Kratkiy kurs lekciy (1 semestr)

Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Белорусский государственный экономический университет»
Кафедра высшей математики
Краткий курс лекций
по математическому анализу
I семестр
Учебно-методическое пособие
Минск БГЭУ 2014
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
2
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ
§ 1. Множества. Операции над множествами
Мы приступаем к изучению курса математического анализа. Под термином
"математический анализ" подразумевается прежде всего дифференциальное и интегральное исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем в XVII в., хотя некоторые основные понятия анализа сформировались гораздо раньше. Как учебная
дисциплина, математический анализ представляет собой составную и, пожалуй,
большую долю той части математического знания, которая сейчас является общей
для всех современных математических дисциплин. И потому понятна та совершенно исключительная роль, которую играет математический анализ в математическом образовании. Он, по существу, является фундаментом математических
знаний.
Не будет преувеличением сказать, что стержневое понятие всего курса анализа — это понятие предела во всевозможных его проявлениях. Тем не менее получить совершенно ясное и отчетливое представление о пределе — самая большая трудность при изучении всего курса анализа и самый важный его момент. Так
как понятие предела является начальным понятием анализа, то к его изучению мы
приступим очень скоро.
Понятие предела является главным, но, разумеется, не единственным понятием анализа. Оно само опирается на понятия множества, отображения и функции. Наше изучение мы и начнем с этих понятий.
Определение 1. Множеством называется совокупность объектов любой
природы.
Пример 1. Множество студентов в аудитории.
Пример 2. Множество четных чисел.
Определение 2. Объекты, образующие в своей совокупности данное множество, называются его элементами.
Элементы числовых множеств часто называют точками.
Для обозначения различных множеств мы чаще всего будем использовать
заглавные (прописные) буквы латинского алфавита, а для обозначения элементов
этих множеств — малые (строчные) буквы.
Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут: a  A .
Если а не принадлежит А, то этот факт записывают в виде: a  A .
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается  .
Определение 3. Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Это записывают так: А = В или В = А.
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
3
Определение 4. Если все элементы множества В принадлежат множеству А, то В называется подмножеством множества А и пишут: B  A .
Очевидно, что если B  A и A  B , то А = В.
Любое непустое множество А содержит по-крайней мере два подмножества:
A  A,   A .
Обычно удобнее рассматривать все множества, участвующие в каком-либо
рассуждении, как подмножества некоторого фиксированного множества Е, которое мы будем называть универсальным. Таким образом, A  E для любого множества A .
Множества бывают конечные и бесконечные. Конечное множество можно
задать перечислением его элементов. Например, A  2;4;9 .
В общем случае для задания множества А мы должны иметь четкий критерий, правило, условие, свойство, которое дает возможность установить, какие
именно элементы входят в А. Если обозначить это условие через  , то тот факт,
что условие  определяет множество А, будем записывать следующим образом:
A  a  E |   . Читается это так: множество А совпадает с множеством тех элементов (из множества Е), которые удовлетворяют условию  .
Пример 3. X   x  | 2  x  3 – отрезок  2;3 числовой прямой, здесь
E
.
Пример 4. A  n  | n  2k , k 
 – множество четных чисел,
Пустое множество можно задать так   a  E | a  a .
E
.
Для краткости вместо некоторых часто употребляемых выражений общепринято использовать особые математические значки, называемые кванторами: 
— "существует"; ! — "существует строго один элемент" или "существует единственный элемент";  — "для всякого", "для всех"; => — "справедливо", "следует", "имеет место".
В качестве примера в этих обозначениях запишем следующее утверждение:
A  E, A    a  E :a  A , двоеточие означает "такой, что".
Здесь утверждается, что непустое множество содержит хотя бы один элемент из множества Е.
Определение 5. Множество С называется объединением (или суммой)
множеств А и В, если оно состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из указанных множеств.
Объединение С множеств А и В обозначается так: C  A  B .
Определение 6. Пересечением множеств А и В называется множество С,
состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и А, и В, т.е. элементов, общих для этих множеств.
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
4
Для произвольной совокупности множеств A , где  пробегает все элементы некоторого множества I , пишут C 
 I
A , если С есть объединение всех
множеств A ,   I . В частности, объединение множеств A1 , A2 ,
, An обознача-
n
ют
Ai .
i 1
Аналогично, C 
 I
Ai , если С — пересечение всех множеств A .
Определение 7. Разностью С= A \ B двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А, не принадлежащих В.
Множество A = Е \ А называется дополнением А или дополнением до Е
множества А.
Свойства операций над множествами:
1°. A  B  B  A ;
2°. A   B  C    A  B   C ;
3°. A  B  B  A ;
4°. A   B  C    A  B   C ;
5°.  A  B   C   A  C    B  C  ;
6°.  A  B   C   A  C    B  C  ;
7°. A  B => A  B  B , A  B  A ;
8°. A  A  E , A  A   ;
9°.   E , E   ;
10°.  A  B   A  B ;
11°.  A  B   A  B .
Заметим, что доказать равенство двух множеств — это значит доказать, что
всякий элемент х, принадлежащий правой части равенства, принадлежит и левой,
и наоборот.
§ 2. Понятие функции. Счетные и несчетные множества
Следующим после множества и тоже важнейшим понятием математики является понятие отображения, а также эквивалентное ему понятие функции.
Определение 1. Отображением множества A в множество B или функцией
f называется правило, по которому каждому элементу x  A ставится в соответствие строго один элемент у множества В. При этом пишут y  f  x  .
Понятия "отображение" и "функция" — синонимы. Они несколько отличаются только буквенной символикой и сферами употребления. Мы будем гораздо
чаще употреблять термин "функция". Тот факт, что f является отображением А в
f
B .
В, записывают так: f : A  B или A 
Множество
А
называется
областью
определения,
а
множество
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
5
f  A   y  B | y  f ( x), x  A — множеством (или областью) значений функции.
Каждый элемент x  A называется значением аргумента (или просто аргументом),
а элемент y  f  x  — значением функции в точке х.
Некоторые типы отображений. Обратная функция. Взаимно однозначное соответствие
1. Отображение f называется сюръективным, или отображением А на В,
если f  A  B .
2. Отображение f называется инъективным, или вложением, если из условия f ( x1 )  f ( x2 ) следует, что x1  x2 .
3. Отображение f называется биективным, или взаимно однозначным, если
оно является сюръективным и инъективным одновременно. В этом случае существует обратная функция f 1 : Y  X , x  f 1 ( y ) .
Биективное отображение называется еще взаимно однозначным соответствием или биективным соответствием.
Понятие взаимно однозначного соответствия играет большую роль при перенесении представления о "количестве" элементов множества с конечных множеств на бесконечные. Это необходимо, поскольку мы постоянно имеем дело с
бесконечными множествами.
О количестве элементов множества можно говорить только для конечных
множеств, а для бесконечных — нельзя. В этом случае говорят о мощности множества. Таким образом, мощность множества — это понятие, которое обобщает
понятие "количество элементов" на случай бесконечных множеств. Если же множество конечно, то термины "мощность множества" и "количество элементов
множества" — синонимы.
Определение 2. Множества А и В называются эквивалентными или равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Это обозначается так: А ~ В.
Свойства: 1) А ~ А – рефлексивность; 2) А ~ В  В ~ A – симметричность; 3) А ~ В, В ~ С  A B – транзитивность.
Другими словами, А и В эквивалентны, если можно биективно отобразить
одно множество на другое. Если А и В эквивалентны, то говорят еще, что они
имеют одинаковую мощность.
Приведем важный пример эквивалентности бесконечных множеств.
Утверждение 1. Множество
(натуральных чисел) и множество
(рациональных чисел) эквивалентны.
Определение 3. Всякое множество, эквивалентное (равномощное) множеству натуральных чисел, называется счетным множеством.
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
6
Таким будет, как мы показали, множество рациональных чисел.
Утверждение 2. Объединение конечного или счетного числа счетных множеств счетно.
Обратим внимание, что бесконечные множества, рассмотренные в утверждениях 1-2, оказались равномощными, точнее, счетными. Но не все бесконечные
множества равномощны. Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1.(теорема Кантора) Совокупность всех подмножеств множества
образует множество, не эквивалентное .
Эта теорема (точнее, ее модификация:  ) была доказана Г. Кантором
(1845-1918) в 1874 г.
Определение 3. Бесконечное множество называется несчетным, если оно не
эквивалентно .
Определение 4. Мощность множеств, эквивалентных множеству всех подмножеств множества , называется мощностью континуума.
Утверждение 4. Множество I точек отрезка 0;1 имеет мощность континуума.
Из данного утверждения следует несчетность множества , так как между
множествами I и
можно установить взаимно-однозначное соответствие с по1
мощью функции y  arcctg x .

§3. Основные понятия для числовых множеств
Определение 1. Числовое множество A называется ограниченным сверху,
если существует число  такое, что для всех a  A : a   .
Число  называется верхней границей множества A . Очевидно, верхних
границ существует бесконечно много. Наименьшая верхняя граница множества A
называется его верхней гранью и обозначается M  sup A .
Свойства верхней грани:
1 . a  A : a  M ;
2 .   0, b  A : b  M   .
Аналогично, числовое множество A называется ограниченным снизу, если
существует число   такое, что для всех a  A : a   .
Число  называется нижней границей множества A . Наибольшая нижняя
граница множества A называется его нижней гранью и обозначается m  inf A .
Свойства нижней грани:
1 . a  A : a  m ;
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
7
2 .   0, b  A : b  m   .
Если множество A имеет наибольший элемент max A , то sup A  max A .
Аналогично, если множество A имеет наименьший элемент min A , то
inf A  min A.
Пример 1. а) A  1;3 , sup A  3, inf A  1 , sup A  A , inf A  A ;
б) A   a; b  , sup A  b , inf A  a , sup A  A , inf A  A ;
 1 1 
в) A  1; ; ;... имеем sup A  1, inf A  0 . Здесь sup A  A и inf A  A .
 2 3 
Определение 2. Числовое множество A называется ограниченным, если
оно ограничено сверху и снизу.
Если числовое множество не ограничено сверху, т.е. для любого числа 
существует a  A , такой, что a   , то условно полагают, что sup A   . Анало-
гично, если числовое множество не ограничено сверху, т.е. для любого числа 
существует a  A , такой, что a   , то условно полагают, что inf A   .
Определение 3. Окрестностью точки a0 называется любой интервал  ;   ,
содержащий эту точку: a0   ;   .
Симметричный интервал V  a0    a0   ; a0    называют  (эпсилон)окрестностью точки a0 .
Определение 4. Числовое множество A называется открытым, если каждая
его точка принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью.
Определение 5. Точка a называется предельной точкой числового множества A , если в любой ее окрестности содержится бесконечно много элементов
множества A .
Определение 6. Числовое множество A называется замкнутым, если оно
содержит все свои предельные точки.
Пример 2. а) интервал  a; b  – открытое множество,  a; b – множество предельных точек;
б) интервал  a; b  не является открытым множеством,  a; b – множество предельных точек;
 1 2 3 4 
в) предельной точкой множества A  1; ; ; ; ;... является точка a  1 ;
 2 3 4 5 
г)  a; b – замкнутое множество.
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
8
Глава 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
В гл. 1 уже указывалось, что одной из основных операций математического
анализа является операция предельного перехода и что эта операция встречается в
курсе анализа в различных формах.
В настоящей главе изучаются простейшие формы операции предельного
перехода. Мы начинаем с изучения самой простейшей формы операции предельного перехода, основанной на понятии предела так называемой числовой последовательности.
Понятие предела числовой последовательности облегчит нам введение и
другой весьма важной формы операции предельного перехода, основанной на понятии предельного значения (или, короче, предела) функции.
§ 1. Числовая последовательность. Бесконечно большие и
бесконечно малые последовательности
Понятие числовой последовательности известно из курса средней щколы.
Определение 1. Если каждому значению n из натурального ряда чисел
1,2,..., n ... ставится в соответствие по определенному закону некоторое действительное число an , то множество занумерованных чисел
a1 , a2 ,
, an ,
(1)
называется числовой последовательностью или просто последовательностью.
Пример 1. а) последовательность всех членов арифметической или геометрической прогрессии;
б) последовательность рациональных чисел a1  0,3, a2  0,33, a3  0,333 ,... ,
приближающих число 1/3.
Отдельные числа an мы будем называть членами последовательности (1).
Для сокращенной записи последовательности (1) будем использовать символ
an  .
1 1 1
1 
Так, например, запись   обозначает последовательность 1, , , ,
2 3 4
n

