Рассматривается новая задача о влиянии проницаемой О ВЛИЯНИИ ПРОНИЦАЕМЫХ ГРАНИЦ

О ВЛИЯНИИ ПРОНИЦАЕМЫХ ГРАНИЦ
НА УСТОЙЧИВОСТЬ ТАНГЕНЦИАЛЬНЫХ РАЗРЫВОВ
П.П. Пастушков
Рассматривается новая задача о влиянии проницаемой
границы на гидродинамическую устойчивость тангенциальных разрывов. Соответствующая задача гидродинамики о стабилизации тангенциального разрыва с помощью проницаемой
границы в рамках линейной теории устойчивости доведена до
замкнутого дисперсионного уравнения, поддающегося аналитическому исследованию. Рассмотрены предельные случаи,
когда проницаемость мала или велика. Выявлена способность
проницаемой границы понижать неустойчивость тангенциальных разрывов.
Введение. Одним из вредных проявлений неустойчивости тангенциальных разрывов и слоев смешения является неустойчивость течения над вихревой ячейкой (вихревая ячейка – это каверна на стенке обтекаемого тела, применяется при реализации технологии «уловленный вихрь»
с целью предотвращения отрыва потока).
На рис. 1, представлена фотография дымовой визуализации течения около вихревой ячейки (получена в лаб. 107
НИИ механики МГУ [1]). Видно, что происходит потеря
устойчивости слоя смешения над ячейкой. В качестве одного
из способов стабилизации рассматривается установка проницаемой крышки над ячейкой. Это является мотивацией исследования общих вопросов о влиянии проницаемости на устойчивость слоев смешения. В данной работе исследуется частный случай – влияние проницаемой перегородки на устойчивость тангенциального разрыва.
1. Постановка задачи. Безграничное пространство заполнено идеальной несжимаемой жидкостью постоянной плотности  , давление на бесконечности P  Pa . В начальный момент времени в верхнем полупространстве ( z  0) имеется по100
стоянный поток V  (U ,0) , в нижнем полупространстве
( z  0) жидкость покоится V  0 . Следовательно, плоскость
z  0 - поверхность тангенциального разрыва (рис. 2).
Известно, что такой тангенциальный разрыв неустойчив по отношению к любым малым возмущениям [2].
Рассмотрим обобщённую задачу об устойчивости тангенциального разрыва в присутствии тонкой проницаемой границы. Пусть твёрдая недеформируемая проницаемая граница в
любой момент времени занимает положение z  0   , где  бесконечно малая величина. Из возможных типов проницаемости, выберем вариант без направляющего действия [3]. Тогда
граничные условия на проницаемой стенке сведутся к соотношениям:
Vz z 0  Vz z 0  V

(1)
 P z 0  P z 0  a Vn ,

Vx z 0  Vx z 0
первое уравнение записано для скорости просачивания, второе
– линейный закон просачивания (а – эмпирическая константа,
0  a   и имеет размерность скорости), а третье есть условие отсутствия направляющего действия проницаемости.
Пусть поверхность тангенциального разрыва описывается уравнением
z   ( x, t ) .
(2)
2. Линеаризация. Запишем уравнения движения жидкости (уравнение неразрывности и уравнения Эйлера):
 Vx Vz

0

z
 x
 Vx
Vx
 Vx
 Vz

x
 t
 Vz
Vz
 Vx
 Vz


t
x

Vx
1

z

Vz
1

z

p
x
p
z
(3)
Цель – исследовать устойчивость решения этой системы.
101
Линеаризуем систему уравнений (3) и пойдём по пути
исследования эволюции малых возмущений, описанном в [4].
Получим условия, связывающие давление и скорость:
k
(4)
i (Uk   )v 'z  p ' , при z   ,

i vz 
k

p , при z   .
(5)
Здесь, после линеаризации, p , vx , vz ,  - малые величины вместе со своими производными. Штрихами помечены
величины из верхнего полупространства.
3. Граничные условия. Скорость D изменения координаты  поверхности при заданной координате x

есть D 
. Поскольку нормальная к поверхности разрыва
t
компонента скорости жидкости равна скорости перемещения
самой поверхности, то в требуемом приближении имеем:


 v 'z  U
, при z   ,
(6)
t
x

 vz , при z   .
(7)
t
Ищем смещение  в виде   C *ei ( kxt ) и подставляем
его в уравнения (6) и (7). Далее классическое решение предполагало бы снесение граничных условий на ось абсцисс. Но в
данной задаче это невозможно, т.к. в непосредственной близости от прямой z  0 введена проницаемая стенка, которая сама
является поверхностью разрыва (на ней терпит разрыв давление). Следовательно, принципиальным является вопрос, с какой стороны от поверхности разрыва находится жидкость:
верхней или нижней, поэтому дальнейшее решение основывается на рассмотрении двух полуволн.
Рассмотрим полуволну   0 (рис. 3), тогда с точностью до малых второго порядка
102


