Математический анализ.

Реклама
Г. Н. Камышова, С. В. Чумакова, Н. Н. Терехова
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебное пособие
Саратов 2012
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
“САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени Н. И. ВАВИЛОВА”
Г. Н. Камышова, С. В. Чумакова, Н. Н. Терехова
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебное пособие
Саратов 2012
1
УДК 517(075.8)
ББК 22.161.
К18
Издание осуществлено при поддержке
программы TEMPUS JP, грант Европейской
Комиссии 159188-TEMPUS-1-2009-1-PLTEMPUS-JPCR
Г.Н.
Камышова,
С.В.
Чумакова,
Н.Н.
Терехова.
Математический анализ.: Учебное пособие /сост.: Г.Н. Камышова,
С.В. Чумакова, Н.Н. – Саратов: Изд – во ФГБОУ ВПО «Саратовский
ГАУ»., 2012.- 89с.
ISBN
Учебное пособие ”Математический анализ” предназначено для
студентов направления подготовки 110100.62 Агрохимия и
агропочвоведение
(профиль
Агроэкология),
280100.68
«Природообустройство и водопользование», для
бакалавров
направления “Экономика предприятий и организаций” профиль“
Экономика предприятий и организаций (агропромышленного
комплекса)”,
“Бухгалтерский
учёт
и
аудит”,
“Пищевая
промышленность”, “Финансы и кредит”, а также для магистров,
аспирантов, преподавателей, научных сотрудников.
Рецензенты: Колпакова Э. В. к. ф-м. н., доцент кафедры
“Математики, моделирования и информатики” ФГБОУ ВПО СГАУ
имени Н. И. Вавилова; Кузнецова Т. А. к. ф-м. н., доцент кафедры
“Компьютерной алгебры и теории чисел” ФГБОУ ВПО СГУ имени Н.
Г. Чернышевского
Данный материал опубликован при поддержке Европейского
Союза.
Содержание
публикации
является
предметом
ответственности авторов и не отражает точку зрения Европейского
Союза.
© Камышова Г. Н. и др., 2012
© ФГБОУ ВПО СГАУ имени
Н.И. Вавилова, 2012
ISBN
2
ВВЕДЕНИЕ
Пособие адресовано широкому кругу студентов с различным
уровнем математической подготовки. В нём последовательно и достаточно
подробно излагаются основы классического математического анализа.
Теоретический материал сопровождается поясняющими примерами и
рекомендациями, каждая глава снабжена задачами и упражнениями.
Краткость пособия сочетается со строгостью изложения и полнотой
материала. Пособие может быть использовано при изучении курса
“Математического анализа” как отдельной дисциплины, так и в составе
курса 'Высшая математика”
3
1. Дифференцирование функции нескольких переменных
1.1. Производные и дифференциалы функций
нескольких переменных.
Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x,
y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение х к
переменной х. Тогда величина xz = f( x + x, y) – f(x, y) называется
частным приращением функции по х.
Можно записать
 x z f ( x  x, y )  f ( x, y )

.
x
x
xz
называется частной производной функции z =(x, y)
x  0 x
Тогда lim
по х.
Обозначение:
z
;
x
zx ;
f ( x, y )
;
x
f x( x, y ).
Аналогично определяется частная производная функции по у.
z
f ( x, y  y)  f ( x, y)
.
 lim
y y 0
y
Геометрическим смыслом частной производной (допустим
z
)
x
является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0,
z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.
1.2.
Полное приращение и полный дифференциал.
Определение. Для функции f(x, y) выражение z = f( x + x, y + y)
– f(x, y) называется полным приращением.
Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то
z  f ( x  x, y  y)  f ( x, y)  f ( x, y  y)  f ( x, y  y) 
  f ( x  x, y  y)  f ( x, y  y)   f ( x, y  y)  f ( x, y)
4
Применим теорему Лагранжа к выражениям, стоящим в квадратных
скобках.
f ( x, y  y )  f ( x, y)  y
f ( x, y )
y
f ( x  x, y  y )  f ( x, y  y )  x
здесь y  ( y, y  y);
f ( x , y  y )
x
x  ( x, x  x)
Тогда получаем
z  x
Т.к.
f ( x , y  y)
f ( x, y )
 y
x
y
частные
производные
непрерывны,
то
можно
записать
равенства:
f ( x , y  y) f ( x, y)
,

x  0

x

x
y  0
lim
f ( x, y ) f ( x, y)
.

x  0
y
y
y  0
lim
Определение.
z 
Выражение
f ( x, y)
f ( x, y)
x 
y  1x   2y ,
x
y
называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой
точке (х, у), где 1 и 2 – бесконечно малые функции при х  0 и у  0
соответственно.
Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y)
называется главная линейная относительно х и у приращения функции
z в точке (х, у).
dz  f x( x, y )dx  f y ( x, y)dy .
Для функции произвольного числа переменных:
5
df ( x, y, z,..., t ) 
f
f
f
dx  dy  ...  dt
x
y
t
2
Пример. Найти полный дифференциал функции u  x y z .
du 
u
u
u
dx  dy  dz
x
y
z
u
 y 2 zx y
x
du  y 2 zx y
2
z 1
2
z 1
u
 x y z ln x  2 yz;
y
2
;
u
 x y z ln x  y 2 ;
z
2
dx  2 x y z yz ln xdy  y 2 x y z ln xdz
2
2
Пример. Найти полный дифференциал функции z 
y
.
x2  y 2
z
 2 yx
 2
x ( x  y 2 )2
z y( x 2  y 2 )  y(2 y) x 2  y 2  2 y 2
x2  y 2


 2
y
( x 2  y 2 )2
( x 2  y 2 )2
( x  y 2 )2
2 xy
x2  y 2
dz   2
dx  2
dy
(x  y2 )
( x  y 2 )2
1.3. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная
плоскость и нормаль к поверхности.
Определение. Нормалью к поверхности в точке N0
называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно
касательной плоскости к этой поверхности.
В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну
касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.
Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция,
дифференцируемая в точке М0(х0, у0), касательная плоскость в точке
N0(x0,y0,(x0,y0)) существует и имеет уравнение:
z  f ( x0 , y0 )  f x( x0 , y0 )( x  x0 )  f y ( x0 , y0 )( y  y0 ) .
6
Уравнение нормали к поверхности в этой точке:
x  x0
y  y0
z  z0


.
f x( x0 y0 ) f y ( x0 , y0 )
1
Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух
переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты
(координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от
точки (х0, у0) к точке (х0+х, у0+у).
Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции
двух переменных является пространственным аналогом геометрического
смысла дифференциала функции одной переменной.
Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности z  x  2 xy  y  x  2 y в точке М(1, 1, 1).
2
2
z
 2 x  2 y  1;
x
z
 2 x  2 y  2
y
z
 1;
x M
 2;
z
y
M
Уравнение касательной плоскости:
z  1  ( x  1)  2( y  1);
x  2 y  z  0;
Уравнение нормали:
x 1 y 1 z 1


.
1
2
1
1.4. Приближенные вычисления с помощью полного
дифференциала.
Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем
полное приращение этой функции: z  f ( x  x, y  y)  f ( x, y)
f ( x  x, y  y)  f ( x, y)  z .
7
Если
z  dz 
подставить
в
эту
формулу
выражение
f
f
x  y , то получим приближенную формулу:
x
y
f ( x  x, y  y)  f ( x, y) 
Пример.
f ( x, y)
f ( x, y)
x 
y
x
y
Вычислить приближенно значение
исходя из значения функции u 
1,041,99  ln1,02 ,
x y  ln z при x = 1, y = 2, z = 1.
Из заданного выражения определим x = 1,04 – 1 = 0,04, y = 1,99 –
2 = -0,01, z = 1,02 – 1 = 0,02.
Найдем значение функции u(x, y, z) = 12  ln 1  1.
Находим частные производные:
u
y  x y 1
2 1


1
x 2 x y  ln z 2 1
u
x y ln x

0
y 2 x y  ln z
1
u
1
z


z 2 x y  ln z 2
Полный дифференциал функции u равен:
u
u
u
 0,01   0,02 

x
y
z
1
 1  0,04  0  0,01   0,02  0,04  0,01  0,05
2
du  0,04 
1,041,99  ln1,02  u(1,2,1)  du  1  0,05  1,05 .
Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.
8
1.5.
Частные производные высших порядков.
Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее
частные производные f x( x, y) и f y ( x, y ) тоже будут определены в той же
области или ее части.
Будем называть эти производные частными производными
первого порядка.
Производные этих функций будут частными производными
второго порядка.
2 z
 f xx ( x, y);
x 2
2 z
 f xy ( x, y );
xy
2 z
 f yy ( x, y);
y 2
2 z
 f yx ( x, y );
yx
Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим
частные производные более высоких порядков.
Определение.
Частные
2 z 2 z
3 z
3 z
;
;
;
и
xy yx xyx xyy
т.д.
производные
называются
вида
смешанными
производными.
Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные
f x, f y, f xy , f yx определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности,
2 f
2 f

то верно соотношение:
.
xy yx
Т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка
дифференцирования.
Аналогично определяются дифференциалы высших порядков.
dz  f x( x, y)dx  f y ( x, y)
9
d 2 z  d  f x ( x, y)dx  f y ( x, y )dy  f x ( x, y )(dx) 2 
2
 2 f xy ( x, y )dxdy  f y ( x, y )(dy) 2
2
d 3 z  f x ( x, y )(dx) 3  3 f xy ( x, y )(dx) 2 dy 
3
2
 3 f xy ( x, y )dx(dy) 2  f y ( x, y )(dy) 3
2
3
…………………
n

 
d z   dx  dy  f ( x, y )
y 
 x
n
Здесь n – символическая степень производной, на которую
заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего с скобках
выражения.
Экстремум функции нескольких переменных.
1.6.
Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в
некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно
неравенство
f ( x0 , y0 )  f ( x, y ) , то точка М0 называется точкой
максимума.
Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в
некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно
неравенство
f ( x0 , y0 )  f ( x, y ) , то точка М0 называется точкой
минимума.
Теорема. (Необходимые условия экстремума).
Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке,
либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю
f x( x0 , y0 )  0,
f y ( x0 , y0 )  0 , либо хотя бы одна из них не существует.
Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.
Теорема. (Достаточные условия экстремума).
10
Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет
непрерывные частные производные до второго порядка включительно.
Рассмотрим выражение:

D( x, y)  f x ( x, y)  f y ( x, y)  f xy ( x, y)
2
2

2
1) Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет
экстремум, если
f x ( x0 , y 0 )  0 - максимум, если f x ( x0 , y0 )  0 - минимум.
2
2
2) Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет
экстремума
В случае если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.
1.7.
Условный экстремум.
Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие
в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует
некоторое соотношение (х, у) = 0, которое называется уравнением связи.
Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к.
другая может быть выражена через нее из уравнения связи.
Тогда u = f(x, y(x)).
du f f dy
.


dx x y dx
В точках экстремума:
du f f dy
=0


dx x y dx
(1)
Кроме того:
  dy

0
x y dx
(2)
Умножим равенство (2) на число  и сложим с равенством (1).
11
 f f dy     dy 
 
   
  0

x

y
dx

x

y
dx

 

   f
  dy
 f
          0
x   y
y  dx
 x
Для
выполнения
этого
условия
во
всех
точках
найдем
неопределенный коэффициент  так, чтобы выполнялась система трех
уравнений:

 f


0
 x
x


 f
0
 
y
 y
( x, y )  0


Полученная система уравнений является необходимыми условиями
условного экстремума. Однако это условие не является достаточным.
Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное
исследование на экстремум.
Выражение u = f(x, y) + (x, y) называется функцией Лагранжа.
Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение
связи:
2x + 3y – 5 = 0.
u  xy  (2 x  3 y  5)
u
 y  2;
x
u
 x  3;
y
 y  2  0

 x  3  0
2 x  3 y  5  0


5
;
12
5
x ;
4
5
y ;
6
12
5 5
4 6
Таким образом, функция имеет экстремум в точке  ;  .
Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума
функции называется также методом множителей Лагранжа.
Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все
рассуждения
относительно
условного
экстремума
могут
быть
распространены на функции большего числа переменных.
1.8.
Производная по направлению.
Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + x,
y + y, z + z). Проведем через точки М и М1 вектор S . Углы наклона
этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим
соответственно , , . Косинусы этих углов называются направляющими
косинусами вектора S .
Расстояние между точками М и М1 на векторе S обозначим S:
S  x 2  y 2  z 2 .
Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет
непрерывные частные производные
по переменным х, у и z. Тогда
правомерно записать следующее выражение:
u 
u
u
u
x  y  z  1x  2y  3z , где величины
x
y
z
1, 2, 3 – бесконечно малые при S  0 .
Из геометрических соображений очевидно:
x
 cos ;
S
Таким
образом,
y
 cos ;
S
приведенные
представлены следующим образом:
13
z
 cos ;
S
выше
равенства
могут
быть
u u
u
u

cos   cos   cos   1 cos  
S x
y
z
;
  2 cos    2 cos 
u
u u
u
u
 lim

cos


cos


cos  .
s S 0 S x
y
z
Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет
направление вектора S .
Из этого уравнения следует следующее определение:
u
называется производной функции
S  0 S
Определение: Предел lim
u(x, y, z) по направлению вектора S в точке с координатами ( x, y, z).
Поясним значение изложенных выше равенств на примере.
Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1,
2) по направлению вектора ÀÂ . В (3, 0).
Решение.
Прежде всего, необходимо определить координаты


