Основные_формулы_по_алгебре_и_геометрии

Векторная алгебра
1) Если даны точки Ax1 , y1 , z1  и Bx2 , y2 , z2  , то
AB  x2  x1 ; y 2  y1 ; z 2  z1  или AB  x2  x1   i   y 2  y1   j  z 2  z1  k .
2) Пусть a  a x , a y , a z  , b  bx , by , bz  и c  с x , с y , с z  ,   R .
Тогда a  b  a x  bx ; a y  by ; a z  bz ,   a    a x ;  a y ;  a z  .
3) Условие коллинеарности: a || b 
ax a y az

 .
bx b y bz
4) Модуль (длина) вектора: a  a x2  a y2  a z2 .
5) Направляющие косинусы
ay
a
a
2
2
cos  x , cos   , cos   z , причем cos   cos
a
a
a
  cos 2   1 ,
a0  cos ; cos  ; cos   - орт вектора a
6) Скалярное произведение векторов: a  b  a  b  cos или
a  b  ax  bx  a y  by  az  bz .
cos  
a b
ab
; a  b  a  прa b ; прa b 
2
a b
.
a
2
Скалярный квадрат: a  a .
7) Условие перпендикулярности векторов: a  b  a  b  0 .
i
j k
8) Векторное произведение векторов: a  b  a x a y a z .
bx b y bz
S пар  a  b ; S  
1
ab .
2
ax a y az
9) Смешанное произведение векторов: a  b  c  bx
by
bz .
cx
cy
cz
Если a, b и c компланарны, то a  b  c  0.
1
Vпарал лел епипеда  a  b  c , Vпирам иды  a  b  c .
6
10) Деление отрезка в данном отношении:
Если Ax1 , y1 , z1  и
Bx2 , y2 , z2  - концы отрезка, а M x; y; z  - точка, делящая отрезок в
z    z2
x    x2
y    y2
, y 1
, z 1
отношении  , то x  1
.
1 
1 
1 
y  y2
x  x2
z  z2
Если M x; y; z  - точка, делящая отрезок пополам, то x  1
.
, z 1
, y 1
2
2
2
1
Прямая на плоскости
1) Ax  By  C  0 - общее уравнение прямой;
2) A  x  x0   B   y  y0   0 - уравнение прямой, проходящей через точку M 0 x0 , y0 
перпендикулярно вектору n   A, B  ;
x  x0 y  y 0

3)
- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку
m
р
M 0 x0 , y0  параллельно направляющему вектору S  m, р  ;
4) x  mt  x0 , y  рt  y0 -параметрические уравнения прямой;
x  x1
y  y1
- уравнение прямой, проходящей через две точки M1 x1 , y1  и

x2  x1 y 2  y1
M 2 x2 , y2  ;
x y
6)   1 - уравнение прямой в отрезках, где a и b - величины отрезков,
a b
отсекаемых прямой на координатных осях Ox и Oy соответственно;
7) y  k  x  b - уравнение прямой с угловым коэффициентом, где k - угловой
коэффициент прямой, а b - отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy;
5)
8) y  y 0  k   x  x 0  - уравнение прямой, проходящей через точку M 0 x0 , y0  с
заданным угловым коэффициентом k .
k k
n n
9) Угол  между двумя прямыми l1 и l 2 : tg  2 1 и cos   1 2 .
1  k1  k 2
n1  n2
10) Условие перпендикулярности: l1  l2  k1  
1
или A1 A2  B1 B2  0.
k2
A1 B1
.

