkmrj ∋nb cdjqcndf=
Yfghbvth- lkz yfituj ckexfz%
1) Dct ifhs jlyjuj lbfvtnhf+
2) Dct ifhs ∋ktrnhjytqnhfkmys+
3) Dct ifhs jlyjuj wdtnf+
4) Elfhs ifhjd j cntyrb b lheu j lheuf f,cjk.nyj egheubt=
F rnj jghtltkztn ∋njn yf,jh cdjqcnd* Bccktljdfntkm- b,j
rjkbxtcndj cdjqcnd ,tcrjytxyj- b jy dsye;lty juhfybxbnmcz jc_
yjdysvb- rjnjhst ,jktt bkb vtytt jndtxf.n gjcnfyjdrt pflfxb=
Yj tckb d gjyznbb $jlbyfrjdjcnb$ tcnm jghtltk/yysq ghjbpdjkpyfxbn cfvj gjyznbt bpyfxfkmyj yt gjkyjt= E;t ∋nj ujdjhbn j
njv- xnj jghtltkznm ifhs rfr jlbyfrjdst ytkmpz d ghbywbgt bcktljdfntkmyj- endth;ltybt j, jncencndbb yf jcyjdfybb ∋njuj
bpvtytybz ∋ynhjgbb bpyfxfkmyj bvttn ytrjnjhe. ckf,bye=
Hfccvjnhbv hfcghtltktybz ifhjd d jnctrf[ K b G=
Ceotcndetn njkmrj gznm hfcghtltktybq (hbc= 3)=
D rfrjq ,s vjvtyn dhtvtyb vs yb dpukzyekb yf /vrjcnm
c ifhfvb vs yt j,yfhe;bv ybxtuj lheujuj= Pflflbvcz djghj_
cjv% rfrjdf vfntvfnbxtcrfz dthjznyjcnm (d lfkmytqitv ghjcnj
$dthjznyjcnm$) gjzdktybz rf;ljuj hfcghtltktybz*
Lkz ∋njuj hfcibhbv ∋rcgthbvtyn= <eltv abrcbhjdfnm
hfcghtltktybz ifhjd ,jkmijt xbckj hfp= B njulf vs edblbvxnj hfcghtltktybz I b V gjzdkz.ncz d 1#16 xfcnb dct[ ckexftd
-5-
rf;ljt- hfcghtltktybz II b IV ! d 1#4 xfcnb dct[ ckexftd rf;_
ljt- f hfcghtltktybt III ! d 3#8 xfcnb dct[ ckexftd= Nfrbv
j,hfpjv- vs dblbv- xnj- ytcvjnhz yf nj- xnj dthjznyjcnm ght,s_
dfybz rf;ljuj ifhf d k.,jv jnctrt jlyf b nf ;t- dthjznyjcnb
gjzdktybz hfpys[ hfcghtltktybq hfpkbxys= Xtv ∋nj j,]zcybnm*
Yte;tkb ifhs d jghtltk/yys[ cbnefwbz[ (yfghbvth d hfcghtlt_
ktybb III ) nthz.n gjldb;yjcnm ! $pfvjhf;bdf.ncz$* F,cehl @ @ @
Cktljdfntkmyj- yfif vjltkm ! vjltkm jlbyfrjds[ ifhjd !
bpyfxfkmyj ytdthyf@
Lkz $cgfctybz cbnefwbb$ yfv ytj,[jlbvj gjvtnbnm ifhs=
Ghbcdjbv rf;ljve ifhe cdjq yjvth= Nfrbv j,hfpjv- vs gtht[j_
lbv r vjltkb hfpkbxftvs[ ifhjd= B njulf- ghjdtlz yf,k.ltybt
gj njq ;t c[tvt- vs gjkexbv yb;tcktle.oe. rfhnbye (hbc= 4)=
Bvttncz 16 rjv,byfwbq= Hfcghtltktybz I b V cjcnjzn bp
jlyjq rjv,byfwbb rf;ljt- hfcghtltktybz II b IV ! bp 4_/[ rjv_
,byfwbq rf;ljt b hfcghtltktybt III ! bp 6 rjv,byfwbq= Xbckj
rjv,byfwbq- cjplf.ob[ rfrjt_kb,j hfcghtltktybt b zdkztncz
nthvjlbyfvbxtcrjq dthjznyjcnm. ∋njuj hfcghtltktybz=
Lkz njuj- xnj,s yfqnb dthjznyjcnm rfrjuj_kb,j hfcghtltkt_
ybz yflj yfqnb jnyjitybt xbckf rjv,byfwbq- cjplf.ob[ lfyyjt
hfcghtltktybt r j,otve xbcke rjv,byfwbq=
Dthjznyjcnb hfcghtltktybq I b V hfdys 1#16 rf;lfz- hfcght_
ltktybq II b IV ! 4#16- n=t= 1#4 rf;lfz- hfcghtltktybz III !