вектора ÀÂ . ÀÂ =(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2 i  2 j .
Далее определяем модуль этого вектора: AB = 8  2 2 .
Находим частные производные функции z в общем виде:
z
z
 2x  y 2 ;
 2 yx;
x
y
Значения этих величин в точке А :
направляющих
косинусов
вектора
z
z
 6;
 4. Для нахождения
x
y
ÀÂ
преобразования:
S=

2 
2 
 i cos  j cos  
i
j
2 2
2 2
AB
AB
14
производим
следующие
За величину S принимается произвольный вектор, направленный
вдоль
заданного
вектора,
т.е.
определяющего
направление
дифференцирования.
Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора ÀÂ :
2
;
2
cos =
Окончательно
cos = -
2
2
получаем:
z
2
2
 6
 4
 2
s
2
2
-
значение
производной заданной функции по направлению вектора ÀÂ .
1.9. Градиент.
Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и
некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны
значениям функции u в соответствующей точке
u
;
x
u
;
y
u
, то этот
z
вектор называется градиентом функции u.
gradu 
u  u  u 
i 
j
k
x
dy
z
При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.
1.10. Связь градиента с производной по направлению.
Теорема: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов
gradu 
u  u  u 
i 
j
k.
x
dy
z
Тогда производная
u
по направлению некоторого вектора S
s
равняется проекции вектора gradu на вектор S .
15
Доказательство:
Рассмотрим
единичный
вектор



S  i cos   j cos  k cos  и некоторую функцию u = u(x, y, z) и
найдем скалярное произведение векторов S и gradu.
 u
u
u
gradu  S 
cos  cos   cos
x
y
z
Выражение, стоящее в правой части этого равенства является
производной функции u по направлению s.
 u
Т.е. gradu  S 
.
s
Если угол между векторами gradu и S
обозначить через , то скалярное произведение можно записать в виде
произведения модулей этих векторов на косинус угла между ними. С
учетом того, что вектор S единичный, т.е. его модуль равен единице,
можно записать:
gradu  cos 
u
.
s
Выражение, стоящее в правой части этого равенства и является
проекцией вектора gradu на вектор S .
Теорема доказана.
Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента
скажем,
что
градиент
–
вектор,
показывающий
направление
наискорейшего изменения некоторого скалярного поля u в какой- либо
точке. В физике существуют такие понятия как градиент температуры,
градиент давления и т.п. Т.е. направление градиента есть направление
наиболее быстрого роста функции.
С
точки
зрения
геометрического
представления
перпендикулярен поверхности уровня функции.
Упражнения
Найти области определения функций:
16
градиент
1. z  x  y .
1
2. z 
9  x2  y2
.
3. z  xy .
4. z  y x .
1
5. z 
x2  y2  4
.
Найти пределы:
tg ( xy)
.
x  0,
x
y2
1. lim
y
.
x  4 , sin( xy )
y 0
2. lim
3  xy  9
.
x 0,
xy
y 0
3. lim
x3  y3
4. lim 2
.
x 0, x  y 2
y 0
x2  y2
5. lim
x2  y 2 1 1
x 0
y 0
.
Найти частные производные от функций:
1. z  ln tg
2. z  e
x
.
y
arcsin y
x
.
3. U  xy 2 z 3 .
4. U 
5. U  e
x
x2  y2  z 2
x
y
e
z
y
.
.
Для заданных сложных функций найти указанные производные:
1. z  e x 3 y , x  sin t , y  t 2 ,
dz
?
dt
17
y
x
2. z  , x  e t , y  1  e 2t ,
dz
?
dt
3. z  arcsin( x  y ), x  4t 2 , y  t 3 ,
4. z  e x
2
 y2
, x  a cos t , y  a sin t ,
x
y
5. z  ln , x  tg 2t , y  ctg 2t ,
dz
?
dt
dz
?
dt
dz
?
dt
Найти частные производные высших порядков
2 z 2 z 2 z
1. z  x  3x y  2 y ,
,
,
?
x 2 y 2 xy
3
2
2. z  y ln x,
3
2z 2z
,
?
x 2 xy
3. z  2 xy  y ,
2
2z
?
xy
2 z
4. z  x sin( xy)  y cos(xy),
?
x 2
x  y 2 z 2 z 2 z
5. z 
,
,
,
?
x  y x 2 y 2 xy
Найти уравнение касательной плоскости и уравнения нормали в
указанных точках:
1. z  2 x 2  4 y 2 в точке M 0 (2;1;4).
2. z  x 2  y 2  xy в точке M 0 (3;4;7).
3. x 2  y 2  z  1  0 в точке M 0 (1;1;3).
4. z  xy в точке M 0 (1;1;1).
x 3  3axy  y 3
5. z 
в точке M 0 (a; a;a).
a2
Найти производные приведённых функций по направлению вектора
l в заданной точке:
1. z  x 3 y  5xy 2  8, l  (1;1) в точке M (1;1).
18
2. z  ln(
x2  y2
), l  (6;8) в точке M (1;2).
xy
3. z  ln(e x  e y ), l  (1;1) в точке M ( x; y).
z
4. U  arccos
x2  y2
, l  (2;1;2) в точке M (1;1;1).
5. Найти производную функции U  ln( x 2  y 2  z 2 ) в точке M (1;2;1)
по направлению вектора MN , где N (3;6;5) .
Найти gradz, gradz :
1. z 
xy
, в точке M (0;3).
x  y2 1
2
2. z  ( x  y) 2 , в точке M (1;1).
3. z  e
( x2  y2 )
4. U  
2 xy
, в точке M (1;1).
x2 y2 z

 , в точке M (a; b; c).
a 2 b2 c
5. U  xyz, в точке M (3;1;2).
Найти экстремум функций:
1. z  x 2  y 2  8 x  2.
2. z  x 2  xy  2 y 2  x  y.
3. z   x 2  4 y 2  5 x  8 y  3.
4. z  x 3  xy 2 6 xy.
5. z  ( x 2  y 2 )
2
3
 4.
Найти наименьшее и наибольшее значения для каждой из заданных
функций в указанной замкнутой области:
1. z  x  y; D  круг x 2  y 2  4.
2. z  x 2 y; D  круг x 2  y 2  1.
3. z  x 2  3 y 2  x  y; D  треугольник x  0, y  0, y  x  1.
4. z  x 3  y 3  9 xy  25; D  квадрат 0  x  5,0  y  5.
5. z  x 2 y(4  x  y); D  треугольник x  0, y  0, y  x  6.
19
2. Кратные интегралы.
Как известно, интегрирование является процессом суммирования.
Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит
нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с
рассмотрения двойных интегралов.
2.1. Двойные интегралы.
Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение
которой f(x, y) = 0.
Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой
назовем замкнутой областью . Если выбрать точки области без учета
точек, лежащих на кривой, область будет, называется незамкнутой область
.
С геометрической точки зрения  - площадь фигуры, ограниченной
контуром.
Разобьем область  на n частичных областей сеткой прямых,
отстоящих друг от друга по оси х на расстояние хi, а по оси у – на уi.
Вообще говоря, такой порядок разбиения необязателен, возможно,
разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.
Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники,
площади которых равны Si = xi  yi .
В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(хi, yi) и
составим интегральную сумму
i n
 f (x , y
i 1
i
i
)  Si ;
где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области
.
20
Если бесконечно увеличивать количество частичных областей i,
тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка Si стремится к
нулю.
Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области
 интегральные суммы
i n
 f (x , y
i 1
i
i
)  S i имеют конечный предел, то этот
предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области .
in
lim
 f ( xi , yi )Si   f ( x, y)dxdy
n 
i 1

С учетом того, что Si = xi  yi получаем:
in

i 1
i n i n
f ( x i , y i ) S i    f ( x i , y i )y i x i
i 1 i 1
В приведенной выше записи имеются два знака , т.к. суммирование
производится по двум переменным х и у.
Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен
и выбор точек Рi, то, считая все площади Si одинаковыми, получаем
формулу:
 f ( x, y)dydx  lim 

x 0
y 0
f ( x, y)yx

2.2. Условия существования двойного интеграла.
Сформулируем
достаточные
условия
существования
двойного
интеграл
Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области ,
то двойной интеграл
 f ( x, y)d
существует.

Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области  и
непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий,
то двойной интеграл
 f ( x, y)d
существует.

21
2.3. Свойства двойного интеграла.
  f
1)
1
( x, y )  f 2 ( x, y )  f 3 ( x, y )dydx 

  f 1 ( x, y )dydx   f 2 ( x, y )dydx   f 3 ( x, y )dydx

2)


 kf ( x, y)dydx  k  f ( x, y)dydx


3)

Если
1
=
+
2,
то
 f ( x, y)dydx   f ( x, y)dydx   f ( x, y)dydx

1
2
4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен
произведению значения этой функции в некоторой точке области
интегрирования на площадь области интегрирования.
 f ( x, y)dydx 
f ( x0 , y0 )  S

5) Если f(x, y)  0 в области , то
 f ( x, y)dydx  0 .

6) Если f1(x, y)  f2(x, y), то
 f ( x, y)dydx   f
1

7)
 f ( x, y)dydx  

2
( x, y )dydx .

f ( x, y ) dydx .

2.4. Вычисление двойного интеграла.
Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области ,
ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = (x), y = (x), где  и  непрерывные функции и   , тогда


 ( x)
b
 ( x)

f ( x, y )dxdy     f ( x, y )dy dx   dx  f ( x, y )dy
a   ( x)
a
 ( x)

Пример.
b
Вычислить
интеграл
 ( x  y)dxdy ,

ограничена линиями: y = 0, y = x2, x = 2.
22
если
область



y 2 y  x 2 3 x4
 x 4 x5  2
f ( x, y)dxdy   dx  ( x  y)dy   ( xy  )
  ( x  )dx    
2 y 0 0
2
0
0
0
 4 10  0
x2
2
2
2
= 4  3,2  0,8
Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области ,
ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = (y), x = (y) ((y)  (y)),
то
d
( y)
c
( y)
 f ( x, y)dxdy   dy  f ( x, y)dx

 ( x
Пример. Вычислить интеграл
2
 y 2 )dxdy , если область 

ограничена линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.
y
2
4 3
4
 x3
2 
(
x

y
)
dxdy

dy
(
x

y
)
dx


y
x
dy

y dy  y 4



1 0
1 3

12
1 3

0
64 4

 5
12 12
2
2
x
2
2
Пример.
2
Вычислить интеграл
 (3x
2
 2 xy  y )dxdy , если область

интегрирования  ограничена линиями х = 0, х = у2, у = 2.
 (3x
2
2

y2
 2 xy  y )dxdy =  dy  (3x  2 xy  y )dx   ( x  yx  yx ) dy 
2
0
0
 y7 y6 y4 
=  ( y  y  y )dy     
0
7 6 4
5
3
0
2
6
y2
2
2
0
2
3
0

244
.
21
Пример. Вычислить двойной интеграл
 y ln xdxdy ,
если область

интегрирования ограничена линиями ху=1, у = x , х = 2.
2
x
y2
 x ln x ln x 
y
ln
xdxdy

dx
y
ln
xdy

ln
x
dx


1 1/ x
1 2 1/ x
1  2  2 x 2  dx
2
x
2
2
2
u  ln x; dv  xdx;
2
x
x2
x2

 x
2
1.  x ln xdx  

ln
x

dx

ln
x

;
1
x 
2
2
2
4
du

dx
;
v


x
2 


23
1

x2  2
1
3
 x2
x
ln
xdx

ln
x


2
ln
2

1


2
ln
2

.


1
4 1
4
4
2
2
ln x  t ; x  e t ;
ln x
txdt
tdt


  e t tdt 
 2 
 x 2 dx dt  1 dx;
x
x


2.
x
u  t ; du  dt;

ln x 1
t
t
t
t



te


e
dt


te

e


 ;


t
t
x
x
dv  e dt; v  e ;
ln x
ln 2 1
ln 2 1
 ln x 1  2
dx

  
 1 
 ;

1 x 2
x 1
2
2
2
2
 x
2
1
3 ln 2 1  1  5 ln 2 5 
y
ln
xdxdy

2
ln
2


  
 


2
4
2
2 2  2
4
3.
5 ln 2 5

 .
4
8
2.5. Замена переменных в двойном интеграле.
Рассмотрим двойной интеграл вида
 F ( x, y)dydx , где переменная х

изменяется в пределах от a до b, а переменная у – от 1(x) до 2(х).
Положим х = f(u, v); y = (u, v)
Тогда
dx
=
b
2 ( x)
a
1 ( x)
f
f
du 
dv ;
u
v
dy
=


du 
dv ;
u
v
 F ( x, y)dydx   dx  F ( x, y)dy

т.к. при первом интегрировании переменная х принимается за
постоянную, то dx = 0.
f
f
f v
du  dv  0 , т.е. du  
 dv
u
v
f u
подставляя это выражение в записанное выше соотношение для dy,
получаем:
24
 f  f
 

 f v


v

u

u
v  dv
dy  

dv 
dv 
f
u f u
v
u
f
 f  f
 

 u
v u u v 
u
Выражение
f
v  i

v
называется
определителем Якоби или Якобианом функций f(u, v) и (u, v).
Тогда
b
2 ( x )
a
1 ( x )
 F ( x, y)dydx   dx


F ( f ( x, y), ( x, y)) 
i
f du
dv .
Т.к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для
dx принимает вид dx 
f
du (при первом интегрировании полагаем v =
u
const, dv = 0), то при изменении порядка интегрирования, получаем
соотношение:
V2
 2 (v)
V1
1 ( v )
 F ( x, y )dydx   dv  F ( f (u, v), (u, v))  i  du .