запись 1   1
n
,а
 обозначает последовательность 0, 2, 0, 2, … .
Совокупность всех элементов произвольной последовательности an  образует некоторое числовое множество. Отправляясь от понятий ограниченного
сверху, снизу или с обеих сторон множества, мы приходим к следующим определениям.
Определение 2. Последовательность an  называется ограниченной сверху
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
9
(снизу), если существует действительное число М (действительное число m ) такое, что каждый член этой последовательности удовлетворяет неравенству
an  M ( an  m) . При этом число М (число m ) называется верхней гранью (нижней гранью) последовательности an  .
Последовательность an  называется ограниченной, если она ограничена и
сверху, и снизу.
Заметим, что условие ограниченности последовательности можно записать
и в другой эквивалентной форме: последовательность an  является ограниченной
тогда и только тогда, когда существует положительное действительное число А
такое, что каждый член последовательности удовлетворяет неравенству an  A .
Последовательность an  называется неограниченной, если для любого положительного вещественного числа А найдется хотя бы один член последовательности, удовлетворяющий неравенству
(2)
an  A .
Отметим, что на самом деле неограниченность означает, что для любого
положительного вещественного числа А неравенству (2) удовлетворяют бесконечно много членов последовательности an  .
Введем теперь понятия бесконечно большой и бесконечно малой последовательностей.
Определение 3. Последовательность an  называется бесконечно большой,
если для любого (сколь угодно большого) положительного действительного числа
А найдется номер N  N  N ( A)  такой, что при всех n  N члены an этой последовательности удовлетворяют неравенству (2).
Очевидно, что всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной, так как определение бесконечно большой последовательности требует, чтобы для любого А > 0 неравенству (2) удовлетворяли все члены последовательности, начиная с некоторого номера N, а определение неограниченной последовательности требует, чтобы для любого А > 0 неравенству (2) удовлетворял
хотя бы один член последовательности.
Вместе с тем не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Так, например, последовательность 1, 2, 1, 4, ..., 1, 2 n , ... , будучи
неограниченной, не является бесконечно большой, поскольку для любого А > 1
неравенство (2) не имеет места для членов an со сколь угодно большими нечетными номерами n .
Пример 2. Докажем, что последовательность 1, 2,
, n,
является беско-
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
10
нечно большой. Для любого положительного числа A  0 положим N   A  1 .
Очевидно, что при всех n  N выполняется неравенство an  n  A , которое и
означает, что последовательность с членом an  n является бесконечно большой.
Упражнение. Доказать, что у бесконечно большой последовательности нулю может быть равно лишь конечное число членов.
Определение 4. Последовательность  n  называется бесконечно малой,
если для любого (сколь угодно малого) положительного действительного числа 
найдется номер N  N  N ( )  такой, что при всех N  n члены  n этой последовательности удовлетворяют неравенству
n   .
(3)
1 
Пример 3. Докажем, что последовательность   является бесконечно маn
1
лой. Для любого положительного числа   0 положим N     1. Очевидно, что
 
при всех n  N выполняется неравенство  n 
1
  , которое и означает, что поn
следовательность является бесконечно малой.
Основные свойства бесконечно малых последовательностей
Теорема 1. Всякая бесконечно малая последовательность является ограниченной.
Теорема 2. Сумма  n   n  двух бесконечно малых последовательностей
 n  и  n  представляет собой бесконечно малую последовательность.
Следствие. Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.
Теорема 3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно
малую последовательность представляет собой бесконечно малую последовательность.
Следствие 1. Пусть  n  – бесконечно малая последовательность и   .
Тогда  n  – бмп.
Следствие 2. Разность двух бмп есть бмп.
Теорема 4. Произведение двух (и любого конечного числа) бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.
Теорема 5. Если все члены бесконечно малой последовательности  n 
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
11
равны одному и тому же числу с, то с = 0.
Связь между бмп и ббп устанавливает следующая теорема.
Теорема. 6. Если an  – бесконечно большая последовательность и n  ,
1
an  0 , то последовательность   представляет собой бесконечно малую по an 
следовательность. Если все члены бесконечно малой последовательности  n 
1
отличны от нуля, то   представляет собой бесконечно большую последова n 
тельность.
§ 2. Предел последовательности.
Свойства сходящихся последовательностей
Введем фундаментальное понятие сходящейся последовательности и ее
предела.
Определение 1. Число а называется п р е д е л о м последовательности
an  , если для любого положительного (сколь угодно малого) числа 
найдется номер N ( N  N   ) такой, что при всех n  N элементы an этой
последовательности удовлетворяют неравенству
an  a  
(1)
При этом последовательность an  называется сходящейся.
Если последовательность является сходящейся и имеет своим пределом
число а, то символически это записывают так:
lim an  a или an  a при n   .
n
Неравенство (1) можно записать в эквивалентной форме
  an  a  
или, что то же самое,
a    an  a   .
(2)
На геометрическом языке неравенство (2) означает, что члены an при n  N
лежат в интервале
a  ;a    ,
который мы договорились называть  -
окрестностью точки а.
Это позволяет сформулировать еще одно определение сходящейся последовательности, эквивалентное определению 1.
Определение 2. Последовательность называется сход я щ е й с я , если
существует такое число а, что в любой  -окрестности точки а находятся
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
12
все элементы последовательности, начиная с некоторого номера (зависящ его, конечно, от  ).
Установим специальное представление для элементов любой сходящейся
последовательности. В силу определения 1 разность an  a  bn является членом
бесконечно малой последовательности. Следовательно, член an сходящейся последовательности, имеющей своим пределом число а, может быть представлен в
следующем специальном виде:
an  a  bn ,
где bn – член некоторой бесконечно малой последовательности bn  .
З а м е ч а н и е 1. Из определения сходящейся последовательности и ее
предела сразу же вытекает, что удаление любого конечного числа элеме нтов последовательности не влияет на сходимость этой последовательности
и величину ее предела.
З а м е ч а н и е 2. Последовательности, не являющиеся сходящимися,
принято называть р а с х о д я щ и м и с я .
З а м е ч а н и е 3. Бесконечно большие последовательности принято считать
сходящейся к пределу  . При этом записывают
lim an   .
n
Если элементы бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный (отрицательный) знак, то используют следующую символику
lim an  
n
 lim a
n
n

  .
Пример 1. Доказать, что последовательность an  с членами an 
n 1
n
сходится к пределу a  1.
Решение. Фиксируем произвольное положительное число  и докажем
возможность выбора по этому  такого номера N , что an  1   при всех n  N .
1
1
1
Так как an  1  , то из неравенства   следует, что n  , т.е. в качестве чисn
n

1
ла N можно выбрать N     1.
 
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
13
Свойства сходящихся последовательностей
Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.
Замечание 4. Не всякая ограниченная последовательность является сходящейся. Так, например, последовательность 0, 1, 0, 1, ..., 0, 1, ... является ограниченной, но не является сходящейся. В самом деле, обозначим п-й член этой последовательности символом aп и предположим, что эта последовательность сходится к некоторому пределу а. Но тогда каждая из последовательностей an1  a
и an  a являлась бы бесконечно малой. Стало быть, являлась бы бесконечно
малой и разность этих последовательностей an1  an  , а этого быть не может в
силу того, что an1  an  1 для всех номеров п.
Следующая теорема показывает, что четыре арифметические операции над
членами сходящихся последовательностей приводят к аналогичным операциям
над их пределами.
Теорема 3. Пусть lim an  a , lim bn  b . Тогда:
n
n
а) lim  an  bn   a  b ;
n
б) lim  an  bn   ab ;
n
an a
 ( b  0, bn  0 ).
n b
b
n
в) lim
Теорема 4. Если все члены сходящейся последовательности an  удовле-
творяют неравенству an  b  an  b  , то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a  b  a  b  .
Замечание 5. Если все члены сходящейся последовательности an  удовлетворяют строгому неравенству an  b , то отсюда, вообще говоря, не следует, что и
предел а этой последовательности удовлетворяет строгому неравенству a  b .
(Можно лишь утверждать, что a  b ).
Например, если an 
1
, то для всех номеров n имеем an  0 , однако предел
n
1
a  lim  0 не удовлетворяет неравенству a  0 .
n n
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
14
Следствие 1. Если все члены двух сходящихся последовательностей an  и
bn  удовлетворяют неравенствам
an  bn , то и пределы этих последовательностей
удовлетворяют такому же неравенству lim an  lim bn .
n
n
Теорема 5. Пусть:
1) выполняются равенства lim an  lim bn  a ;
n
n
2) все члены последовательности cn  удовлетворяют неравенствам
an  cn  bn .
Тогда последовательность cn  сходится к тому же самому пределу а, т.е.
lim cn  a .
n
§ 3. Монотонные последовательности
Определение 1. Последовательность an  называется неубывающей (невозрастающей), если каждый член этой последовательности, начиная со второго, не меньше (не больше) предыдущего ее члена, т. е. если для всех номеров
n  2 справедливо неравенство
xn  xn1  xn  xn1  .
(1)
Определение 2. Последовательность an  называется монотонной, если она
является либо неубывающей, либо невозрастающей.
Если неравенства (1) заменить строгими, то получим определение возрастающей (убывающей) последовательности. Возрастающие или убывающие последовательности называют строго монотонными.
Заметим, что любая монотонная последовательность ограничена с одной
стороны (либо сверху, либо снизу). В самом деле, всякая неубывающая последовательность ограничена снизу (в качестве нижней грани можно взять величину ее
первого элемента), а всякая невозрастающая последовательность ограничена
сверху (в качестве верхней грани также можно взять величину ее первого элемента).
Отсюда следует, что неубывающая последовательность будет ограниченной
с обеих сторон, или просто ограниченной, тогда и только тогда, когда она ограничена сверху, а невозрастающая последовательность будет ограниченной тогда и
только тогда, когда она ограничена снизу.
Рассмотрим примеры монотонных последовательностей.
Пример 1. Последовательность 1, 1, 2, 2, ... является неубывающей. Она
ограничена снизу величиной своего первого элемента, а сверху не
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
15
ограничена.
3 4
n 1
, , ... ,
является убывающей.
,
n
2 3
Она ограничена с обеих сторон: сверху величиной своего первого элемента 2, а
снизу, например, числом 1.
Следующая теорема выражает фундаментальное свойство монотонных последовательностей.
Теорема 1. Для того чтобы монотонная последовательность an  сходилась,
Пример 2. Последовательность 2,
необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена.
Замечание 1. Не каждая сходящаяся последовательность является монотонной. Например, сходящаяся к нулю последовательность
1 1
1
 1 ,
1,  , ,  , ,
2 3
4
n
не является монотонной, так как знаки ее элементов чередуются.
Замечание 2. Все члены неубывающей, ограниченной сверху последовательности an  не превосходят ее предел a , т.е. an  a . Аналогично, все члены
n 1
невозрастающей, ограниченной снизу последовательности не меньше ее предела.
Пример 3. Можно доказать, что последовательность
 1
an  1  
 n
n
неубывает и ограничена сверху. Следовательно, в силу теоремы 1, она сходится.
Предел этой последовательности является числом иррациональным, и обозначается буквой e . Число e называют числом Эйлера, оно играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении и приближенно равно 2,718. Число e
является основанием натурального логарифма, обозначаемого ln x .
n
 1
Таким образом, lim 1    e .
n
x