A2 B2
до прямой Ax  By  C  0 :
11) Условие параллельности: l1 || l2  k1  k2 или
12) Расстояние от точки M 0 x0 ; y 0 
d
Ax0  By 0  C
A2  B 2
.
Кривые второго порядка
2
2
1) Каноническое уравнение окружности: x  x0    y  y0   R 2
центр в точке C  x 0 ; y 0  радиус равен R .
x  x0   y  y 0 
x2 y2

 1.
 2  1 или
2
a2
b2
a
b
Числа a, b называются полуосями эллипса, точки F1 (c,0), F2 (c,0) - фокусы эллипса,
2
2
2) Каноническое уравнение эллипса:
c  a 2  b2 .
c
a2  b2
называется эксцентриситетом эллипса.

a
a
x  x0 2  y  y 0 2
x2 y2

 1.
3) Каноническое уравнение гиперболы 2  2  1 или
a2
b2
a
b
Числа a, b называются действительной и мнимой полуосями, точки
Отношение  
F1 (c,0), F2 (c,0) -фокусы гиперболы, c  a 2  b 2 .
b
b
y  x, y   x -асимптоты гиперболы.
a
a
2

c
a2  b2
- называется эксцентриситетом гиперболы.

a
a
4) Каноническое уравнения параболы: y 2  2 px, p  0 x 2  2 py  или
 y  y0 2  2 px  x0 , x  x0 2  2 p y  y0 .
  p 
p 
Точка F  ;0  - фокус параболы  F  0;   .
2 
  2 
p
p

x   - уравнение директрисы параболы  y    .
2
2

Плоскость
1) Ax  x0   B y  y0   C z  z0   0 - уравнение плоскости, проходящей через точку
M 0 x0 , y0 , z0  перпендикулярно вектору n   A, B, C  ;
2) Ax  By  Cz  D  0 - общее уравнение плоскости, где n   A, B, C  - нормаль
плоскости;
x  x1 y  y1 z  z1
3) x2  x1 y2  y1 z 2  z1  0 - уравнение плоскости, проходящей через три заданные
x3  x1 y3  y1 z3  z1
точки M1x1, y1, z1  , M 2 x2 , y2 , z2  и M 3 x3 , y3 , z3  ;
x y z
   1 - уравнение плоскости в отрезках, где a, b, c - величины отрезков,
4)
a b c
отсекаемых плоскостью на координатных осях Ox, Oy и Oz соответственно.
5) Угол  между двумя плоскостями:
n n
A1 A2  B1 B2  C1C2
.
cos   1 2 
2
n1  n2
A1  B12  C12  A22  B22  C22
6) Условие параллельности двух плоскостей:
A
B
C
П1 || П 2  n1 || n2  1  1  1 .
A2 B2 C 2
7) Условие перпендикулярности двух плоскостей:
П1  П 2  n1  n2  n1  n2  0  A1 A2  B1 B2  C1C 2  0 .
8) Расстояние от точки M x1, y1, z1  до плоскости Ax  By  Cz  D  0 находят по
формуле
Ax1  By1  Cz1  D
d
A2  B 2  C 2
Прямая в пространстве
1)
x  x0 y  y 0 z  z 0


m
p
q
канонические
уравнения
прямой
в
пространстве,
проходящей через точку M 0 x0 , y 0 , z0  параллельно вектору S  m, p, q  ;
2) x  mt  x0 , y  pt  y0 , z  qt  z 0 - параметрические уравнения;
x  x1
y  y1
z  z1


3)
- уравнения прямой в пространстве, проходящей через две
x2  x1 y 2  y1 z 2  z1
точки M1x1, y1, z1  , M 2 x2 , y2 , z2  .
3
 A x  B1 y  C1 z  D1  0,
4)  1
- общие уравнения прямой.
 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
i
Направляющий вектор этой прямой S  n1  n2  A1
j
B1
k
C1 .
A2
B2
C2
5) Угол между двумя прямыми l1 и l 2 :
cos  
S1  S 2
S1  S 2

m1 m2  p1 p 2  q1 q 2
m12  p12  q12  m22  p 22  q 22
.
6) Условие параллельности двух прямых:
m1
p
q
 1  1 .
m2 p 2 q2
7) Условие перпендикулярности двух прямых:
l1 || l 2  S1 || S 2 
l1  l 2  S1  S 2  m1 m2  p1 p 2  q1 q 2  0 .
8) Угол между прямой и плоскостью:
nS
sin  
.
nS
9) Условие параллельности прямой и плоскости:
n  S  Am  Bp  Cq  0 .
10) Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
n || S 
A B C
  .
m p q
4