2.6. Двойной интеграл в полярных координатах.
Воспользуемся формулой замены переменных:
 F ( x, y)dxdy   F ( f (u, v), (u, v)) i dudv.


 x   cos
При этом известно, что 
.
 y   sin 
В этом случае Якобиан имеет вид:
x

i 
y

x
cos


y
sin 

  sin 
  cos2    sin   
 cos
25
Тогда
 F ( x, y)dxdy   F (  cos ,  sin  ) dd   f (  , ) dd .

y
x
Здесь  - новая область значений,   x 2  y 2 ;
  arctg .
2.7. Тройной интеграл.
При
рассмотрении
тройного
интеграла
не
будем
подробно
останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были
детально
разобраны
применительно
к
двойному
интегралу,
т.к.
существенных различий между ними нет.
Единственное отличие заключается в том, что при нахождении
тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем
переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а
некоторая область в трехмерном пространстве.
 f ( x, y, z )dxdydz  lim 
x  0
y  0
z  0
r
f ( x, y, z )xyz
v
Суммирование производится по области v, которая ограничена
некоторой поверхностью (x, y, z) = 0.
x2 y2 z 2
 f ( x, y, z )dxdydz     f ( x, y, z )dzdydx
r
x1 y1 z1
Здесь х1 и х2 – постоянные величины, у1 и у2 – могут быть
некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z1 и z2 – могут
быть функциями от х и у или постоянными величинами.
1 x 2 xy
Пример. Вычислить интеграл
x
2
yzdzdydx
0 0 0
 z2
0 0 0 x yzdzdydx  0 0 x y 2

11x 2 2 2
11x 4 3

dydx    x yx y dydx    x y dydx 
20 0
20 0
0 
1 1 4 y4 x 
1 1 x4 x8
1 1 12
1 1 13 1
1
 x 
dx   x dx   x

.
dx  
20  4 0
20 4
80
8 13
104
0
1 x 2 xy
1 x2
2
2
xy
2
2
26
2
2.8. Замена переменных в тройном интеграле.
Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична
соответствующей операции для двойного интеграла.
Можно записать:
F ( f (u, v, w), (u, v, w), (u, v, w))  i  dudvdw.
 F ( x, y, z )dxdydz  

r
x
u
y
i 
u
z
u
x
v
y
v
z
v
x
w
y
.
w
z
w
Наиболее часто к замене переменной в тройном интеграле прибегают
с целью перейти от декартовой прямоугольной системы координат к
цилиндрической или сферической системе.
Рассмотрим эти преобразования подробнее.
2.9. Цилиндрическая система координат.
Связь
координат
произвольной
точки
Р
пространства
в
цилиндрической системе с координатами в декартовой прямоугольной
системе осуществляется по формулам:
 x   cos
y

2
2
 y   sin  ,   x  y ;   arctg ;
x
z  z

Для
представления
тройного
z  z.
интеграла
в
цилиндрических
координатах вычисляем Якобиан:
x

y
i 

z

x

y

z

x
z
cos
y
 sin 
z
0
z
z
  sin 
 cos
0
27
0
0   cos2    sin 2   
1
Итого:
F (  cos ,  sin  , z ) dddz .
 F ( x, y, z )dxdydz  

r
2.10. Сферическая система координат.
Связь координат произвольной точки Р пространства в сферической
системе
с
координатами
в
декартовой
прямоугольной
системе
осуществляется по формулам:
 x   sin  cos

 y   sin  sin  ,
 z   cos

y
  x  y  z ;   arctg ;
x
2
2
Для
  arctg
2
представления
тройного
x2  y2
z
интеграла
.
в
сферических
координатах вычисляем Якобиан:
x

y
i 

z

x

y

z

x
 sin  cos
y
 sin  sin 

cos
z

 cos cos
 cos sin 
  sin 
  sin  sin 
 sin  cos 
0
cos (  2 sin  cos cos2    2 sin  cos sin 2  ) 
  sin  (  sin 2  cos2    sin 2  sin 2  )   2 cos2  sin  
  2 sin 3    2 sin  .
Окончательно получаем:
f (, , )
 F ( x, y, z)dxdydz  

2
sin ddd
r
2.11. Геометрические и физические приложения кратных
интегралов.
1) Вычисление площадей в декартовых координатах.
Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с
помощью двойного интеграла по формуле:
28
b  ( x)
S
 dydx .
a f ( x)
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 =
4x + 4; x + y – 2 = 0.
Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом,
область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от
x
y2  4
до х = 2 – у, а по оси Оу – от –6 до 2. Тогда искомая площадь
4
равна:
y2  4

S    dxdy    2  y 
dy 
4 
6 y 4
6
2 2 y
2
2
4
1 2
8  4y  y2  4 
 
dy    y 2  4 y  12 dy 
4
4 6
6 

1  y3 4y2
 2 1 8
 36  6 4  36

 

 12 y      8  24  

 12  6   
4 3
2
2
 3

 6 4  3
2

1 
8
  88    21
4 
3
2) Вычисление площадей в полярных координатах.
S   dd   dydx 


 2  ( )
  dd
1
f( )
3) Вычисление объемов тел.
Пусть
тело
ограничено
снизу
плоскостью
ху,
а
сверху–
поверхностью z = f(x,y), а с боков – цилиндрической поверхностью.
Такое тело называется цилиндроид.
V = lim
  zyx   zdydx 
x 0


x2 y2
  zdydx .
x1 y1
Пример. Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x2 + y2 = 1;
x + y + z =3 и плоскостью ХОY.
29
Пределы интегрирования: по оси ОХ: y1   1  x 2 ; y 2  1  x 2 ;
оси ОY: x1 = -1; x2 = 1; V 
по
1 x
1
  (3  x  y )dydx  3 .
1  1 x 2
4) Вычисление площади кривой поверхности.
Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0, то площадь ее
поверхности находится по формуле:
2
 f   f   f 
       
 x   y   z 
dydx .
f
z
2
S  

2
Если поверхность задана в неявном виде, т.е. уравнением z = (x, y),
то площадь этой поверхности вычисляется по формуле:
2
 z   z 
1       dydx .
 x   y 
2
S  

5)Вычисление моментов инерции площадей плоских фигур.
Пусть площадь плоской фигуры (область ) ограничена линией,
уравнение которой f(x,y) = 0. Тогда моменты инерции этой фигуры
находятся по формулам:
- относительно оси Ох: I x   y 2 dydx ;

- относительно оси Оу: I y   x 2 dydx ;

- относительно начала координат: I 0  I x  I y   ( x 2  y 2 )dydx - этот

момент инерции называют еще полярным моментом инерции.
6) Вычисление центров тяжести площадей плоских фигур.
Координаты центра тяжести находятся по формулам:
xC 
 wxdydx

 wdydx

;
yC 
 wydydx

 wdydx

30
;
здесь w – поверхностная плотность (dm = wdydx –масса элемента
площади).
7) Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.
Если поверхность тела описывается уравнением f(x, y, z) = 0, то
объем тела может быть найден по формуле:
V 
x2 y2 z 2
   dzdydx
x1 y1 z1
при этом z1 и z2 – функции от х и у или постоянные, у1 и у2 –
функции от х или постоянные, х1 и х2 – постоянные.
8) Координаты центра тяжести тела.
xC 
 wxdv
r
 wdv
r
;
yC 
 wydv
r
 wdv
; zC 
r
 wzdv
r
 wdv
;
r
9) Моменты инерции тела относительно осей координат.
I x   ( y 2  z 2 ) wdv; I y   ( x 2  z 2 )wdv; I z   ( x 2  y 2 ) wdv;
r
r
r
10) Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей.
I xy   z 2 wdv; I xz   y 2 wdv; I yz   x 2 wdv;
r
r
r
11) Момент инерции тела относительно начала координат.
I 0   ( x 2  y 2  z 2 ) wdv.
r
В приведенных выше формулах– область вычисления интеграла
по объему, w – плотность тела в точке (х, у, z), dv – элемент объема
- в декартовых координатах: dv = dxdydz;
- в циллиндрических координатах: dv = dzdd;
- в сферических координатах: dv = 2sinddd.
12) Вычисление массы неоднородного тела.
M   wdv.
r
Теперь плотность w – величина переменная.
31
Упражнения
Найти интегралы
 ( x
1.
2
 y  10)dxdy
D
D : 0  x  1; 0  y  2.
(x

2.
2
 2 y )dxdy
D
D : 0  x  1;  1  y  0.
(x

3.
2
 4 y )dxdy
D
D :  1  x  0; 0  y  1.
( xy  2 y )dxdy

4.
D
D :  2  x  1; 0  y  1.
( x  3xy)dxdy

5.
D
D : 0  x  2; 0  y  1.
(x

6.
2
 xy)dxdy
D
D :  2  x  0;  1  y  0.
(x  y

7.
2
 1)dxdy
D
D : 0  x  1; 0  y  1.
(x

8.
3
y  y 2 )dxdy
D
D :  3  x  1; 0  y  1.
(x

9.
2
 y  10)dxdy
D
D : 0  x  1; 0  y  2.
 (2x  y )dxdy
3
10.
D
D : 2  x  3; 0  y  1.
Вычислить
32
1.
 (12x
2 2
y  16 x 3 y 3 )dxdy
D
D : x  1, y  x 2 , y   x .
2.
 (9 x
2 2
y  48 x 3 y 3 )dxdy
D
D : x  1, y   x 2 , y  x .
3.
 (36 x
2 2
y  96 x 3 y 3 )dxdy
D
D : x  1, y   x 3 , y  3 x .
4.
 (18x
2 2
y  32 x 3 y 3 )dxdy
D
D : x  1, y  x 3 , y  3 x .
5.
 (27 x
2 2
y  48 x 3 y 3 )dxdy
D
D : x  1, y  x 2 , y  3 x .
6.
 (18x
2 2
y  32 x 3 y 3 )dxdy
D
D : x  1, y   x 2 , y  3 x .
7.
 (18x
2 2
y  32 x 3 y 3 )dxdy
D
D : x  1, y  x 3 , y   x .
8.
 (27 x
2 2
y  48 x 3 y 3 )dxdy
D
D : x  1, y   x 3 , y  x .
9.
 (4xy  3x
2 2
y )dxdy
D
D : x  1, y  x 2 , y   x .
10.
 (12 xy  9 x
2 2
y )dxdy
D
D : x  1, y   x 2 , y  x .
Найти объём тела, заданного ограничивающими поверхностями
1. y  16 2 x ; y  2 x ; z  0; x  z  2.
33
2. y  5 x ; y 
5x
x
; z  0; z  5  5 .
3
3
3. x 2  y 2  2; y  x ; y  0; z  0; z  15x.
4. x  y  2; y  x ; z  0; z  12 y.
1
2
5. x  20 2 y ; x  5 2 y ; z  0; x  y  .
6. x  5
y
5y
5
;x
; z  0; z  (3  y ).
2
6
6
7. x 2  y 2  2; x  y ; x  0; z  0; z  30 y.
8. x  y  2; x  y ; z  0; z 
12 x
.
5
1
2
9. y  17 2 x ; y  2 2 x ; z  0; x  z  .
10.
y
1
5x
(3  x )
x; y 
; z  0; z  5 
.
3
9
9
Вычислить
с
помощью
тройных
интегралов
ограниченных указанными поверхностями.
1. y  x 2 , y  1, x  y  z  3, z  0.
2. 2 z  x 2  y 2 , x 2  y 2  z 2  3.
3. x  0, y  1, y  3, z  0, x  2 z  3.
4. y  4  x 2 , y  x 2  2, z  1, z  2.
x
5. y 2  , x  2 y  z  4, y  0, z  0.
2
6. x  y  z  6, 3x  2 y  12, 3x  y  6, y  0, z  0.
x2 y2
x
7.

 1, y  0, z  , z  x.
4
9
2
8. x 2  y 2  z  1, z  3.
9. x 2  y 2  1, y  z  2.
10. x 2  y 2  z, z  x 2  y 2 .
34
объёмы
тел,
Даны криволинейные интегралы и четыри точки плоскости Oxy:
O(0;0), A(4;0), B(0;8), C (4;8) . Вычислить данный интеграл от точки O до
точки C по трём различным путям: 1) по ломанной OAC; 2) по ломанной
x2
OBC; 3) по дуге OC параболы y 
. Полученные результаты сравнить
2
и объясеить их совпадение.
1.
 ( x  y)dx  ( x  2 y)dy .
x2
(2  xy )dx  (  y )dy .
2
2.

3.
 (x
4.
 (2x  3 y)dx  (3x  4 y)dy .
5.
 (4  xy
6.
 (3x  2 y)dx  (2x  y)dy .
7.
 (1  2xy)dx  ( x
8.
 (5x  2 y)dx  (2x  y)dy .
9.

(3x 2  y)dx  ( x  2 y)dy .
10.