§4. Предел функции
Пусть функция y  f ( x) определена на некотором бесконечном множестве
Х, и пусть x0 – предельная точка множества Х (точка x0 может и не принадлежать
множеству Х, т.е. функция может быть не определена в этой точке).
Выберем в множестве Х последовательность точек  xn  , отличных от x0 .
Значения функции в точках этой последовательности также образуют последова-
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
16
тельность  f  xn  .
Определение 1. (предел функции по Гейне). Число а называется пределом
функции y  f ( x) в точке x0 (или при x  x0 ), если для любой последовательности значений аргумента x1, x2 , , xn ,
, отличных от x0 , сходящейся к x0 , соответ-
ствующая последовательность значений функции f  x 1 , f  x 2 ,
, f  x n ,
схо-
дится к числу а.
Определение 2. (предел функции по Коши). Число а называется пределом
функции y  f ( x) в точке x0 (или при x  x0 ), если для любого (сколь угодно
малого) положительного числа  найдется положительное число 
   ( ) 
такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию
0  x  x0   , справедливо неравенство
f ( x)  a  
(1)
Для обозначения предела функции y  f ( x) в точке а используют следующую символику: lim f ( x)  a или f ( x)  a при x  x0 .
xx0
Сделаем несколько замечаний, разъясняющих смысл этих определений.
Замечание 1. Подчеркнем важность фигурирующего в определениях 1 и 2
требования xn  x0 (в определении 2 это требование выражено неравенством
x  x0  0 ). Это требование вызвано тем, что функция y  f ( x) может быть не
определена в точке x0 , или ее значение в этой точке может существенно отличаться от значений в других точках из любой  -окрестности точки x0 .
Замечание 2. Заметим, что фигурирующее в определении 2 условие
0  x  x0   эквивалентно соотношениям x0    x  x0   , x  x0 , т. е. означает, что х принадлежит проколотой  -окрестности точки x0 . Аналогично, фигурирующее в определении 2 неравенство (1) эквивалентно неравенствам
a    f ( x)  a   , т. е. означает, что f ( x) принадлежит  -окрестности точки a .
Таким образом, определение 2 предела функции по Коши может быть переформулировано так: число а называется пределом функции f ( x) в точке x0 , если для
любой  -окрестности точки a можно указать такую  -окрестность точки x0 , что
для всех значений аргумента х, отличных от x0 и принадлежащих указанной  окрестности точки x0 , соответствующие значения функции f ( x) принадлежат  окрестности точки a .
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
17
Приведем примеры функций, как имеющих, так и не имеющих предел в
данной точке x0 .
1. Функция f ( x)  x в любой точке x0 имеет предел, равный x0 . В самом
деле, для этой функции последовательности значений аргумента и соответствующих значений функции тождественны, и поэтому, если последовательность  xn 
сходится к x0 , то и последовательность f ( xn ) также сходится к x0 .
2. Функция f ( x)  2 x  1 в точке x0  2 имеет предел a  3 . Действительно,
для
любого
 0
неравенство
f ( x)  a  
равносильно
следующим

2 x  4    x  2  . Тогда имеем, что для любого   0 существует число
2

  , что для всех x , удовлетворяющих неравенству x  2   , выполняется не-
2
равенство f ( x)  3  2 x  4   .
1
не имеет предела в точке x0  0 . Для доказательства
x
2
1
выберем последовательности  xn  и  xn  с членами xn 
и xn 
.
n
  4n
Введем теперь понятие одностороннего (т. е. правого или левого) предела
функции в данной точке x0 .
3. Функция f ( x)  sin
Определение 3 (правый [левый] предел функции по Гейне). Число a называется правым пределом (левым пределом) функции y  f ( x) в точке x0 , если для
любой последовательности значений аргумента  xn  , сходящейся к x0 и состоящей из чисел, больших x0 (меньших x0 ), соответствующая последовательность
значений функции
 f  x  сходится к числу a.
n
Определение 4 (правый [левый] предел функции по Коши). Число a называется правым пределом (левым пределом) функции y  f ( x) в точке x0 , если для
любого положительного числа  найдется отвечающее ему положительное число
 такое, что для всех значений аргумента x , удовлетворяющих условию
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
18
x0  x  x0   (условию x0    x  x0 ), справедливо неравенство (1).
Для обозначения правого (левого) предела функции f ( x) в точке x0 используют следующую символику:
lim f ( x)  a
( lim f ( x)  a )
или более краткую символику
f ( x0  0)  a
( f ( x0  0)  a ).
xx0 0
xx0 0
В качестве примера рассмотрим функцию
 1, если x  0,

f ( x)  sgn x   0, если x  0,
1, если x  0.

Эта функция имеет в точке x0  0 как правый, так и левый пределы, причем
sgn(0)  1, sgn(0)  1. В самом деле, для любой сходящейся к x0  0 последо-
вательности  xn  , состоящей из чисел, больших нуля, соответствующая последо-
вательность sgn xn  сходится к 1, а для любой сходящейся к x0  0 последовательности  xn  , состоящей из чисел, меньших нуля, соответствующая последовательность sgn xn  сходится к –1.
Из проведенных рассуждений вытекает, что рассматриваемая функция
y  sgn x не имеет предела в точке x0  0 .
Итак, функция y  sgn x не имеет в точке x0  0 предела, но имеет в этой
точке правый предел, равный 1, и левый предел, равный –1. Тот факт, что правый
и левый пределы этой функции не равны друг другу, не является случайным.
Связь между пределом функции в точке и односторонними пределами устанавливает следующая теорема.
Теорема 1. Для того чтобы функция y  f ( x) имела предел в точке x0 ,
необходимо и достаточно, чтобы в точке x0 существовали как левый, так и правый пределы, равные между собой.
Сформулируем теперь понятие предела функции при x   .
Определение 5. (предел функции при x   по Гейне). Число a называется пределом функции y  f ( x) при x   , если для любой бесконечно большой
последовательности значений аргумента
ность значений функции
 xn 
соответствующая последователь-
 f ( xn ) сходится к числу a .
Определение 6. (предел функции при x   по Коши). Число a называется пределом функции y  f ( x) при x   , если для любого положительного числа  найдется такое положительное число  , что для всех значений аргумента х,
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
19
удовлетворяющих условию x   , справедливо неравенство (1).
Для обозначения предела функции y  f ( x) при x   используют следующую запись:
lim f ( x)  a .
x
Примером функции, имеющей предел при x   , может служить функция
1
f ( x)  . В самом деле, для любой бесконечно большой последовательности знаx
чений аргумента  xn  соответствующая последовательность значений функции
f ( xn ) 
1
(в силу теоремы 2.1) является бесконечно малой, т. е. имеет своим
xn
пределом число а = 0. Значит, в силу определения 5
1
lim  0 .
x  x
Сформулируем, наконец, определение предела функции при стремлении х к
бесконечности определенного знака.
Определение 7. (предел функции при x   [ x   ] по Гейне). Число a
называется пределом функции y  f ( x) при x   (при x   ), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента  xn  , все члены
которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность
значений функции  f ( xn ) сходится к числу а.
Определение 8. (предел функции при x   [ x   ] по Коши). Число а
называется пределом (или предельным значением) функции y  f ( x) при x  
(при x   ), если для любого положительного числа  найдется такое положительное число  , что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию
x   ( x   ) , справедливо неравенство (1).
Для обозначения введенных понятий используется следующая символика:
lim f ( x)  a ( lim f ( x)  a ).
x
an 
x
Замечание 3. Отметим, что понятие предела числовой последовательности
можно рассматривать как частный случай предела функции при x   . В
самом, деле, если взять в качестве Х множество всех натуральных чисел, а в качестве функции f ( x) , заданной на этом множестве, ту функцию, которая каждому
значению аргумента n ставит в соответствие n -й член последовательности an , то
определение 8 предела такой функции при x   в точности совпадет с определением предела числовой последовательности an  .
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
20
§5. Основные теоремы о пределах функции.
Замечательные пределы
Теорема 1. Функция y  f ( x) может иметь только один предел в точке x0 .
Доказательство этой теоремы следует из определения предела функции по
Гейне и соответствующей теоремы для предела последовательности.
Теорема 2. Если функция имеет предел в точке x0 , то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.
Теорема 3. Пусть две функции f ( x) и g(x) имеют в точке x0 пределы, соответственно равные а и b. Тогда функции f ( x)  g ( x) , f ( x)  g ( x) , и
f ( x)
имеют в
g ( x)
a
(в случае частного
b
необходимо дополнительно потребовать, чтобы b было отлично от нуля).
Пример 1. Рассмотрим функцию Pn ( x)  a0 x n  a1x n1  an1x  an – много-
точке x0 пределы, соответственно равные a  b , a  b и
член степени n . В силу теоремы 6.3
lim Pn ( x)  a0 x0n  a1 x0n1 
x  x0
an1 x0  an  Pn ( x0 ) .
Замечание. Забегая вперед, отметим, что для любой элементарной функции
y  f ( x) имеет место свойство lim f ( x)  f ( x0 ) .
x x0
Теорема 4. Если lim f ( x)  a , lim g ( x)  b и для всех значений аргумента x
xx0
x x0
из некоторой проколотой  -окрестности точки x0 выполнено неравенство
f ( x)  g ( x) , то справедливо также и неравенство a  b .
Теорема 5. Пусть в некоторой проколотой  -окрестности точки x0 справедливы неравенства f ( x)  h( x)  g ( x) , а lim f ( x)  lim g ( x)  a , то и lim h( x)  a .
xx0
xx0
x x0
Теорема 6. (первый замечательный предел) Предел функции h( x) 
в точке x0  0 существует и равен 1, т.е.
sin x
 1.
x 0
x
lim
Пример 2. Вычислить lim
x 0
Решение. lim
x 0
sin 5 x
.
sin 7 x
sin 5 x
sin 5 x  5 x  7 x 5
 lim
 .
sin 7 x x0 5 x  sin 7 x  7 x 7
sin x
x
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
21
x
 1
Теорема 7. (второй замечательный предел) lim 1    e .
x 
 x
2 x7
1 

Пример 3. Вычислить lim 1 
 .
x 
 3x  5 
1
Решение. Поскольку 1 
 1 при x   , то имеем неопределенность
3x  5
типа 1 . Используя второй замечательный предел, имеем
1 

lim 1 

x
 3x  5 
2 x 7
1 

 lim 1 

x
 3x  5 
 (3 x 5)
2 x 7
 (3 x 5)
e
lim
2 x 7
x   (3 x 5)

2
e 3.
§6. Понятие непрерывности функции
Пусть точка x0 принадлежит области задания X функции f ( x) и является
предельной точкой множества X .
Определение 1. Функция f ( x) называется непрерывной в точке x0 , если
функция f ( x) имеет в точке x0 предел, равный значению f ( x0 ) функции f ( x) в
точке x0 .
Условие непрерывности функции f ( x) в точке x0 символически можно выразить следующим равенством:
lim f ( x)  f ( x0 ) .
x x0
Так как x0  lim x , то этому равенству можно придать следующую форму:
xx0
lim f ( x)  f (lim x) .
xx0
xx0
Следовательно, для непрерывной в точке x0 функции символ lim предельx  x0
ного перехода и символ функции f можно менять местами.
Сформулируем теперь определение односторонней непрерывности функции
f ( x) в точке x0 , т. е. непрерывности в точке x0 справа или слева.
Определение 2. Функция f ( x) называется непрерывной в точке x0 справа
(слева), если функция f ( x) имеет в точке x0 правый (левый) предел, равный значению f ( x0 ) функции f ( x) в точке x0 .
Тот факт, что функция f ( x) непрерывна в точке x0 справа (слева), записывают так:
lim f ( x)  f ( x0 ) или f ( x0  0)  f ( x0 )
x x0 0
( lim f ( x)  f ( x0 ) или f ( x0  0)  f ( x0 ) ).
x x0 0
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
22
Замечание 1. Если функция f ( x) непрерывна в точке x0 и слева, и справа,
то она непрерывна в этой точке.
Пусть точка x0 является внутренней точкой множества X , x  X – произвольная точка. Величина  x  x  x0 называется приращением аргумента,
f  f ( x0  x)  f ( x0 ) – приращением функции в точке x0 , соответствующим
приращению аргумента  x . Отметим, что f есть функция аргумента  x .
Теорема 1. Функция f ( x) непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда ее приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента  x ,
есть бесконечно малая функция при x  0 .
Будем говорить, что функция непрерывна на множестве X , если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Особо договоримся называть функцию f ( x) непрерывной на отрезке  a; b ,
если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и, кроме того, непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке b .
Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Многочлен Pn ( x)  a0 x n  a1x n1  an1x  an есть непрерывная
функция в любой точке x0 числовой прямой.
Действительно, в §5 было установлено, что предел этой функции в любой
точке x0 числовой прямой равен Pn ( x0 ) .
Пример 2. Докажем, что функция f ( x)  sin x непрерывна в каждой точке
x0 числовой прямой. Действительно,
lim  sin( x0  x)  sin x0   lim 2sin
x 0
x 0
x
x 