6#16- n=t= 3#8= Ntgthm zcyj- gjxtve e hfpys[ hfcghtltktybq hfpyfz
dthjznyjcnm ! ∋nj cdzpfyj c ntv- xnj hfpyst hfcghtltktybz
cjplf.ncz hfpysv xbckjv rjv,byfwbq=
Nfrbv j,hfpjv- ghbvtybd vjltkm hfpkbxftvs[ ifhjd- vs
ghbikb r ghfdbkmyjq bynthghtnfwbb abpbxtcrjq cbnefwbb=
Hfccxbnftv bpvtytybt ∋ynhjgbb rf;ljuj hfcghtltktybz gj
ajhvekt 2=
-6∆S I ,V = k ln 1 = 0
∆S II ,IV = k ln 4
∆S III = k ln 6
Vs e,tlbkbcm- xnj bpvtytybz ∋ynhjgbb hfpkbxys lkz hfpys[
hfcghtltktybq= Vfrcbvfkmyjt bpvtytybt yf,k.lftncz d ckexft hfd_
yjvthyjuj hfcghtltktybz= Tckb ,s vs jcnfyjdbkbcm yf gthdjyf_
xfkmyjq vjltkb jlbyfrjds[ ifhjd- nj bpvtytybz ∋ynhjgbb dct[
hfcghtltktybq ,skb ,s jlbyfrjds b hfdys yek.- n=r= nthvjlbyf_
vbxtcrfz dthjznyjcnm k.,juj hfcghtltktybz hfdyzkfcm ,s tlbybwt%
∆S I , II ,III ,IV ,V = k ln 1 = 0
(D ckexft ytx/nyjuj xbckf ifhjd- yfghbvth 5_b- yfb,jkmitq
dthjznyjcnm. b yfb,jkmibv bpvtytybtv ∋ynhjgbb ,elen j,kflfnm
hfcghtltktybz yfb,jktt ,kbprbt r rfpebcnbxtcrjve 2=5 % 2=5- n=t=
3 % 2 b 2 % 3= Yt bvttn cvsckf ghbybvfnm dj dybvfybt cbnefwb.ghb rjnjhjq rfrjq_kb,j bp ifhjd ,eltn yf[jlbnmcz yf kbybb- hfp_
ltkz.otq /vrjcnm yf jnctrb K b G- n=r= ifhs ghtlgjkfuf.ncz
,tcrjytxyj vfkjuj j,]/vf- gj chfdytybz c j,]/vjv /vrjcnb- f
∋nj pyfxbn- xnj ifh dctulf vj;yj $ghbgbcfnm$ r rfrjve_kb,j
jnctre)=
Nfrbv j,hfpjv- jnrfpfdibcm jn vjltkb jlbyfrjds[ if_
hjd, т.е. одинаковых объектов vs hfphtibkb gfhfljrc d
rkfccbxtcrjv ghb,kb;tybb.
Rhbnbxtcrbv pfvtxfybtv r vjltkb hfpkbxftvs[ ifhjd
cke;bkj ghtlcnfdktybt j njv, xnj gjckt ecnfyjdktybz hfdyjdtcbz
vtnrb "cybvf.ncz" и энтропия уменьшается ровно на величину её
первоначального прироста. Это представление не выдерживает
критики, т.к. само равновесие определяется через метки – оно
считается установленным тогда, когда у каждого шара ближайшие
соседи – чужие, а без меток определить, какой шар свой, а какой
чужой
невозможно.
Термодинамическая
вероятность
же
определяется не только метками, но и номерами, т.е. даже номера не
"снимаются" после установления равновесия. Обратим внимание на
то, что для шара "лично" отсутствует понятие "номер" – это понятие
-7формирует наблюдатель. Т.о., даже в классическом приближении
необходимо ввести наблюдателя. Ранее наблюдатель присутствовал
только в квантовом приближении. Перейдём теперь к его
рассмотрению.
Rdfynjdjt ghb,kb;tybt
Rdfynjdjt ghb,kb;tybt jnkbxftncz jn rkfccbxtcrjuj
gjyznbtv nj;ltcndtyyjq ythfpkbxbvjcnb xfcnbw. Мы говорим
"частицы", но, учитывая корпускулярно-вролновой дуализм,
правильней называть их "волницами". Этот термин введён Ричардом
Фейнманом.
Вернёмся к рис.1 и 2. Если заменить в
вышеприведённых рассуждениях классический идеальный газ на
квантовый, то мы сможем пронумеровать волницы только в
начальный момент времени. В последующий момент мы в принципе
не сможем определить, где находится какая-либо конкретная
волница. Но мы можем утверждать, что определённый набор волниц
– ансамбль - локализован в ёмкости А, другой ансамбль – в ёмкости
Б. При удалении перегородки мы можем утверждать, что ансамбль,
первоначально локализованный в ёмкости А, будет перемещаться в
ёмкость Б, и в положении равновесия будет равномерно – с
точностью до флуктуаций – распределён
в ёмкости А+Б.
