Основные сведения из курса элементарной математики

Основные сведения из курса элементарной математики
Греческий алфавит
Формулы сокращенного умножения — часто встречающиеся случаи
умножения многочленов.
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2
a 2  b 2  (a  b)( a  b)
(a  b) 3  a 3  3a 2 b  3ab2  b3
(a  b) 3  a 3  3a 2 b  3ab2  b3
a 3  b3  (a  b)( a 2  ab  b 2 )
a 3  b3  (a  b)( a 2  ab  b 2 )
Действия со степенями
1. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна
произведению степеней этих сомножителей (с тем же показателем):
(abc) n  a n  b n  c n
2. Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени
делимого на ту же степень делителя:
a n an
( )  n
b
b
3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели
степеней складываются:
a n  a m  a n m
4. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель
степени делителя вычитается из показателя степени делимого:
an
 a n m
am
5. При возведении
перемножаются:
степени
в
степень
показатели
степеней
(a n ) m  a nm
6. Корень любой степени из числа можно представить в виде степени
этого числа:
n
am  a
m
n
Основные свойства логарифмов
1. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:
log( ab)  log a  log b
2. Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма
делителя:
a
log( )  log a  log b
b
3. Логарифм степени равен произведению показателя степени на
логарифм ее основания:
log a n  n log a
Тригонометрические тождества – математические выражения для
тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях
аргумента (из общей области определения).
Функциональная зависимость. Элементарные функции
Пусть даны два множества — X и Y . Если каждому элементу
множества X ставится в соответствие по определенному закону единственный
элемент из множества Y , то это соответствие называется функцией.
Обозначается y  f (x ) . При этом элемент x называется независимой переменной
или аргументом, а соответствующий элемент y — зависимой переменной или
функцией. Множество X называется областью определения функции y  f (x ) и
обозначается D ( y ) . Множество значений функции y  f (x ) называется
областью значений этой функции и обозначается R( y ) . Основными способами
задания функций являются аналитический, графический и табличный.
Основными элементарными функциями называются:

постоянная y  const ,

степенная y  x n ,

показательная y  a x ,

экспоненциальная
функция
является
частным
случаем
показательной функции при основании, равном числу e  2,7182818... , которое
называют основанием натурального логарифма и выражается формулой y  e x

логарифмическая y  ln x ,

тригонометрические y  sin x , y  cos x , y  tgx , y  ctgx

обратные тригонометрические y  arcsin x , y  arccos x , y  arctgx ,
y  arcctgx .
Функция, которую можно задать в виде аналитического выражения с
помощью конечного числа арифметических операций и суперпозиций
основных элементарных функций, называется элементарной функцией.
Элементарными являются, например, функции: y  ln( x 3  1)  2 x ,
y  arctg ( 2 x )  sin x .
Занятие 1. Дифференциальное исчисление
1.
Производная и ее геометрический смысл. Производные высшего порядка.
2.
Дифференциал функции и его геометрический смысл.
3.
Дифференцирование функций нескольких переменных. Понятие о
полном дифференциале.
Дифференциальное исчисление было создано И. Ньютоном и
Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач: о разыскании
касательной к произвольной линии и о разыскании скорости при произвольном
законе движения. Еще раньше понятие производной встречалось в работах
итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - при изучении
вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая
дальность полета снаряда.
В теории дифференциального исчисления основными являются понятия
бесконечно малой величины, предела, производной, дифференциала функции.
Бесконечно
малая
величина
–
числовая
функция
или
последовательность, которая стремится к нулю. Бесконечно большая величина
– числовая функция или последовательность, которая стремится к
бесконечности определённого знака.
Предел функции. Число A называется пределом функции y  f (x ) при
стремлении аргумента к некоторому значению a , если значение функции
неограниченно приближается к A , когда значение аргумента приближается к
a . Обозначается: lim f ( x )  A .
x a
A называется пределом
Другими словами, постоянная величина
некоторой переменной величины x , если разность между ними есть величина
бесконечно малая:
lim x  A , если x  A   , где   0 .
Рассмотрим некоторую функцию y  f (x ) в двух точках: x 0 и x0  x .
Здесь x - это некоторое малое изменение аргумента, называемое его
приращением. Функция принимает в этих точках значения f ( x0 ) и f ( x0  x ) .
Соответственно разность f ( x0  x )  f ( x0 ) называется приращением функции
y .
Производной функции y  f (x ) в точке x 0 называется предел:
f ( x0  x )  f ( x0 )
y
 lim
. Если этот предел существует, то функция y  f (x )
x 0
x 0 x
x
называется дифференцируемой в точке x 0 . Производная функции обозначается
dy
так: y  , y x или
.
dx
lim
Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции
y  f (x ) . Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:
f ( x0  x )  f ( x0 )
 tg , где  - угол наклона секущей AB. Таким образом,
x
Рис. 1
разностное отношение
равно
угловому
коэффициенту секущей.
Если
зафиксировать
точку A и двигать по
направлению к ней
точку
B,
то
x
неограниченно
уменьшается
и
приближается к 0, а
секущая
АВ
приближается
к
касательной АС.
Следовательно, предел
разностного отношения
равен
угловому
коэффициенту касательной в точке A.
Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к
графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл
производной.
Понятие производной широко используется в физике. Приведем
несколько примеров.

