Основные формулы по высшей математике

Основные формулы
Если точка
Ax1, y1, z1 
- начало, а точка Bx2 , y2 , z2  - конец вектора
AB ,
то
AB  x2  x1   i   y2  y1   j  z2  z1  k .
Векторы a   ax , a y , az  и b   bx , by , bz  коллинеарны тогда и только тогда, когда
ax a y az


 k.
bx by bz
Скалярное произведение векторов :
a  b  a  b  cos , или ab  a npa b .
npa b 
ab
.
a
Если a  ax  i  ay  j  az  k , b  bx  i  by  j  bz  k ,
то a  b  ax  bx  ay  by  az  bz .
Длина вектора a   ax , a y , az  равна a  a 2  ax 2  a y 2  az 2 .
Косинус угла  между векторами a и b находят по формуле
cos  
a b
ab

ax  bx  a y  by  az  bz
ax2  a y2  az2  bx2  by2  bz2
.
Если векторы a и b взаимно перпендикулярны, то
a  b  axbx  ayby  azbz  0.
Если
A  x1 , y1 , z1 
и
B  x2 , y2 , z2  ,
то
длина
отрезка
AB
равна
AB  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  ( z2  z1 )2 .
Деление отрезка в данном отношении  :
x1   x2
y   y2
z   z2
, y 1
, z 1
.
1 
1 
1 
Координаты середины отрезка:
x x
y  y2
z z
x 1 2, y 1
, z 1 2.
2
2
2
x
Направляющие косинусы вектора.
cos  
a
ay
ax
ax
a
az

, cos   y 
,
, cos   z 
a
a
a
ax 2  a y 2  az 2
ax 2  a y 2  az 2
ax 2  a y 2  az 2
причем cos2   cos 2   cos 2   1.
Векторное произведение векторов
1
a   ax , a y , az  и b   bx , by , bz  вычисляют по формуле:
i
a  b  ax
bx
j
ay
by
k
az .
bz
1
2
Площадь треугольника, построенного на этих векторах: S  a  b .
a b  a  b  0.
Смешанное произведение векторов
a, b и c :
Если a   ax , a y , az  , b   bx , by , bz  и c   cx , c y , cz  , то
ax a y az
a  b  c  bx
by
bz .
cx
cy
cz
. Если a , b и c компланарны, то a  b  c  0.
Объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c : V  a  b  c .
Объем пирамиды, построенной на этих векторах: V 
1
a b c .
6
Основные уравнения прямой на плоскости:
1)
2)
Ax  By  C  0 - общее уравнение прямой;
A  x  x0   B  y  y0   0 - уравнение прямой, проходящей через точку M 0 x0 , y0 
перпендикулярно вектору n   A, B  .
x  x0 y  y0
- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку

m
p
M 0 x0 , y0  параллельно направляющему вектору a   m, p  ;
3)
4) x  mt  x0 , y  pt  y0 -параметрические уравнения прямой;
x  x1
y  y1

5)
- уравнение прямой, проходящей через две точки M1  x1 , y1  и
x2  x1 y2  y1
M 2  x2 , y2  .
x y
6)   1 - уравнение прямой в отрезках, где a и b - величины направленных
a b
отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях Ox и Oy соответственно;
7) y  kx  b - уравнение прямой с угловым коэффициентом, где k - угловой
коэффициент прямой, а b - отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy;
8) y  y0  k  x  x0  - уравнение прямой (или пучка прямых), проходящей через точку
M 0 x0 , y0 , где k - угловой коэффициент прямой.
2
Взаимное расположение прямых, заданных различными
уравнениями.
1. Пусть даны прямые l1 : y  k1 x  b1 ,
l2 : y  k2 x  b2 .
k k
Угол между этими прямыми tg  2 1 .
1  k1  k2
1
l1  l2  k1   .
l1 // l2  k1  k2 .
k2
2. Пусть две прямые заданы общими уравнениями
l1 : A1 x  B1 y  C1  0,
l2 : A2 x  B2 y  C2  0.
Тогда угол  между этими прямыми равен углу между их нормалями n1   A1 , B1  и
n2   A2 , B2  , т. е.
n1 n2
cos  

n1 n2
A1  A2  B1  B2
A12  B12  A22  B22
.
Условие перпендикулярности: l1  l2 
n1  n2  A1  A2  B1  B2  0.
Условие параллельности: l1 l2  n1 n2 
A1 B1
 .
A2 B2
3. Пусть прямые l1 и l2 заданы каноническими уравнениями l1 :
l2 :
x  x0 y  y0