cos  x0 

2
2 

x
x


sin
sin

2  x cos  x  x    lim
2  lim  x cos  x  x    0 ,
 lim 



 0

0
x 0
x 0
x
x x0 
2
2






 2

2
в силу первого замечательного предела и так как произведение бесконечно малой
функции на ограниченную есть бесконечно малая.
Замечание 2. Можно доказать, что всякая основная элементарная функция
непрерывна в каждой точке своей области определения.
Пример 3. Функция f ( x)  sgn x имеет разрыв в точке x  0 и непрерывна
во всех остальных точках числовой оси. Действительно, в точке x  0 , как было
показано в §4, существуют правый (равный +1) и левый (равный –1) пределы
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
23
функции sgn x . Поскольку эти односторонние пределы не равны друг другу,
функция sgn x в точке 0 разрывна (не является непрерывной). В остальных точках
числовой прямой она непрерывна.
Пример 4. Функция Дирихле
 1, если x  ,
D( x )  
0, если x  \
разрывна в каждой точке числовой оси, поскольку она не имеет предельного значения ни в одной точке.
§7. Арифметические операции над непрерывными функциями.
Непрерывность сложной и обратной функции.
Убедимся в том, что арифметические операции над непрерывными функциями приводят снова к непрерывным функциям. Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть функции f ( x) и g ( x) непрерывны в точке x0 . Тогда
f ( x)
также непрерывны в точке x0 (в случае
g ( x)
частного дополнительно необходимо потребовать, чтобы g ( x0 )  0 ).
Функции, полученные в результате суперпозиции двух или нескольких
функций, мы будем называть сложными. Под суперпозицией двух функций мы
понимаем функцию, полученную в результате наложения или последовательного
применения указанных двух функций в определенном порядке.
Пусть функция y  f ( x) задана на множестве X , и пусть Y – множество ее
функции f ( x)  g ( x) , f ( x)  g ( x) и
значений. Допустим, что на множестве Y задана функция z  g ( y ) . Тогда говорят,
что на множестве X задана сложная функция z  g  f ( x)  .
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть функция y  f ( x) непрерывна в точке x0 , а функция
z  g ( y ) непрерывна в точке y0  f ( x0 ) . Тогда сложная функция z  g  f ( x)  не-
прерывна в точке x0 .
Для выяснения вопроса о существовании обратной функции нам понадобится понятие монотонной функции.
Определение 1. Функция f ( x) называется неубывающей (невозрастающей)
на множестве X , если для любых x1 и x2 из этого множества таких, что x1  x2 ,
справедливо неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) ( f ( x1 )  f ( x2 ) ).
Неубывающие и невозрастающие функции называют монотонными функ-
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
24
циями.
Определение 2. Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве X , если для любых x1 и x2 из этого множества таких, что x1  x2 , справедливо неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) ( f ( x1 )  f ( x2 ) .
Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.
Пусть функция y  f ( x) задана на отрезке  a; b , и пусть отрезок  ;   является множеством значений этой функции. Пусть, кроме того, каждому у из отрезка  ;   соответствует только одно значение х из отрезка  a; b , для которого
f ( x)  y . Тогда на отрезке  ;   определена функция, которая каждому у из
 ;  
ставит в соответствие то значение х из  a; b , для которого f ( x)  y . Эта
функция обозначается символом x  f 1 ( y ) и называется обратной для функции
y  f ( x) .
Можно рассматривать и самый общий случай, когда задано отображение f
одного множества X на другое множество Y , причем отображение f устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами этих множеств. Тогда
можно определить обратное отображение f 1 множества Y на множество X . В
этом случае уравнение y  f ( x) можно разрешить относительно х, т. е. можно однозначно определить х, зная элемент у, и мы имеем x  f 1 ( y ) .
Отметим, что если x  f 1 ( y ) – обратная функция для y  f ( x) , то, очевидно, функция y  f ( x) является обратной для функции x  f 1 ( y ) . Поэтому функции y  f ( x) и x  f 1 ( y ) называются взаимно
обратными.
Очевидно, что
f  f 1 ( y )   y , f 1  f ( x)   x .
Сформулируем теорему о существовании и непрерывности обратной функции.
Теорема 3. Пусть функция y  f ( x) возрастает (убывает) и непрерывна на
отрезке  a; b , и пусть   f (a) ,   f (b) . Тогда на отрезке  ;   (соответственно на отрезке   ;  ) определена обратная для y  f ( x) функция x  f 1 ( y ) ,
которая возрастает (убывает) и непрерывна на указанном отрезке.
Кратко можно сказать, что из строгой монотонности и непрерывности на
отрезке  a; b данной функции вытекают существование, строгая монотонность и
непрерывность на соответствующем отрезке обратной функции.
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
25
§ 8. Точки разрыва функции и их классификация
В § 6 мы договорились называть точками разрыва функции f ( x) те точки, в
которых эта функция не обладает свойством непрерывности. При этом подразумевается, что функция f ( x) определена в той точке, которую мы проверяем на
предмет наличия или отсутствия в ней свойства непрерывности.
Расширяя наше рассмотрение, мы можем подвергнуть изучению и те точки,
в которых функция f ( x) не определена (при условии, что эти точки являются
предельными для множества задания функции).
Выясним возможные типы точек разрыва.
1. Устранимый разрыв. Точка x0 называется точкой устранимого разрыва
функции y  f ( x) , если предел функции f ( x) в точке x0 существует, но функция
f ( x) либо не определена в точке x0 , либо имеет частное значение f ( x0 ) , отлич-
ное от предела f ( x) в этой точке, т.е. f ( x0 )  lim f ( x) .
x x0
Пример 1. Функция
 sin x
при x  0,

f ( x)   x
 0,5 при x  0
имеет в точке х = 0 устранимый разрыв.
Действительно, предельное значение этой функции в точке x  0 , как следует из первого замечательного предела, равно 1. Частное же значение 0,5  1 .
Если функция f ( x) имеет в точке x0 устранимый разрыв, то этот разрыв можно
устранить, не изменяя при этом значений функции в точках, отличных от x0 . Для
этого достаточно положить значение функции в точке x0 равным ее предельному
значению в этой точке. Так, в рассмотренном выше примере достаточно положить
sin x
f (0)  1 и тогда lim
 f (0)  1 , т.е. функция f ( x) станет непрерывной в точке
x 0
x
x  0.
2. Разрыв первого рода. Точка x0 называется точкой разрыва первого рода,
если в этой точке функция f ( x) имеет конечные, но не равные друг другу правый
и левый пределы
lim f ( x)  lim f ( x) .
xx0 0
xx0 0
Величина f ( x0  0)  f ( x0  0) называется скачком функции в точке x0 . Разрыв первого рода можно назвать конечным скачком.
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
26
Пример 2. а) Функция
 1, если x  0,

f ( x)  sgn x   0, если x  0,
 1, если x  0

в точке x  0 имеет разрыв первого рода.
Действительно, lim sgn x  1 , lim sgn x  1 , и, таким образом, эти пределы не
x0
x0
равны между собой, значит точка x  0 является точкой разрыва первого рода;
sin x
sin x
 1,
б) функция f ( x ) 
при x  0 . Для этой функции lim
x 0
x
x
sin x
 1 , так что точка x  0 является точкой разрыва первого рода.
x 0
x
lim
3. Разрыв второго рода. Точка x0 называется точкой разрыва второго рода,
если хотя бы один из односторонних пределов функции f ( x) в точке x0 не существует или бесконечен.
1
Пример 3. а) Функция f ( x) 
имеет в точке x  1 разрыв второго рода,
x 1
1
1
так как lim
  , lim
  . Можно образно сказать, что в точке x  1
x 1 0 x  1
x 10 x  1
1
функция f ( x) 
имеет бесконечный скачок;
x 1
б) Функция
 1
sin при x  0,
f ( x)   x
 1 при x  0
имеет разрыв второго рода в точке x  0 , поскольку в этой точке у нее не существует ни правого, ни левого пределов.
Введем понятие кусочно непрерывной функции, часто встречающееся в математике и в ее приложениях.
Функция f ( x) называется кусочно непрерывной на отрезке  a; b , если эта
функция определена всюду на отрезке  a; b , непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых
она имеет разрыв первого рода и, кроме того, имеет правый предел в точке а и левый предел в точке b.
Функция f ( x) называется кусочно непрерывной на интервале (или на числовой прямой), если f ( x) кусочно непрерывна на любом принадлежащем этому
интервалу (или числовой прямой) отрезке.
Например, функции y  sgn x , y   x  кусочно непрерывны как на любом
отрезке, так и на всей числовой прямой.
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
27
Глава 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В настоящей главе будут введены фундаментальные понятия производной и
дифференциала функции. Мы установим основные правила дифференцирования и
вычислим производные всех простейших элементарных функций. В конце главы
будут рассмотрены производные и дифференциалы высших порядков и вопрос о
дифференцировании функции, заданной параметрически.
§ 1. Понятие производной
Рассмотрим функцию y  f ( x) , заданную на интервале (a; b) . Пусть x0 –
любая фиксированная точка интервала, x – любое приращение аргумента, такое,
что число x0  x также принадлежит интервалу (a; b) .
Считая, что x  0 , рассмотрим в данной фиксированной точке x0 отношение приращения y  f ( x0  x)  f ( x0 ) функции y  f ( x) в этой точке к соответствующему приращению аргумента x :
y f ( x0  x)  f ( x0 )
.
(1)

x
x
Так как x0 – фиксированная точка, отношение (1) представляет собой
функцию аргумента x . Эта функция определена для всех значений аргумента
x , принадлежащих некоторой достаточно малой  -окрестности точки x =0, за
исключением самой точки x =0, т. е. определена всюду в достаточно малой проколотой  -окрестности точки x =0. Это дает нам право рассматривать вопрос о
существовании предела указанной функции при x  0 .
Определение 1. Производной функции y  f ( x) в точке x0 называется предел при x  0 отношения (1) (при условии, что этот предел существует).
Производную функции y  f ( x) в точке x0 будем обозначать символом
f ( x0 ) или y( x0 ) .
Итак, по определению
y
f ( x0  x)  f ( x0 )
 lim
.
x 0 x
x0
x
Если функция имеет производную для всех точек х интервала (a; b) , то эта
f ( x0 )  lim
производная будет представлять собой некоторую функцию аргумента х, определенную на интервале (a; b) и обозначаемую f ( x) или просто y .
Приведем два тривиальных примера вычисления производных.
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
Пример 1. а) f ( x)  C  const . Совершенно
28
очевидно, что производная
f ( x) этой функции тождественно равна нулю, так как приращение этой функции
равно нулю для всех х и всех x ;
б) f ( x)  x . Приращение y этой функции в любой точке x равно приращеy
 1 . Отсюда следует, что и проx
изводная указанной функции равна единице в любой точке х числовой прямой.
В полной аналогии с понятиями правого и левого пределов функции в данной точке вводятся понятия правой и левой производных функции y  f ( x) в точ-
нию аргумента x , следовательно, отношение
ке x0 .
Определение 2. Правой (левой) производной функции y  f ( x) в точке x0
называется правый (левый) предел отношения (1) в точке x =0 (при условии, что
этот предел существует).
Для обозначения правой (левой) производной функции в точке x0 используют символ f ( x0  0)  f ( x0  0)  .
Из сопоставления определений 1 и 2 и из свойства правого и левого пределов функции вытекает следующее утверждение: функция f ( x) имеет в точке x0
производную f ( x0 ) тогда и только тогда, когда эта функция имеет в точке x0 как
правую, так и левую производные, равные между собой, причем
f ( x0 )  f ( x0  0)  f ( x0  0) .
 x при x  0,
Пример 2. f ( x)  x  
 x при x  0.
Эта функция имеет в точке х = 0 правую производную, равную 1, и левую производную, равную 1, но не имеет в этой точке производной.
Геометрический смысл производной
Рассмотрим график функции y  f ( x) , определенной и непрерывной на интервале (a; b) . Фиксируем произвольную точку x0 интервала (a; b) и рассмотрим
приращение x  0 аргумента х, настолько малое, что число x0  x также принадлежит интервалу (a; b) .
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
29
Пусть М и Р – точки графика функции y  f ( x) , абсциссы которых соответственно равны x0 и x0  x (рис. 5.1). Координаты точек М и Р, очевидно, будут
иметь вид M  x0 , f ( x0 )  , P  x0  x, f ( x0  x  .
Прямую, проходящую через точки М и Р будем называть секущей. Поскольку точку М мы предполагаем фиксированной, то угол наклона каждой секущей MP к оси Ох будет функцией аргумента x (так как значение x однозначно
определяет точку Р). Обозначим угол наклона секущей MP к оси Ох символом
 (x) .
Определение 3. Если существует предельное положение секущей MP при
стремлении точки Р графика функции к точке М (или, что то же самое, при стремлении x к нулю), то это предельное положение называется касательной к графику функции y  f ( x) в данной фиксированной точке М этого графика.
Из этого определения следует, что для существования касательной к графику функции y  f ( x) в точке М достаточно, чтобы существовал предел
lim  (x)  0 , причем указанный предел равен углу наклона касательной к оси
x0
Ох.
Опустим из точек М и Р перпендикуляры на ось абсцисс (см. рис. 5.1). Проведем через точку М прямую, параллельную оси абсцисс, и обозначим через N
точку пересечения этой прямой с перпендикуляром, опущенным из Р на ось абсцисс. Из треугольника MNP очевидно, что
y f ( x0  x)  f ( x0 )
tg  (x) 