(4 xy  3)dx  (2 x 2 
3
 2 y)dx  (2 x  5)dy .
2
)dx  ( x 2 y  3 y 2 )dy .
2
 y)dy .
3 2
y )dy .
2
35
3. Теория функций комплексных переменных
3.1. Элементы теории функций комплексного переменного.
Определение. Если каждому комплексному числу z из некоторого
множества
D
по
некоторому
закону
поставлено
в
соответствие
определенное комплексное число w из множества G, то на этой области
задана
однозначная
функция
комплексного
переменного,
отображающая множество D на множество G.
w = f(z)
Множество D называется областью определения, множество G –
областью значений функции.
Комплексную функцию можно записать в виде:
w  f ( z )  u( x, y)  iv( x, y)
u ( x, y )  Re f ( z )
v( x, y )  Im f ( z )
u, v – действительные функции от переменных х и у.
Если каждому z D соответствует несколько различных значений w,
то функция w=f(z) называется многозначной.
Определение. Функция w  f ( z )  u( x, y)  iv( x, y) имеет предел в
f ( z )  A.
точке z0, равный числу А = a + ib, если lim f ( z )  A  0 , lim
zz
z  z 0 0
3.2.
0
Свойства функций комплексного переменного.
Для функций комплексного переменного f(z) и g(z) справедливы
следующие свойства:
 f ( z)  g ( z)  lim
f ( z )  lim g ( z ) ;
1) lim
zz
zz
zz
0
0
0
 f ( z)  g ( z)  lim
f ( z )  lim g ( z ) ;
2) lim
zz
zz
zz
0
0
f ( z)
f ( z ) lim
zz

;
3) lim
zz
g ( z ) lim g ( z )
0
0
0
lim g ( z )  0.
z  z0
z  z0
36
Определение.
Функция
называется
w  f ( z )  u ( x, y )  iv ( x, y )
непрерывной в точке z0, если выполняется равенство
lim f ( z )  f ( z0 ) .
z  z0
3.3. Основные трансцендентные функции.
Определение.
Трансцендентными
называются
аналитические
функции, которые не являются алгебраическими.
Если аргументом показательной или тригонометрических функций
является комплексное число, то определение этих функций, вводимое в
элементарной алгебре теряет смысл.
Рассмотрим разложение в степенной ряд следующих функций:
ez  1 
z z2
zn
  ...   ...
1! 2!
n!
z z3 z5
z 2 n 1
n
sin z     ...  (1)
 ...
1! 3! 5!
(2n  1)!
2n
z2 z4
n z
cos z  1    ...  (1)
 ...
2! 4!
(2n)!
Функции ez, cosz, sinz связаны между собой формулой Эйлера .Эта
формула может быть очень легко получена сложением соотвествующих
рядов.
eiz  cos z  i sin z .
Также справедливы равенства:
eiz  e  iz
cos z 
2
;
iz
e  e  iz
sin z 
2i
ez  ex iy  e xeiy  e x (cos y  i sin y) ;
e z z  e z e z ;
1
2
1
2
e 
z
m
 e zm ;
e z  2 i  e z ;
37
tgz 
sin z
e iz  e  iz
 iz
;
cos z i (e  e  iz )
cos z i (e iz  e  iz )
ctgz 
 iz
.
sin z
e  e  iz
Для
тригонометрических
функций
комплексного
аргумента
справедливы основные тригонометрические тождества (синус и косинус
суммы,
разности
и
т.д.),
которые
справедливы
для
функций
действительного аргумента.
Определение. Гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом
и котангенсом называются соответственно функции:
e z  e z
e z  e z
sh z e z  e  z
sh z 
; ch z 
; th z 

;
2
2
ch z e z  e z
cth z 
ch z e z  e  z

..
sh z e z  e  z
Гиперболические
функции
могут
быть
выражены
через
тригонометрические:
sh z  i sin iz;
th z  itg iz;
ch z  cos iz;
cth z  ictg iz.
Гиперболические функции sh z и ch z имеют период 2i, а функции th
z и cth z – период i.
Пример. Найти sin(1+2i).
ei  2  e 2  i e 2ei  e 2e  i e 2 (cos1  i sin 1)  e 2 (cos1  i sin 1)
sin(1  2i ) 



2i
2i
2i
cos1(e 2  e 2 )  i sin 1(e 2  e 2 ) e 2  e 2
e 2  e 2

sin 1  i
cos1  ch 2 sin 1  sh 2 cos1.
2i
2
2
Определение. Логарифмическая функция комплексного аргумента

определяется как функция, обратная показательной.
ew  z;
w  Lnz.
Если w = u + iv, то e w  e u и Arg ew = arg z  2k = v.
Тогда eu = z ;
u  ln z .
38
Итого: w  Lnz  ln z  i arg z  2ik ; k  0,1,2,...
b
arg z  arctg .
a
Для комплексного числа z = a + ib
Определение. Выражение ln z  ln z  i arg z называется главным
значением логарифма.
Логарифмическая
функция
комплексного
аргумента
обладает
следующими свойствами:
1) ln( z1 z2 )  ln z1  ln z2 ;
2) ln
z1
 ln z1  ln z2 ;
z2
3) ln( z)n  n ln z;
4) ln n z 
1
ln z.
n
Обратные
тригонометрические
функции
комплексного
переменного имеют вид:





1
Arc cos z  i ln z  z 2  1  i arg( z  z 2  1)  2k  Ln z  z 2  1 ;
i
;




1
Arc sin z  i ln iz  1  z 2  i arg(iz  1  z 2 )  2k  Ln iz  1  z 2
i
;
iz
 1  zi  1  zi
 1
;
Arctgz  i ln
 i arg
 2k   Ln
 2i i  z
 1  zi  1  zi

 1  iarg( z 
 
 1)  2k   Lnz 

 1 ;
Arshz  ln z  z 2  1  i arg( z  z 2  1)  2k  Ln z  z 2  1 ;
Archz  ln z  z 2
Arcthz 
1 1 z
.
Ln
2 1 z
39
z2
z2

3.4. Производная функций комплексного переменного.
Определение. Производной от однозначной функции w = f(z) в
точке z называется предел:
lim
z  0
w
f ( z  z )  f ( z )
dw
( z ) 
 lim

f
z z  0
z
dz
Определение. Функция f(z), имеющая непрерывную производную в
любой точке области D называется аналитической функцией на этой
области.
Правила дифференцирования функций комплексного аргумента не
отличаются от правил дифференцирования функций действительной
переменной.
Аналогично определяются производные основных функций, таких
как синус, косинус, тангенс и котангенс, степенная функция и т.д.
Производные гиперболических функций определяются по формулам:
( shz )  chz ;
(thz)  
(chz )  shz ;
1
.
ch 2 z
Вывод правил интегрирования, значений производных основных
функций ничем не отличается от аналогичных операций с функциями
действительного аргумента, поэтому подробно рассматривать их не будем.
Условия Коши – Римана.
Рассмотрим
функцию
w  f ( z )  u( x, y)  iv( x, y) ,
комплексной
определенную
на
некоторой
переменной
области
и
имеющую в какой – либо точке этой области производную
f ( z )  lim
z  0
w
.
z
Стремление к нулю z0 может осуществляться в следующих
случаях:
1) z  x  i0  x;
x  0;
40
2) z  0  iy;
y  0.
В первом случае:
f ( z )  lim
z  0
 lim
x 0
w
 u ( x  x, y)  u ( x, y) v( x  x, y)  v( x, y) 
 lim
i
 
x 0 
z
x
x

u ( x  x, y)  u ( x, y)
v( x  x, y)  v( x, y) u v
 i lim

i .
x 0
x
x
x
x
Во втором случае:
f ( z )  lim
z  0
 i lim
y 0
 u ( x, y  y )  u ( x, y ) v( x, y  y )  v( x, y ) 
w
 lim
i

y 0 
z
i

y

y


u ( x, y  y)  u ( x, y )
v( x, y  y )  v( x, y)
u v
 lim


i
 .
y 0
y
y
y y
Тогда должны выполняться равенства:
u v
 ;
x y
u
v
 .
y
x
Эти равенства называются условиями Коши – Римана, хотя еще
раньше они были получены Эйлером и Даламбером.
Теорема. Если функция w  f ( z )  u ( x, y)  iv ( x, y) имеет производную в
точке
z = x + iy, то ее действительные компоненты u и v имеют в точке
(х, у) частные производные первого порядка, удовлетворяющие условию
Коши – Римана.
Также справедлива и обратная теорема.
На основании
этих теорем можно
сделать вывод, что из
существования производной следует непрерывность функции.
Теорема. Для того, чтобы функция w  f ( z )  u ( x, y)  iv ( x, y) была
аналитической на некоторой области необходимо и достаточно, чтобы
частные производные первого прядка функций u и v были непрерывны на
этой области и выполнялись условия Коши – Римана.
41
Интегрирование функций комплексной переменной.
3.5.
Пусть
w  f ( z )  u( x, y)  iv( x, y) -
непрерывная
функция
комплексного переменного z, определенная в некоторой области и L –
кривая, лежащая в этой области.
 t 
Кривая L задана уравнением z  z (t )  x(t )  iy (t );
Определение.
Интеграл
от
функции
f(z)
вдоль
кривой
L
определяется следующим образом:
 f ( z )dz   (u  iv)(dx  idy)   (udx  vdy)  i  (vdx  udy) 
L
L
L
L

  [u ( x(t ), y(t )) x(t )  v( x(t ), y(t )) y(t )]dt  i


 [v( x(t ), y(t )) x(t )  u( x(t ), y(t )) y(t )]dt .
Если учесть, что z(t )  x(t )  iy(t );
u ( x(t ), y (t ))  u ( z (t )) , то

 f ( z)dz   f [ z(t )]z(t )dt .
L
Теорема. (Теорема Коши) Если f(z) - аналитическая функция на
некоторой области, то интеграл от f(z) по любому кусочно – гладкому
контуру, принадлежащему этой области равен нулю.
 f ( z )dz  0 .
L
Интегральная формула Коши.
Если функция f(z) – аналитическая в односвязной замкнутой области
с кусочно – гладкой границей L.
Тогда справедлива формула Коши:
f (z0 ) 
f ( z)
1
dz ,

2i L z  z 0
где z0 – любая точка внутри контура L, интегрирование по контуру
производится в положительном направлении (против часовой стрелки).
Эта формула также называется интегралом Коши.
42
3.6.
Ряды Тейлора и Лорана.
Функция f(z), аналитическая в круге
z  z0  R , разлагается в
сходящийся к ней степенной ряд по степеням (z – z0).
Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:
f ( k ) ( z0 )
1
f ( z )dz
ck 

;

k!
2i L ( z  z0 ) k 1
k  0,1,2,...
Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется рядом
Тейлора.
Рассмотрим
теперь
функцию
f(z),
аналитическую
в
кольце
r  z  z 0  R . Эта функция может быть представлена в виде сходящегося
ряда:
f ( z) 
cn 



n  
n0
cn
n
n 1 ( z  z )
0
 cn (z  z0 ) n   cn (z  z0 ) n  
1
f (t )dt
;

2i  (t  z0 ) n 1
n  0,1,2,...
Ряд такого вида называется рядом Лорана. При этом функция f(z)
может быть представлена в виде суммы:
f ( z )  f 1 ( z )  f 2 ( z );

f1 ( z)   cn ( z  z 0 ) n ;
n 0

cn
.
n
n 1 ( z  z )
0
f 2 ( z)  
Ряд, определяющий функцию f1(x), называется правильной частью
ряда Лорана, а ряд, определяющий функцию f2(x), называется главной
частью ряда Лорана.
Если предположить, что r = 0, то можно считать, что функция
аналитична в открытом круге 0  z  z 0  R за исключением центральной
точки z0. Как правило, в этой точке функция бывает не определена.
Тогда точка z0 называется изолированной особой точкой функции f.
Рассмотрим следующие частные случаи:
43
1)
Функция f(x) имеет вид:

f ( z )  f1 ( z )   ck ( z  z0 )k . Т.к.
k 0
степенной ряд сходится во всех точках внутри круга, то его сумма f1(x)
определена и непрерывно дифференцируема во всех точках круга, а,
следовательно, и в центре круга z0.
В этом случае говорят, что особенность функции f в точке z0
устранима. Для устранения особой точки достаточно доопределить
функцию в центре круга (f(z0) = c0) и функция будет аналитической не
только в окрестности центра круга, но и в самом центре.
 f ( z )dz  0
В этом случае
для любого контура L, содержащего
L
точку z0 и принадлежащего к кругу z  z0  R .

c k

ck ( z  z0 )k .