,
m1
p1
x  x0 y  y0

.
m2
p2
Тогда cos  
a1 a2

a1 a2
m1  m2  p1  p2
m12  p12  m22  p22
.
Условие перпендикулярности: l1l2  a1a2  l1  l2  m1  m2  0.
l
m
Условие параллельности: l1 l2  a1 a2  1  1 .
l2 m2
Расстояние от точки M 0 ( x0 , y0 ) до прямой Ax  By  C  0 :
d
Ax0  By0  D
A2  B 2
.
Основные уравнения плоскостей:
1) Ax  x0   B y  y0   Cz  z0   0 - уравнение плоскости, проходящей через точку
M 0 x0 , y0 , z0  перпендикулярно вектору n   A, B, C  ;
2) Ax  By  Cz  D  0 - общее уравнение плоскости ( A, B, C - координаты нормали
плоскости);
3
x  x1 y  y1 z  z1
3) x2  x1 y2  y1 z2  z1  0 - уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
x3  x1 y3  y1 z3  z1
M1x1, y1, z1  , M 2 x2 , y2 , z2  и M 3 x3 , y3 , z3  ;
4)
x y z
  1
a b c
- уравнение плоскости в отрезках, где a, b, c -величины направленных
отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях Ox, Oy и Oz соответственно.
Взаимное расположение плоскостей
Пусть P1 : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 ,
P2 : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 .
Тогда имеем:
A
B
C
1. P1 P2  n1 n2  1  1  1 ;
A2 B2 C2
2. P1  P2  n1 n2  0  A1 A2  B1B2  C1C2  0 .
cos 
n1  n2

n1  n2
A1 A2  B1B2  C1C2
A12
 B12  C12  A22  B22  C22
.
Расстояние от точки M x1, y1, z1  до плоскости Ax  By  Cz  D  0 находят по формуле
d
Ax1  By1  Cz1  D
A2  B 2  C 2
Основные уравнения прямых в пространстве:
x  x0 y  y0 z  z0
- канонические уравнения прямой в


m
p
q
проходящей через точку M 0 x0 , y 0 , z0  параллельно вектору a   m, p, q  ;
1)
2) x  mt  x0 ,
3)
y  pt  y0 ,
пространстве,
z  qt  z0 -параметрические уравнения;
x  x1
y  y1
z  z1


- уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки
x2  x1 y2  y1 z2  z1
M1 x1, y1, z1  , M 2 x2 , y2 , z2  ,
 A x  B y  C z  D  0,
1
1
1
3)  1
- общие уравнения прямой
A
x

B
y

C
z

D
2
2
2 0
 2
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
x  x0 y  y0 z  z0


,
m1
p1
q1
x  x1 y  y1 z  z1
l2 :


, где
m2
p2
q2
Пусть l1 :
a1   m1 , p1 , q1  , a2   m2 , p2 , q2  соответственно.
направляющие
4
векторы
прямых
l1
и
l2
а) l1 l2  a1 a2 , т.е. l1 l2  a1 a2 
m1 p1 q1

 ;
m2 p2 q2
б) l1  l2  a1  a2  m1m2  p1 p2  q1q2  0;
в) угол между прямыми l1 и l2
a a
m1m2  p1 p2  q1q2
cos   1 2 
.
2
a1  a2
m1  p12  q12  m22  p22  q22
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Прямая параллельна плоскости, если n  a  Am  Bp  Cq  0 .
A B C
Прямая перпендикулярна плоскости, если n a    .
m p q
n a
Am  Bp  Cq
Угол между прямой и плоскостью sin  

.
2
na
A  B 2  C 2  m2  p 2  q 2
Кривые второго порядка
Каноническое уравнение окружности: x 2  y 2  R 2 , ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  R 2 .
Каноническое уравнение эллипса:
x2 y 2

 1.
a 2 b2
Числа a, b - полуоси эллипса.
Точки F1 (c,0), F2 (c,0) -фокусы эллипса, где c  a 2  b2 .
2с- расстояние между фокусами.
Отношение  
c

a
a2  b2
a
Уравнение гиперболы
-эксцентриситет эллипса.
x2 y2

 1.
a2 b2
Числа a, b - полуоси гиперболы.
очки F1 (c,0), F2 (c,0) -фокусы гиперболы, где c  a 2  b2 .
2с- расстояние между фокусами.
b
b
y  x, y   x. -асимптоты гиперболы.
a
a

c
a 2  b2
- эксцентриситет гиперболы.

a
a
p
2
y 2  2 px, x 2  2 py -уравнения парабол. Точка F ( ,0) -фокус параболы, x  
параболы.
5
p
-директриса
2
6