dr
Мгновенная скорость материальной точки выражается формулой:   .
dt

 d
Мгновенное ускорение материальной точки выражается формулой: a 
.
dt

 dp
Сила и импульс по второму закону Ньютона связаны соотношением: F  .
dt
Для дифференцирования функции можно использовать определение
производной, однако для упрощения процедуры дифференцирования,
применяют ряд правил и формул.
ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Пусть u(x ) и  (x ) - две дифференцируемые функции. Тогда:
1. C   0 где C  const
2.
3.
4.
5.
C  u   C  u 
где C  const
(u   )  u    
(u   )  u        u

 u  u      u
  
2
 
ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
В таблице представлены производные основных элементарных функций,
полученные на основе вычисления предела:
Функция
Производная
функции
n
степенная
(1)
y   n  x n 1
yx
показательная
y  ax
y   a x  ln a
(2)
y  ex
(3)
логарифмическая
y  ln x
y  e x
1
y 
x
тригонометрические
y  cos x
y    sin x
(5)
y  sin x
y   cos x
1
y 
cos 2 x
1
y  
sin 2 x
1
y  
1 x2
(6)
y  tgx
y  ctgx
обратные
тригонометрические
y  arccos x
y  arcsin x
y  arctgx
y  arcctgx
y 
(4)
1
1 x2
1
y 
1 x2
1
y  
1 x2
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Дифференцирование сложной функции. Функция y  f (x ) называется
сложной, если ее аргумент x также является функцией некоторой переменной
t , т.е. y  f ( x (t )) . Например, сложными являются функции: y  cos 3 x ,
y  (1  ln x) , y  x 2  e sin x .
Для дифференцирования сложной функции применяют т.н. «правило
цепочки»: Производная сложной функции равна произведению производной
внешней функции по ее аргументу на производную внутренней функции по
независимому аргументу. Таким образом, производная сложной функции
является произведением стольких сомножителей, из скольких частей состоит
данная сложная функция.
Производные высших порядков. Производная y   f (x ) от функции
y  f (x ) в общем случае является функцией аргумента x и также может быть
дифференцируема. Производная от производной называется производной
второго порядка или просто второй производной. Производная от второй
производной называется третьей производной. Производная от третьей
производной называется четвертой производной и т.д. Производные, начиная
со второй, называются производными высших порядков.
Вторая производная функции y  f (x ) обозначается одним из символов:
y  (читается: игрек два штриха);
d2y
(читается: де два игрек по де икс дважды).
dx 2
y  f (x )
Дифференциал
функции.
Функция
называется
дифференцируемой в точке x 0 , если приращение y  f ( x 0  x)  f ( x 0 ) этой
функции в точке x 0 , отвечающее приращению аргумента x , можно
представить в виде: y  Ax    x , где A — функция, зависящая только от x 0
и не зависящая от x ,  — бесконечно малая более высокого порядка по
сравнению с x при x  0 . Заметим, что приращение аргумента x может быть
как положительным, так и отрицательным. Главная линейная (относительно
приращения аргумента) часть приращения функции, т.е. выражение Ax ,
называется дифференциалом функции y  f (x ) в точке x 0 : dy  y ( x )dx .
Геометрический
смысл
дифференциала.
Пусть
график
дифференцируемой в окрестности
точки x 0 функции y  f (x ) имеет вид,
представленный на рис. 2. Величины