k
k 1 ( z  z )
k m
0
m
2) Функция f(x) имеет вид: f ( z )  f1 ( z )  
В этом случае точка z0 называется полюсом функции f(z) порядка
(кратности) m. При m = 1 точку z0 называют еще простым полюсом.
Порядок полюса может быть определен по формуле:
m
lim
(
z

z
)
f ( z)  c  0
0
zz
0
z0 – полюс порядка т.
3)Функция

имеет
f(z)
c k
 f1 ( z )  f 2 ( z ) ,
k
k 1 ( z  z )
0
m
f ( z )   ck ( z  z0 )k 
k 0
где
вид
в
ряду

ck
не равно нулю бесконечное количество коэффициентов
k
k 1 ( z  z )
0
f 2 ( z)  
с-k.
В этом случае
говорят, что функция f(z) имеет в точке z0
существенно особую точку.
Определение. Пусть z0 – изолированная особая точка функция f(z),
т.е. пусть функция f(z) – аналитическая в некотором круге z  z0  R из
44
которого исключена точка z0. Тогда интеграл
1
f ( z) ,
 f ( z )dz  Âû÷
zz
2i L
0
называется вычетом функции f(z) в точке z0, где L – контур в круге
z  z 0  R , ориентированный против часовой стрелки и содержащей в себе
точку z0.
Вычет также обозначают иногда Re s f ( z ) .
z0
Если
f ( z) 

 c (z  z ) ;
0  z  z0  R;
k
k  
k
0
есть
ряд
Лорана
f ( z )  c1 .
функции f в точке z0, то Âû÷
zz
0
Таким образом, если известно разложение функции в ряд Лорана, то
вычет легко может быть найден в случае любой особой точки.
В частных случаях вычет может быть найден и без разложения в ряд
Лорана.
Например, если функция f ( z ) 
 ( z)
,  ( z 0 )  0 , а  (z ) имеет
 ( z)
простой нуль при z = z0 ( ( z0 )  0,  ( z0 )  0) , то z = z0 является простым
полюсом функции f(z).
Тогда можно показать, что вычет находится по формуле
Âû÷  c1 
z  z0
 ( z0 )
.
 ( z0 )
Если z = z0 – полюс порядка m  1, то вычет может быть найден по
формуле:
1
d m 1[( z  z0 ) m f ( z )]
Âû÷ f ( z )  c1 
lim
.
zz
(m  1)! z  z
dz m 1
0
0
Пример. Найти вычет функции f ( z ) 
1
относительно
( z  2) 2 ( z  3)
точки z = 2.
Эта точка является полюсом второго порядка. Получаем:
45
Âû÷  lim
z 2
z 2
d
d 1
1
[( z  2) 2 f ( z )]  lim

lim
 1.
z 2
dz
dz z  3 z  2 ( z  3) 2
3.7.
Теорема о вычетах.
Теорема. Пусть функция f(z) – аналитическая на всей плоскости z,
за исключением конечного числа точек z1, z2, …, zN. Тогда верно равенство:
N
 Âû÷ f ( z)  Âû÷ f ( z)  0 .
z  zk
k 1
z 
А интеграл от функции по контуру L, содержащему внутри себя
эти точки, равен
N
 f ( z )dz  2i  Âû÷ f ( z ) .
j 1
L
zz j
Эти свойства применяются для вычисления интегралов. Если
функция
f(z)
аналитическая
в
верхней
полуплоскости,
включая
действительную ось, за исключением N точек, то справедлива формула



N
f ( x)dx  2i  Âû÷ f ( z ) .
j 1
zz j
Пример. Вычислить определенный интеграл

 (x

2
dx
.
 4) 2
Подынтегральная функция является аналитической в верхней
полуплоскости за исключением точки 2i. Эта точка является полюсом
второго порядка.
Найдем вычет функции
1
d  ( z  2i ) 2 
d
1
 2
  lim
Âû÷ 2
 lim

2
2
z  2i
z  2i
( z  4)
dz  ( z  4)  z  2i dz ( z  2i ) 2
 lim
z  2i
2
2
1


;
3
3
( z  2i )
(4i )
32i
dx
1


2

i


.
 2 2
32i 16
  ( x  4)

Получаем

Пример. Вычислить определенный интеграл
 (x

46
2
dx
.
 1) 3
Подынтегральная функция является аналитической в верхней
полуплоскости за исключением точки i. Эта точка является полюсом
второго порядка.
Найдем вычет функции
1
1
d 2  ( z  i) 3  1
d2
1
1
d 
3
  lim 2
Âû÷ 2
 lim 2  2
 lim  
3
3
3
z i
( z  1)
2 z i dz  ( z  1)  2 z i dz ( z  i )
2 z i dz  ( z  i ) 4
1
12
1
6
3
 lim

6



.
2 z i ( z  i ) 5
(2i ) 5 32i 16i

Получаем
 (x

dx
3
3
.
 2i 

3
 1)
16i
8
2
Упражнения
Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по
данной кривой.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
47

 

9.
10.
Найти все лорановские разложения данной функции по степеням z.
1.
2.
3.
4.
5.
Выяснить, во что преобразуется геометрическая фигура при
отображении с помощью функции
1.
2.
3.
4.
5.
48
4. Операционное исчисление.
4.1.
Преобразование Лапласа.
Рассмотрим функцию действительного переменного t, определенную
при t  0. Будем также считать, что функция f(t)- кусочно - непрерывная,
т.е. в любом конечном интервале она имеет конечное число точек разрыва
первого рода, и определена на бесконечном интервале (-, ), но f(t) = 0
при t < 0.
Будем считать, что функция ограничена условием:
f (t )  Mest .

Рассмотрим функцию F ( p )   e  pt f (t )dt ,
где p = a + ib –
0
комплексное число.
Определение. Функция F(p) называется изображением Лапласа
функции f(t).
Также
функцию
F(p)
называют
L
–
изображением
или
преобразованием Лапласа.
Обозначается F ( p)  L{ f (t )};

F ( p)  f (t );


F ( p)  f (t );

При этом функция f(t) называется начальной функцией или
оригиналом,
а
процесс
нахождения
оригинала
по
известному
изображению называется операционным исчислением.
Теорема. (Теорема единственности) Если две непрерывные функции
f(x) и g(x) имеют одно и то же L – изображение F(p), то они
тождественно равны.
Определение. Функцией Хевисайда
1, t  0
.
0
,
t

0

 0 (t )  
49
4.2.
Свойства изображений.

Если F ( p)  f (t ) , то справедливы следующие свойства:

1) Свойство подобия.

f (t ) 
 p
F  ;
  
1
  0.
2) Свойство линейности.
L[ Af (t )  Bg(t )]  AL[ f (t )]  BL[ g (t )].
3) Смещение изображения.

f (t )e t  F ( p   ).

4) Дифференцирование изображения.

dn
(1)
F
(
p
)

t n f (t )
n

dp
n
5) Дифференцирование оригинала.

pF ( p)  f (0)  f (t ) .

6) Интегрирование изображения.
f (t )  
  F (q)dq .
t p
7) Интегрирование оригинала.
t

0

f ( )d 
F ( p)
.
p
4.3. Таблица изображений некоторых функций.
Для
большинства
функций
изображение
находится
непосредственным интегрированием.
Пример. Найти изображение функции f(t) = sint.
 pt

 


u  e ; dv  sin tdt;

 pt
F ( p)   e pt sin tdt  


e
cos
t
  pe pt cos tdt 

 pt

0
0
0
du   pe dt ; v   cos t ;

50

 1  p e
0
 pt

u  e  pt ; dv  costdt; 
 pt
costdt  
  1  pe sin t 
 pt
0
du   pe dt; v  sin t ;

p
2
e
 pt
sin tdt.
0

(1  p 2 )  e  pt sin tdt  1
0

 pt
 e sin tdt 
0

1
;
1 p2
sin t 
1
.
1 p2
Для многих функций изображения посчитаны и приведены в
соответствующих таблицах.
№
f(t)
F(p)
№
f(t)
1
1
1
p
9
tn
n!
p n 1
2
sint

p  2
10
t sin at
2 pa
( p2  a2 )2
F(p)
2
a2  p2
( p2  a2 )2
3
cost
p
2
p  2
11
t cos at
4
e-t
1
p 
12
te t
1
( p   )2
5
sht
13
1
(sin at 
2a 3
 at cos at )
1
( p2  a2 )2
dn
(1)
F ( p)
dpn

p2  2
6
cht
p
2
p  2
14
t n f (t )
7
et sin at
a
( p   )2  a 2
15
t
p 
( p   )2  a 2
16
8
et cos at
 f ( ) f
1

n
2
(t   )d
0
F1 ( p ) F2 ( p )
f ( n ) (t )
p n F ( p) *
 - при условии, что f (0)  f (0)  ...  f ( n 1) (0)  0 .
51
4.4. Теоремы свертки и запаздывания.
Теорема. (теорема запаздывания) Если f(t) = 0 при t < 0, то
справедлива формула L[ f (t  t0 )]  e pt L[ f (t )] , где t0 – некоторая точка.
0
t
Определение. Выражение
 f ( ) f
1
2
(t   )d называется сверткой
0
функций f1(t) и f2(t) и обозначается f1 f2.
Теорема. (теорема свертки) Преобразование Лапласа от свертки
равно произведению преобразований Лапласа от функций f1(t) и f2(t) .
 t
F1 ( p ) F2 ( p )   f1 ( ) f 2 (t   )d .
0
Теорема. (Интеграл Дюамеля (Дюамель (1797 – 1872) – французский


математик)). Если F ( p)  f (t ); G( p)  g (t ) , то верно равенство



t
pF ( p)G( p)  f (t ) g (0)   f () g (t  )d .

0
Для нахождения изображений различных функций наряду с
непосредственным интегрированием применяются приведенные выще
теоремы и свойства.
Пример. Найти изображение функции
sin t
.
t

Из таблицы изображений получаем: sin t 

1
.
p 1
2
f (t )  
По свойству интегрирования изображения получаем:
  F (q)dq
t p

sin t   1

  2
dq  arctgq   arctgp.
t
2
p
p q 1
Пример. Найти изображение функции sin 2 t .
Из тригонометрии известна формула sin 2 t 
52
1  cos2t
.
2
Тогда

1
1
1
1
p
=
sin 2 t  L[1  cos2t ]  L[1]  L[cos 2t ] 

2
2
2
2
2 p 2( p  4)
p2  4  p2
2

.
2
2 p ( p  4) p ( p 2  4)
Операционное исчисление используется как
для
нахождения
значений интегралов, так и для решение дифференциальных уравнений.
Пусть дано линейное дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами an x( n ) (t )  ...  a1 x(t )  a0 x(t )  f (t ) .
Требуется найти решение этого дифференциального уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям:
x(0)  x0 ; x(0)  x0 ; ... x( n 1) (0)  x0( n 1) .
Если функция x(t) является решением этого дифференциального
уравнения, то оно обращает исходное уравнение в тождество, значит
функция, стоящая в левой части уравнения и функция f(t) имеет (по
теореме единственности) одно и то же изображение Лапласа.
dkx
n
L  ak k   L[ f (t )]
k  0 dt 
.
Из теоремы о дифференцировании оригинала { pF ( p)  f (0)  f (t ) }
.
можно
сделать
вывод,
d k x
L  k   p k L[ x]  p k 1 x(0)  ...  px( k  2 ) (0)  x( k 1) (0).
 dt 
d nx
Тогда an L  n   ...  a0 L[ x]  L[ f ].
 dt 
Обозначим L[ x]  x ( p),
L[ f ]  F ( p).
Получаем:
x ( p)[an pn  an 1 pn 1  ...  a1 p  a0 ]  an [ pn 1x0  pn  2 x0  ...  x0( n 1) ] 
 an 1[ pn  2 x0  pn 3 x0  ...  x0( n  2) ]  ....  a2[ px0  x0 ]  a1x0  F ( p).
53
что
Это уравнение называется вспомогательным (изображающим) или
операторным уравнением.
Отсюда получаем изображение x ( p) , а по нему и искомую функцию
x(t).
Изображение получаем в виде: x ( p) 
F ( p) n 1 ( p)

,
Rn ( p) Rn ( p)
где Rn ( p)  an pn  an 1 pn 1  ...  a1 p  a0 ;
n 1 ( p)  a1 x 0  a 2 ( px0  x 0 )  a 3 ( p 2 x 0  px 0  x 0)  ...

 a n ( p n 1 x 0  p n  2 x 0  ...  px0( n  2 )  x 0( n 1) )
Этот многочлен зависит от начальных условий. Если эти условия
нулевые, то многочлен равен нулю, и формула принимает вид:
x ( p) 
F ( p)
.
Rn ( p )
Рассмотрим применение этого метода на примерах.
Пример. Решить уравнение y   4 y  2;
y (0)  y (0)  0.
Изображение искомой функции будем искать в виде:
y
F ( p)
;
Rn ( p)
F ( p)  L[ f ]  L[2] 
y
2
p( p  4)
2

2
;
p
Rn ( p)  1  p 2  0  p  4  p 2  4.
11
p 
 2
.

2  p p  4 

1
Находим оригинал, т.е. искомую функцию: y  y  (1  cos2 x) .

2
Пример. Решить уравнение y   2 y  0; y(0)  1.
F ( p)  L[ f ]  L[0]  0;
y
Rn ( p)  p  2; n 1  a1 y0  1;
1
;
p2
54

y  y  e 2x .

Пример. Решить уравнение:
y  6 y  11 y  6 y  0;
y (0)  0;
y(0)  1;
y(0)  0;
F ( p)  L[ f ]  L[0]  0; Rn ( p)  p3  6 p2  11 p  6;
n 1 ( p)  a1 y0  a2 ( py0  y0 )  a3 ( p2 y0  py0  y0)  6  p.
Изображение искомой функции y 
6 p
.
p  6 p 2  11 p  6
3
Для нахождения оригинала необходимо разложить полученную
дробь на элементарные дроби. Воспользуемся делением многочленов
(знаменатель делится без остатка на p – 1):
p3 – 6p2 + 11p – 6
p-1
p3 – p2
p2 – 5p + 6
-5p2 + 11p
-5p2 + 5p
6p - 6
6p - 6
0
В свою очередь p2  5 p  6  ( p  2)( p  3) .
Получаем: p3  6 p2  11 p  6  ( p  1)( p  2)( p  3).
Тогда: y 
6 p
A
B
C



;
2
p  6 p  11 p  6 p  1 p  2 p  3
3
Определим коэффициенты А, В и С.
A( p  2)( p  3)  B( p  1)( p  3)  C ( p  1)( p  2)  6  p
Ap 2  5 Ap  6 A  Bp2  4Bp  3B  Cp2  3Cp  2C  6  p
p2 ( A  B  C)  p(5 A  4B  3C)  6 A  3B  2C  6  p
55
A  B  C  0

5 A  4 B  3C  1
6 A  3B  2C  6

C   A  B

2 A  B  1
4 A  B  6

5

A


C   A  B 
2


 B  1  2 A  B  4
2 A  1  6 
3

C  
2

5
3

11  6 p
2  4  2 ;

Тогда y  3
p  6 p 2  11 p  6 p  1 p  2 p  3


5
3
y  y   e x  4e 2 x  e 3 x .