.
x
x
Таким образом,
y
 (x)  arctg .
(2)
x
Убедимся в том, что существует предел правой (а значит, и левой) части ра-
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
30
венства (2) при x  0 . В самом деле, в силу существования производной f ( x0 )
существует предел
y
 f ( x0 ) .
x 0 x
Отсюда и из непрерывности функции arctgu для всех значений u следует,
что существует предел правой части равенства (2), равный arctg f ( x0 ) .
lim
Итак, мы доказали, что существует предел
lim  (x)  arctg f ( x0 ) .
x0
Но это и означает, что существует предельное положение секущей, т. е. существует касательная к графику функции в точке M  x0 , f ( x0 )  , причем угол наклона
этой касательной к оси Ох равен 0  arctg f ( x0 ) .
Значит, угловой коэффициент tg  0 указанной касательной равен f ( x0 ) .
Мы доказали следующее утверждение, выражающее геометрический смысл
производной:
Если функция y = f(x) имеет в данной фиксированной точке x0 производную, то существует касательная к графику функции y = f(x) в точке
M  x0 , f ( x0 )  , причем угловой коэффициент этой касательной (т. е. тангенс угла
наклона ее к оси Ох) равен производной f ( x0 ) .
§ 2. Дифференцируемость функции
Пусть, как и в предыдущем параграфе, функция y  f ( x) определена на интервале (a; b) , x0 – любая фиксированная точка интервала, x – любое приращение аргумента, такое, что число x0  x также принадлежит интервалу (a; b) ,
y  f ( x0  x)  f ( x0 ) приращение функции y  f ( x) в точке x0 соответствую-
щее приращению аргумента x .
Определение. Функция y  f ( x) называется дифференцируемой в точке x0 ,
если приращение y этой функции в точке x0 , соответствующее приращению аргумента x , может быть представлено в виде
y  Ax   (x)x ,
(1)
где А — некоторое число, не зависящее от x , а  (x) – функция аргумента x ,
бесконечно малая в точке x = 0.
В самой точке x =0 функция  (x) , вообще говоря, не определена, и ей
можно приписать в этой точке любое значение. Для дальнейшего удобно считать
это значение равным нулю. При такой договоренности функция  (x) будет непрерывна в точке x =0 и равенство (1) можно распространить и на значение
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
31
x =0.
Замечание. Второе слагаемое в правой части (1)  (x)x можно перепи-
сать в виде o(x) . В самом деле, так как обе функции  (x) и x являются бесконечно малыми в точке x =0, то произведение  (x)x этих функций представляет собой бесконечно малую в точке x =0 функцию более высокого порядка, чем x . Таким образом, представление (1) можно переписать в виде
y  Ax  o(x) .
Теорема 1. Для того чтобы функция y  f ( x) была дифференцируемой в
точке x0 , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную f ( x0 ) .
Замечание 1. Если для функции f ( x) справедливо представление (1), то
эта функция имеет в точке x0 производную f ( x0 ) , причем f ( x0 )  A .
Теорема 1 позволяет нам в дальнейшем отождествлять понятие дифференцируемости функции в данной точке с понятием существования у этой функции в
данной точке конечной производной.
Операцию нахождения производной в дальнейшем будем называть дифференцированием.
Легко доказывается следующее утверждение, устанавливающее связь между дифференцируемостью и непрерывностью.
Теорема 2. Если функция y  f ( x) дифференцируема в данной точке x0 , то
она непрерывна в этой точке.
§3. Правила дифференцирования
В этом параграфе мы установим правила нахождения производных функций, выраженных с помощью арифметических операций и операции суперпозиции через некоторые другие функции, производные которых известны, а также
правило дифференцирования обратной функции.
Теорема 1. Если каждая из функций u ( x) и v( x) дифференцируема в данной
точке х, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при
условии, что значение v( x)  0 ) также дифференцируемы в этой точке, причем
имеют место формулы
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
32
 u ( x)  v( x)   u( x)  v( x),
 u ( x)  v( x)   u( x)  v( x)  u ( x)  v( x),
(1)
 u ( x)  u( x)  v( x)  u ( x)  v( x)
.
 v( x)  
2
v
(
x
)


Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной,
т.е.  Cf ( x)   Cf ( x) , где C  const .
Установим теперь правило, позволяющее найти производную сложной
функции z  g  f ( x)  в точке x при условии, что известны производные составляющих ее функций y  f ( x) и z  g ( y ) в точках x и y  f ( x) соответственно.
Теорема 2. Пусть функция y  f ( x) дифференцируема в точке x , а функция z  g ( y ) дифференцируема в соответствующей точке y  f ( x) . Тогда сложная функция z  g  f ( x)  дифференцируема в указанной точке x , причем для ее
производной в этой точке справедлива формула
 g  f ( x)   g( y)  f ( x)  g  f ( x)   f ( x) .
(4)
Замечание 1. Теорема 2 и содержащееся в ее формулировке правило вычисления производной сложной функции последовательно переносится на сложную функцию, являющуюся суперпозицией трех и большего числа функций. Так,
для сложной функции, являющейся суперпозицией трех функций, правило дифференцирования имеет вид
G g f ( x)   G g f ( x) g  f ( x) f ( x) ,
  

 
 

причем формула (7) справедлива при условии, что функция y  f ( x) дифференцируема в данной точке x , функция z  g ( y ) дифференцируема в соответствующей точке y  f ( x) , а функция u  G( z ) дифференцируема в соответствующей
точке z  g  f ( x)  .
Установим теперь правило дифференцирования обратной функции.
Теорема 3. Пусть функция y  f ( x) возрастает (или убывает) и непрерывна
в некоторой окрестности точки х. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в указанной точке х и ее производная в этой точке f ( x) отлична от нуля. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y  f ( x) определена обратная для y  f ( x) функция x  f 1 ( y ) , причем указанная обратная функция дифференцируема в соответствующей точке y  f ( x) и для ее производной в этой
точке у справедлива формула
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
f
1
( y )  
1
.
f ( x)
33
(7)
Примеры применения теоремы 3 будут даны в следующем параграфе.
Данная теорема имеет простой геометрический смысл. Пусть М – точка
графика функции y  f ( x) , соответствующая данному значению аргумента х
(рис.). Тогда, очевидно, производная f ( x ) равна тангенсу угла наклона  касательной, проходящей через точку М, к оси Ох, а производная обратной функции
f
1
( y )  в соответствующей точке y  f ( x) равна тангенсу угла наклона  той
же самой касательной к оси Оу. Поскольку углы наклона  и  в сумме состав
ляют , то формула (7) выражает очевидный факт:
2

1
при     .
tg  
tg 
2
§ 4. Производные основных элементарных функции
Нам уже известно, что основными элементарными функциями принято
называть следующие функции: степенную функцию y  x , где  – фиксированное действительное число, показательную функцию y  a x и логарифмическую
функцию y  log a x , рассматриваемые для любого фиксированного значения а такого, что 0  a  1, четыре тригонометрические функции y  sin x , y  cos x ,
y  tg x и y  ctg x и четыре обратные тригонометрические функции y  arcsin x ,
y  arccos x , y  arctg x и y  arcctg x .
В настоящем параграфе мы вычислим и систематизируем в таблицу производные всех основных элементарных функций.
1. Производная степенной функции.
Для функции y  x имеем
y   x  x 

  x  
 x  x  1 
  1 .

x





По определению производной
  x  
x  1 
  1


x

x
 x 
 


 1 
1 
при x  0 
 x   lim

x 0
x
x 
x


краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
 lim
x 0
34
x
x   x 1 .
x
x 
Таким образом,  x    x a 1 для любых x .
2. Производная показательной функции.
Пусть y  a x ( 0  a  1). Тогда по определению производной
 a   lim a
x
x0
a x  a x  1
 ax
 lim
 a x  1 x ln a при x  0 
x0
x
x
a x x ln a
 lim
 a x ln a .
x0
x
x x
Итак,
 a   a
x
x
ln a
для любых x и 0  a  1.
3. Производная логарифмической функции.
Так как функция y  log a x ( 0  a  1), определенная для всех x  0 является
обратной для функции x  a y , определенной на всей числовой прямой
  y   , и для функции x  a y в окрестности любой точки у выполнены все
условия теоремы 3.3, то в силу этой теоремы функция y  log a x дифференцируема в любой точке x  a y и для ее производной в этой точке справедлива формула
1
1
.
 y
 log a x  
a
ln
a
y 
a
 
В силу соотношения a y  x окончательно получим
1
 log a x  
x ln a
для любых x  0 .
3. Производные тригонометрических функций.
1. Производная функции y  sin x . Так как для этой функции
x  x

y  sin( x  x)  sin x  2cos  x 
 sin ,
2 
2

то по определению производной
x  x

x 

2cos  x 
sin
 sin

x 
2 
2


2   cos x
 lim  cos  x 
 sin x   lim


x 0
x0
x
2  x 



2 
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
35
в силу непрерывности функции y  cos x в любой точке х числовой прямой и первого замечательного предела.
Итак,  sin x   cos x для любых x .
2. Производная функции y  cos x . Так как для любой точки х числовой
прямой


cos x  sin   x  ,
2

то по правилу дифференцирования сложной функции

 


 




cos
x

sin

x

cos

x

x

  



  cos   x  (1)   sin x .

2
 2

2

 2
Итак,
 cos x    sin x
для любых x .
3. Производная функции y  tg x . Так как tg x 
sin x
, то в силу правила
cos x
дифференцирования частного имеем
2
2
1
 sin x   sin x  cos x  sin x  cos x  cos x  sin x


.

 tg x   
 
cos 2 x
cos2 x
cos 2 x
 cos x 
Таким образом,
1
 tg x   2
cos x

  n , где n .
2
4. Производная функции y  ctg x находится аналогично с помощью правила дифференцирования частного:
1
 ctg x   2
sin x
в любой точке x     n , где n .
3. Производные обратных тригонометрических функций.
1. Производная функции y  arcsin x . Так как функция y  arcsin x , определюбой точке x 
ленная на интервале 1  x  1 , является обратной для функции x  sin y , определенной на интервале 
точки у интервала 

2

2
 y
 y

2

2
, и для функции x  sin y в окрестности любой
выполнены все условия теоремы 3.3, то по этой
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
36
теореме функция y  arcsin x дифференцируема в любой точке x  sin y и для ее
производной в этой точке справедлива формула
1
1
1
.


 arcsin x  
2
cos
y

1

sin
y
 sin y 
Мы взяли перед корнем знак «+» в силу того, что cos y положителен всюду на
интервале 