(Uk   )2

V

v



i

,
p

p
'



z z 

z 
 n
t
k
.

i
i
i
2
 p  p
  vz z 0  Vn   vz z  

z 0

k
k
k
k

Аналогично рассматривая полуволну   0 , в общем
случае для  имеем:
(Uk   )2
2
 , p  
 , (8)
k
k
i ,   0
(9)
Vn  
i(Uk   ) ,   0
т.е. Vn нелинейно зависит от  .
4. Вывод дисперсионного уравнения. Воспользуемся
линейным законом просачивания:
p   p   a Vn .
(10)
Тогда, если проницаемая граница находится в верхнем
полупространстве, близко от поверхности тангенциального
разрыва ( k 1 , где  - расстояние от поверхности тангенциального разрыва до проницаемой границы), но так, чтобы амплитуды малых возмущений не достигали её, то из условия
(18) имеем:
 2 (Uk   )2

 ia .
(11)
k
k
Если же проницаемая граница находится в нижнем полупространстве, с таким же условием, то, соответственно, имеем:
 2 (Uk   )2
Uk

 ia (1  ) .
(12)
k
k

Рассмотрим и последний случай, когда проницаемая
граница введена непосредственно на поверхности тангенциального разрыва или настолько близко от него, что через неё
проникают бесконечно малые возмущения. Тогда введём
p  
103
функцию H ( ) – функцию Хэвисайда:
1,   0
.
(13)
H ( )  
0,   0
следовательно, условие для нормальной составляющей скорости запишется так:
Uk
Vn  i (1 
H ( ))
(14)

и, подставляя в (10), имеем:
 2 (Uk   )2
Uk

 ia (1 
H ( ))
k
k

следовательно,
(15)
 2  (Uk   )2  ika(  UkH ( ))  0 .
5. Анализ решения. Таким образом, в общем случае расположения проницаемой границы, решение разбивается на два
случая, когда функция Хэвисайда равна 0 и когда равна 1.
При a  0 :
1 i
  Uk
.
(16)
2
Видно, что  оказывается комплексной величиной,
причем, всегда имеются  с положительной мнимой частью,
т.е. введенные по поверхности разрыва возмущения будут возрастать по экспоненциальному закону. Таким образом, мы получили классический результат о том, что тангенциальные разрывы неустойчивы уже по отношению к малым возмущениям.
Далее, рассмотрим общий случай, при котором a  0 .
Приведём полученное уравнение к квадратному относительно


– эта переменная имеет следующий смысл:
есть скоUk
k
рость распространения возмущений, а заданное U примем,
как единицу скорости, тогда уравнение будет иметь удобный
для оценки вид:
104
(

Uk
следовательно,
) 2  (1  i
a 
1
a
)( )  (1  i H )  0 ,
2U Uk 2
U
(17)
a
2
4(2 H  1)( )
1 i
a
a
U )) . (18)
  (  (4    )(1  i
a
Uk 2 4 U
U
2
 
(4  ( ) )
U
Нас интересует мнимая часть скорости распространения возмущений, и конкретно вопрос, при каких условиях она
будет положительной. Разбивая решение на два случая, когда
H  0 и H  1 , находим, что


2
2
1
 4x 
 x  4  x (1 
) 1
2 

2
4x
 4 x 
1

4  x2
 1
Im
 
Uk 4 
2
4  x2
1
 4x 

(1 
) 1 
x

2
2
4x
 4 x 

1


4  x2

,
(19)
где за x обозначен безразмерный коэффициент проницаемости
a
x .
U
Как видно из графика (рис. 4), данное выражение имеет
две ветви – положительную и отрицательную. Как уже отмечалось, отрицательная ветвь не будет влиять на разрастание
возмущений со временем. Положительная ветвь, при стремлении
коэффициента проницаемости a к бесконечности,
асимптотически стремится к нулю.
Выводы. Проницаемая стенка (с рассмотренным типом проницаемости) не может обеспечить абсолютной устойчивости тангенциального разрыва, но существенно замедляет
скорость роста возмущений – тем больше, чем больше коэффициент проницаемости.
105
Список использованных источников
1. Баранов П.А., Гувернюк С.В., Зубин М.А., Исаев С.А.
Численное и физическое моделирование циркуляционного течения в вихревой ячейке на стенке плоскопараллельного канала. МЖГ, 2000, №5.
2. Стретт Дж.В. (Лорд Рэлей) Теория звука. Т. II. М., Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955, 475 стр.
3. Рахматулин Х.А., Гувернюк С.В. О постановке задач
обтекания проницаемых тел несжимаемой средой/ Сб. «Парашюты и проницаемые тела». М., Издательство Московского
университета,1987, стр. 5.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика том
VI, Гидродинамика. М., Наука, 1986, 733 стр.
Работа выполнена под руководством С.В. Гувернюка в
рамках плановой темы 5.3 НИИ механики МГУ.
106
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
107