2
2
Приемы операционного исчисления можно также использовать для
решения систем дифференциальных уравнений.
Пример. Решить систему уравнений:
 x  3x  4 y
;

 y  4 x  3 y
Обозначим x ( p),
x(0)  y(0)  1 .
y ( p) - изображения искомых функций и решим
вспомогательные уравнения:
L[ x]  3L[ x]  4 L[ y]  px ( p)  x(0)  3x ( p)  4 y ( p)
.
; 

L[ y]  4 L[ x]  3L[ y]  py ( p)  y(0)  4 x ( p)  3 y ( p)
Решим полученную систему алгебраических уравнений.
4 y ( p)  1

 x ( p)  p  3

;

4
y
(
p
)

1
 py ( p)  1  4
 3 y ( p)

p 3
x ( p) 
( p  7)( p  3)
p7
p
7
 2
 2
 2
;
2
( p  25)( p  3) p  25 p  25 p  25

7
x ( p)  x(t )  ch5t  sh5t;
5
y ( p) 
p 1

y
(
p
)


p 2  25

;

2
p

4
p

21
 x ( p) 

( p 2  25)( p  3)
p
1
 2
;
p  25 p  25
2
56

y ( p)  y (t )  ch5t 
1
sh5t.
5
Если применить к полученным результатам формулы
chz 
e z  e z
e z  e z
; shz 
; то ответ можно представить в виде:
2
2
6 5t 1 5t

x

e  e

5
5
.

3
2
 y  e 5t  e  5t

5
5
Как видно, гиперболические функции в ответе могут быть легко
заменены на показательные.
 x  5 x  2 y
Пример. Решить систему уравнений 
при x(0) = y(0) =
 y  2 x  2 y
1.
Составим систему вспомогательных уравнений:
L[ x]  5L[ x]  2 L[ y]  px ( p)  x(0)  5x ( p)  2 y ( p)
; 
;


L
[
y
]

2
L
[
x
]

2
L
[
y
]
p
y
(
p
)

y
(
0
)

2
x
(
p
)

2
y
(
p
)


2 y ( p)  1

 x ( p)  p  5

;

4
y
(
p
)

2
 py ( p) 
 2 y ( p)  1

p5
p3

 y ( p)  ( p  1)( p  6)

;

p
 x ( p) 

( p  1)( p  6)
y ( p) 
A
B
2 1
3 1  2 t 3 6t



 e  e ;
p 1 p  6 5 p 1 5 p  6  5
5
x ( p) 
C
D
1 1
6 1  1 t 6 6t



 e  e .
p 1 p  6
5 p 1 5 p  6  5
5
1
3
Если обозначить C1   ; C2  ; то из полученного частного
5
5
решения системы можно записать и общее решение:
 x  C1 e t  2C 2 e 6t
.

t
6t
y


2
C
e

C
e

1
2
57
При
рассмотрении
нормальных
систем
дифференциальных
уравнений этот пример был решен традиционным способом. Как видно,
результаты совпадают.
Отметим,
что
операторный
способ
решения
систем
дифференциальных уравнений применим к системам порядка выше
первого, что очень важно, т.к. в этом случае применение других способов
крайне затруднительно.
4.5.
Определение.
Криволинейные интегралы.




Кривая r (t )   (t )i   (t ) j   (t )k
(a  t  b)
называется непрерывной кусочно – гладкой, если функции ,  и 
непрерывны на отрезке [a,b] и отрезок [a,b] можно разбить на конечное
число частичных отрезков так, что на каждом из них функции ,  и 
имеют непрерывные производные, не равные нулю одновременно.
Если определено не только разбиение кривой на частичные отрезки
точками, но порядок этих точек, то кривая называется ориентированнной
кривой.
Ориентированная кривая называется замкнутой, если значения


уравнения кривой в начальной и конечной точках совпадают r (a)  r (b) .
Рассмотрим в пространстве XYZ кривую АВ, в каждой точке
которой определена произвольная функция f ( x, y, z ) .
Разобьем кривую на конечное число отрезков и рассмотрим
произведение значения функции в каждой точке разбиения на длину
соответствующего отрезка.
f ( x i , y i , z i )s i
Сложив все полученные таким образом произведения, получим так
называемую интегральнуюсумму функции f(x, y, z).
n
 f (x , y , z
i 1
i
i
i
)s i
58
Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой
на частичные отрезки существует предел интегральных сумм, то этот
предел называется криволинейным интегралом от функции f(x, y, z) по
длине дуги АВ или криволинейным интегралом первого рода.
 f ( x, y, z)ds
AB
4.6.
Свойства криволинейного интеграла первого рода.
1) Значение криволинейного интеграла по длине дуги не зависит от
направления кривой АВ.
2) Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного
интеграла.
3) Криволинейный интеграл от суммы функций равен сумме
криволинейных интегралов от этих функций.
4) Если кривая АВ разбита на дуга АС и СВ, то
 f ( x, y, z )ds   f ( x, y, z )ds   f ( x, y, z )ds .
AB
AC
CB
5) Если в точках кривой АВ
f1 ( x, y, z )  f 2 ( x, y, z ) ,
то
 f ( x, y, z )ds   f
1
AB
2
( x, y, z )ds .
AB
6) Справедливо неравенство:
 f ( x, y, z )ds
AB


f ( x, y, z ds .
AB
7) Если f(x, y, z) = 1, то
n
 s i  S .
 ds  lim
 0
i 1
AB
S – длина дуги кривой,  - наибольшая из всех частичных дуг, на
которые разбивается дуга АВ.
8) Теорема о среднем.
Если функция f(x, y, z) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой
существует точка (x1, y1, z1) такая, что  f ( x, y, z )ds  f ( x1 , y1 , z1 )  S .
AB
59
Для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги надо
определить его связь с обыкновенным определенным интегралом.
Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями x = x(t), y =
y(t), z = z(t),   t  , где функции х, у, z – непрерывно дифференцируемые
функции параметра t, причем точке А соответствует t = , а точке В
соответствует t = . Функция f(x, y, z) – непрерывна на всей кривой АВ.
Для любой точки М(х, у, z) кривой длина дуги АМ вычисляется по
t
формуле : s  s(t )   x2 (t )  y2 (t )  z2 (t )dt .


Длина всей кривой АВ равна: S   x2 (t )  y2 (t )  z2 (t )dt .

Криволинейный интеграл по длине дуги АВ будет находиться по
формуле:

 f ( x, y, z)ds   f ( x(t ), y(t ), z(t ))
x2 (t )  y2 (t )  z2 (t )dt .
AB
Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла первого
рода (по длине дуги АВ) надо, используя параметрическое уравнение
кривой выразить подынтегральную функцию через параметр t, заменить ds
дифференциалом дуги в зависимости от параметра t и проинтегрировать
полученное выражение по t.
Пример. Вычислить интеграл
 (x
2
 y 2  z 2 )ds по одному витку
AB
винтовой линии x  cost;
 (x
z  t; 0  t  2 .
y  sin t;
2
2
2
 y  z )ds   (cos t  sin t  t ) ( sin t )  cos t  1dt  2  (1  t 2 )dt 
2
2
2
AB
2
2
0
2
2
0
 4 
 2 2 1 
.
3 

Если интегрирование производится по длине плоской кривой, заданной
2
уравнением y  ( x), a  x  b, то получаем:

AB
b
f ( x, y )ds   f ( x, ( x)) 1   2 ( x)dx .
a
60
4.7. Криволинейные интегралы второго рода.
Пусть АВ – непрерывная кривая в пространстве XYZ (или на
плоскости ХОY), а точка P(x, y, z) – произвольная функция, определенная
на этой кривой. Разобьем кривую точками M ( xi , yi , zi ) на конечное число
частичных дуг. И рассмотрим сумму произведений значений функции в
каждой точке на длину соответствующей частичной дуги.
n
 P( ,  ,  )x
i
i 1
; M ( ,  ,  )  xi .
Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой
АВ интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел
называется криволинейным интегралом по переменной х от функции
P(x, y, z) по кривой АВ в направлении от А к В.
n
 P( ,  ,  )xi .
 P( x, y, z )dx  lim
 0
i 1
AB
Криволинейный интеграл второго рода, т.е. интеграл по координатам
отличается от криволинейного интеграла первого рода, т.е. по длине дуги
тем, что значение функции при составлении интегральной суммы
умножается не на длину частичной дуги, а на ее проекцию на
соответствующую ось. (В рассмотренном выше случае – на ось ОХ).
Вообще говоря, криволинейные интегралы могут считаться также и
по переменным у и z.
n
 Q( ,  ,  )yi ;
 Q( x, y, z )dx  lim
 0
i 1
AB
n
 R( ,  ,  )zi .
 R( x, y, z )dx  lim
 0
i 1
AB
Сумму криволинейных интегралов также называют криволинейным
интегралом второго рода
 P( x, y, z )dx  Q( x, y, z )dy  R( x, y, z )dz .
AB
4.8. Свойства криволинейного интеграла второго рода.
1) Криволинейный интеграл при перемене направления кривой
меняет знак.
61
 P( x, y, z)dx    P( x, y, z)dx ;
AB
2)
BA
 kP( x, y, z )dx  k  P( x, y, z )dx;
AB
AB
3)  ( P1 ( x, y, z )  P2 ( x, y, z ))dx   P1 ( x, y, z )dx   P2 ( x, y, z )dz ;
AB
4)
AB
AB
 P( x, y, z)dx   P( x, y, z )dx   P( x, y, z )dx .
AB
AC
CA
5) Криволинейный интеграл по замкнутой кривой L не зависит от
выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой.
 P( x, y, z )dx  Q( x, y, z )dy  R( x, y, z )dz .
L
Направление обхода контура L задается дополнительно. Если L –
замкнутая кривая без точек самопересечения, то направление обхода
контура против часовой стрелки называется положительным.
6) Если АВ – кривая, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси
ОХ, то
 P( x, y, z )dx  0.
AB
Аналогичные соотношения справедливы при интегрировании по
переменным у и z.
Теорема. Если кривая АВ – кусочно- гладкая, а функции P(x, y, z),
Q(x, y, z) и
R(x, y, z) – непрерывны на кривой АВ, то криволинейные интегралы
 P( x, y, z )dx;  Q( x, y, z )dy;  R( x, y, z )dz;
AB
AB
AB
 P( x, y, z )dx  Q( x, y, z )dy  R( x, y, z )dz
AB
существуют.
Вычисление криволинейных интегралов второго рода производится
путем преобразования их к определенным интегралам по формулам:
62

 P( x, y, z)dx   P( x(t ), y(t ), z(t )) x(t )dt

AB

 Q( x, y, z)dy   Q( x(t ), y(t ), z(t )) y(t )dt
AB

 R( x, y, z)dx   R( x(t ), y(t ), z(t )) z(t )dt
AB

 Pdx  Qdy  Rdz   Px(t )  Qy(t )  Rz(t )dt
AB
В случае, если АВ – плоская кривая, заданная уравнением y = f(x), то
xB
 P( x, y )dx  Q( x, y )dy   P( x, f ( x)  Q( x, f ( x)) f ( x)dx .
AB
xA
Пример. Вычислить криволинейный интеграл
x
2
ydx  x3dy . L –
L
контур, ограниченный параболами y 2  x; x2  y . Направление обхода
контура положительное.
Представим замкнутый контур L как сумму двух дуг L1 = x2 и L2  x
x
1
2
1
ydx  x dy   x ydx   x dy   x ydx   x dy   x dx   x3  2 xdx 
3
2
L
L1
0
x
3
L1
2
L2
1
4
L2
0
2
3
x3
x5 1 2 x5 1 2 x
x dx   
dx 


5 0 5 0
7
1 2 x
3
2 0
1
0

3
2 0
x
7
1

0
3 3 6
  .
5 7 35
4.9. Формула Остроградского – Грина.
Остроградский
Михаил
Васильевич
(1861-1862)
–
русский
математик,
академик, Джордж Грин (1793 – 1841) – английский математик.
Иногда эту формулу называют формулой Грина, однако, Дж. Грин
предложил в 1828 году только частный случай формулы.
Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между
криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение
63
интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области,
ограниченной этим контуром.
Будем считать, что рассматриваемая область односвязная, т.е. в ней
нет исключенных участков.
Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то
криволинейный интеграл по контуру L можно записать в виде:
 P( x, y)dx  
L

AB

AB





BC

CD

;
DA
 0;
CD
x2
x1
x2
x2
 P( x, y)dx   P( x, y ( x))dx   P( x, y ( x))dx   P( x, y ( x))dx   P( x, y ( x))dx
1
L
2
x1
1
x2
x1
2
x1
x2
 P( x, y )dx    ( P( x, y ( x))  P( x, y ( x))) dx ;
2
L
1
x1
P( x, y2 ( x))  P( x, y1 ( x))  P( x, y )
y2 ( x)
y1 ( x )
x2 y2
 P( x, y)dx    
L
x1 y1

P
 dy ;
y y
y2
1
P
P
dydx    dydx .
y
 y
Если участки АВ и CD контура принять за произвольные кривые, то,
проведя аналогичные преобразования, получим формулу для контура
произвольной формы:
 Q
 P( x, y )dx  Q( x, y )dy    x
L