Аналогичные рассуждения можно привести и для ансамбля,
первоначально локализованного в ёмкости Б. Таким образом, если в
квантовом приближением под объектом мы понимаем не отдельную
волницу, а их ансамбль, то приходим к понятию различаемых
объектов, что разрешает парадокс. Формула изменения энтропии
смеси квантовых волниц для наших условий имеет вид:
3
⎛ 2πmkT ⎞ 2
∆S = 6.704k ⎜
⎟ V,
2
⎝ h
⎠
здесь:
h − постоянная Планка;
m − масса одной волницы;
T − температура смеси.
(3)
-8Следует отметить, что формула 3 определяет изменение
энтропии смеси квантовых волниц, имеющих массу.
В общем случае и в классическом приближении под объектом
можно понимать всю совокупность волниц, находящихся в
определённой ёмкости. Ведь не важно какое количество волниц
находится в ёмкости – лишь бы действовали статистические
закономерности. (Термин "волница" применим и в классическом
приближении – просто длина её волны так мала, что
корпускулярные свойства доминируют).
Что касается излучения, не имеющего массы – фотонов* - то
его отличия от вещества или излучения, имеющего массу, не имеют
принципиального значения для рассматриваемого вопроса. То, что
ансамбль фотонов имеет бесконечное число степеней свободы и
количество фотонов в ёмкости сохраняется "динамически", т.к.
происходит их постоянное уничтожение и рождение на стенках, не
влияет на понятие "объекта", приведённое выше. (Гравитоны, как
волницы неизученные, пока не рассматриваются). Формула
изменения энтропии смеси излучения для наших условий имеет вид:
3
64
⎛ kT ⎞
∆S = π 5 k ⎜ ⎟ V ,
45
⎝ hc ⎠
здесь:
с − скорость фотонов (света) в вакууме.
Вообще же, развивая данную мысль, мы приходим к выводу,
что даже в самом понятии "объект" заключено подпонятие
"различаемость". Т.е. "объект" – это субстанция, изначально
отличная от других субстанций. Просто нужно чётко себе
представлять, что понимать под данной субстанцией. В формулах
для расчёта энтропии нет количественной характеристики
составляющих объектов – "столько-то молекул, атомов, электронов,
фотонов", а есть только результат взаимодействия всего объекта с
прибором, например, газа с ёмкостью. Человек ощущает себя
объектом, несмотря ни на какие сходные детали с другими людьми.
(Заметим, что о живом объекте принято говорить субъект). Понятие
объекта – изначальное, оно не выводится из других понятий. Это
как "точка, прямая и плоскость" в геометрии.
В больцмановском истолковании энтропии (справедливом и
для квантового приближения), в неявном виде присутствует понятие
-9"объект". Недопонимание этого факта и определило возникновение
данного парадокса.
Вывод: парадокс Гиббса возник из-за ошибочной
трактовки понятия "объект". Правильная трактовка данного
понятия, включающего в себя подпонятие "различаемость",
разрешает данный парадокс.
Fyfnjkbq Kb,thvfy
Иерусалим
09.07.2004
* В настоящее время предполагается наличие массы у
фотона.
Cgbcjr kbnthfnehs r cnfnmt F=>= Kb,thvfyf
$J hfphtitybb gfhfljrcf Ub,,cf$
Cgbcjr kbnthfnehs
1= V= <hjyintqy= Ytj,hfnbvjcnm ntgkjds[ zdktybq b
cnfnbcnbrf=
##Rdfyn
03#1978=
Ukfdyfz
htlfrwbz
abpbrj_vfntvfnbxtcrjq kbnthfnehs bplfntkmcndf $Yferf$=
2. Я. М. Гельфер, В.Л. Любошиц, М.И. Подгорецкий.
Парадокс Гиббса и тождественность частиц в квантовой
механике. Издательство "Наука". Главная редакция физикоматематической литературы. Москва 1975.
3= K= Kfylfe b T= Kbaibw= Cnfnbcnbxtcrfz abpbrf
(rkfccbxtcrfz b rdfynjdfz), Квантовая механика. Rehc
ntjhtnbxtcrjq abpbrb= Ujcelfhcndtyyjt bplfntkmcndj
nt[ybrj_ntjhtnbxtcrjq
kbnthfnehs=
Vjcrdf
1951
Ktybyuhfl=
4= D= U= Ktdbx= Rehc ntjhtnbxtcrjq abpbrb= Njv 1=
Bplfybt dnjhjt- gththf,jnfyyjt= Bplfntkmcndj $Yferf$=
Ukfdyfz htlfrwbz abpbrj_vfntvfnbxtcrjq kbnthfnehsVjcrdf 1969=
5= H=D= Ntktcyby= Vjktrekzhyfz abpbrf= Bplfybt 2_tljgjkytyyjt= Bplfntkmcndj $Dscifz irjkf$= Vjcrdf!1973=
6= C=L= {fqney= Bcnjhbz gfhfljrcf Ub,,cf= Vjcrdf
$Yferf$ 1986=