 y

.
2
2
Учитывая, что sin y  x , окончательно получаем
 arcsin x  
для всех x   1;1 .
1
1  x2
.
Аналогичным
образом
вычисляются
производные
функций
y  arccos x, y  arctg x и y  arcctg x .
Соберем теперь в таблицу все вычисленные нами производные основных
элементарных функций.
Таблица производных основных элементарных функций
1.  x    x a 1 ;
6.  tg x  
1
;
cos 2 x
1
2.  a x   a x ln a ;  e x   e x ;
7.  ctg x   2 ;
sin x
1
1
1
3.  log a x  
;  ln x   ;
8.  arcsin x  
;
2
x ln a
x
1 x
1
4.  sin x   cos x ;
9.  arctg x  
;
1  x2
1
5.  cos x    sin x ;
10.  arcctg x  
.
1  x2
Установленная нами таблица производных вместе с правилом дифференцирования сложной функции и правилами дифференцирования суммы, разности,
произведения и частного составляет вычислительный аппарат той части математического анализа, которую принято называть дифференциальным исчислением.
Из таблицы производных и правил дифференцирования вытекает следующий важный вывод: производная любой элементарной функции представляет собой также элементарную функцию, т. е. операция дифференцирования не выводит
нас из класса элементарных функций.
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
37
§ 4. Дифференциал функции
Рассмотрим функцию y  f ( x) , дифференцируемую в данной точке х.
Приращение y такой функции в точке х может быть представлено в виде
y  Ax   (x)x .
Заметим, что приращение y представляет собой сумму двух слагаемых,
первое из которых Ax линейно относительно x , а второе  (x)x является в
точке x  0 бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем x .
Если число А, равное согласно теореме 2.1 производной f ( x) , отлично от
нуля, то указанное первое слагаемое Ax  f ( x)x представляет собой главную
часть приращения y дифференцируемой функции y  f ( x) . Эта главная часть
приращения является линейной функцией аргумента x и называется дифференциалом функции y  f ( x) .
В случае A  f ( x)  0 , дифференциал функции по определению считается
равным нулю.
Итак, дифференциалом функции y  f ( x) в данной фиксированной точке х,
отвечающим приращению аргумента x , называется число, обозначаемое символом dy и равное
dy  f ( x)x .
(1)
Сразу же отметим, что дифференциал dy и приращение y функции
y  f ( x) в данной точке х, соответствующие одному и тому же приращению ар-
гумента x , вообще говоря, не равны друг другу.
Это легко уяснить из рассмотрения графика функции y  f ( x) (см. рис.).
Пусть М и Р – точки графика, соответствующие значениям аргумента х и x  x ,
MS – касательная к графику в точке М, MN || Ox, NP || Oy, Q – точка пересечения
касательной MS с прямой PN. Тогда приращение y функции y  f ( x) в точке х, соответствующее приращению аргумента x , очевидно, равно величине отрезка NP, в то
время как дифференциал dy этой функции в точке х, отвечающий тому же самому x , равен величине отрезка NQ.
(Это сразу вытекает из формулы (1) и из того, что в
прямоугольном треугольнике MQN величина отрезка MN равна x , а тангенс угла
QMN равен f ( x) .) Ясно, что величины отрезков NP и NQ являются, вообще говоря, различными.
Введем в рассмотрение понятие дифференциала аргумента х. При этом сле-
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
38
дует различать два случая: 1) случай, когда указанный аргумент х представляет
собой независимую переменную; 2) случай, когда аргумент х сам является дифференцируемой функцией вида x   (t ) некоторой новой переменной t, которую
мы можем считать независимой.
Договоримся для случая, когда аргумент х является независимой переменной, отождествлять дифференциал этого аргумента с его приращением x , т. е.
считать, что dx  x .
В силу этой договоренности равенство (1) принимает вид
dy  f ( x)dx .
(2)
Таким образом, для случая, когда аргумент х является независимой переменной, для дифференциала функции y  f ( x) справедливо представление (2).
Докажем, что представление (2) является справедливо также и в случае, когда аргумент х сам является дифференцируемой функцией вида x   (t ) некоторой независимой переменной t. (Это свойство дифференциала функции принято
называть инвариантностью его формы.) В таком случае у можно рассматривать
как сложную функцию вида y  f  (t )  аргумента t. Поскольку этот аргумент t
является независимой переменной, то для указанной функции y  f  (t )  и для
функции x   (t ) дифференциалы представимы в форме (2), т. е. в виде
dy   f  (t )   dt ,
dx   (t )dt .
(3)
По правилу дифференцирования сложной функции
 f  (t )   f ( x)(t ) .
Подставляя (4) в первую из формул (3), придадим этой формуле вид
dy  f ( x) (t )dt .
(4)
(5)
Сопоставляя полученное равенство (5) со вторым из равенств (3), окончательно
получим для dy выражение
dy  f ( x)dx ,
совпадающее с представлением (2).
Инвариантность формы первого дифференциала функции dy установлена.
Замечание 1. Можно дать и другую эквивалентную формулировку свойства
инвариантности формы первого дифференциала, сразу же вытекающую из универсальности представления (2): производная дифференцируемой функции
y  f ( x) равна отношению дифференциала этой функции dy к дифференциалу ее
аргумента dx, т.е. определяется равенством
dy
f ( x) 
dx
(6)
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
39
как в случае, когда аргумент х является независимой переменной, так и в случае,
когда аргумент х сам является дифференцируемой функцией вида x   (t ) некоторой независимой переменной t.
Универсальность представления (6) позволяет использовать отношение
dy
dx
для обозначения производной функции y  f ( x) по аргументу х.
Применение дифференциала для установления приближенных формул
Пусть ради простоты аргумент х функции y  f ( x) является независимой
переменной. Ранее мы показали, что дифференциал dy функции y  f ( x) , вообще
говоря, не равен приращению y этой функции. Тем не менее с точностью до
бесконечно малой функции более высокого порядка малости, чем x , справедливо приближенное равенство
y  dy .
(7)
Соотношение (7) позволяет приближенно заменять приращение y дифференцируемой функции y  f ( x) дифференциалом dy этой функции. Целесообразность такой замены оправдывается тем, что дифференциал dy является линейной
функцией аргумента x , в то время как приращение y , вообще говоря, представляет собой более сложную функцию того же аргумента x .
Учитывая, что y  f ( x  x)  f ( x) , dy  f ( x)x , мы можем переписать
приближенное равенство (7) в виде f ( x  x)  f ( x)  f ( x)x или, что то же самое, в виде
f ( x  x)  f ( x)  f ( x)x .
(8)
Приближенное равенство (8) так же как и (7), справедливо для любой дифференцируемой в данной точке х функции f ( x) с точностью до величины o(x) более
высокого порядка малости, чем x .
Это приближенное равенство позволяет с ошибкой o(x) заменить функцию f ( x) в некоторой достаточно малой окрестности точки х (т. е. для малых
значений x ) линейной функцией аргумента x , стоящей в правой части (8).
Приближенная формула (8) часто применяется для вычисления приближенных значений функции.
Пример 1. Вычислить приближенно e0,2 .
Решение. Рассмотрим функцию f ( x)  e x и положим x  0, x  0,2 . Так
как f (0)  f (0)  e0  1, то по формуле (8) получим
e0,2  1  1 0,2  1,2 .
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
40
§ 5. Производные и дифференциалы высших порядков
Как уже отмечалось, производная f ( x) функции y  f ( x) , определенной и
дифференцируемой на интервале (a; b) , представляет собой функцию, также
определенную на интервале (a; b) . Может случиться, что функция f ( x) сама является дифференцируемой в некоторой точке х интервала (a; b) , т. е. имеет в этой
точке производную. Тогда указанную производную называют второй производной (или производной второго порядка) функции y  f ( x) в точке х и обозначают
символом f ( x) или y  .
После того, как введено понятие второй производной, можно последовательно ввести понятие третьей производной, затем четвертой производной и т. д.
Если предположить, что нами уже введено понятие (n  1) -й производной и что
(n  1) -я производная дифференцируема в некоторой точке х интервала (a; b) , т. е.
имеет в этой точке производную, то указанную производную называют n -й производной (или производной n -го порядка) функции y  f ( x) в точке х и обозначают символом f ( n ) ( x) или y ( n ) (обычно такое обозначение используют для n  3 ,
а производную третьего порядка обозначают f ( x) ).
Таким образом, мы вводим понятие n -й производной индуктивно, переходя
от первой производной к последующим. Соотношение, определяющее n -ю производную, имеет вид
y ( n )  y ( n1)  .


Функцию, имеющую на данном множестве X конечную производную порядка n , обычно называют n раз дифференцируемой на данном множестве.
Понятие производных высших порядков находит многочисленные применения. Здесь мы ограничимся тем, что укажем механический смысл второй производной. Если функция y  f ( x) описывает закон движения материальной точки
вдоль оси Оу, то, как нам уже известно, первая производная f ( x) дает мгновенную скорость движущейся точки в момент времени х. В таком случае вторая производная f ( x) равна скорости изменения скорости, т. е. равна ускорению движущейся точки в момент времени х.
Дифференциалы высших порядков
Выше для обозначения дифференциала аргумента и соответствующего ему
дифференциала функции мы использовали символы dx и соответственно dy.
Рассмотрим выражение для первого дифференциала дифференцируемой в
данной точке х функции y  f ( x) :
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
dy  f ( x)dx .
41
(1)
Предположим, что величина, стоящая в правой части (1), представляет собой
функцию аргумента х, дифференцируемую в данной точке х. Для этого достаточно потребовать, чтобы функция y  f ( x) была два раза дифференцируема в данной точке х, а аргумент либо являлся независимой переменной, либо представлял
собой дважды дифференцируемую функцию некоторой независимой переменной
t.
При этих предположениях мы можем рассмотреть дифференциал от первого
дифференциала dy .
Определение 1. Дифференциал d (dy ) от первого дифференциала функции
y  f ( x) называется вторым дифференциалом функции y  f ( x) (в данной точке
х) и обозначается символом d 2 y .
Итак, по определению
d 2 y  d (dy )  d  f ( x)dx  .
Дифференциал d n y любого порядка n вводится по индукции. Предположим, что уже введен дифференциал d n1 y порядка n  1 и что функция y  f ( x) n
раз дифференцируема в данной точке х, а ее аргумент х либо является независимой переменной, либо представляет собой n раз дифференцируемую функцию
некоторой независимой переменной t.
Определение 2. Дифференциал d (d n y ) от дифференциала (n  1) -го порядка называется n -м дифференциалом функции y  f ( x) (в данной точке х) и обозначается символом d n y .
Итак, по определению
d n y  d (d n1 y ) .
При вычислении второго и последующих дифференциалов приходится существенно различать два случая: 1) случай, когда аргумент х является независимой переменной; 2) случай, когда аргумент х представляет собой соответствующее число раз дифференцируемую функцию некоторой независимой переменной
t.
В первом случае, когда х является независимой переменной, мы имеем право считать, что dx не зависит от х. При этом мы получим, что d (dx)  (dx)dx  0 .
Тогда
d 2 y  d (dy )  d ( f ( x)dx)  d  f ( x)  dx  f ( x)d (dx) 
  f ( x)dx  dx  f ( x)dx 2 .
Итак, в случае, когда аргумент х является независимой переменной, для
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
42
второго дифференциала функции y  f ( x) справедливо представление
d 2 y  f ( x)dx 2 .
(2)
Совершенно аналогично, по индукции легко убедиться в том, что в случае,
когда аргумент х является независимой переменной, для n -го дифференциала n
раз дифференцируемой функции y  f ( x) справедливо представление
d n y  f ( n ) ( x)dx n .
Таким образом, в случае, когда аргумент х является независимой переменной, производная порядка n функции y  f ( x) равна отношению n -го дифференциала этой функции к n -й степени дифференциала аргумента dx:
dny
(n)
f ( x)  n .
dx
Совсем другой вид имеют представления для второго и последующих дифференциалов в случае, когда аргумент х является соответствующее число раз
дифференцируемой функцией некоторой независимой переменной t.
Установим выражение для второго дифференциала, считая, что функция
y  f ( x) два раза дифференцируема в данной точке х, а x   (t ) , где  (t ) является
дважды дифференцируемой функцией переменной t. В этом случае dx   (t )dt , а
d (dx)  d  (t )dt    (t )dt 2  d 2 x .
(3)
С учетом (3) имеем
d 2 y  d (dy )  d  f ( x)dx   d  f ( x)  dx  f ( x)d (dx) 
 f ( x)dx 2  f ( x)d 2 x .
Сравнивая полученное представление с представлением (2), мы убедимся в
том, что (в отличие от первого дифференциала) второй дифференциал уже не обладает свойством инвариантности формы.
Тем более не обладают свойством инвариантности формы последующие
дифференциалы.
§ 6. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
Производная векторной функции
Мы будем говорить, что переменная у как функция аргумента х задана параметрически, если обе переменные x и у заданы как функции некоторой третьей
переменной t:
 x   (t ),
.

y


(
t
).