P 
dydx .
y 
Эта формула называется формулой Остроградского – Грина.
Формула Остроградского – Грина справедлива и в случае многосвязной области,
т.е. области, внутри которой есть исключенные участки. В этом случае правая часть
формулы будет представлять собой сумму интегралов по внешнему контуру области и
интегралов по контурам всех исключенных участков, причем каждый из этих контуров
интегрируется в таком направлении, чтобы область  все время оставалась по левую
сторону линии обхода.
64
Пример. Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись
формулой Остроградского – Грина.
2
3
2
2
2
2
 x ydx  x dy   3x  x dydx   2 x dydx   2 x y

L

1
x
0
x2
1
5
dx   2( x 2  x 4 )dx 
0
x 
2
 2 1 6
 2 x 2    2    .
50
 7 5  35
7
Формула Остроградского – Грина позволяет значительно упростить
7
5
1
вычисление криволинейного интеграла.
Криволинейный интеграл не зависит от формы пути, если он вдоль
всех путей, соединяющих начальную и конечную точку, имеет одну и ту
же величину.
Условием независимости криволинейного интеграла от формы пути
равносильно равенству нулю этого интеграла по любому замкнутому
контуру, содержащему начальную и конечную точки.
Это условие будет выполняться, если подынтегральное выражение
является полным дифференциалом некоторой функции, т.е. выполняется
условие тотальности
P Q

.
y x
4.10. Поверхностные интегралы первого рода.
Поверхностный интеграл является таким же обобщением двойного
интеграла, каким криволинейный интеграл является по отношению к
определенному интегралу.
Рассмотрим поверхность в пространстве, которая произвольно
разбита на n частей.
Рассмотрим произведение значения некоторой функции F в
произвольной точке с координатами (, , ) на площадь частичного
участка Si, содержащего эту точку.
F (, , )S i
65
Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения 
поверхности существует конечный предел интегральных сумм, то этот
предел называется поверхностным интегралом первого рода или
интегралом по площади поверхности.
n
 F ( i , i ,  i )Si
 F ( x, y, z )dS  lim
 0
i 1
S
4.11. Свойства поверхностного интеграла первого рода.
Поверхностные интегралы первого рода обладают следующими
свойствами:
1)
 dS  S
S – площадь поверхности.
S
2)
 kF ( x, y, z)dS  k  F ( x, y, z )dS;
S
3)
k  const
S
 F ( x, y, z )  F ( x, y, z )dS   F ( x, y, z )dS   F ( x, y, z )dS
1
2
1
S
2
S
S
4) Если поверхность разделена на части S1 и S2, то
 F ( x, y, z)dS   F ( x, y, z)dS   F ( x, y, z)dS
S
S1
S2
5) Если F1 ( x, y, z )  F2 ( x, y, z ) , то
 F ( x, y, z )dS   F ( x, y, z )dS .
1
S
6)
 F ( x, y, z )dS
2
S
  F ( x, y, z ) dS .
S
S
7) Теорема о среднем.
Если функция F(x, y, z) непрерывна в любой точке поверхности S, то
существует точка (, , ) такая, что
 F ( x, y, z )dS  F ( ,  ,  )  S
S
S – площадь поверхности.
Проведя рассуждения, аналогичные тем, которые использовались
при нахождении криволинейного интеграла, получим формулу для
вычисления поверхностного интеграла первого рода через двойной
интеграл по площади проекции поверхности на плоскость XOY.
 F ( x, y, z)dS   F ( x, y, f ( x, y))
S

66
1  f x2 ( x, y)  f y2 ( x, y)dxdy .
4.12.
Поверхностные интегралы второго рода.
Если на поверхности S есть хотя бы одна точка и хотя бы один не
пересекающий границу поверхности контур, при обходе по которому
направление нормали в точке меняется на противоположное, то такая
поверхность называется односторонней.
Если при этих условиях направление нормали не меняется, то
поверхность называется двухсторонней.
Будем считать положительным направлением обхода контура L,
принадлежащего поверхности, такое направление, при движении по
которому по выбранной стороне поверхности сама поверхность остается
слева.
Двухсторонняя поверхность с установленным положительным
направлением обхода называется ориентированной поверхностью.
Рассмотрим в пространстве XYZ ограниченную двухстороннюю
поверхность S, состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых
задан либо уравнением вида z = f(x, y), либо является цилиндрической
поверхностью с образующими, параллельными оси OZ.
Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения
поверхности
S
интегральные
суммы,
составленные
как
суммы
произведений значений некоторой функции на площадь частичной
поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется
поверхностным интегралом второго рода.
n
 R( i , i ,  i )(Si ) xy
 R( x, y, z )dxdy  lim
 0
S
i 1
n
 P( i , i ,  i )(Si ) yz
 P( x, y, z )dydz  lim
 0
S
i 1
n
 Q( i , i ,  i )(Si ) zx
 Q( x, y, z )dzdx  lim
 0
S
i 1
 P( x, y, z )dydz  Q( x, y, z )dzdx  R( x, y, z )dxdy
S
- поверхностный интеграл второго рода.
67
Свойства поверхностного интеграла второго рода аналогичны уже
рассмотренным нами свойствам поверхностного интеграла первого рода.
Т.е. любой поверхностный интеграл второго рода меняет знак при
перемене стороны поверхности, постоянный множитель можно выносить
за знак интеграла, поверхностный интеграл от суммы двух и более
функций равен сумме поверхностных интегралов от этих функций, если
поверхность разбита на конечное число частичных поверхностей, интеграл
по всей поверхности равен сумме интегралов по частичным поверхностям.
Если
S-
цилиндрическая
параллельными оси OZ, то
поверхность
с
образующими,
 R( x, y, z )dxdy  0 . В случае, если образующие
S
поверхности параллельны осям OX и OY, то равны нулю соответствующие
составляющие поверхностного интеграла второго рода.
Вычисление поверхностного интеграла второго рода сводится к
вычислению соответствующих двойных интегралов. Рассмотрим это на
примере.
Пример. Вычислить интеграл
 ( z  R)
2
dxdy по верхней стороне
S
полусферы x 2  y 2  z 2  2Rz, R  z  2R.
Преобразуем
уравнение
поверхности
к
виду:
x 2  y 2  ( z  R) 2  R 2  0
z  R  R2  x2  y 2
Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг,
уравнение которого:
x2  y2  R2;
 ( z  R)
S
Для
2
dxdy   ( R 2  x 2  y 2 )dxdy .

вычисления
двойного
интеграла
перейдем
координатам:
 ( R

2
 x 2  y 2 )dxdy   f (  , ) dd ,   x 2  y 2 ;

68
к полярным
R 4 2
R 4
 R2  2  4  R
S ( z  R) dxdy  0 d 0 ( R   ) d  0  2  4  0 d  4 0 d  2


2
2
2
R
2
2
4.13. Связь поверхностных интегралов первого и
второго рода.
Поверхностные интегралы первого и второго рода связаны друг с
другом соотношением:
 Pdydz  Qdzdx  Rdxdy   ( P cos  Q cos   R cos )dS
S
S
В этой формуле cos, cos, cos - направляющие косинусы нормали к
поверхности S в выбранную сторону поверхности.
Формула Гаусса – Остроградского.
Формула Гаусса – Остроградского является аналогом формулы
Грина – Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл
второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по
пространственной области, ограниченной этой поверхностью.
Для вывода формулы Гаусса – Остроградского надо воспользоваться
рассуждениями, подобными тем, которые использовались при нахождении
формулы Грина – Остроградского.
Рассматривается сначала поверхность, ограниченная сверху и снизу
некоторыми поверхностями, заданными известными уравнениями, а сбоку
ограниченную цилиндрической поверхностью. Затем рассматривается
вариант когда поверхность ограничена цилиндрической.
После этого полученные результаты обобщаются, приводя к
формуле Гаусса – Остроградского:
 P( x, y, z ) Q( x, y, z ) R( x, y, z ) 
dxdydz


x
y
z


 Pdydz  Qdzdx  Rdxdy   
S
Отметим,
V
что
эта
формула
применима
поверхностных интегралов по замкнутой поверхности.
69
для
вычисления
На практике формулу Гаусса – Остроградского можно применять для
вычисления объема тел, если известна поверхность, ограничивающая это
тело.
V   xdydz   ydxdz   zdxdy   dxdydz .
S
S
S
V
Пример. Найти формулу вычисления объема шара.
В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY)
получаются окружности.
Уравнение шара имеет вид: x 2  y 2  z 2  R 2 .
Найти объем шара можно по формуле:
V
R
R2 x2
 
R2 x2  y2
R2 x2
R
 dzdydx  8 dx 
R R2 x2  R2 x2  y2
0
R 2  x 2  y 2 dy 
 R2 x2
 y R2  x2  y2 R2  x2
y
 8 

arcsin
2
2
0 
R2  x2

R
R2  x2 
x 3  R 4R 3
 2
8
 dx  2  R x   
.
2
2
3
3
0
0


R
Для
решения
этой
же
задачи
 R x
 dx 
 0
можно
2
2
воспользоваться
преобразованием интеграла к сферическим координатам. Это значительно
упростит интегрирование.


R

0
0
0
0
R3
2
4R3
sin d   2R3d 
.
3
3
3
0
0

V   d 2 d   2 sin d  2 d 
4.14. Элементы теории поля.
Определение. Если каждой точке пространства М ставится в
соответствие некоторая скалярная величина U, то таким образом задается
скалярное поле U(M). Если каждой пространства М ставится в


соответствие вектор F , то задается векторное поле F (М).
Пусть в пространстве М задана поверхность . Будем считать, что в
каждой точке Р определяется положительное направление нормали

единичным вектором n (P) .
70
В пространстве М зададим векторное поле, поставив в соответствие
каждой точке пространства вектор, определенный координатами:




F  P ( x, y , z ) i  Q ( x, y , z ) j  R ( x , y , z ) k .
Если разбить каким – либо образом поверхность на частичные



участки i и составить сумму  ( F ( Pi )n( Pi ))i , где Fn - скалярное
i
произведение, то предел этой суммы при стремлении к нулю площадей
частичных участков разбиения (если этот предел существует) будет
поверхностным интегралом.

F
 nd

Определение. Поверхностный интеграл

F
 nd называется потоком


векторного поля F через поверхность .
Если
поверхность
разбита
на
конечное
число
частичных
поверхностей, то поток векторного поля через всю поверхность будет
равен сумме потоков через частичные поверхности.
Если преобразовать скалярное произведение в координатную форму,
то получаем соотношение:

F
 nd   [ P cos  Q cos   R cos ]d   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy .

Если


на области  существует функция f(x, y, z), имеющая
непрерывные частные производные, для которых выполняются свойства:
f
 P;
x
f
 Q;
y
f
 R;
z
то
такую
функцию

потенциальной функцией или потенциалом вектора F .

Тогда вектор F является градиентом функции f.

f  f  f 
F  gradf  i 
j k.
x
y
z
Потенциал может быть найден по формуле:
71
называют
x
y
z
x0
y0
z0
f ( x, y, z )   P( x, y0 , z0 )dx   Q( x, y, z0 )dy   R( x, y, z )dz .
В этой формуле x0, y0, z0 – координаты некоторой начальной точки. В
качестве такой точки удобно брать начало координат.

Теорема. Для того, чтобы поле вектора F , заданного в некоторой
области,
имело
потенциал,
необходимо
и
достаточно,
чтобы
выполнялось одно из двух условий:

1) Интеграл от вектора F по любому кусочно – гладкому контуру,
принадлежащему области, равен нулю.
2) Интеграл по любому кусочно – гладкому пути, соединяющему две
любые точки поля не зависит, от пути интегрирования.
Формула Стокса.
Формула Стокса связывает криволинейные интегралы второго рода с
поверхностными интегралами второго рода.
Пусть в пространстве задана некоторая поверхность S. L –
непрерывный кусочно – гладкий контур поверхности S.
Предположим, что функции P,Q и R непрерывны на поверхности S
вместе со своими частными производными первого порядка. Применим
формулу, выражающую криволинейный интеграл через определенный.
 P( x, y, z )dx  Q( x, y, z )dy  R( x, y, z )dz 
L

  [ P( x(t ), y (t ), z (t )) x(t )  Q( x(t ), y (t ), z (t )) y(t ) 


 z

z
 R ( x(t ), y (t ), z (t )) z(t )]dt   [ Px(t )  Qy(t )  R x(t ) 
y(t ) ]dt 
y
 x







z 
z 
z 
z 

   P  R  x(t )  Q  R  y(t )dt    P  R  dx  Q  R  dy
x 
y 
x 
y 


 
L

Введем обозначения: p 
z
z
; q ;
x
y
Применив формулу Грина – Остроградского, можно заменить
криволинейный интеграл равным ему двойным интегралом. После
72
преобразований
устанавливается
следуюшее
соответствие
между
криволинейным и поверхностным интегралом:
 R
 Pdx  Qdy  Rdz    y 
L
S

 Q P 
Q 
 P R 
dydz  
dxdy


dzdx  
z 
 z x 
 x y 
эта формула и называется формула Стокса.
Определение.
Вектор

B,
компоненты
которого
равны
соответственно равны
Bx 
Q P
R Q
P R

; By 

; Bz 

, называется
y z
z x
x y
вихрем
или





ротором вектора F  Pi  Qj  Rk и обозначается: rot F .
Определение.
Символический
вектор
         
 , , i
 j k
называется оператором Гамильтона.
x
y
z
 x y z 
Символ  - “набла”.
С учетом этого обозначения можно представить себе понятие ротора

вектора F как векторного произведения оператора Гамильтона на вектор

F.

i
  

rot F    F 
x
P

j

y
Q

k

.
z
R
Определение. Криволинейный интеграл, представляющий собой
работу векторного поля вдоль некоторой кривой L называется линейным

интегралом от вектора F по ориентированной кривой L.
 