f ( x0 ) ,
f ( x 0.  x )
и
x ,
y  f ( x 0  x )  f ( x 0 )
геометрически
выражают соответственно длины
отрезков АВ = МС, AM, BN и CN.
Прямая MD — касательная к графику
функции в точке М. В силу
геометрического
смысла
CD
Рис. 2
производной, f ( x )  tg(DMC ) 
.
0
MC
Отсюда CD  f ( x 0 )  MC  f ( x 0 )  x  y . Следовательно, дифференциал функции
в точке x 0 есть приращение ординаты касательной к графику функции в точке
x 0 при переходе из точки x 0 в точку x 0  x .
Дифференциалы высших порядков. Пусть дифференциал dy  y ( x )dx
функции y  f (x ) есть дифференцируемая функция в точке x . Дифференциал от
дифференциала называется дифференциалом второго порядка (или вторым
дифференциалом) функции y  f (x ) в точке x и обозначается d 2 y  d (dy ) .
d 2 y  d ( y ( x )dx )  y ( x )( dx ) 2  y ( x )dx 2
Аналогично, дифференциал от дифференциала (n  1) -го порядка
функции y  f (x ) называется дифференциалом n -го порядка (или n -м
дифференциалом) функции y  f (x ) в точке x и обозначается:
d n y  d ( y n 1 ( x )dx )  y n ( x )( dx ) n  y n ( x )dx n
Дифференцирование функций нескольких переменных. Переменная
u называется функцией n переменных (аргументов) x, y,..., t , если каждой
системе значений x, y,..., t , из
области их изменения, соответствует
определенное значение u .
Функцию u  u( x, y,..., t ) можно дифференцировать по каждому из ее
аргументов, считая при этом все остальные аргументы постоянными.
Производная от функции u  u( x, y,..., t ) по x , взятая в предположении,
что все остальные аргументы y,..., t являются постоянными, называется
частной производной от u по x . Обозначается
u
или u x .
x
Аналогично определяются и обозначаются частные производные от
функции u по каждому из остальных ее аргументов. Частные производные
функции многих переменных находятся по известным правилам
дифференцирования функции одной независимой переменной.
Частным дифференциалом функции u  u( x, y,..., t ) пo x называется
главная
часть
соответствующего
частного
приращения
 x u  u( x  x, y,..., t )  u( x, y,..., t ) , линейная относительно приращения x (или, что
то же, дифференциала dx ). Аналогично определяются частные дифференциалы
функции u и по каждому из остальных ее аргументов.
Из определения частных производных следует, что
du x 
u
u
u
 dx , du y 
 dt .
 dy , …, dut 
x
t
y
Полным дифференциалом функции u  u( x, y,..., t ) называется главная
часть ее полного приращения, линейная относительно приращений x , y , …,
t . Полный дифференциал функции равен сумме всех ее частных
дифференциалов:
du 
u
u
u
 dx 
 dy  ... 
 dt .
x
y
t
Последнее выражение называется формулой полного дифференциала.
Примеры решенных заданий
1. Найти производную следующей элементарной функции: y  33 x  2 x  tgx .
Для решения используем правила (2), (3), (4) и формулы (1), (2), (7). Получим:
1
1 2
y   3  ( x 3 )  (2 x  tgx)  3   x 3  (2 x )  tgx  2 x  (tgx) 
3
1
1
2
2
 x 3  2 x  ln 2  tgx  2 x 
 x 3  2 x  (ln 2  tgx 
)
2
cos x
cos 2 x
x4 1
2. Найти производную следующей элементарной функции: y 
.
sin x
Для решения используем правила (1), (3), (5) и формулы (1), (6). Получим:
y  (
x4 1
( x 4  1)   sin x  (sin x )   ( x 4  1) 4 x 3  sin x  cos x  ( x 4  1)
) 