При этом переменную t обычно называют параметром.
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
43
Будем предполагать, что функции  (t ) и  (t ) имеют нужное число производных по переменной t в рассматриваемой области изменения этой переменной.
Кроме того, будем считать, что функция x   (t ) в окрестности рассматриваемой точки t имеет обратную функцию t   1 ( x) , так как это позволяет рассматривать у как функцию x .
Рассмотрим вопрос о вычислении производных функции y  y ( x) по переменной х.
В силу свойства инвариантности формы первого дифференциала справедливы равенства:
dy
(1)
y( x)  , dy   (t )dt , dx   (t )dt .
dx
Из этих равенств сразу же вытекает, что
 (t )
.
(2)
y( x) 
 (t )
Для вычисления второй производной y( x ) достаточно заметить, что в силу
свойства инвариантности формы первого дифференциала
d  y( x) 
.
(3)
y( x) 
dx
Используя в правой части (3) соотношение (2) и третье из равенств (1), получим
  (t ) 
  (t )  dt  (t ) (t )   (t ) (t )

y( x)  

.
(4)
2
 (t )dt
 (t )  dt
По такому же принципу вычисляются производные третьего и последующих порядков.
Пример 1. Вычислить первую и вторую производные-следующей функции,
заданной параметрически:
 x  a(t  sin t ),
t .

 y  a(1  cos t ),
Кривая, являющаяся графиком этой функции, называется циклоидой. Эта
кривая представляет собой траекторию некоторой фиксированной точки окружности радиуса а, которая катится без скольжения по прямой линии (параметр t равен углу поворота радиуса этой окружности).
Пользуясь формулами (3) и (4), получим
a sin t
t
y( x) 
 ctg ,
a(1  cos t )
2
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
44
t 

 ctg 
1
2
.
y( x)  

a(1  cos t ) 4a sin 4 t
2
Производная векторной функции
В приложениях математики часто встречаются понятия векторной функции
и ее производной. Если каждому значению переменной t из некоторого множества
T ставится в соответствие по известному закону определенный вектор a , то говорят, что на множестве T задана векторная функция a  a (t ) .
Так как каждый вектор a в заданной декартовой прямоугольной системе координат однозначно определяется тремя координатами х, у и z , то задание векторной
функции
эквивалентно заданию трех скалярных функций
a  a (t )
x  x(t ), y  y(t ) и z  z (t ) .
Понятие векторной функции приобретает особую наглядность при обращении к так называемому годографу этой функции (т. е. геометрическому месту
концов всех векторов a  a (t ) , приложенных к началу координат О). На рис. 5.4
кривая L представляет собой годограф векторной функции a  a (t ) .
Понятие годографа векторной функции является естественным обобщением
понятия графика скалярной функции.
Введем понятие производной векторной функции a  a (t ) в данной фиксированной точке t.
Зададим аргументу в точке t произвольное приращение t  0 и рассмотрим соответствующий вектор приращения a  a (t  t )  a (t ) . (На рис. 5.4 указанный
вектор совпадает с MP .) Умножив указанный вектор на
1
число
, мы получим новый вектор
t
a 1
  a (t  t )  a (t )  ,
(5)
t t
коллинеарный прежнему. Вектор (5), очевидно, представляет собой среднюю скорость изменения векторной
функции на отрезке t; t  t  .
Производной векторной функции a  a (t ) в данной фиксированной точке t
называется предел при t  0 вектора (5) (при условии, что этот предел существует).
Для обозначения производной векторной функции a  a (t ) используются
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
45
da
.
dt
Из геометрических соображений очевидно, что производная векторной
функции a  a (t ) представляет собой вектор, касательный к годографу этой
символы a(t ) или
функции.
Так как координаты вектора (5) соответственно равны
x(t  t )  x(t )
y (t  t )  y (t ) z (t  t )  z (t )
,
,
,
t
t
t
то ясно, что координаты производной a(t ) равны производным функций
x(t ), y(t ), z(t ) . Таким образом, вычисление производной векторной функции сводится к вычислению производных ее координат.
Замечание 1. Так как векторная функция a  a (t ) определяет закон движения материальной точки по кривой L, представляющей собой годограф этой
функции, то производная a(t ) равна скорости движения по указанной кривой.
§ 7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
В настоящем параграфе будет установлен ряд важных теорем, относящихся
к произвольным дифференцируемым функциям. Эти теоремы чрезвычайно эффективны при исследовании поведения функции (как в окрестности отдельных
точек области ее задания, так и на целых участках области ее задания).
Рассмотрим функцию y  f ( x) , определенную в некоторой окрестности
точки x0 .
Определение 1. Точка x0 называется точкой локального максимума (локального минимума) функции y  f ( x) , если найдется такая  -окрестность точки
x0 , что для всех точек x  x0 из этой  -окрестности выполняется неравенство
f ( x0 )  f ( x)
 f ( x0 ) 
f ( x)  .
Иначе, точка x0 называется точкой локального максимума (локального минимума) функции y  f ( x) , если найдется такая  -окрестность точки x0 , в пределах которой значение f ( x0 ) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений этой функции.
Точки локального минимума и локального максимума называют точками
экстремума функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
На рис. 6.1 изображена функция, имеющая локальный максимум в точке c3
и локальный минимум в точке c4 .
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
46
Теорема 1 (необходимое условие локального экстремума). Если функция
y  f ( x) дифференцируема в точке x0 и имеет в этой точке локальный экстремум,
то f ( x0 )  0 .
Теорема 1 имеет очень простой геометрический смысл: она утверждает, что
если точка x0 является точкой локального экстремума и в этой точке можно провести касательную к графику функции y  f ( x) , то эта касательная обязательно
параллельна оси Ох (рис. 7.2).
Рис. 7.2
Рис. 7.3
Теорема 2 (теорема Ролля). Пусть функция f ( x) непрерывна на отрезке
 a; b , дифференцируема в интервале
(a; b) и удовлетворяет условию f (a)  f (b) .
Тогда найдется хотя бы одна точка c  (a; b) такая, что f (c)  0 .
Теорема Ролля имеет следующий геометрический смысл: если выполняются
условия теоремы, то на графике функции y  f ( x) найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох (рис. 7.3).
Большое значение в анализе и его приложениях имеет следующая теорема,
принадлежащая Лагранжу.
Теорема 3 (теорема Лагранжа). Если функция f ( x) непрерывна на отрезке
 a; b
и дифференцируема в интервале (a; b) , то найдется хотя бы одна точка
c  (a; b) такая, что справедливо равенство
f (b)  f (a)  f (c)(b  a) .
(1)
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
47
Формулу (1) называют формулой конечных приращений.
Замечание. В формуле (1) не обязательно считать, что a  b , она верна и
при a  b .
Для выяснения геометрического смысла теоремы Лагранжа заметим, что
f (b)  f (a)
величина
есть угловой коэффициент секущей, проходящей через
ba
точки A  a; f (a)  и B  b; f (b)  графика функции y  f ( x) , а f (c) есть угловой
коэффициент касательной к графику, проходящей через точку C  c; f (c)  . Формула (1) означает, что на графике функции y  f ( x) между точками А и В найдется
такая точка С, касательная в которой параллельна секущей АВ (рис. 7.4).
Рис. 7.4
Следствие 1. Если f ( x)  0 на интервале (a; b) , то функция f ( x) является
постоянной на этом интервале.
Теорема 4 (теорема Коши). Если функции f ( x) и g ( x) непрерывны на отрезке  a; b и дифференцируемы в интервале (a; b) , причем g ( x)  0 в этом интервале, то найдется хотя бы одна точка c  (a; b) такая, что справедливо равенство
f (b)  f (a) f (c)
.
(3)

g (b)  g (a) g (c)
Формулу (3) называют обобщенной формулой конечных приращений.
Замечание 1. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши
при g ( x)  x .
Замечание 2. В формуле (3) не обязательно считать, что a  b . Она верна и
при a  b .
§ 8. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
Будем говорить, что отношение двух функций
f ( x)
представляет собой неg ( x)
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
определенность вида
48
0 
  при x  x0 , если
0 
lim f ( x)  lim g ( x)  0 ( )
x x0
xx0
0
.
0
Теорема 1 (первое правило Лопиталя). Пусть функции f ( x) и g ( x) удовле-
Следующая теорема дает правило раскрытия неопределенности вида
творяют следующим условиям:
1) f ( x) и g ( x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0 ;
2) f ( x0 )  g ( x0 )  0 ;
3) g ( x)  0 в указанной окрестности точки x0 ;
4) существует конечный или бесконечный предел lim
x  x0
f ( x)
.
g ( x)
f ( x)
, причем справедливо равенство
x  x0 g ( x)
f ( x)
f ( x)
.
lim
 lim
x x0 g ( x)
x x0 g ( x)
Замечание 1. Теорема 1 верна и в случае, когда функции f ( x) и g ( x) не
Тогда существует также предел lim
определены в точке x0 , но lim f ( x)  lim g ( x)  0 . Достаточно
xx0
xx0
положить
f ( x0 )  g ( x0 )  0 .
Замечание 2. Теорема 1 справедлива и в том случае, когда x0   . Действительно, пусть для определенности функции f ( x) и g ( x) удовлетворяют
условиям теоремы в некоторой окрестности  (т.е. в некотором интервале
1
1
1
(a ;  ) ). Произведя замену x  , в силу того, что функции f   и g   будут
t
t 
t 
удовлетворять условиям теоремы уже в некоторой окрестности точки t0  0 , получим


f ( x)
lim
 lim 
x  g ( x )
t 0



Пpимep 1. Найти lim
x 1

1
 1  1 
1
f  
f     2 
f  
f ( x)
t
t 
t
 t 
 lim  
 lim    lim
.
t 0
1  1  t 0  1  x g ( x)


1
g     2 
g 
f  
t  t 

t 
 t 
x 1
.
x ln x
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
49
x  1
x 1  0 

1
Решение. lim
    lim
 lim
 1.
x 1 x ln x
 0  x1  x ln x  x1 ln x  1
x  sin x
.
x 0
x3
x  sin x  0 
1  cos x  0 
sin x 1
    lim
    lim
 .
Решение. lim
3
2
x 0
x
6
 0  x0 3x
 0  x0 6 x
Здесь мы дважды применили правило Лопиталя.

Для раскрытия неопределенности вида
справедливо утверждение, пол
ностью аналогичное теореме 8.1, которое мы примем без доказательства.
Теорема 2 (второе правило Лопиталя). Пусть функции f ( x) и g ( x) удовле-
Пpимep 2. Найти lim
творяют следующим условиям:
1) f ( x) и g ( x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0 ;
2) lim f ( x0 )  lim g ( x0 )   ;
xx0
xx0
3) g ( x)  0 в указанной окрестности точки x0 ;
4) существует конечный или бесконечный предел lim
x  x0
f ( x)
.
g ( x)
f ( x)
, причем справедливо равенство
x  x0 g ( x)
f ( x)
f ( x)
.
lim
 lim
x x0 g ( x)
x x0 g ( x)
Тогда существует также предел lim
Следует отметить, что неопределенности вида 0   ,    , 1 , 0 , 00 сво0

дятся к неопределенностям и
с помощью тождественных преобразований и
0

тоже могут быть раскрыты с помощью правила Лопиталя.
Пример 3. Найти предел lim x ln x .
x0
1
ln x   
    lim x   lim x  0 .
Решение. lim x ln x   0     lim
x 0
x 0 1
x 0
   x0 1
2
x
x
1
Пример 4. Найти предел lim  
x 0 x
 
tg x
.
1
Решение. Имеем неопределенность вида  . Обозначим lim  
x 0 x
 
0
tg x
 A , то-
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
50
гда
tg x
tg x

ln x   

1 
1
 1 
ln A  ln  lim     limln    lim  tg x  ln      lim
 .
 x0  x   x0  x 
x0
x0 ctg x
x







Применяя правило Лопиталя, получим
 1 
 x 
 sin 2 x 
ln A   lim 
 lim
 x  0.
x 0
1  x0  x 2

 2 
 sin x 
Следовательно, A  eln A  e0  1 .
§ 9. Формула Тейлора
Если функция y  f ( x) имеет в точке x0 производную, то ее приращение
можно представить в виде
y  Ax  o(x) , x  0 ,
где x  x  x0 , y  f ( x)  y0 , y0  f ( x0 ) , т.е.
f ( x)  y0  A( x  x0 )  o( x  x0 ) .
Иначе говоря, существует линейная функция
P1 ( x)  y0  A( x  x0 )
(1)
такая, что
f ( x)  P1 ( x)  o( x  x0 ) , x  x0 ,
причем
P1 ( x0 )  y0  f ( x0 ) , P1( x0 )  A  f ( x0 ) .
Поставим более общую задачу. Пусть функция f ( x) имеет в точке x0 производные до n -го порядка включительно. Требуется выяснить, существует ли
многочлен Pn ( x) степени не выше n , такой, что
f ( x)  Pn ( x)  o  ( x  x0 ) n  , x  x0 ,
(2)
и
f ( x0 )  Pn ( x0 ) , f ( x0 )  Pn( x0 ),
, f ( n ) ( x0 )  Pn( n) ( x0 ) .
(3)
Будем искать этот многочлен, по аналогии с формулой (1), в виде
Pn ( x)  A0  A1 ( x  x0 )  A2 ( x  x0 )2   An ( x  x0 ) n .
Замечая, что Pn ( x0 )  A0 , из первого условия (3), т.е. f ( x0 )  Pn ( x0 ) , имеем
A0  f ( x0 ) . Далее,
Pn ( x)  A1  2 A2 ( x  x0 ) 
 nAn ( x  x0 )n1 ,
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
51
отсюда Pn ( x0 )  A1 , и так как Pn ( x0 )  f ( x0 ) , то A1  f ( x0 ) . Затем найдем вторую
производную многочлена Pn ( x) :
Pn ( x)  2 1  A2 
n(n  1) An ( x  x0 ) n2 .
f ( x0 )
Отсюда и из условия f ( x0 )  Pn ( x0 ) получим A2 
. Аналогично устанав2!
ливаются равенства
f ( k ) ( x0 )
, k  0,1, , n .
k!
В силу самого построения, для многочлена
f ( k ) ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
k
Pn ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 )  
( x  x0 )  
( x  x0 )n
k!
n!
выполнены все соотношения (3). Проверим, удовлетворяет ли он условию (2).
Пусть
rn ( x)  f ( x)  Pn ( x) .
Из условий (3) следует, что
rn ( x0 )  rn ( x0 )   rn( n ) ( x0 )  0 .
(4)
Ak 
Поэтому, применяя n раз правило Лопиталя, получаем:
rn ( x0 )
rn ( x0 )

lim

x x0 ( x  x ) n
x x0 n( x  x ) n 1
0
0
lim
т.е. rn ( x)  o  ( x  x0 ) n  , x  x0 .
rn( n1) ( x0 ) rn( n ) ( x0 )