F
 ds   Pdx  Qdy  Rdz .
L
L
Если кривая L представляет собой замкнутый контур, то линейный

интеграл по такому контуру называется циркуляцией векторного поля F
вдоль контура L.
73
 
Ö   Fds   Pdx  Qdy  Rdz
L
L
В векторной форме теорему Стокса можно сформулировать так:
Циркуляция вектора вдоль контура некоторой поверхности равна
потоку вихря (ротора) через эту поверхность.
 
 
F
d
s

n

 rotFd .


Отметим, что рассмотренная выше формула Грина – Остроградского
является частным случаем формулы Стокса.
Также при условии равенства нулю всех компонент ротора вектора,
получаем, что криволинейный интеграл по любой пространственной
кривой равен нулю, т.е. криволинейный интеграл не зависит от пути
интегрирования.
P Q R
называется дивергенцией


x y z




векторной функции) F  Pi  Qj  Rk и
Определение. Выражение
вектора
(дивергенцией
 P Q R
обозначается divF 
.


x y z
Таким образом, формулу Гаусса – Остроградского может быть
записана в виде:
 P
 ( P cos  Q cos   R cos )dS    x 
S
V
или


div
F
dv

F

 ndS , т.е. интеграл от дивергенции векторного
V
поля

F

Q R 
dxdydz

y z 
S
по объему равен потоку вектора через поверхность, ограниченную
этим объемом.

Определение. Векторное поле F
называется соленоидальным

(трубчатым), если div F =0 .
C помощью описанного выше оператора Гамильтона можно
представить определенные нами понятия следующим образом:

 
  
gradf  f ; divF  F ; rotF    F .
74
Как было сказано выше, выражение  
2
2
2


называется
x 2 y 2 z 2
оператором Лапласа.
Справедливы
div( gradf )  f ;
следующие
соотношения:
 
  f  f .
Справедливость этих равенств легко проверить непосредственной
подстановкой.
Теперь рассмотрим примеры применения рассмотренных выше
понятий.
    
 

  
Пример. Найти rot (r  a )  r , если r  xi  yj  zk ; a  i  j  k .
 
Найдем скалярное произведение: r  a  x  y  z;
Найдем скалярное произведение:
  
(r  a)  r  {P, Q, R}  {x2  xy  xz, yx  y 2  yx, xz  yz  z 2}



i
j
k
 R Q   R P   Q P 



  
  j 
 
rot (r  a )  r 
 i 



  k 
x y z
 y z   x z 
 x y 
P Q R



 i ( z  y )  j ( z  x)  k ( y  x) .




Пример. Найти поток векторного поля F  ( y  x)i  ( x  y ) j  yk
через сторону треугольника S, вырезанного из плоскости x  y  z  1  0
координатными плоскостями.
1 y
1
 
Ï   F  nds   ( y  x)dydz  ( x  y)dxdz  ydxdy   dy  ( y  y  z  1)dz 
S
S
0
0
1
1 z
z2
y 2 1 x

 1 y 1
  dz  ( x  1  z  x)dx   dx  ydy   2 yz   z    x  zx   

2
0
0
0
0
0
0
0 2 0
 0 0
1
1 z
1
1 x
1
75
1
1
1
y2
x2 


1
2
2
  2 y  2 y   y   1  y dy   1  z  z  z dz     x   dx 
2
2
2
0
0
0 2

1
1
z3  1  x x2 x3  1
 3y 2

2
  
 2 y   dy   z  z     
  
2
2
3
2
2
60
0
0 



y 1
1
1 1 1
1
1 3 1
 y3
 
 y2   11       1   .
2 0
3
2 2 6
2
2 6 2
 2
1
Пример. Найти div(grad u), если u  e x  y  z .
  
u  u  u 
gradu 
i
j  k  ex y  z i  j  k
x
y
z


P  Q  R  e x y z ;
div( gradu)  3e x  y  z  3u.
Пример. Определить является ли векторное поле

F  (5x  6 yz; 5 y  6 xz; 5z  6 xy )
и найти его потенциал.
 u u u 
gradu   , , 
 x y z 
P
u
u
u
 5 x  6 yz; Q 
 5 y  6 xz; R 
 5 z  6 xy.
x
y
z
Если поле потенциально, то должны выполняться следующие
условия:
P Q

; 6 z  6 z;
y x
Q R
2)

; 6 x  6 x;
z y
P R
3)

; 6 y  6 y.
z x
1)
Эти условия эквивалентны условию равенства нулю ротора
векторного поля. справедливость этого утверждения видна из формулы
ротора.
76
Таким образом, поле потенциальное. Потенциал находится по
формуле:
x
y
z
0
0
0
u   5 xdx   5 ydy   (5z  6 xy )dz 
5 2 5 2 5 2
x  y  z  6 xyz.
2
2
2
Упражнения
В примерах 1-5 проверить, какие из указанных функций являются
оригиналами.
t
1. f (t )  a , a  0, a  1
2. f (t ) 
1
t 5
3. f (t )  tgt
4. f (t )  sin t
5. f (t ) 
1
t
Найти изображения следующих функций:
1. f (t )  sin 3t .
2. f (t )  cos 4t .
2
3. f (t )  cos t .
4. f (t )  sin 5t cos 2t .
5. f (t )  sin 2t sin 3t .
6. f (t )  cos 4t cos 2t .
Решить интегральное уравнение:
t
1. u (t )  1   u ( )d .
0
Найти свертки заданных функций и изображения сверток.
2. f1 (t )  t ; f 2 (t )  e .
t
3. f1 (t )  cos t; f 2 (t )  sin t .
77
Применяя
теорему
об
умножении
интегральные уравнения:
t
1. sht   cos(t   )u ( )d .
0
t
2. sin t   cos(t   )u ( )d .
0
t
3. t   (t   ) 2 u ( )d .
3
0
t
4. 1  cos t   sh(t   )d .
0
t
5. u (t )  1   (t   )u ( )d .
0
t
6. u (t )  1   (t   )u ( )d .
0
t
7. u (t )  sin 2t   e
t 
u ( )d .
0
Найти оригиналы следующих изображений:
1. F  ( p ) 

2. F ( p) 

3. F ( p) 
ep
(e p  e) 2
.
e p 1
(e p  1)(e p  e)
ep
e 2 p  7e p  10
.
.
78
изображений,
решить
Приложение.
Таблица производных.
1. (С )  0,
2. ( x n )  nx n 1 ,
3. (sin x)  cos x,
4. (cos x)   sin x,
5. (tgx) 
1
,
cos 2 x
6. (ctgx)  
1
,
sin 2 x
7. (arcsin x) 
1
1 x2
8. (arccos x)  
9. (arctgx) 
,
1
1 x2
,
1
,
1 x2
1
,
1 x2
10.
(arcctgx)  
11.
(e x )   e x ,
12.
(a x )  a x ln a,
13.
1
(ln x)  ,
x
14.
(loga x) 
1
.
x ln a
79
Основные правила дифференцирования.
Здесь U , V -дифференцируемые функции.
(U  V )  U   V ,
(U V )  U  V  U V ,
U
U  V  U V 
( ) 
.
V
V2
80
Таблица для преобразования Лапласа.
№
1
2
Оригинал
f (t )
f (t )
tn
3
et
4
cost
Изображение
F ( p)
1
p
n!
p n 1
1
p 
p
p2   2
5
sin t

p2   2
6
cht
p
p2   2
7
sht

p2   2
8
et cost
9
et sin t
10
t n t
e
n!
p 
( p   )2   2

( p   )2   2
1
( p   ) n 1
11
t cost
p2   2
( p 2   2 )2
12
t sin t
2 p
( p 2   2 )2
Таблица для дискретного преобразования Лапласа.
№
Оригинал f [n]
1
1[ n]
Изображение
F  ( p)
ep
e p 1
2
3
en
ep
e p  e
n
ep
(e p  1) 2
4
e p (e p  1)
n2
(e p  1)3
5
e p (e 2 p  4e p  1)
n3
(e p  1) 4
6
ep
n
e p 
7
sin n
e p sin 
e 2 p  2e p cos  1
82
8
cosn
e p (e p  cos )
e 2 p  2e p cos  1
9
shn
e p sh
e 2 p  2e p ch  1
10
chn
e p (e p  ch )
e 2 p  2e p ch  1
83
Таблица основных интегралов
1.
 dx  x  C ,
2.

 x dx 
x  1
 C ,   1 ,
 1
ax
3.  a dx 
C,
ln a
x
dx
 ln x  C ,
x
4.

5.
 cos xdx  sin x  C ,
6.  sin xdx   cos x  C ,
dx
7.
 cos
8.
 sin
2
x
dx
2
x
 tgx  C ,
 ctgx  C ,
x
 1
 arcctg  C ,

dx
 a
a

9.  2
2
a x
 1 arctg x  C.
 a
a
10.
11.
12.
dx
1
xa

ln
C,
2
2a x  a
a
x
2

x

arcsin  C ,

dx

a

2
2
a x
 arccos x  C.

a

dx
x2  a2
 ln x  x 2  a 2  C .
84
Литература
1.
Лихолетов И. И. Высшая математика. — Минск, 1976.
2.
Кудрявцев В. А., Демидович В. П. Краткий курс высшей
математики. -М.: Физматгиз, 1975.
3.
Гусак, А.А., Бричикова, Е.А., Гусак, Г.М. Теория функций
комплексной переменной и операционное исчисление. /А. А. Гусак, Е. А.
Бричикова, Г. М. Гусак. Справ. Пособие. - Изд-во: ТетраСистемс, 2002.
4.
Александрова, Е. Б., Свенцицкая, Т. А., Тимофеева, Л. Н.
Теория функций комплексного неременного. / Е. Б. Александрова, Т. А.
Свенцицкая, Л. Н. Тимофеева. Учебное пособие. - СПб.: Изд-во РГПУ им.
А.И. Герцена, 2006.-168с.
5. Кудрявцев
Л.Д.,
Кутасов
А.Д.,
Чехлов
В.И.,
Шабунин
М.И.Сборник задач по математическому анализу. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003
6. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа.Ч1.М.: Лань,
2001.
7. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А.
Сборник задач по высшей математике. М.: Рольф, 2001.
85
СОДЕРЖАНИЕ
Ведение………………………………………………………………………….3
1.
Дифференцирование функции нескольких переменных
1.1.
Производные
и
дифференциалы
функции
нескольких
переменных …………………………………………………………………….4
1.2.
Полное приращение и полный дифференциал………………..4
1.3.
Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная
плоскость и нормаль к поверхности……………………………………6
1.4.
Приближённые
вычисления
с
помощью
полного
дифференциала…………………………………………………………………7
1.5.
Частные производные высших порядков……………………...9
1.6.
Экстремум функции нескольких переменных……………….10
1.7.
Условный экстремум…………………………………………..11
1.8.
Производная по направлению…………………………………13
1.9.
Градиент………………………………………………………..15
1.10. Связь градиента и производной по направлению……………15
Упражнения………………………………………………………………16
2. Кратные интегралы
2.1.
Двойные интегралы. ………………………………………….20
2.2.
Условия существования двойного интеграла……………….21
2.3.
Свойства двойного интеграла…………………………………22
2.4.
Вычисление двойного интеграла……………………………...22
2.5.
Замена переменных в двойном интеграле……………………24
2.6.
Двойной интеграл в полярных координатах…………………25
2.7.
Тройной интеграл………………………………………………26
2.8.
Замена переменных в тройном интеграле……………………27
2.9.
Цилиндрическая система координат………………………….27
2.10. Сферическая система координат………………………………28
2.11. Геометрические
и
физические
приложения
кратных
интегралов……………………………………………………………………..28
86
Упражнения………………………………………………………….....32
3.
Теория функций комплексных переменных
3.1.
Элементы теории функции комплексных переменных……..36
3.2.
Свойства функции комплексного переменного……………...36
3.3.
Основные трансцендентные функции……………………….37
3.4.
Производная функции комплексного переменного…………40
3.5.
Интегрирование функций комплексного переменного……...42
3.6.
Ряды Тейлора и Лорана………………………………………..43
3.7.
Теоремы о вычетах……………………………………….........46
Упражнения……………………………………………………………47
4.
Операционное исчисление
4.1.
Преобразование Лапласа……………………………………....49
4.2.
Свойства изображений………………………………………...50
4.3.
Таблица основных изображений………………………………50
4.4.
Теоремы свёртки и запаздывания…………………………….52
4.5.
Криволинейные интегралы ……………..…………………….58
4.6.
Свойства криволинейного интеграла первого рода………….59
4.7.
Криволинейные интегралы второго рода…………………….61
4.8.
Свойства криволинейного интеграла второго рода…………61
4.9.
Формула Остроградского-Грина……………………………..63
4.10. Поверхностные интегралы первого рода…………………….65
4.11. Свойства поверхностного интеграла первого рода………….66
4.12. Поверхностные интегралы второго рода……………………..67
4.13. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода….69
4.14.
Элементы теории поля………………………………………...70
Упражнения………………………………………………………………77
Приложение………………………………………………………………79
Литература………………………………………………………………..85
87
Учебное издание
Г. Н. Камышова,
С. В. Чумакова,
Н. Н. Терехова
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебное пособие
Издается в авторской редакции
Корректура авторов
88
Скачать