sin x
(sin x ) 2
sin 2 x
3. Найти производную сложной функции: y  cos 3 x . Производная y  будет
являться произведением двух сомножителей: производной степенной функции
по промежуточному аргументу cos x и производной тригонометрической
функции по переменной x :
y   3(cos x ) 2  (  sin x )  3 cos 2 x  sin x
4. Найти производную сложной функции: y  (1  ln x) . Производная y 
будет являться произведением двух сомножителей: производной степенной
функции по промежуточному аргументу (1  ln x ) и производной этого
промежуточного аргумента по переменной x :
1

1
1
1
y   (1  ln x ) 2  (0  ) 
2
x
2 x 1  ln x
5. Найти производную сложной функции: y  x 2  e sin x . Производную y 
следует находить по правилу производной произведения, учитывая, что
производная сомножителя e sin x будет равна произведению производной
показательной функции по промежуточному аргументу sin x на производную
этого промежуточного аргумента по переменной x .
y   ( x 2 )   e sin x  (e sin x )   x 2  2 x  e sin x  e sin x  cos x  x 2  e sin x  (2 x  cos x  x 2 )
6. Найти производную третьего порядка для функции y  cos 5x  x 2 :
y    sin 5 x  5  2 x  5 sin 5 x  2 x
y   5 cos 5 x  5  2  25 cos 5 x  2
y   25  (  sin 5 x )  5  125 sin 5 x
7. Найти дифференциал функции y  32 x 4 :
dy  y ( x )dx
dy  (32 x  4 ) dx  (32 x  4  ln 3  2)dx  2 ln 3  32 x  4 dx
8. Найти дифференциал второго порядка функции y  sin 2 x :
d 2 y  y ( x )dx 2  ( y ( x )) dx 2
d 2 y  (2 cos 2 x ) dx 2  4 sin 2 xdx 2
9. Найти полный дифференциал функции z  3x 2 y 5 :
Находим частные производные данной функции:
z
 3  2 x  y 5  6 xy5
x
z
 3  x 2  5 y 4  15 x 2 y 4
y
Искомый полный дифференциал функции найдем, используя формулу
полного дифференциала:
dz 
z
z
 dx 
 dy
x
y
dz  6 xy 5  dx  15 x 2 y 4  dy
10. Найти полный дифференциал функции z  3x 2  y 5 :
Находим частные производные данной функции:
z
 3  2x  0  6x
x
z
 0  5 y 4  5 y 4
y
Искомый полный дифференциал функции найдем, используя формулу
полного дифференциала:
dz 
z
z
 dx 
 dy
x
y
dz  6 x  dx  5 y 4  dy
Задания для самостоятельного решения
1. Найти производные функций:
6. y  4tgx  cos x
1. y  x 3  3 x  5 x
2. y  3
2
x x
x
5
3. y  2  2 x x
x
3x
4. y 
ctgx
5. y  x 5  arccos x
7. y 
arcsin x
4
x
x 3  sin x  4
8. y 
ln x
x
e
9. y  3
x x
10. y  x  tgx
2. Найти дифференциалы функций:
1. y 
2. y 
e
x2  2
x
3
34 x
3. y  tg( x 2 )
4. y  sin 4 ( x 3  4 x  2)
tgx
5. y  5
6. y  3 (4 x 2  3x) 5
7. y  cos (e
x
3
8. y  x
tgx
9. y  ln x 4  x 2
10. y 
sin x
5 sin x
)
3. Найти производные и дифференциалы высших порядков следующих
функций:
1. y  x x  5 x  4 найти y 
2. y  e x  4 x найти y 
3. y  tg 2 x найти y 
5
 2 x найти d 2 y
2
x
5. y  cos x  sin x найти d 2 y
4. y 
4. Найти полный дифференциал функций:
1. U  3x 2 z  xy4  zy 2
2. U  x 5  y 3  2 z
5x
 2 sin z
y
4. U  ln xyz
3. U 
5. U  2 cos3x  2 y  z 