 0,
x x0 n!( x  x )
n
!
0
 lim
Итак, доказана следующая очень важная теорема.
Теорема 1. Пусть функция f ( x) определенная на интервале (a; b) имеет в
точке x0  (a; b) производные до порядка n включительно. Тогда при x  x0
f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
f ( x)  f ( x0 ) 
( x  x0 )  
( x  x0 )n  o  ( x  x0 )n  , (5)
1!
n!
n
f ( k ) ( x0 )
( x  x0 ) k  o  ( x  x0 ) n  .
или f ( x)  
k!
k 0
Формула (5), называется формулой Тейлора n -го порядка с остаточным
членом в форме Пеано.
Многочлен
f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
(6)
Pn ( x)  f ( x0 ) 
( x  x0 )  
( x  x0 )n
1!
n!
называется многочленом Тейлора, а функция
rn ( x)  f ( x)  Pn ( x)
(7)
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
52
– остаточным членом n-го порядка формулы Тейлора. Как показано, остаточный
член rn ( x)  o  ( x  x0 ) n  при x  x0 , т.е. является бесконечно малой более высокого порядка при x  x0 , чем все члены многочлена Тейлора (6).
Укажем другой вид записи формулы (5). Полагая
x  x0  x , y  f ( x0  x)  f ( x0 ) ,
получим
f ( k ) ( x0 ) k
y  
x  o  x n  , x  0 .
k!
k 0
Если в формуле (5) x0  0 , то получается частный вид формулы Тейлора,
n
называемый обычно формулой Маклорена:
n
f ( k ) (0) k
f ( x)  
x  o( x n ) , x  0 .
k!
k 0
Формула Тейлора позволяет любую функцию, удовлетворяющую условиям
теоремы 9.1 заменить в окрестности некоторой точки многочленом с точностью
до бесконечно малых более высокого порядка, чем члены многочлена. Таким
многочленом является многочлен Тейлора. Величина погрешности дается при
этом остаточным членом.
Замечание 1. Существуют различные виды записи остаточного члена в
формуле Тейлора. Например, форма Лагранжа
f ( n1) ( )
rn ( x) 
( x  x0 ) n1 ,    x0 ; x  .
(n  1)!
Разложения некоторых функций по формуле Тейлора (Маклорена)
x3 x5 x 7
x 2 n1
 o( x 2 n 2 ) при x  0 ;
1. sin x  x      (1) n
3! 5! 7!
(2n  1)!
x2 x4 x6
2. cos x  1    
2! 4! 6!
3.
4.
5.
В
x2n
 (1)
 o( x 2 n1 ) при x  0 ;
(2n)!
n
x 2 x3
xn
e  1  x      o( x n ) при x  0 ;
2! 3!
n!
n
x2
n1 x
ln(1  x)  x    (1)
 o( x n ) при x  0 ;
2
n
 (  1) 2  (  1)(  2) 3
(1  x)  1   x 
x 
x  
2!
3!
 (  1) (  n  1) n

x  o( x n ) при x  0 .
n!
качестве примера применения формулы Тейлора вычислим предел
x
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
53
0
e x  e x  2 x
, т.е. раскроем неопределенность вида . Используя приведенные
lim
x 0
0
x  sin x
выше разложения, получим при x  0
x 2 x3
x 2 x3
x
3
x
e  1  x    o( x ) , e  1  x    o( x3 ) ,
2! 3!
2! 3!
x3
sin x  x   o( x3 ) .
3!
Тогда
x3
x3
3
 o( x )
e x  e x  2 x
3
lim
 lim 3
 lim 33  2 .
x 0
x

0
x 0 x
x
x  sin x
 o( x 3 )
6
6
При вычислении предела мы использовали тот факт, что сумма бесконечно
малых функций различных порядков малости эквивалентна слагаемому низшего
x3
x3
x3
x3
3
3
порядка, т.е.
,а
при x  0 .
 o( x )
 o( x )
3
3
6
6
§ 10. Условие монотонности функции.
Достаточные условия локального экстремума
Теорема 1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a; b) функция
y  f ( x) неубывала (невозрастала) на этом интервале необходимо и достаточно,
чтобы во всех его точках производная была неотрицательной, f ( x)  0 (соответ-
ственно, неположительной, f ( x)  0 ).
Если всюду на (a; b) производная положительна: f ( x)  0 (соответственно
отрицательна: f ( x)  0 ), то функция f ( x) возрастает (убывает) на интервале
(a; b) .
Замечание. Условия f ( x)  0 и f ( x)  0 являются достаточными, но не
являются необходимыми для возрастания и, соответственно, убывания функции.
В качестве примера можно привести функцию y  x3 , которая возрастает на всей
числовой прямой, но имеет равную нулю производную в точке x  0 .
Пример 1. Найти промежутки монотонности функции
f ( x)  x 3  3 x 2  4 .
Решение. Производная f ( x)  3x  x  2  этой функции положительна при
x  0 и при x  2 , и отрицательна при 0  x  2 . Поэтому функция f ( x) возраста-
ет на промежутках (;0) и (2;  ) и убывает на интервале (0;2) . График этой
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
54
функции изображен на рис. 10.1.
Рис. 10.1
В § 7 было установлено необходимое условие экстремума дифференцируемой в данной точке функции: если функция y  f ( x) дифференцируема в данной
точке x0 и имеет в этой точке локальный экстремум, то f ( x0 )  0 .
Вместе с тем было отмечено, что обращение в нуль производной является
только необходимым и не является достаточным условием локального экстремума дифференцируемой в данной точке функции.
Так, функция f ( x)  x3 имеет производную f ( x)  3x 2 , обращающуюся в
ноль в точке x  0 , но никакого экстремума в этой точке функция не имеет.
Точки, в которых производная функции f ( x) равна нулю или не существует, но функция является непрерывной, будем называть критическими точками
функции f ( x) . Каждая критическая точка – это точка возможного экстремума
функции.
Однако сделать заключение о том, что в данной критической точке на самом деле имеется экстремум, можно лишь на основании дополнительного исследования, для проведения которого мы должны установить достаточные условия
экстремума.
Теорема 2. Пусть функция f ( x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 за исключением, быть может, самой точки x0 , и пусть точка x0 является критической точкой функции f ( x) . Тогда если при переходе аргумента через
точку x0 слева направо производная f ( x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция f ( x) имеет в точке x0 локальный максимум (минимум).
Если же при переходе аргумента через точку x0 производная f ( x) сохраняет
знак, то экстремума в точке x0 нет.
Пример 2. Найти точки экстремума функции f ( x)  x3  3x 2  4 . Поскольку
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
55
f ( x)  3x  x  2  , то функция f ( x) имеет две критические точки: x  0 и x  2 .
При переходе через точку x  0 производная меняет знак с плюса на минус, а при
переходе через точку x  2 – с минуса на плюс. Следовательно, x  0 – точка локального максимума, а x  2 – точка локального минимума (см. рис. 7.2).
Пример 3. Найти точки экстремума функции f ( x)  ( x  2)5 . Производная
f ( x)  5  x  2  обращается в нуль в единственной точке x  2 . Так как f ( x) по4
ложительна как слева, так и справа от этой точки, то функция f ( x)  ( x  2)5 не
имеет точек экстремума. График этой функции изображен на рис. 7.3.
Иногда вызывает затруднение исследование знака первой производной
f ( x) слева и справа от критической точки. На этот случай мы укажем другое достаточное условие экстремума в данной критической точке x0 , не требующее исследования знака f ( x) в окрестности x0 , но зато предполагающее существование в точке x0 отличной от нуля конечной второй производной f ( x) .
Теорема 3. Пусть f ( x0 )  0 , а f ( x0 )  0
 f ( x0 )  0  . Тогда функция
f ( x)
имеет в точке x0 локальный максимум (минимум).
Пример 3. Для функции f ( x)  x3  3x 2  4 выполняются условия f (2)  0 ,
f (2)  0 (так как f ( x)  6 x  x ), следовательно, точка x  2 является точкой локального минимума.
§ 11. Выпуклость графика функции и точки перегиба
Предположим, что функция y  f ( x) дифференцируема в любой точке интервала (a; b) . Тогда через любую точку M  x; f ( x)  (a  x  b) графика функции
y  f ( x) можно провести касательную, причем эта касательная не параллельна
оси Оу.
Определение 1. График функции y  f ( x) называется выпуклым (вогнутым) на интервале (a; b) , если график этой функции в пределах указанного интер-
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
56
вала расположен не выше (не ниже) касательной к графику в любой точке
M  x; f ( x)  (a  x  b) .
Рис. 11.1
Рис. 11.2
На рис. 12.1 изображен график функции, выпуклый на интервале (a; b) , а на
рис. 12.2 изображен график функции, вогнутый на интервале (a; b) .
Теорема 1. Если функция y  f ( x) имеет на интервале (a; b) конечную вторую производную f ( x)  0
 f ( x)  0 ,
то график функции y  f ( x) является
выпуклым (вогнутым) на интервале (a; b) .
Определение 2. Точка M  x0 ; f ( x0 )  графика функции y  f ( x) называется
точкой перегиба, если при переходе через эту точку график функции меняет характер выпуклости.
На рис. 11.3 изображен график функции, имеющий перегиб в точке
M  c; f (c)  .
Рис. 11.3
Теорема 2 (необходимое условие перегиба графика функции). Если функция y  f ( x) имеет в точке с вторую производную и график этой функции имеет
перегиб в точке M  c, f (c)  , то f (c)  0 .
Теорема 3. Пусть функция y  f ( x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки с и f (c)  0 . Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная f ( x ) имеет разные знаки слева и справа от точки с, то
график этой функции имеет перегиб в точке M  c, f (c)  .
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
57
§ 12. Асимптоты графика функции. Построение графиков
Определение 1. Прямая x  a называется вертикальной асимптотой графика функции y  f ( x) , если хотя бы один из пределов
lim f ( x) или
xa 0
lim f ( x)
xa 0
равен  или  .
Пример 1. График функции y 
1
имеет вертикальную асимптоту x  0 ,
x
1
1
  , lim   .
x 0 x
x 0 x
Предположим далее, что функция y  f ( x) определена для сколь угодно
так как lim
больших (по абсолютной величине) значений аргумента.
Определение 2. Прямая y  kx  b называется наклонной асимптотой графика функции y  f ( x) при x   , если f ( x) представима в виде
f ( x)  kx  b   ( x) ,
(1)
где lim  ( x)  0 .
x
Теорема 1. Для того чтобы график функции y  f ( x) имел при x  
наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела
f ( x)
(2)
lim
 k и lim  f ( x)  kx   b .
x 
x 
x
Замечание. Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается
теорема 7.11 и для случая x   .
2 x2  x
имеет
наклонную асимптоту
x 1
y  2 x  1 и при x   , и при x   и, кроме того, имеет вертикальную асимптоту x  1. В самом деле,
f ( x)
2 x2  x
1 

lim
 lim
 2 , lim  f ( x)  2 x   lim  1 
  1,
x 
x  x ( x  1)
x 
x
x
x 1

lim f ( x)   , lim f ( x)   .
Пример 1. График
функции y 
x1 0
x10
Для построения графика функции y  f ( x) целесообразно прежде всего
провести следующие исследования:
1. Найти область задания и точки разрыва функции.
2. Выявить особенности функции (четность, нечетность, периодичность).
3. Выяснить вопрос о существовании асимптот (вертикальных и наклонных).
4. Найти промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума.
краткий курс лекций по математическому анализу 1-й семестр
5. Найти промежутки выпуклости-вогнутости и точки перегиба.
6. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
По полученным данным легко строится эскиз графика функции.
58